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24 関係: 反傾表現、尖点表現、位相群、位相群の群環、ハリシュ＝チャンドラ指標、ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題、リー群の表現、ワイルの指標公式、ワイトマンの公理系、ヴィラソロ代数、ボレル・ヴェイユの定理、ヘリシティー (素粒子)、ヒルベルト空間、フォン・ノイマン環、ウィグナーの分類、スピン角運動量、セルバーグ跡公式、群の表現、畳み込み、非可換調和解析、表現論、量子力学の数学的定式化、P-進量子力学、既約表現。
反傾表現
G が群で、\rho がベクトル空間 V 上の G の線型表現であるとき、反傾表現（はんけいひょうげん、contragredient representation）あるいは双対表現（そうついひょうげん、dual representation）\rho^* は以下のようにして双対ベクトル空間 V^* 上定義される： \mathfrak がリー環で \pi がベクトル空間 V 上のその表現であれば、反傾表現 \pi^* は以下のようにして双対ベクトル空間 V^* 上定義される： いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。 ユニタリ表現に対しては、反傾表現はと等しい。.
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尖点表現
数論における尖点表現（せんてんひょうげん、cuspidal representations; カスプ表現）は L2-空間に離散的に現れる代数群の表現の一種である。「尖点的」というのは、それが古典的なモジュラー形式論に関する尖点形式に関係することに由来する。保型表現の現代的な定式化では、正則函数の表現の代わりに、アデール代数群の表現を考えうる。 考えている群が一般線型群 GL2 のときの尖点表現は、尖点形式とマース形式に直接に関係する。尖点形式の場合については、各ヘッケ固有形式（アトキン＝レーナーの新形式）が尖点表現に対応する。.
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位相群
数学における位相群（いそうぐん、topological group）は、位相の定められた群であって、そのすべての群演算が与えられた位相に関して連続となるという意味において代数構造と位相構造が両立する。したがって位相群に関して、群としての代数的操作を行ったり、位相空間として連続写像について扱ったりすることができる。位相群のは、連続対称性を調べるのに利用でき、例えば物理学などにも多くの応用を持つ。 文献によっては、本項に言うところの位相群を連続群と呼び、単に「位相群」と言えば位相空間として T2（ハウスドルフの分離公理）を満たす連続群すなわちハウスドルフ位相群を意味するものがある。.
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位相群の群環
数学において、局所コンパクト群の群環（ぐんかん、group algebra）とは、その群の表現が適当な環の表現の表現として読み替えることができるような（いくつかの）構成法が与えられたときの、その環（ふつうは作用素環あるいはもっと一般のバナハ代数）を総称して呼ぶものである。そういった環は、位相を抜きにして考えた群に対する群環と同じような働きを果たす。.
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ハリシュ＝チャンドラ指標
数学において、あるヒルベルト空間 H 上の半単純群 G の表現のハリシュ＝チャンドラ指標（ハリシュ＝チャンドラしひょう、）とは、その群 G 上のある超函数で、あるコンパクト群の有限次元表現の指標と類似なもののことを言う。 インド人数学者、物理学者のの名にちなむ。.
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ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題
ヤン–ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題（ヤン–ミルズほうていしきのそんざいとしつりょうぎゃっぷもんだい、Yang–Mills existence and mass gap）とは、量子色力学および数学上の未解決問題である。2000年、アメリカ合衆国のクレイ数学研究所はミレニアム懸賞問題の一つとしてこの問題に100万ドルの懸賞金をかけた。.
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リー群の表現
数学や理論物理学では、リー群の表現の考え方は、連続対称性の研究で重要な役割を果たす。 そのような表現は、対応する「無限小」リー代数の表現研究で使用する基本的なツールであることが良く知られている。物理学の文献では、リー群の表現とリー代数の表現との間の違いを強調しないこともある。 Chapter 2.
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ワイルの指標公式
数学において，表現論におけるワイルの指標公式（Weyl character formula）はコンパクトリー群の既約表現の指標をのことばで記述する． によって証明された． 定義により， の表現 の指標は群 の元 の関数としての のトレースである．この場合既約表現はすべて有限次元である（これはの一部である）．よってトレースの概念は線型代数学の通常のものである． の指標 を知ることは 自身の良い代替であり，アルゴリズム的内容を持ち得る．ワイルの公式は から構成される他の対象と のリー環のことばで をで表す．ここで問題の表現は複素でありしたがって一般性を失うことなくユニタリ表現である；したがって既約は直既約，つまり2つの部分表現の直和でないことと同じ意味である．.
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ワイトマンの公理系
物理学において、ワイトマンの公理系(Wightman axioms)（ガーディング・ワイトマンの公理系(Gårding–Wightman axioms)ともいう）とは場の量子論を数学的に厳密に定式化する試みの一つである。(Arthur Wightman)は、1950年代初期には既にこの公理系を定式化していたが、実際に出版されたのはがその重要性を認めた後、1964年のことである。 ワイトマンの公理系は構成的場の理論の文脈で議論され、場の理論の厳密な扱いの基礎と、摂動的な手法の厳密な基礎を提供することを意図している。ミレニアム問題のひとつ（ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題）には、ヤン-ミルズ理論においてワイトマン公理系を確立することが含まれている。)) are an attempt at a mathematically rigorous formulation of quantum field theory. Arthur Wightman formulated the axioms in the early 1950s but they were first published only in 1964, after Haag-Ruelle scattering theory affirmed their significance. The axioms exist in the context of constructive quantum field theory, and they are meant to provide a basis for rigorous treatment of quantum fields, and strict foundation for the perturbative methods used. One of the Millennium Problems is to realize the Wightman axioms in the case of Yang-Mills fields.-->.
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ヴィラソロ代数
数学・物理学においてヴィラソロ代数（ヴィラソロだいすう、Virasoro algebra）は円周上定義される複素多項式ベクトル場の中心拡大として与えられる無限次元複素リー環で、共形場理論や弦理論において広く用いられる。名称は物理学者のに由来する。.
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ボレル・ヴェイユの定理
数学の表現論の分野において、ボレル・ヴェイユの定理 (Borel–Weil theorem) は、の既約表現と複素半単純リー群の既約正則表現に対する具体的なモデルを与える。名称はアルマン・ボレル (Armand Borel) とアンドレ・ヴェイユ (André Weil) にちなむ。これらの表現はその群の上の正則直線束の大域切断の空間において実現される。高次コホモロジー空間への一般化はと呼ばれる。.
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ヘリシティー (素粒子)
ヘリシティー (helicity) は、粒子のスピンの回転方向を表す数値である。その値が－のものを左巻き、＋のものを右巻きと呼ぶ。 数学的には、スピン\vec Sの運動量の向き \hat p への射影として、次のように表される: ある軸に関するスピンの固有値は離散的な値なので、ヘリシティーの固有値は離散的である。スピンSの粒子について、ヘリシティーの固有値はS,,..., −Sである。スピンSの粒子で計測されるヘリシティーは−Sから+Sの範囲を取りうる。ヘリシティーは、 \vec S の代わりに全角運動量演算子 \vec J によって等価に書き表すことができる。これは、線運動量に沿った軌道角運動量の射影は次のように０になるためである: 3 + 1次元において、質量を持たない粒子についての小群はSE(2)の二重被覆である。これは、SE(2)の"並進"に対して不変でありSE(2)のθ回転に対してeihθ変換を行うユニタリ表現を持つ。これはヘリシティーh表現である。SE(2)の並進に対して非自明に変換を行う別のユニタリ表現もある。これは、連続スピン表現である。 次元において、小群はSE() の二重被覆である。（の場合はエニオンなどのためにさらに複雑である。）前述のように、"標準"表現（SE()の"並進"）および"連続スピン"表現に対して変換を行わない（不変である）ユニタリ表現が存在する。 質量を持たない2粒子にとって、ヘリシティーは\hbar/2倍されたカイラル演算子と等価である。.
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ヒルベルト空間
数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。 ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 、自乗総和可能数列の空間 、超関数からなるソボレフ空間 、正則関数の成すハーディ空間 などが挙げられる。 ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。より深いところでは、部分空間への直交射影（例えば、三角形に対してその「高さを潰す」操作の類似対応物）は、ヒルベルト空間論における最適化問題やその周辺で重要である。ヒルベルト空間の各元は、平面上の点がそのデカルト座標（直交座標）によって特定できるのと同様に、座標軸の集合（正規直交基底）に関する座標によって一意的に特定することができる。このことは、座標軸の集合が可算無限であるときには、ヒルベルト空間を自乗総和可能な無限列の集合と看做すことも有用であることを意味する。ヒルベルト空間上の線型作用素は、ほぼ具体的な対象として扱うことができる。条件がよければ、空間を互いに直交するいくつかの異なる要素に分解してやると、線型作用素はそれぞれの要素の上では単に拡大縮小するだけの変換になる（これはまさに線型作用素のスペクトルを調べるということである）。.
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フォン・ノイマン環
フォン・ノイマン環（ふぉんのいまんかん、von Neumann algebra）とは、ヒルベルト空間上の有界線型作用素たちのなす C*-環のうちで恒等作用素を含み作用素の弱収束位相について閉じているもののことである。一般の C*-環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象であり、理論の創始者の一人ジョン・フォン・ノイマンにちなんでこの名前がついている。可換なフォン・ノイマン環の重要な例として、σ-有限な測度空間 X 上の L∞ 級関数全体のなす環があげられる。.
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ウィグナーの分類
ウィグナーの分類（Wigner's classification） とは、数学と理論物理学において、ポアンカレ群の、質量の鋭敏な固有値を持つ、非負のエネルギー E ≥ 0 の既約ユニタリ表現の分類である。物理学における素粒子論での素粒子や場の量子論での場の数学的表現を分類するために、ユージン・ウィグナーによって提唱された。分類はポアンカレ群の安定化部分群に依拠し、さまざまな質量状態のウィグナー小群（Wigner little groups）と呼ぶ。 質量 m \equiv \sqrt はポアンカレ群のであり、その表現を名づけるのには役に立つかもしれない。 この表現は m > 0 の場合、m.
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スピン角運動量
ピン角運動量（スピンかくうんどうりょう、spin angular momentum）は、量子力学上の概念で、粒子が持つ固有の角運動量である。単にスピンとも呼ばれる。粒子の角運動量には、スピン以外にも粒子の回転運動に由来する角運動量である軌道角運動量が存在し、スピンと軌道角運動量の和を全角運動量と呼ぶ。ここでいう「粒子」は電子やクォークなどの素粒子であっても、ハドロンや原子核や原子など複数の素粒子から構成される複合粒子であってもよい。 「スピン」という名称はこの概念が粒子の「自転」のようなものだと捉えられたという歴史的理由によるものであるが、現在ではこのような解釈は正しいとは考えられていない。なぜなら、スピンは古典極限 において消滅する為、スピンの概念に対し、「自転」をはじめとした古典的な解釈を付け加えるのは全くの無意味だからであるランダウ＝リフシッツ小教程。 量子力学の他の物理量と同様、スピン角運動量は演算子を用いて定義される。この演算子(スピン角運動量演算子)は、スピンの回転軸の方向に対応して定義され、 軸、 軸、 軸方向のスピン演算子をそれぞれ\hat_x,\hat_y,\hat_z と書き表す。これらの演算子の固有値（＝これら演算子に対応するオブザーバブルを観測したときに得られる値）は整数もしくは半整数である値 を用いて、 と書き表せる。値 は、粒子のみに依存して決まり、スピン演算子の軸の方向には依存せずに決まる事が知られている。この を粒子のスピン量子数という。 スピン量子数が半整数 になる粒子をフェルミオン、整数 になる粒子をボゾンといい、両者の物理的性質は大きく異る(詳細はそれぞれの項目を参照)。2016年現在知られている範囲において、.
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セルバーグ跡公式
ルバーグ跡公式 (Selberg trace formula) とは、 で導入された、二乗可積分函数の空間 L2(G/Γ) 上の G のユニタリ表現の指標の表現である。ここに G はリー群で Γ は余有限 (cofinite) な離散群とする。指標は、G 上のある函数のトレースにより与えられる。 Γ がな場合とは、離散的な和へ表現が分解するときのことを言う。ここで、跡公式とは、有限群の誘導表現の指標の(Frobenius formula)の拡張である。Γ が実数 G.
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群の表現
数学において、群の表現（ぐんのひょうげん、group representation）とは、抽象的な群 の元 に対して具体的な線形空間 の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像 のことである。線型空間 の基底を取ることにより、 をより具体的な正則行列として表すことができる。.
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畳み込み
畳み込み（たたみこみ、convolution）とは関数 を平行移動しながら関数 に重ね足し合わせる二項演算である。畳み込み積分、合成積、重畳積分、あるいは英語に倣いコンボリューションとも呼ばれる。.
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非可換調和解析
数学の一分野としての非可換調和解析（ひかかんちょうわかいせき、noncommutative harmonic analysis）は、フーリエ解析における結果を可換とは限らない位相群に対するものへ拡張することを研究する。局所コンパクト可換群の調和解析においては、フーリエ級数やフーリエ変換の基本構造などを含む深い理論（ポントリャーギン双対性）が知られているので、非可換調和解析の主要な行動原理としては、それらの理論を任意の局所コンパクト群 G に対する理論へ拡張することを考えるのが普通である。コンパクト群の場合には、1920年代以降ピーター・ワイルの定理により定性的に理解されていて、それは一般に有限群とその指標理論の類似対応物となっている。 故に非可換調和解析の主な課題は、G がコンパクトでも可換でもないような局所コンパクト群の場合である。そういった群の中には興味深い例として、多くのリー群および ''p''-進体上の代数群などが含まれる。これらは数理物理学、および当代の数論（特に保型表現論）においても興味深くよく応用される。 期待すべきことはフォンノイマンの基本的な仕事の結果として知られる。即ちフォンノイマンは、G のフォンノイマン群環が I-型ならば、G のユニタリ表現としての L2(G) は既約表現の直積分に分解されることを示した。これはつまり、ユニタリ表現の同型類全体の成す集合（にを入れたユニタリ双対群）で径数付けられることを意味する。プランシュレルの定理の類似は、ユニタリ双対群上の測度であるプランシュレル測度をそれによる直積分をとることと同一視することによって抽象的に与えられる（ポントリャーギン双対性の場合、プランシュレル測度は G の双対群上のあるハール測度に一致するので、従ってその正規化だけが問題である）。一般の局所コンパクト群の場合、あるいは可算離散群の場合でさえも、そのフォンノイマン群環は必ずしも I-型とは限らず、そして G の正則表現が（ユニタリかつ完全可約であったとしても）既約表現の言葉で書けないことが起こり得る。例えば無限対称群がそうで、そのフォンノイマン群環は、超有限 II1-型因子環になる。更なる理論ではプランシュレル測度は離散と連続の部分に分解される。半単純群および可解リー群のクラスに対しては、非常に詳しい理論が得られている。.
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表現論
表現論（ひょうげんろん、representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することにより研究し、代数構造上の加群を研究する数学の一分野である。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象は、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が群の要素が行列の積により正則行列で表現されている。 Classic texts on representation theory include and.
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量子力学の数学的定式化
本項では相対論的効果を考えない量子力学の数学的定式化（りょうしりきがくのすうがくてきていしきか）を厳密に述べる。本項では量子力学に対する最低限の知識を仮定する。.
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P-進量子力学
p-進量子力学(p-adic quantum mechanics)は、基礎物理学の性質を理解しようとする比較的新しいアプローチであり、p-進解析の量子力学への応用である。p-進数は、1899年頃、ドイツの数学者のクルト・ヘンゼル(Kurt Hensel)により発見された非直感的な数理系であり、1930年代に、クロード・シュヴァレー(Claude Chevalley)とアンドレ・ヴェイユ(André Weil)により、密接に関連するアデール(adele)とイデール(idele)が導入された。彼らの研究は、現在では、数学の主要な分野の中へ反映されている。p-進解析は物理学分野へ適用されることがあるが、ロシアの数学者、ヴォロヴィッチ(Volovich)が1987年に重要な主題として取り上げるまでは、そのようなことはなかった。 現在では、国際的な雑誌で多くの研究論文がこの主題を扱っている。V.
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既約表現
数学のとくに群あるいは多元環の表現論における（代数的構造の）既約表現（きやくひょうげん、irreducible representation; irrep） とは、真の閉部分表現を持たない非零表現を言う。 複素内積ベクトル空間 V 上の任意の有限次元ユニタリ表現は、既約表現の直和である。既約表現は常に直既約である（すなわち、別の表現の直和にかくことができない）であり、この二つはしばしば混同されるが、例えば上半三角冪零行列として作用する実数の二次元表現など、一般には可約だが直既約な表現が無数に存在する。.
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