68–95–99.7則と偏差値

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68–95–99.7則と偏差値の違い

68–95–99.7則 vs. 偏差値

正規分布近似において平均から1σ（プラスマイナス標準偏差）範囲には約68%の要素が含まれ、2σ範囲には約95%、3σ範囲には約 99.7%が含まれる。図内のパーセンテージは丸められた値である。 標準化した残差''z''（横軸）と、事象が生じる間隔の期待値（縦軸・対数軸）。 統計学における68–95–99.7則 とは、正規分布において、平均値を中心とした標準偏差の2倍、4倍、6倍の幅に入るデータの割合の簡略表現である。より正確には、68.27%、95.45%、 99.73%である。数学的には、これらは、正規分布に従う乱数から取り出した X は正規分布の平均 μ と正規分布 σ を用いて以下の式に従うことが述べられている。 \end 経験論的には、いわゆる「3シグマのルール」や「千三ツの法則」と呼ばれるものであり、ほぼすべての値が平均の3標準偏差以内にあるという従来のヒューリスティックを表している。このヒューリスティックの便利さは置いている仮定に非常に大きく左右される。社会科学においては、2σ以上外れた値（95%信頼区間の外）が「有意」とされ、素粒子物理学の分野では、5σ （99.99994%信頼区間の外）が「発見」に必要だとされている。 「3シグマのルール」では正規分布に従わないデータであっても、少なくとも88.8％のデータ±3σの範囲内に入るべきとされている。これは、チェビシェフの不等式（nσの外にはたかだか1/n^2 のデータしか存在し得ない）から導かれる。単峰分布においては、少なくとも95%であり、少なくとも98%まで上げるには一定の前提が必要かもしれない。. 偏差値（へんさち、standard score）とは、ある数値がサンプルの中でどれくらいの位置にいるかを表した無次元数。平均値が50、標準偏差が10となるように標本変数を規格化したものである。.

平均

平均（へいきん、mean, Mittelwert, moyenne）または平均値（へいきんち、mean value）は、観測値の総和を観測値の個数で割ったものである。 例えば A、B、C という3人の体重がそれぞれ 55 kg、60 kg、80 kg であったとすると、3人の体重の平均値は (55 kg + 60 kg + 80 kg)/3.

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標準偏差

標準偏差（ひょうじゅんへんさ、）は、日本工業規格では、分散の正の平方根と定義している。データや確率変数の散らばり具合（ばらつき）を表す数値のひとつ。物理学、経済学、社会学などでも使う。例えば、ある試験でクラス全員が同じ点数、すなわち全員が平均値の場合、データにはばらつきがないので、標準偏差は 0 になる。 母集団や確率変数の標準偏差を σ で、標本の標準偏差を s で表すことがある。二乗平均平方根 (RMS) と混同されることもある。両者の差異については、二乗平均平方根を参照。.

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正規分布

率論や統計学で用いられる正規分布（せいきぶんぷ、normal distribution）またはガウス分布（Gaussian distribution）は、平均値の付近に集積するようなデータの分布を表した連続的な変数に関する確率分布である。中心極限定理により、独立な多数の因子の和として表される確率変数は正規分布に従う。このことにより正規分布は統計学や自然科学、社会科学の様々な場面で複雑な現象を簡単に表すモデルとして用いられている。たとえば実験における測定の誤差は正規分布に従って分布すると仮定され、不確かさの評価が計算されている。 また、正規分布の確率密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている。 確率変数 が1次元正規分布に従う場合、X \sim N(\mu, \sigma^) 、確率変数 が 次元正規分布に従う場合、X \sim N_n(\mu, \mathit) などと表記される。.

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