ヘルマン・ワイルと表現 (数学)

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ヘルマン・ワイルと表現 (数学)の違い

ヘルマン・ワイル vs. 表現 (数学)

ヘルマン・クラウス・フーゴー・ワイル（, 1885年11月9日 - 1955年12月8日）は、ドイツの数学者。ドイツ語の発音に従ってヴァイルとも表記される。 数論を含む純粋数学と理論物理学の双方の分野で顕著な業績を残した。20世紀において最も影響力のある数学者であるとともに、初期のプリンストン高等研究所の重要なメンバーであった。研究の大半はプリンストンとスイス連邦工科大学で行われたものであったが、ダフィット・ヒルベルトとヘルマン・ミンコフスキーによって確立されたゲッティンゲン大学の数学の伝統の継承者でもあった。 ワイルは空間、時間、物質、哲学、論理、対称性、数学史など、多岐に渡る分野について多くの論文と著書を残した。彼は一般相対性理論と電磁気学を結び付けようとした最初の人物の一人であり、アンリ・ポアンカレやヒルベルトの唱えた'普遍主義'について、同時代の誰よりも深く理解していた。特にマイケル・アティヤは、数学上の問題に取り組む際、常にワイルが先行する研究を行っていたと述懐している。 アンドレ・ヴェイユ と名前がよく似ているため、. 数学における表現（ひょうげん、representation, Darstellung）とは、ある体系に対してそれを類型的に書き表すことのできる数理モデルを構成すること、あるいは構成されたモデルそのもののことを言う。公理によって定義される抽象空間、たとえばユークリッド空間のようなものに座標を入れて数の組からなる空間 Rn と見なしたり、たとえば抽象群のようなものをある具体的な空間上の変換群として表すような、扱いやすさ・具体性を増すようなものが通常は扱われる。 線型写像の行列による表現（行列表現）や、群の置換による表現（置換表現）などは典型的な表現の例である。とくに、ガロア理論（ガロアの逆問題）はガロア群を根の置換として表すという意味で表現の理論の一つであるということができる。また ''p'' 進数の概念は類体論の研究において代数関数の類似物として有理数を“表現”することによってクルト・ヘンゼルが得たものである。 構成される表現は多くの場合、もとの体系に対して何らかの意味で「潰れている」。潰れていない表現は忠実 (faithful) であるとか同型的 (isomorphic) であるなどという。忠実な表現はもちろん重要であるが、一般にはある体系の表現の全体というものを考えることによってもとの体系を「復元」することが興味の対象となる。したがって、表現の分類によってもとの体系を特徴付けることが、表現に関する理論の研究の大きな指針の一つとなる。あるいは表現の仕方に依らずに決まる性質を抽出することによって元の体系の分類を与えるようなことも考えられる。 一般に表現論と呼ばれる分野では、典型的に群や環などといった代数系（一般にはリー群やリー環のような位相を伴う系）の線型空間・射影空間あるいはもっと一般の加群などにおける表現（線型表現・射影表現）が取り扱われる。これはつまり、作用を持つ加群の理論である。そこでは抽象的な群・環を線型写像の成す群・環として、とくに有限次元空間における表現はさらに行列によって、書き表されることになり、古典群と呼ばれる一般線型群の代数的な部分群・商群たちやその上の調和解析が、関数解析学や組合せ論などの言葉を用いて展開される。線型表現などでは特に、空間に係数が考えられるため、係数の取替えによる類似の議論や類似物の構成がしばしば行われるが、標数 0 の場合の通常表現や正標数の場合のモジュラー表現などを比較すると、それらの様子は大きく変わってくる。.

リー代数

数学において、リー代数、もしくはリー環日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、後述の Lie ring はより一般的な概念である。本項ではこの2つの用語を区別して用いる。は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 を備えたベクトル空間である。 の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算がであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群がによる違いを除いて一意的に存在する（）。このによってリー群をリー代数によって研究することができる。.

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空間

間（くうかん）とは、.

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数学

数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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