ドナルドソンの定理と可微分多様体間の類似点
ドナルドソンの定理と可微分多様体は(ユニオンペディアに)共通で7ものを持っています: 単連結空間、位相同型、位相多様体、マイケル・フリードマン、サイモン・ドナルドソン、行列の階数、4次元多様体。
単連結空間
連結であるが、穴のまわりを1周するループを考えればわかるように単連結ではない。穴を全てふさげば単連結となる。 位相幾何学における単連結空間(たんれんけつくうかん、simply connected space)とは、任意のループを連続的に1点に収縮できるような弧状連結空間のことである。.
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位相同型
位相同型 (いそうどうけい、homeomorphic)、あるいは同相(どうそう)とは、2つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」な双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップの表面も同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は位相幾何学的に全く同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球面とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。(直観的には、連続的な変形によって穴の個数が変化することはないということである。) ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。.
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位相多様体
位相幾何学という数学の分野において,位相多様体(いそうたようたい,topological manifold)とは,以下に定義される意味で実 次元空間に局所的に似ている(分離空間でもある)位相空間である.位相多様体は数学全般に応用を持つ位相空間の重要なクラスをなす. 「多様体」は位相多様体を意味することもあるし,より多くは,追加の構造を持った位相多様体を指す.例えば可微分多様体は可微分構造を備えた位相多様体である.任意の多様体は,単に追加の構造を忘れることによって得られる,台となる位相多様体を持つ.多様体の概念の概観はその記事に与えられている.この記事は純粋に多様体の位相的側面に焦点を当てる..
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マイケル・フリードマン
マイケル・ハートレー・フリードマン(Michael Hartley Freedman, 1951年4月21日 - )はアメリカ合衆国の数学者。主に合衆国西部のカリフォルニア州と東部のニュージャージー州プリンストンにおいて活動。 トポロジー(位相幾何学)における難問とされるポアンカレ予想が四次元において成立することを証明したことで知られており、1986年にフィールズ賞を授与された。 現在はマイクロソフト社の研究機関マイクロソフトリサーチに所属し、量子コンピュータの開発に携わる。.
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サイモン・ドナルドソン
イモン・ドナルドソン(Simon Kirwan Donaldson, 1957年8月20日 - )は、イギリスの数学者。専門は代数幾何学、微分幾何学、大域解析学。 ケンブリッジ生まれ。ケンブリッジ大学とオックスフォード大学で数学を学ぶ。プリンストン高等研究所、オックスフォード大学を経て、現在インペリアル・カレッジ・ロンドン教授。マイケル・アティヤとナイジェル・ヒッチンの弟子。 1982年に四次元ユークリッド空間において異種微分構造が存在することを、Yang-Millsゲージ理論を用いて示し、当時の数学界に衝撃を与えた。この業績により1986年にフィールズ賞を受賞した。1986年王立協会選出。.
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行列の階数
線型代数学における行列の階数(かいすう、rank; ランク)は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。 例えば、行列 の階数 (あるいは または丸括弧を落として )は、 の列空間(列ベクトルの張るベクトル空間)の次元に等しく、また の行空間の次元とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。.
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4次元多様体
数学において、4次元多様体 (4-manifold) は 4次元の位相多様体である。滑らかな4次元多様体 (smooth 4-manifold) は、をもつ 4次元多様体である。4次元では、低次元では注目すべき対比があり、位相多様体と滑らかな多様体の間で大きな差異がある。滑らかな構造を持たない 4次元多様体が存在し、たとえ、滑らかな構造が存在したとしても、一意であるとは限らない(すなわち、同相であるが微分同相ではない滑らかな多様体が存在する。.
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ドナルドソンの定理と可微分多様体の間の比較
可微分多様体が176を有しているドナルドソンの定理は、13の関係を有しています。 彼らは一般的な7で持っているように、ジャカード指数は3.70%です = 7 / (13 + 176)。
参考文献
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