ポアンカレの補題と可微分多様体間の類似点
ポアンカレの補題と可微分多様体は(ユニオンペディアに)共通で7ものを持っています: 単連結空間、多様体、外微分、微分形式、ユークリッド空間、ド・ラームコホモロジー、ベクトル場。
単連結空間
連結であるが、穴のまわりを1周するループを考えればわかるように単連結ではない。穴を全てふさげば単連結となる。 位相幾何学における単連結空間(たんれんけつくうかん、simply connected space)とは、任意のループを連続的に1点に収縮できるような弧状連結空間のことである。.
ポアンカレの補題と単連結空間 · 単連結空間と可微分多様体 ·
多様体
多様体(たようたい、manifold, Mannigfaltigkeit)とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間(位相空間)のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。.
外微分
可微分多様体上、外微分(がいびぶん、exterior derivative)は関数の微分の概念を高次の微分形式に拡張する。外微分はエリ・カルタンによって最初に現在の形式で記述された。それによってベクトル解析のストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理の自然な、距離に依存しない一般化ができる。 形式を無限小 次元平行面体を通る流量を測るものと考えれば、その外微分を -平行面体の境界を通る正味の流れを測るものと考えることができる。.
微分形式
数学における微分形式(びぶんけいしき、differential form)とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。.
ユークリッド空間
数学におけるユークリッド空間(ユークリッドくうかん、Euclidean space)は、エウクレイデス(ユークリッド)が研究したような幾何学(ユークリッド幾何学)の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や(三次元)ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、(標準的なモデルを与えるものという意味で)しばしば とかかれるが、(余分な構造を想起させない)ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.
ポアンカレの補題とユークリッド空間 · ユークリッド空間と可微分多様体 ·
ド・ラームコホモロジー
ド・ラームコホモロジー(de Rham cohomology)とは可微分多様体のひとつの不変量で、多様体上の微分形式を用いて定まるベクトル空間である。多様体の位相不変量である特異コホモロジーとド・ラームコホモロジーは同型になるというド・ラームの定理がある。.
ド・ラームコホモロジーとポアンカレの補題 · ド・ラームコホモロジーと可微分多様体 ·
ベクトル場
ベクトル場(ベクトルば、vector field)とは、数学において、幾何学的な空間の広がりの中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場はユークリッド空間 Rn (またはその開集合)からベクトル空間 Rn への関数として与えられる。(局所的な)座標系のもとでベクトル場を表示するときは座標に対してベクトルを与えるような関数を考えることになるが、座標系を変更したときにこの関数は一定の規則に従って変換を受けることが要請される。 ベクトル場の概念は物理学や工学においても積極的にもちいられ、例えば動いている流体の速さと向きや、磁力や重力などの力の強さと向きなどが空間的に分布している状況を表すために用いられている。 現代数学では多様体論にもとづき、多様体上の接ベクトル束の断面として(接)ベクトル場が定義される。.
上記のリストは以下の質問に答えます
- 何ポアンカレの補題と可微分多様体ことは共通しています
- 何がポアンカレの補題と可微分多様体間の類似点があります
ポアンカレの補題と可微分多様体の間の比較
可微分多様体が176を有しているポアンカレの補題は、21の関係を有しています。 彼らは一般的な7で持っているように、ジャカード指数は3.55%です = 7 / (21 + 176)。
参考文献
この記事では、ポアンカレの補題と可微分多様体との関係を示しています。情報が抽出された各記事にアクセスするには、次のURLをご覧ください: