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9 関係: 外微分、完全微分形式、微分位相幾何学、微分形式、ポアンカレの補題、ヤングの定理、回転 (ベクトル解析)、閉性、逆。
外微分
可微分多様体上、外微分（がいびぶん、exterior derivative）は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。 形式を無限小 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を -平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。.
完全微分形式
微分位相幾何学における微分形式が完全 (exact) である、または完全微分形式（かんぜんびぶんけいしき、exact differential form）、短く完全形式 (exact form) であるとは、別の微分形式でその外微分がもとの微分形式に一致するものが存在するときに言う。すなわち、完全形式は可積分である。短くまとめると、微分形式 が完全とは、微分形式 が存在して ようなものである。シュヴァルツの定理により、-の任意の完全形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はその部分的な逆を保証する。.
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微分位相幾何学
微分位相幾何学もしくは微分トポロジー（英語：differential topology）は、多様体の微分可能構造に注目する幾何学の一分野。微分可能構造という位相のみでは 決まらないものを扱うため純粋な位相幾何学として扱うのは難しい部分もあるが,位相が与えられている多様体の微分可能構造つまり微積分ができる ような構造を調べるということで位相多様体を調べるもので,微分可能構造まで込めた多様体に距離や曲率を定めて 研究を行う微分幾何学に比べ自由度は高いことから位相幾何学であるとされている。解析学や微分幾何学と位相幾何学の学際研究が非常に有益なことは初期から知られており、局所的な性質を扱う微分幾何学と大域的な性質を扱う位相幾何学の対照的な2分野による多様体の研究は双方の発展を促した。古くはフェリックス・クラインやアンリ・ポアンカレまで遡れ、現在微分位相幾何学と呼ばれているものはルネ・トムやジョン・ミルナーといった数学者によって創り出された。.
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微分形式
数学における微分形式（びぶんけいしき、differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。.
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ポアンカレの補題
数学において、ポアンカレの補題（ぽあんかれのほだい、Poincaré lemma）とは代数的位相幾何における定理の一つ。ユークリッド空間において、閉形式である微分形式が完全形式となることを主張する。.
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ヤングの定理
ヤングの定理（ヤングのていり、Young's theorem）は、ある条件の下で多変数関数に対する偏微分の順序を交換できることを述べる定理である（下記参照）。ヤングの定理はしばしば二階導関数の対称性（symmetry of second derivatives）、または混合微分の等価性（equality of mixed partials）とも呼ばれる。 変数の関数 について、 に関する偏導関数を のように下付きの添え字 で表せば、二階導関数の対称性とは、二階の偏導関数 とは、関数 が を満たすことをいう。このとき関数 の二階導関数 が成す行列（ヘッセ行列）は 次対称行列を成す。 偏微分方程式の文脈では、それはシュワルツの可積分条件（Schwarz integrability condition）と呼ばれる。\arctan\; y/x.
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回転 (ベクトル解析)
ベクトル解析における回転（かいてん、rotation, curl）（または ）は、三次元ベクトル場の無限小回転を記述するベクトル演算子である。ベクトル場の各点において、ベクトル場の回転はベクトルとして表され、このベクトルの寄与（大きさと向き）によってその点での回転が特徴付けられる。 回転ベクトルの向きは回転軸に沿って右手系となる方にとり、回転ベクトルの大きさは回転の大きさとなる。例えば、与えられたベクトル場が、動いている流体の流速を表すものであるとき、その回転とはその流体の循環密度のことになる。回転場が 0 となるベクトル場はであると言う。場の回転はベクトル場に対する導函数に相当し、これに対応して微分積分学の基本定理に相当するのは、ベクトル場の回転場の面積分をそのベクトル場の境界曲線上での線積分と関係づけるストークスの定理（ストークス＝ケルビンの定理）であると考えられる。 回転演算に相当する用語は curl, rotation の他に rotor や rotational などがあり、記法 に相当する記法は や などがある。前者の rot 系の用語・記法を用いる流儀はヨーロッパ諸国の系統に多く、ナブラや交叉積を用いる記法はそれ以外の系統で使われる傾向にある。 勾配や発散とは異なり、回転の概念を単純に高次元化することはできない。ただし、三次元に限らないある種の一般化は可能で、それはベクトル場の回転がまたベクトル場となるように幾何学的に定義される。これは三次元交叉積がそうであるのと同様の現象であり、このことは回転を "∇×" で表す記法にも表れている。 回転 "curl" の名を最初に提示したものはジェームズ・クラーク・マクスウェルで1871年のことである。.
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閉性
数学において、与えられた集合がある演算あるいは特定の性質を満たす関係について閉じている (closed) あるいはその演算がその集合上で閉性（へいせい、closure property; 包性）を持つとは、その集合の元に対して演算を施した結果がふたたびもとの集合に属することを言う。複数の演算からなる集まりが与えられた場合も、それら演算の族に関して閉じているとは、それが個々の演算すべてに関して閉じていることを言う。.
逆
命題「p⇒q」に対して、「q⇒p」を、元の命題の逆（ぎゃく、）と言う。 ある命題とその逆の真偽は、必ずとも一致しない（逆は必ずしも真ならず）。この表現は日常生活や数学の中でことわざのように使用されることがある。 一致するような命題については「逆もまた真である」などと表現する。これは本来の用法とは異なる。「p⇒q」が真であり、「q⇒p」も真であるときに、 p と q は同値（必要十分条件）であるという。 命題「p⇒q」に対して、逆「q⇒p」の対偶「￢p⇒￢q」を、元の命題の裏と言う。命題「p⇒q」に対して、対偶「￢q⇒￢p」の逆「￢p⇒￢q」は裏に等しくなる。全ての命題に対して、逆と裏の真偽は一致する。 日常生活では、逆も必ず真であるような誤謬をすることもある。（後件肯定）.
ここにリダイレクトされます：
閉形式。
