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60 関係: ほとんど整数、多胞体、定規とコンパスによる作図、宇宙船 (ライフゲーム)、七芒星 (図形)、二個の平方数の和、二重平方数、圭 (数学)、ペントミノ、モンストラス・ムーンシャイン、モンスター群、ライフゲーム、リチャード・ボーチャーズ、リヴァプール、ルール30、ルート系、ルービックキューブ、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明、プリンプトン322、プロプリズム、ビーコン (ライフゲーム)、ファウルハーバーの公式、ドナルド・クヌース、ニール・スローン、アレクサンダー多項式、エルデシュ数、エージェント・ベース・モデル、エデンの園配置、グライダー銃、ケンブリッジ大学の人物一覧、コンウェイ、コンウェイのチェーン表記、コンウェイ多項式、ゴンヴィル・アンド・キーズ・カレッジ、シャトル (ライフゲーム)、シュシュポッポ列車、ジェネレーティブアート、スティール賞、スイッチ機関車 (ライフゲーム)、スカラーペディア、セル・オートマトン、ソーマキューブ、タングル、八元数、八芒星、共有知識、図形数、四元数、素数、繁殖型 (ライフゲーム)、...、無限小、階差数列、魔方陣、象限、長寿型 (ライフゲーム)、J-不変量、極限順序数、有限単純群の分類、1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯、12月26日。 インデックスを展開 (10 もっと) »
ほとんど整数
ある数がほとんど整数（ほとんどせいすう、almost integer）であるとは、整数ではないが、整数に非常に近いことを意味する。どれほど近ければ十分であるのか明確な決まりはないが、一見して整数に近いとは分からないのに、近似値を計算すると驚くほど整数に近い数で、小数点以下の部分が.000…」または.999…」のように、0か9が数個連続する場合、このように表現される。例えば、「インドの魔術師」の異名をもつシュリニヴァーサ・ラマヌジャンは など、整数に近い数の例をいくつか与えた。また、黄金比 の累乗、例えば は整数に近い。整数に近い数を与えることは、単なる趣味の範疇であることが多いが、意義深い数学的な理論が背景にあることも少なくはない。.
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多胞体
初等幾何学における四次元超多面体(4-polytope) または多胞体（たほうたい、polychoron, polycell, polyhedroid）は四次元の超多面体である。四次元超多面体は連結かつ閉な図形で、より低次の超多面体図形（頂点、辺、多角形面、多面体）から組み立てられる。各面はちょうど二つの胞に共有される。 多くの胞からなる図形という意味で多胞体とも呼ばれるが、「多胞体」を任意の超多面体を表す polytope の訳語としても用いることがあるため注意が必要である。以下、誤解の虞が無いならば、断りなく四次元超多面体の意味で多胞体と呼ぶことにする。 多胞体は二次元の多角形および三次元の多面体の四次元における対応物である。 位相的には、多胞体はに近い関係を持つ。例えば、三次元空間を充填するとの関係は、三次元立方体が無限正方形平面充填に関係するのと同様である。凸多胞体を「切ったり開いたり」して三次元展開図を作ることができる。.
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定規とコンパスによる作図
定規とコンパスによる作図（じょうぎとコンパスによるさくず）とは、定規とコンパスだけを有限回使って図形を描くことを指す。ここで、定規は2点を通る直線を引くための道具であり、目盛りがついていても長さを測るのには使わないものとし、コンパスは与えられた中心と半径の円を描くことができる道具である。この文脈における「定規」はしばしば「定木」と表記される。定規とコンパスによる作図可能性（作図不可能性）の問題として有名なものにギリシアの三大作図問題がある。 数学的には、定規とコンパスによる作図で表せるのは二次方程式を繰り返し解いて得られる範囲の数であることが知られている。つまり、いくつかの二次方程式や一次方程式に帰着出来る問題は定規とコンパスのみで作図可能であり、反対に帰着できない問題は作図不可能である。「作図可能な線分の長さ」の集合は一つの体をなしている。.
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宇宙船 (ライフゲーム)
宇宙船（うちゅうせん、spaceship）とは、ライフゲームに出てくるパターンの1つである。グライダーの次に発見された移動物体である。 水平方向に、1ピクセル/2単位時間の速度で進む。これは移動物体の限界の速さである。 広義には、ライフゲームおよびセル・オートマトンにおいて一般に、移動物体を指して 宇宙船 とも呼ぶ。.
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七芒星 (図形)
幾何学において、七芒星（英語：heptagram, septagram, septegram、septogram）は、7つの角を持つ星型多角形である。 heptagramは、ギリシャ語の倍数接頭辞で7を意味する hepta- と、「線」を意味するギリシャ語γραμμή (grammḗ)から来た接尾辞-gramを組み合わせた語である。.
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二個の平方数の和
この記事は「平方数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているものであるが呼びかたが定まっておらず、フェルマーの4n+1定理、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理（フェルマーの最終定理とは異なる）などと呼ばれる。 ---- 4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方（冪指数が偶数）になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。 具体的に4を法として1に合同な素数とは 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109,\cdots.
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二重平方数
算術における四乗数（しじょうすう、biquadratic number; 複平方数別に biquadratic という形容は「複二次」ということを強調するものではない。そもそも接頭辞 quadr- は 4 を意味するので、quadratic は「4つの」「四次の」という意味のはずだが、四辺形の面積としての square (ex quadrem) が「平方」を意味し、それに伴って二次方程式や二次形式などで quadratic が「二次の」という意味で多用されるなかで、「四次の」を意味するために冗長ながら「二回」を意味する接頭辞 bi- を附した biquadratic を使うことになったという事情による 。したがって、和訳語としては単に「四乗」を対応させるのが自然であると思われる。）あるいは二重平方数とは、狭義には別の自然数の四乗（平方の平方）になっているような自然数のことである。 最小の二重平方数は 14.
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圭 (数学)
数学における圭（けい）、分配亜群（ぶんぱいあぐん、дистрибутивныи Группоид; destributive groupoid, quandle; カンドル）および残滓（ざんし、rack; ラック)は、結び目の局所変形であるライデマイスター移動を図式操作と考えたときに抽出される公理と類似の公理を満たす二項演算を備えた集合である。 主に結び目理論を背景として研究されるものであるが、抽象代数学的な構造としては、自身の右からの作用を備えた代数系であると見なすことができる。.
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ペントミノ
ペントミノの各ピース：上1列左から '''F, L, N, P, Y, Z.'''上2列左から'''T, U, V, W, I, X.'''下半分も同様。 ペントミノはポリオミノの一種である。5つの正方形を辺に沿ってつなげた形は回転・鏡像によって同じになるものを同一と考えると12種類ある。これらを総称してペントミノと呼ぶ。 鏡像を別物とすると、さらに6種増えて18種になる（F, L, N, P, Y, Z は鏡像が別物だが、I, T, U, V, W, X は線対称である）。これらを特に「片面型ペントミノ」とも呼ぶ。 90度回転まで考えると、対称性によって以下のようにグループ化できる。.
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モンストラス・ムーンシャイン
数学において、モンストラス・ムーンシャインもしくはムーンシャイン理論とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイ(John Conway)と(Simon Norton)により命名された。今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。.
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モンスター群
群論という現代代数学の分野において、モンスター群（モンスターぐん、Monster group） とは最大のであり、その位数は である。・モンスターあるいは Friendly Giant と呼ばれることもある。 有限単純群は完全にされている。そのような群は18種類の可算無限族の1つに属するか、あるいはそのような系統的なパターンに従わない26個の散在群の1つである。モンスター群は他の散在群のうち6個を除くすべてをとして含む。 (Robert Griess) はこれら6個の例外を と呼び、他の20個を happy family と呼んでいる。 モンスターの良い構成的定義をすることはその複雑さのため難しい。.
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ライフゲーム
ペンタデカスロンと呼ばれるパターン ライフゲーム は1970年にイギリスの数学者ジョン・ホートン・コンウェイ が考案した生命の誕生、進化、淘汰などのプロセスを簡易的なモデルで再現したシミュレーションゲームである。単純なルールでその模様の変化を楽しめるため、パズルの要素を持っている。 生物集団においては、過疎でも過密でも個体の生存に適さないという個体群生態学的な側面を背景に持つ。セル・オートマトンのもっともよく知られた例でもある。.
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リチャード・ボーチャーズ
リチャード・ボーチャーズ リチャード・ユーウェン・ボーチャーズ (Richard Ewen Borcherds, 1959年11月29日 -) は、南アフリカ共和国ケープタウン出身のイギリスの数学者である。父は物理学者で、三人の兄弟のうち二人は同じく数学者、もう一人は自閉症を患っている。 コロンビア大学卒業後、ケンブリッジ大学でジョン・コンウェイのもと学位を取得。現在、カリフォルニア大学バークレー校の数学の教授を務めている。 頂点作用素代数の構成、ボーチャーズ積の構成 （無限積による直交群O_(\mathbb)上の保型形式の理論。さらにはモジュライ空間との関連）および ムーンシャイン予想の解決により、数学のノーベル賞と言われているフィールズ賞を1998年に受賞した。 1977年の国際数学オリンピックでは銀メダル、翌年の1978年では金メダルを獲得している。 アスペルガー症候群であることを公言している。診断は発達心理学者のサイモン・バロン＝コーエンによって行われたが「日常生活に支障はない」とされている。.
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リヴァプール
リヴァプール（Liverpool）は、イギリス・イングランド北西部マージーサイド州の中心都市である。面積は111.84平方キロメートル、2015年の人口は47万8580人。かつてはイギリスの主要な港湾都市であったが、世界的ロック・バンドであるザ・ビートルズの出身地であることから、いまでは観光都市として知られる。2008年の欧州文化首都の一つ。.
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ルール30
publisher.
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ルート系
数学において，ルート系（root system，système de racines）とはある幾何学的な性質を満たすユークリッド空間のベクトルの配置である．これはリー群やリー環の理論において基本的な概念である．リー群（や代数群のような類似物）やリー環は20世紀の間に数学の多くの部分で重要になってきたから，ルート系の一見すると特別な性質に反してそれらは多くの分野に応用される．さらに，ディンキン図形によるルート系の分類体系は（のような）リー理論とあからさまなつながりの全くない数学の分野において現れる．最後に，ルート系はにおけるように，それ自身重要である．.
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ルービックキューブ
ルービックキューブ（）はハンガリーの建築学者ルビク・エルネー（エルノー・ルービック）が考案した立体パズル。ルービックキューブの愛好家は日本ではキュービスト（）、日本国外ではキューバー（）と呼ばれる。 なお「ルービックキューブ」はメガハウスの登録商標であり、「Rubik's」はルービックス・ブランド社（イギリス）の登録商標である。.
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ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズによる楕円曲線に関するモジュラリティ定理の特殊な場合の数学的証明である。と組み合わせることでフェルマーの最終定理の証明を与える。フェルマーの最終定理とモジュラリティ定理は双方ともに当時の知識だけで証明することは現実的にほぼ不可能だと考えられており、同時代の数学者の多くは証明することは難しいと考えていた。 ワイルズは1993年6月23日水曜日、「モジュラー形式、楕円曲線およびガロワ表現（Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations.）」と題されたケンブリッジ大学の彼の講演にて最初に証明を発表した。しかし、1993年9月、この証明は誤りが含まれていることが判明した。1年後、1994年9月19日月曜日、ワイルズが 「（自身の）今までの職務においてもっとも重要な瞬間（"the most important moment of working life"）」と呼ぶアイデアを得た。彼はこれに関して「言い表し難いほど美しく…とてもシンプルでかつエレガント（"so indescribably beautiful...
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プリンプトン322
プリンプトン322 (Plimpton 322) とはバビロニア数学について記された粘土板の最も有名なものの1つである。呼び名の由来はコロンビア大学にあるG・A・プリンプトンの収集の粘土板の、第322番目のものであることからである。およそ50万ものバビロニアの粘土板が19世紀初めから発掘されてきたが、その内の数千のものが数学の性質についてのものだった。この粘土板は紀元前1800年頃に書かれたものとされ、4列15行の表にその時代の楔形文字で数字が記されている。 この粘土板は以前は主にピタゴラス数の表として解釈されてきたが、アメリカ数学協会 (MAA) (en:Mathematical Association of America) はこの解釈に異を唱え、新しい解釈を打ち立てた。この粘土板についての一般的な考察は、エレノア・ロブソン (2002)、ジョン・コンウェイとリチャード・ガイ (1996) を参照。ロブソン (2001) はこの粘土板の解釈について広く書誌学の観点からより詳細かつ専門的な議論をした。.
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プロプリズム
数学の 4 次元あるいはそれ以上の次元の幾何学において、プロプリズム（）とは、それぞれ次元が 2 あるいはそれ以上のポリトープの二つ以上のデカルト積によって生じるポリトープ（積多面体、積多胞体、積ポリトープ）のことを言う。pro-prism はジョン・ホートン・コンウェイによって、積角錐（product prism、角錐の直積）を表すために作られたかばん語である。プロプリズムの空間の次元は、その各直積因子の次元の総和と等しい。 より限定的な語であるやは、それぞれ 2 および 3 個のポリトープのデカルト積を表すものである。.
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ビーコン (ライフゲーム)
ビーコンは、ライフゲームに出現する振動子の1つである。周期は2で、出現率は1/400程度である。この出現率はブリンカーの約1/30で、振動子の中で3番目に高い。 この物体は、1970年にコンウェイによって発見された。.
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ファウルハーバーの公式
ファウルハーバーの公式（ファウルハーバーのこうしき、Faulhaber's formula）は、最初の n 個の ''k'' 乗数の和 を、ベルヌーイ数を用いて n の多項式で表す公式である。冪乗和についての研究をした、17世紀のドイツの数学者の名が冠されているが、ベルヌーイ数を発見して初めて公式を与えたのは関孝和およびヤコブ・ベルヌーイである。「ファウルハーバーの公式」という呼称は必ずしも一般的ではなく、ベルヌーイの公式、または内容を直接的に表現して冪乗和の公式などと呼ばれることもある参考文献コンウェイ・ガイ『数の本』や MathWorld では「ファウルハーバーの公式」である。一方、日本では固有名詞のように呼ばれることは少なく、荒川・金子・伊吹山『ベルヌーイ数とゼータ関数』では「べき乗和の公式」である。。.
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ドナルド・クヌース
ドナルド・エルビン・クヌース（Donald Ervin Knuth, 1938年1月10日 -）は数学者、計算機科学者。スタンフォード大学名誉教授。 クヌースによるアルゴリズムに関する著作 The Art of Computer Programming のシリーズはプログラミングに携わるものの間では有名である。アルゴリズム解析と呼ばれる分野を開拓し、計算理論の発展に多大な貢献をしている。その過程で漸近記法で計算量を表すことを一般化させた。 理論計算機科学への貢献とは別に、コンピュータによる組版システム TeX とフォント設計システム METAFONT の開発者でもあり、Computer Modern という書体ファミリも開発した。 作家であり学者であるクヌースは、文芸的プログラミングのコンセプトを生み出し、そのためのプログラミングシステム WEB / CWEB を開発。また、MIX / MMIX 命令セットアーキテクチャを設計。.
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ニール・スローン
ニール・ジェームズ・アレクサンダー・スローン（Neil James Alexander Sloane、1939年 - ）はアメリカの数学者である。主な研究分野は、組合せ論、誤り訂正符号および球の詰め込みである。また、オンライン整数列大辞典の創始者であることで有名である。.
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アレクサンダー多項式
数学におけるアレクサンダー多項式（あれきさんだーたこうしき、Alexander polynomial; アレクサンダー多項式）は、各種結び目に整数係数多項式を割り当てる結び目不変量である。アレクサンダー多項式は最初に発見されたで、1923年にが発見した。1969年にジョン・コンウェイは、この多項式（の、今日ではアレクサンダー・コンウェイ多項式と呼ばれている形）が、スケイン関係式を用いて計算できることを示した。1984年にジョーンズ多項式が発見されて初めて、アレクサンダー多項式の幾何学的な意味が明らかになった。また、コンウェイは、すぐにアレクサンダー多項式を再研究し、アレクサンダー自身の論文の中で、すでに同様の スケイン関係式 が示されていることを明らかにしている。.
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エルデシュ数
ルデシュ数（エルデシュすう、Erdős number）またはエルデシュ番号とは、数学者同士、あるいはもっと広く科学者同士の、共著論文による結び付きにおいて、ハンガリー出身の数学者ポール・エルデシュとどれだけ近いかを表す概念である。エルデシュに共著論文が非常に多いことから、その友人たちによって、敬意とユーモアを込めて考え出された。今日では科学者のコミュニティにおいてよく知られており、エルデシュと近いことが名誉であるかのように半ば冗談めいて語られる。.
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エージェント・ベース・モデル
ージェント・ベース・モデル（Agent-based model, ABM）は、コンピュータによるモデルの1種で、自律的なエージェント（個体であることもあれば、組織やグループのような集合体であることもある）の行為と相互作用を、それらがシステム全体に与える影響を評価するためにシミュレートするものである。ゲーム理論、複雑系、計算社会学、マルチエージェントシステム、進化的プログラミングの要素を取り入れている。ランダム性を導入するためにモンテカルロ法を用いる。個体ベースモデルと呼ばれることもある。 ABMは、複数のエージェントが同時に活動し、相互作用する状況をシミュレートすることによって、複雑な現象を再現し、予測することを目指す。ここで扱うプロセスは、システムの下位レベル（ミクロ）から上位レベル（マクロ）への創発現象の1つである。そのため、「単純な行動ルールが複雑な挙動を作り出す」ことが鍵となる。これはKISSの原則として知られる原則で、モデリングの分野ではよく採用されている。もう1つの中心原理は「全体は部分の総和を超える」である。個別のエージェントはふつう限定合理的で、発見的ルールか単純な意思決定ルールを用いて、繁殖、経済的利益、社会的地位など、彼らが自身の利害とみなすものを求めて行動すると想定される。ABMのエージェントは、「学習」したり、適応したり、繁殖したりすることがある。 ほとんどのエージェント・ベース・モデルは、次により構成される： (1) 様々なスケールで特定された多数のエージェント（エージェントの粒度）; (2) 発見的学習意思決定; (3) 規則の学習あるいは適応の過程; (4) 相互作用のトポロジー; (5) エージェント以外の環境。.
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エデンの園配置
1971年、R. Banks がライフゲームで発見した最初のエデンの園配置 かつてライフゲームでの最小のエデンの園配置とされていたパターン 2006年、最小と考えられていたパターン。明灰色のセルが以前のパターンから削除され、暗青色のセルが追加されている。 エデンの園配置（エデンのそのはいち、英: Garden of Eden pattern）とは、セル・オートマトンにおいて他のいかなる配置からも到達できない配置を指す。以前の状態が存在しない、つまり最初からそのように配置しない限り出現しないということから、聖書のエデンの園にちなんで命名された。 Moore (1962) によれば、1950年代にジョン・テューキーが命名したもので、これはジョン・ホートン・コンウェイがライフゲームを発明するずっと前のことである。.
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グライダー銃
ライダー銃 グライダー銃 (glider gun) とは、ライフゲームにおける繁殖型のパターンのひとつで、「グライダー」を永遠に打ち出し続ける。広義にはそのような、グライダーを打ち出し続けるパターンの総称である。さらに広義には、ライフゲームおよびセル・オートマトンにおいて一般に、広義の宇宙船を、自身は移動せずに、永遠にくりかえし打ち出し続ける物体を銃と呼ぶ。 2つのシャトルが2つのブロックに挟まれた配置を取る。シャトル同士は中央で干渉し、30単位時間ごとにグライダーを発射しながら際限なく成長する。この物体が自然にできる可能性は限りなく0に近いが、エデンの園配置ではないので生成する可能性はある（後述）。.
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ケンブリッジ大学の人物一覧
ンブリッジ大学の人物一覧（ケンブリッジだいがくのじんぶついちらん）は、ケンブリッジ大学の教員・卒業生等の一覧である。.
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コンウェイ
ンウェイ（Conway）.
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コンウェイのチェーン表記
ンウェイのチェーン表記とは、1995年にイギリスの数学者ジョン・ホートン・コンウェイによって導入された巨大数の表記法の一つである。.
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コンウェイ多項式
ンウェイ多項式（たこうしき、Conway polynomial）とは、スケイン関係式によって帰納的に計算される絡み目の（一変数）多項式不変量である。 ここでは、絡み目のダイアグラム K に関する変数zのコンウェイ多項式を P(K) で表そう。 まず自明な結び目に対しては、そのコンウェイ多項式は 1 と定める。コンウェイ多項式が満たすスケイン関係式は次のようになる； 言葉で述べれば、ある交点において正の交点をもつダイアグラム（正則表示）の多項式から、その交点を負の交点にしたできたダイアグラムの多項式を引いたものは、その交点を円滑化してできたダイアグラムの多項式に z をかけたものに等しい。 特に、コンウェイ多項式は負のべきを含まない多項式であることがわかる。 1970年ごろに、ジョン・ホートン・コンウェイによって発見された。変数変換をすれば本質的にアレキサンダー多項式に等しい； として変換すると、変数 t に関するアレキサンダー多項式と等しくなる。このため、両者をまとめてアレキサンダー－コンウェイ多項式と呼ぶこともある。コンウェイ自身はスケイン関係式を発見したが証明しなかったようで、ルイス・カウフマンがザイフェルト行列を用いて初めて証明したようだ。 量子不変量の観点からは、コンウェイ多項式はリー超代数 gl(1|1) から導かれる不変量の特殊値である。.
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ゴンヴィル・アンド・キーズ・カレッジ
Gate of Honour, Gonville & Caius College ゴンヴィル・アンド・キーズ・カレッジ(Gonville and Caius College)とは、ケンブリッジ大学のカレッジの一つ。1348年ゴンヴィル・ホールとして創立。1557年ジョン・キーズによって再創立された。医学に伝統と高い評判のあるカレッジ。.
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シャトル (ライフゲーム)
ャトル (shuttle) とは、ライフゲームにおける物体の1つである。単独で存在する場合最後には別の形になってしまうが、適切な物体と組み合わせることによって振動子や繁殖型にすることができる。 自然に生まれることもあるが、グライダー銃の部品として意図的に配置・生成されることも多い。.
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シュシュポッポ列車
ュシュポッポ列車 は、ライフゲームに出てくる繁殖型のパターンの1つ。移動するときに煙のように物体を残して自分自身は進んでいく。複数形では単にpuffersとも言う。 狭義では、最初に見つけられた、Bヘプトミノを軽量級宇宙船で護衛する形の機関車 によるパターン（後述）のことを指す。広義には、ライフゲームおよびセル・オートマトンにおいて一般に、物体を残しながら動くパターンをこう呼ぶ。 コンウェイが、際限なく成長するパターンが存在するならこのようなものであろう、とした3タイプのうちの1つで、もう1つはグライダー銃であり、最後の1つはその両方である「グライダーを打ち出すシュシュポッポ列車」ないしは「移動する銃」のようなものである。 （日本語では、「汽車ポッポ」と呼ぶ場合もある。ただしスイッチ機関車のパターンを「汽車ポッポ」と呼んでいる文献もある）.
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ジェネレーティブアート
ェネレーティブアート（Generative Art）は、コンピュータソフトウェアのアルゴリズムや数学的/機械的/無作為的自律過程によってアルゴリズム的に生成・合成・構築される芸術作品を指す。コンピュータの計算の自由度と計算速度を活かし、自然科学で得られた理論を実行することで、人工と自然の中間のような、統一感を持った有機的な表現を行わせる作品が多い。 ジェネレーティブアートは、創作方法として自然科学的なシステムを主体として用いた芸術である。前提として、自律的に動作する機構を設計して作品制作を行わなければならない点が、他の芸術分野との違いであると言える。システムによる作品は、複雑系や情報理論といった科学理論を実行することがある。ジェネレーティブアートで構築されるシステムは、科学の各分野で見られるシステムと良く似ている。そのようなシステムは、カオスの縁において、複雑性の度合いを時間経過に従って変化させ、カオスと秩序の間を行き来することで予測困難な挙動を見せる。しかし、そのシステム自体は決定論的に動作する。ヴォルフガング・アマデウス・モーツァルトの "Musikalisches Würfelspiel"（音楽のさいころ遊び）1757 はランダム性に基づいたジェネレーティブなシステムの初期の例である。その構造は一方では秩序の要素に基づき、もう一方では無秩序の要素に基づいている。 制作者には高度に数学的なイメージ能力と、複雑なアルゴリズムの考案・実装技術が要求されるため、参入の敷居は高い。数式やアルゴリズムの扱いに長けた理系分野在籍者が、この分野の作品に触れた事が切っ掛けで強い魅力を感じて参入する分野でもある。アーティストまたはクリエイターは、ある基本原則や数式やテンプレートなどの素材を用意し、無作為または半無作為のプロセスが作用するよう加工する。多くの作品では、その基本原則においても、要素となる理論間で影響を与え合うシステムを構築することにより、単純な要素の線形な加算合成だけでは得られないような複雑な表現を可能にしている。その結果は設定された限度内にある程度とどまるが、微妙かつ大胆な変化を発生する傾向もある。既存の芸術作品などを元にして芸術創作活動を行うという考え方はジェネレーティブアートの重要な要素の1つであり、そのプロセス指向の基本的性質を表している。ハンス・ハーケ（Hans Haacke）らは、芸術活動に物理的かつ生物的システムのプロセスを導入してきた。 ジェネレーティブアートではリアルタイム性を導入する場合もあり、フィードバックと生成プロセスを作品の現在状態に適用して時々刻々変化させたりする。このような作品は同じ状態を再び目にすることはない。デモシーンやビデオジョッキー文化などではリアルタイム性のあるジェネレーティブなオーディオビジュアル作品の創作に様々なグラフィカルプログラミング環境（例えば、Max/Msp、Pure Data）を利用する。 人工知能と自動化された「振る舞い」がジェネレーティブアートの新たな手段として導入されている。ケン・リナルド（Ken Rinaldo）の Autopoiesis では、15体の音楽的でロボット的な彫像が周囲との相互作用によって振る舞いを変化させていく。 ジェネレーティブアートは芸術運動やイデオロギーではない。単なる創作手法の1つであり、作品の意図や内容には関係しない。 2000年代のProcessing登場まで、創作内容の本質のみに集中できるようなプログラミング環境が整備されていなかったことが原因で、未だに一般的な創作手法とは言い難い状況にある。2010年代の各種広告媒体(Webサイトやデジタルサイネージ等)やイベントにおけるメディアアートの隆盛や、芸術系の学校教育におけるProcessingやopenFrameworksの普及も相まって、これからの発展が期待される分野である。.
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スティール賞
リロイ・スティール賞 (Leroy P. Steele Prizes) は、アメリカ数学会から贈られる数学の学術賞。 「スティール賞」と略して呼ばれることが多い。1970年に創設され、1993年以降は「生涯の業績部門」「研究論文部門」「独創的研究部門」の3部門が設けられるようになった。受賞者は、原則として国籍と関係がないが、米国において活動しており、英語による研究業績が求められる。 現在の賞金は「生涯の業績部門」が10,000米ドル、「研究論文部門」と「独創的研究部門」が5,000米ドル。リロイ・スティールの遺産を基金としている。.
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スイッチ機関車 (ライフゲーム)
ライフゲームにおけるスイッチ機関車（スイッチきかんしゃ、switch engine。入換機関車のこと）は、8セルからなる長寿型の一種である。他の物体と組み合わせることでシュシュポッポ列車や移動物体になる。.
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スカラーペディア
ラーペディア（Scholarpedia）は、無料で閲覧できる査読制度つきオンライン百科事典。力学系、計算知能、計算論的神経科学、天体物理学などの物理、応用数学、生命科学分野を扱っている。2006年2月1日にプロジェクトがスタートし、2015年3月6日現在の記事数は2,341本。記事の執筆は、ノーベル賞受賞者やフィールズ賞受賞者をはじめとした、各界第一線の研究者たちによって行われている。.
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セル・オートマトン
Daniel Dennett (1995), ''Darwin's Dangerous Idea'', Penguin Books, London, ISBN 978-0-14-016734-4, ISBN 0-14-016734-X セル・オートマトン（cellular automaton、略称：CA）とは、格子状のセルと単純な規則による、離散的計算モデルである。計算可能性理論、数学、物理学、複雑適応系、数理生物学、微小構造モデリングなどの研究で利用される。非常に単純化されたモデルであるが、生命現象、結晶の成長、乱流といった複雑な自然現象を模した、驚くほどに豊かな結果を与えてくれる。 正確な発音に近いセルラ・オートマトンとも呼ばれることがある。セルは「細胞」「小部屋」、セルラは「細胞状の」、オートマトンは「からくり」「自動機械」を意味する。他に「セル空間」「埋め尽くしオートマトン」「homogeneous structure」「tessellation structure」「iterative array」といった呼称もある。 有限種類の（多くは2から数十種類の）状態を持つセル（細胞のような単位）によってセル・オートマトンは構成され、離散的な時間で個々のセルの状態が変化する。その変化は、ある時刻 t においてのセルの状態、および近傍のセルの内部状態によって、次の時刻t+1 、すなわち新たな「ジェネレーション」（世代）での各セルの状態が決定される。初期状態（時刻 t.
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ソーマキューブ
ーマキューブで作られた立方体 ソーマキューブは、ピート・ハイン（Piet Hein）が考案した、7つの立体のピースを3×3×3の立方体に組む箱詰めパズルである。本来の立方体を作るという目的のほかに、7片でさまざまな形を作れることから、3次元版のタングラムと呼ばれることもある。 ピート・ハインはこのパズルをヴェルナー・ハイゼンベルクの量子力学の講義中に考えた。 ソーマの名称の由来には諸説あり、オルダス・ハックレーの小説『Brave New World』に登場する架空の薬に由来するとも、その元となった神話上に登場するソーマに由来するとも言われる。.
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タングル
数学の分野において、タングル (tangle) は結び目の一部分を切り取って得られるような幾何的対象のことである。通常次の二種類のいずれかを指す。.
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八元数
数学における八元数（はちげんすう、octonions; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の 𝕆）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性である冪結合律は満足する。 より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。 八元数は、ハミルトンの四元数の発見に刺激を受けたジョン・グレイヴスによって1843年に発見され、グレイヴスはこれを octaves と呼んだ。それとは独立にケイリーも八元数を発見しており、八元数のことをケイリー数、その全体をケイリー代数と呼ぶことがある。.
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八芒星
幾何学において、八芒星（英語：Octagram オクタグラム）は、八つの角を持つ星型多角形である。 オクタグラムは、ギリシャ語の倍数接頭辞で八を意味する octa- と、「線」を意味するギリシャ語γραμμή (grammḗ)から来た接尾辞-gramを組み合わせた語である。.
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共有知識
共有知識 (きょうゆうちしき、common knowledge) とは、エージェントの集団における特殊な知識のひとつ。エージェントの集団 G で p が共有知識であるとは、G に属するエージェント全員が p を知っていて、また「全員が p を知っている」ということを全員が知っていて、また「『全員が p を知っている』ということを全員が知っている」ということを全員が知っていて、というように際限なく続くときをいうOsborne, Martin J., and Ariel Rubinstein.
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図形数
正方形に対応する四角数 図形数（ずけいすう、）とは、一定の規則で図形状に並べられた点の個数として表される自然数の総称である。その歴史は、古代ギリシアのピタゴラス学派が「万物は数である」との思想のもと、図形と数を結び付けたところにまで遡る。例えば、図形として正方形を考えると、数としては平方数を得る。平方数を図形数として見るときには、これを特に「四角数」と呼ぶ。.
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四元数
数学における四元数（しげんすう、quaternion（クォターニオン））は複素数を拡張した数体系である。四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、三次元空間の力学に応用された。四元数の特徴は、二つの四元数の積が非可換となることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。 一般に、四元数は の形に表される。ここで、 a, b, c, d は実数であり、i, j, k は基本的な「四元数の単位」である。 四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいてでも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。 現代数学的な言い方をすれば、四元数の全体は実数体上四次元の結合的ノルム多元体を成し、またそれゆえに非可換整域となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H（あるいは黒板太文字でユニコードの Double-Struck Capital H, U+210D, ）と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数の分類に従って というクリフォード代数として定義することもできる。この代数 は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば は実数の全体 を真の部分環として含む有限次元可除環の二種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数の全体 ）だからである。 従って、単位四元数は三次元球面 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 を与える。これは に同型、あるいはまた の普遍被覆に同型である。.
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素数
素数（そすう、prime number）とは、 より大きい自然数で、正の約数が と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が である自然数と言い換えることもできる。 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。 一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される（そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる）。このため、有理整数環 \mathbb Z での素数は有理素数（ゆうりそすう、rational prime）と呼ばれることもある。 最小の素数は である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる。 素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のユークリッドの著書『原論』で既に証明されていた。 自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。 分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。2018年1月現在で知られている最大の素数は、2017年12月に発見された、それまでに分かっている中で50番目のメルセンヌ素数 であり、十進法で表記したときの桁数は2324万9425桁に及ぶ。.
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繁殖型 (ライフゲーム)
繁殖型の例 (グライダー銃) ライフゲームにおける繁殖型 (infinite growth) とは、セルが無限にあれば無限に増え続ける物体である。 最小の繁殖型は、10ピクセルである。また、繁殖型は、自然生成する確率はゼロに近い。 最初に発見されたパターンは右のグライダー銃である。.
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無限小
数学における無限小（むげんしょう、infinitesimal）は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である。無限小に関して実証的に観察されることは、それらが定量的にいくら小さかろうと、角度や傾きといったある種の性質はそのまま有効であることである。 術語 "infinitesimal" は、17世紀の造語 infinitesimus（もともとは列の「無限番目」の項を意味する言葉）に由来し、これを導入したのは恐らく1670年ごろ、メルカトルかライプニッツである。無限小はライプニッツがやなどをもとに展開した無限小解析における基本的な材料である。よくある言い方では、無限小対象とは「可能な如何なる測度よりも小さいが零でない対象である」とか「如何なる適当な意味においても零と区別することができないほど極めて小さい」などと説明される。故に形容（動）詞的に「無限小」を用いるときには、それは「極めて小さい」という意味である。このような量が意味を持たせるために、通常は同じ文脈における他の無限小対象と比較をすること（例えば微分商）が求められる。無限個の無限小を足し合わせることで積分が与えられる。 シラクサのアルキメデスは、自身の （機械的定理証明法）においてと呼ばれる手法を応分に用いて領域の面積や立体の体積を求めた。正式に出版された論文では、アルキメデスは同じ問題を取り尽くし法を用いて証明している。15世紀にはニコラウス・クザーヌスの業績として（17世紀にはケプラーがより詳しく調べているが）、特に円を無限個の辺を持つ多角形と見做して円の面積を計算する方法が見受けられる。16世紀における、任意の実数の十進表示に関するシモン・ステヴィンの業績によって、実連続体を考える下地はすでにでき上がっていた。カヴァリエリの不可分の方法は、過去の数学者たちの結果を拡張することに繋がった。この不可分の方法は幾何学的な図形を 1 の量に分解することと関係がある。ジョン・ウォリスの無限小は不可分とは異なり、図形をもとの図形と同じ次元の無限に細い構成要素に分解するものとして、積分法の一般手法の下地を作り上げた。面積の計算においてウォリスは無限小を 1/∞ と書いている。 ライプニッツによる無限小の利用は、「有限な数に対して成り立つものは無限な数に対しても成り立ち、逆もまた然り」有限/無限というのは個数に関して言うのではない（有限個/無限個ではない）ことに注意せよ。ここでいう「有限」とは無限大でも無限小でもないという意味である。や（割り当て不能な量を含む式に対して、それを割り当て可能な量のみからなる式で置き換える具体的な指針）というような、経験則的な原理に基づくものであった。18世紀にはレオンハルト・オイラーやジョゼフ＝ルイ・ラグランジュらの数学者たちによって無限小は日常的に使用されていた。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは自身の著書 （解析学教程）で、無限小を「連続量」(continuity) ともディラックのデルタ函数の前身的なものとも定義した。カントールとデデキントがスティーヴンの連続体をより抽象的な対象として定義したのと同様に、は函数の増大率に基づく「無限小で豊饒化された連続体」(infinitesimal-enriched continuum) に関する一連の論文を著した。デュ・ボア＝レーモンの業績は、エミール・ボレルとトアルフ・スコーレムの両者に示唆を与えた。ボレルは無限小の増大率に関するコーシーの仕事とデュ・ボア＝レーモンの仕事を明示的に結び付けた。スコーレムは、1934年に最初の算術の超準モデルを発明した。連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された（ロビンソンは1948年にが、および1955年にが成した先駆的研究に基づき超準解析を展開した）。ロビンソンの超実数 (hyperreals) は無限小で豊饒化された連続体の厳密な定式化であり、がライプニッツの連続の法則の厳密な定式化である。また、はフェルマーの (adequality, pseudo-equality) の定式化である。 ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている.
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階差数列
階差数列（かいさすうれつ、progression of differences, sequence of differences）とは、ある数列に対し、隣り合う項の差をとることによってできる新たな数列のことである。数列の規則性が見えにくい場合でも、階差数列を考えることにより元の数列の素性が分かりやすくなる場合がある。.
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魔方陣
方陣（まほうじん、英：Magic square）とは、 個の正方形の方陣に数字を配置し、縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるもののことである。特に1から方陣のマスの総数 までの数字を1つずつ過不足なく使ったものを言う。 このときの一列の和は、 と計算できる。.
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象限
数学の幾何学において、象限（しょうげん、）あるいは超八分儀（）とは、平面における四分儀（）あるいは三次元における八分儀などのようなもので、-次元ユークリッド空間において定義される。 一般に、-次元象限は 個の相互直交である。半空間の符号を置換することで、-次元空間には 個の象限が存在する。 より具体的に、 内の閉象限（）は、各デカルト座標系を非負あるいは非正に制限することで定義される部分集合である。そのような部分集合は、次の不等式の系として定義される： ここで各 εi は +1 か −1 のいずれかである。 同様に、 内の開象限（）は、狭義の不等式 の系として定義される。ここで各 εi は +1 か −1 のいずれかである。 次元によって、次のように呼ばれる：.
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長寿型 (ライフゲーム)
どんぐり） ライフゲームおよびセル・オートマトンにおける長寿型（ちょうじゅがた）とは、長い世代にわたって不規則な変化を続ける物体の総称である。英語ではメトセラ (Methuselah) と呼ばれるが、これは旧約聖書に登場する長寿の人物に由来している。 「長い世代」の具体的な長さは決まっていないが、マーティン・ガードナーは「10セル以下の初形から50世代以上」という基準をあげている。現在では、20×20の範囲内の初形から数万世代にわたって変化を続けるものが複数発見されている。.
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J-不変量
数学では、複素変数 τ の函数としたときのフェリックス・クライン(Felix Klein)の j-不変量 (j-invariant)、（もしくは、j-函数と呼ぶこともある）とは、複素数の上半平面上に定義された のウェイト 0 のモジュラー函数を言う。j-不変量は、 であり尖点（カスプ）で一位の極を持つ以外は正則な、一意的な函数である。 の有理函数はモジュラーであり、実はすべてのモジュラー函数を与える。古典的には、-不変量は 上の楕円曲線のパラメータ化として研究されていたが、驚くべきことに、モンスター群の対称性との関係を持っている（この関係はモンストラス・ムーンシャインと呼ばれる）。 j\left(e^\right).
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極限順序数
集合論およびにおける極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、limit ordinal）は でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 が極限順序数であるための必要十分条件は「 より小さい順序数が存在して、順序数 が より小さい限り別の順序数 が存在して によって の形に書ける順序数。つまり、カントール標準形において末項としての有限な数を持たない非零順序数。.
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有限単純群の分類
有限単純群の分類 とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。 これらの群は、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。 この分類定理の証明は、主に1955年から2004年に渡り出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。 (d.1992) と、らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。.
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1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
数学において、無限級数 − + − + … は絶対収束する交項級数の簡単な例である。 これは初項 2、公比 − の等比数列であり、その和は以下のようになる。.
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12月26日
12月26日（じゅうにがつにじゅうろくにち）はグレゴリオ暦で年始から360日目（閏年では361日目）にあたり、年末まであと5日ある。.
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