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11 関係: 合同ゼータ関数、実解析的アイゼンシュタイン級数、ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数、ハッセ・ヴェイユのゼータ函数、リーマンゼータ関数、デデキントゼータ関数、フルヴィッツのゼータ函数、セルバーグゼータ函数、ゼータ函数 (作用素)、隣接代数 (順序理論)、数論的ゼータ函数。
合同ゼータ関数
数学において、 個の元をもつ有限体 上で定義された非特異射影代数多様体 の合同ゼータ関数 (congruent zeta function) （または局所ゼータ関数 (local zeta function)）とは、 を の 次拡大体 上の の（有理）点の数（定義方程式の解の個数）としたとき、 で定義される。変数変換 を行うと、これは の形式的冪級数として \mathit (V,u).
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実解析的アイゼンシュタイン級数
数学では、最も単純な実解析的アイゼンシュタイン級数(real analytic Eisenstein series)は、2変数の特殊函数である。実解析的アイゼンシュタイン級数はの表現論や解析的整数論で使われる。密接にエプシュタインのゼータ函数に関連している。 より複雑な群に対する多くの一般化がある。.
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ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数
ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数（Minakshisundaram–Peijel zeta function）はコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの固有値をエンコードしたゼータ函数である．このゼータ函数はと により導入された．平面のコンパクトな領域の場合には、より早く により導入された．.
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ハッセ・ヴェイユのゼータ函数
ハッセ・ヴェイユのゼータ函数（Hasse–Weil zeta function）とは、数学において最も重要な L-函数のうちの一つである。これは代数体上の代数多様体にたいして定義される複素関数である。これは各素数ごとの因子である局所ゼータ函数の無限積オイラー積として定義される。ハッセ・ヴェイユゼータ函数は、大域的L-函数の 2つの大きなクラスの一つで、他は保型表現に付随する L-函数である。予想としては、ハッセ・ヴェイユのゼータ関数全体と保型表現からさだまる全体の間に対応があると考えられており、これは谷山志村予想の非常に大きな一般化である。 オイラー積の有限個の要素を除外したハッセ・ヴェイユゼータ函数の記述は比較的単純である。これはヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) とアンドレ・ヴェイユ (André Weil) が初めて示唆した。代数多様体が一点の場合、有理数体上ならリーマンゼータ函数、一般の代数体ならデデキントゼータ関数に対応し、これを一般化したものとなる。 話を単純にするため、有理数体上の代数多様体 にたいして、そのハッセ・ヴェイユゼータ函数を説明する。 が非特異射影多様体のとき、素数 に対し、 を法として の還元を考える。 個の元を持つ有限体 上の代数多様体 はまさに の方程式を還元することにより得られる。ほとんど全ての に対して、 は非特異となる。複素変数 のディリクレ級数として局所ゼータ函数 の無限積として を定義する。 すると、 は、定義に従い、有限個の の有理函数による乗法のみを除外して well-defined である。 この有理函数による乗法の不定性は比較的実害がない。たとえば有理型函数として解析接続することができるので、 が有理型函数に解析接続されるという性質はこの不定性に依存しない。また函数等式についても、函数等式の対称軸の正確な位置は悪い因子に依存するものの、函数等式が存在する事自体にはいくつかの因子を除いた事は影響しない。 エタールコホモロジーの発展により、正確な定義が可能となった。とくに、悪い還元に対応するオイラー因子が何かということを説明することができる。分岐理論で理解される一般原理に従うと、悪い素数では導手の理論のような良い情報を持っている。をもつ素数 においてはにより のエタールコホモロジー上のガロア表現 は不分岐である。このため、局所ゼータ函数の定義は、 の特性多項式の項で再現できる。ここの は に対するフロベニウス元である。悪い還元をもつ素数 では、 が に対する惰性群 上非自明な作用をもつ。これらの素数では、惰性群がとして作用するような表現 の最も大きな商をとることによってオイラー因子をさだめる。このようにして、 の定義はほとんど全ての から全ての へ、オイラー積が整合性をもつようにうまくアップグレードすることができる。函数等式の結果は1960年代後半にセール (Serre) とドリーニュ (Deligne) により完成され、函数等式自体は一般的に証明されていない。.
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リーマンゼータ関数
1.
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デデキントゼータ関数
デデキントゼータ関数（-かんすう、Dedekind's zeta function）とは、 代数体 K に対して で表される関数のことをいう。但し、和は K の整イデアル全てを動き、\scriptstyle N\mathfrak は整イデアル \mathfrak のノルムである。従って、デデキントゼータ関数は、ヘッケのL関数の特別な場合である。 特に、K が有理数体のとき、リーマンゼータ関数になる。 与えられた整数 n に対して、ノルムが n である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、 デデキントゼータ関数は、 と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。 デデキントゼータ関数は、\scriptstyle\operatorname\ s>1 に対して、絶対かつ一様収束する。従って、\scriptstyle\operatorname\ s>1 で、\zeta_K(s) は正則関数である。.
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フルヴィッツのゼータ函数
フルヴィッツのゼータ函数 はゼータ函数の一種で、名前はアドルフ・フルヴィッツに因む。フルヴィッツのゼータ函数は、 なる と なる の 2 つの複素数に対して、形式的に以下のように定義される。 この級数は与えられた値 と に対し絶対収束し、また なるすべての に対して定義される有理型函数へ拡張することができる。フルヴィッツのゼータ函数はリーマンゼータ函数の拡張であり、リーマンゼータ函数はフルヴィッツのゼータ函数を用いて と表される。 1 and q with Re(q) > 0 by This series is absolutely convergent for the given values of s and q and can be extended to a meromorphic function defined for all s≠1.
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セルバーグゼータ函数
ルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグ により導入された。有名なリーマンゼータ函数 の類似で、ここに \mathbb は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。\Gamma を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。 あるいは、 ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。 \zeta(s).
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ゼータ函数 (作用素)
作用素 \mathcal のゼータ函数は、以下のように定義される関数である。 の右辺が存在するような s に対してはこの式で、他の s の値に対してはこの函数の解析接続として定義される。ここに tr は函数のトレースを表す。 ゼータ函数は、次の式で作用素 \mathcal O の固有値 \lambda_i によってスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function) としても表現できる。 これは汎函数行列式を厳密に定義することに使われる。それは で与えられる。 ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である。 また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される。 さらに、代数幾何学的に一般化された熱核の方法とともに、作用素のゼータ函数は、の最も重要な動機の一つになっている。.
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隣接代数 (順序理論)
数学の順序集合論において隣接代数（りんせつだいすう、incidence algebra）または接合環（せつごうかん）とは、任意の局所有限な半順序集合と単位元を持つ可換環に対して定義される結合多元環である。局所有界半順序集合の接続代数は、1964年のジャン・カルロ・ロタ(Gian-Carlo Rota)による論文に始まり、多くの組合せ論研究者により発展した。.
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数論的ゼータ函数
数学では、数論的ゼータ函数(arithmetic zeta function)とは、整数上の有限型スキームについてのゼータ函数のことを言う。数論的ゼータ函数はリーマンゼータ函数とデデキントゼータ函数を一般化したものである。数論的ゼータ函数は、数論の最も基本的な対象のひとつである。.
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