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56 関係: 多重劣調和函数、多様体、外積、完備距離空間、宇宙定数、小平の埋め込み定理、射影空間、代数多様体、微分幾何学、微分形式、チャーン類、ポアンカレの補題、ポアソン多様体、ユークリッド空間、ラプラス作用素、リーマン多様体、リーマン形式、リーマン面、リッチ平坦多様体、リッチテンソル、レヴィ・チヴィタ接続、フビニ・スタディ計量、ホモトピー、ホッジ双対、ホッジ理論、ベルグマン計量、ベッチ数、アルベルト・アインシュタイン、アンドレ・ヴェイユ、アインシュタイン多様体、エルミート多様体、エルミート形式、エーリッヒ・ケーラー、カラビ予想、カラビ・ヤウ多様体、クリストッフェル記号、ケンブリッジ大学出版局、ケーラー・アインシュタイン計量、コンパクト、コホモロジー、シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア、シュタイン多様体、シンプレクティック多様体、セール双対性、複素多様体、複素微分形式、計量テンソル、超ケーラー多様体、閉微分形式、K3曲面、...、格子 (数学)、概複素構造、標準束、断面曲率、数学、曲率形式。 インデックスを展開 (6 もっと) »
多重劣調和函数
数学において多重劣調和函数（たじゅうれつちょうわかんすう、）は、複素解析において用いられるある重要な函数のクラスを形成する。しばしば psh、plsh あるいは plush 函数と略される。ケーラー多様体上で、多重劣調和函数は劣調和函数の部分集合を形成する。しかし、（リーマン多様体上で定義される）劣調和函数とは異なり、多重劣調和函数は複素解析空間上で完全な一般性をもって定義される。.
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多様体
多様体（たようたい、manifold, Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。.
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外積
外積（がいせき）とは、.
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完備距離空間
位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。 直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。.
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宇宙定数
宇宙定数（うちゅうていすう、）は、アインシュタインの重力場方程式の中に現れる宇宙項（うちゅうこう）の係数。宇宙定数はスカラー量で、通常Λ（ラムダ）と書き表される。.
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小平の埋め込み定理
数学において、小平の埋め込み定理（こだいらのうめこみていり、Kodaira embedding theorem）は、コンパクトなケーラー多様体の中で、複素数体上の非特異射影多様体を特徴付ける。要するに小平の埋め込み定理は、ちょうどどんな複素多様体が斉次多項式により定義されるのかを言っている． 小平邦彦の結果は、ホッジ計量を持つコンパクトケーラー多様体 M は、ある十分に大きい次元 N の複素射影空間の中へ複素解析的に埋め込む事ができるという定理である。ここに、ホッジ計量を持つとは、ケーラー形式 ω により定義される 2 次のコホモロジー類が整係数コホモロジーであることを意味する。M が代数多様体として埋め込まれるという事実は、周の定理によりコンパクト性から従う。ホッジ計量を持つケーラー多様体は、（にちなみ）ホッジ多様体と呼ばれることもある。従って、小平の結果は、ホッジ多様体は射影的であると述べている。逆、すなわち射影多様体はホッジ多様体であることは、より基本的であり、以前から知られていた。.
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射影空間
射影空間（しゃえいくうかん、projective space） とは、その次元が n であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。非ユークリッド幾何学のひとつである射影幾何学がその概念の端緒であるが、射影空間は位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学など幾何学のあらゆる分野にわたって非常に重要な概念である。.
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代数多様体
代数多様体（だいすうたようたい、algebraic variety）は、最も簡略に言えば、多変数の連立多項式系の解集合として定義される図形と述べる事が出来る。代数幾何学の最も主要な研究対象であり、デカルトによる座標平面上の解析幾何学の導入以来、多くの数学者が研究してきた数学的対象である。主にイタリア学派による射影幾何学的代数多様体、代数関数論およびその高次元化に当たるザリスキおよびヴェイユによる付値論的抽象代数多様体などの基礎付けがあたえられたが、20世紀後半以降はより多様体論的な観点に立脚したスキーム論による基礎付けを用いるのが通常である。 本項では、スキーム論的な観点に立ちつつ、スキーム論を直接用いず代数多様体を定義しその性質について述べる。また議論を簡潔にするのため特に断らない限り体 k は代数的閉体であると仮定する（体 k が代数的閉であるという条件を除去するために必要な考察についてはスキーム論へ向けてを参照）。.
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微分幾何学
数学における微分幾何学（びぶんきかがく、ドイツ語: Differentialgeometrie、英語：differential geometry）とは微分を用いた幾何学の研究である。また、可微分多様体上の微分可能な関数を取り扱う数学の分野は微分位相幾何学（びぶんいそうきかがく、ドイツ語: Differentialtopologie、英語: differential topology）とよばれることがある。微分方程式の研究から自然に発生したこれらの分野は互いに密接に関連しており、特に一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある。これらは可微分多様体についての幾何学を構成しているが、力学系の視点からも直接に研究される。.
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微分形式
数学における微分形式（びぶんけいしき、differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。.
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チャーン類
数学では、特に代数トポロジーや微分位相幾何学や代数幾何学では、チャーン類(Chern classes)は複素ベクトルバンドルに付随する特性類である。 チャーン類は、 で導入された。.
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ポアンカレの補題
数学において、ポアンカレの補題（ぽあんかれのほだい、Poincaré lemma）とは代数的位相幾何における定理の一つ。ユークリッド空間において、閉形式である微分形式が完全形式となることを主張する。.
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ポアソン多様体
多様体 がポアソン多様体（ポアソンたようたい、Poisson Manifold）であるとは、 上の 級関数全体のなすベクトル空間を と表すとき、次の性質を満たす写像 \ \colon C^(M) \times C^(M) \to C^(M) が存在することをいう。.
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ユークリッド空間
数学におけるユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）は、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.
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ラプラス作用素
数学におけるラプラス作用素（ラプラスさようそ、Laplace operator）あるいはラプラシアン（Laplacian)は、ユークリッド空間上の函数の勾配の発散として与えられる微分作用素である。記号では,, あるいは で表されるのが普通である。函数 の点 におけるラプラシアン は（次元に依存する定数の違いを除いて）点 を中心とする球面を半径が増大するように動かすときの から得られる平均値になっている。直交座標系においては、ラプラシアンは各独立変数に関する函数の二階（非混合）偏導函数の和として与えられ、またほかに円筒座標系や球座標系などの座興系においても有用な表示を持つ。 ラプラス作用素の名称は、天体力学の研究に同作用素を最初に用いたフランス人数学者のピエール＝シモン・ド・ラプラス (1749–1827) に因んでいる。同作用素は与えられた重力ポテンシャルに適用すると質量密度の定数倍を与える。現在ではラプラス方程式と呼ばれる方程式 の解は調和函数と呼ばれ、自由空間において可能な重力場を表現するものである。 微分方程式においてラプラス作用素は電気ポテンシャル、重力ポテンシャル、熱や流体の拡散方程式、波の伝搬、量子力学といった、多くの物理現象を記述するのに現れる。ラプラシアンは、函数の勾配フローの流束密度を表す。.
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リーマン多様体
微分幾何学におけるリーマン多様体（リーマンたようたい、Riemannian manifold）とは、可微分多様体 で 上の各点に基本計量テンソル が与えられているものを言う。ベルンハルト・リーマンによって導入された。.
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リーマン形式
数学において、アーベル多様体やモジュラー形式の理論におけるリーマン形式 (Riemann form) とは、以下のデータからなる。.
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リーマン面
数学、特に複素解析においてリーマン面（Riemann surface）とは、連結な複素 1 次元の複素多様体のことである。ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた。 リーマン面は、複素平面を変形したものと考えられる。 各点の近くで局所的には、複素平面の部分に似ているが、大域的位相は大きく異なり得る。例えば、球面、トーラス、または互いに糊付けした二枚の面のように見え得る。 リーマン面の主要な意味合いは、正則関数がそこで定義できることである。 今日、リーマン面は正則関数、特に、平方根や自然対数等の多価関数の大域的振る舞いを研究するための自然な土台と考えられている。 全てのリーマン面は向きづけ可能な実 2 次元の実解析的多様体（従って曲面）であって、正則関数を一義的に定義するために必要な追加的構造（特に複素構造）を含む。2 次元実多様体は、それが向き付け可能な場合、かつその場合に限り、（通常は、等価でない複数の方法により）リーマン面にすることができる。従って、球面やトーラスは複素構造を持ち得るが、メビウスの輪、クラインの壺および射影平面は持ち得ない。 リーマン面は、でき得る限り良い特性を有しているという幾何学的事実から、他の曲線、多様体または代数多様体に対し一般化の直感および動機をしばしばもたらす。リーマン・ロッホの定理は、この影響の第一の例である。.
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リッチ平坦多様体
数学では、リッチ平坦多様体(Ricci-flat manifolds)は、リッチ曲率が 0 であるリーマン多様体である。物理学では、リッチ平坦多様体は、任意の次元で宇宙定数が 0 であるリーマン多様体に対して、アインシュタイン方程式の類似である(vacuum solution)を表わす。リッチ平坦多様体は、通常は宇宙定数が 0 である必要はないアインシュタイン多様体の特別な場合である。 リッチ曲率が、小さな測地用の球の体積がユークリッド空間の中の球の体積から逸脱する量を測る。小さな測地用の球は、体積の変えはしないが、ユークリッド空間の中の標準的な球とは「形」を変えることもありうる。 たとえば、リッチ平坦な多様体の中では、ユークリッド空間の中の円は、変形されて同じ面積を持つ楕円となっていることもありうる。これは(Weyl curvature)のおかげである。 リッチ平坦多様体は、(holonomy group)を制限される場合が多い。重要なケースとして、カラビ・ヤウ多様体や超ケーラー多様体がある。.
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リッチテンソル
微分幾何学において、リッチ曲率テンソル とは、歪んだリーマン多様体上の測地球の体積がユークリッド空間上の球体からどれだけずれるかを表す量である。に因んでその名がある。あるリーマン計量が与えられたとき、その記述する幾何が通常の 次元ユークリッド空間からどれだけ違うか表わす尺度として使うことができる。リッチテンソルはどんな擬リーマン多様体に対しても、リーマン曲率テンソルのトレースとして定義される。計量それ自体と同様、リッチテンソルは多様体の接空間上の対称双線型形式である。 相対性理論では、リッチテンソルは時空の曲率(Rμvと表す)の一部であり、レイチャウデューリ方程式を通じて物質が時間とともにどれだけ収縮もしくは拡散するかの程度に関連する。アインシュタイン方程式を通じて、宇宙に含まれる物質の量にも関連する。微分幾何学では、あるリーマン多様体上のリッチテンソルの下界により、一様な曲率をもつと比較した場合の（も参照）大域的幾何学および位相幾何学的な情報を得ることができる。リッチテンソルが真空のアインシュタイン方程式を満たすとき、その多様体はアインシュタイン多様体であるといい、特に研究されている (cf.)。これと関係して、リッチフロー方程式はある計量がアインシュタイン計量へ発展するさまを記述する。この方法により、ポアンカレ予想が最終的に解決することとなった。.
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レヴィ・チヴィタ接続
リーマン幾何学では、レヴィ・チヴィタ接続 (Levi-Civita connection) は多様体の接バンドル上の特別な接続であり、特別とは捩れをもたない(metric connection)、つまり、捩れを持たない与えられた（擬）リーマン計量を保存する接バンドル上の接続（アフィン接続）である。 リーマン幾何学の基本定理は、これらの性質を満たす接続が一意的に決まることを言っている。 リーマン多様体や擬リーマン多様体の理論では、共変微分はレヴィ・チヴィタ接続のために使われる。局所座標系の観点からは、この接続の成分はクリストッフェル記号と呼ばれる。.
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フビニ・スタディ計量
フビニ・スタディ計量(Fubini–Study metric)は、射影ヒルベルト空間上のケーラー計量である。つまり、複素射影空間 CPn がエルミート形式を持つことを言う。この計量は、もともとは1904年と1905年に(Guido Fubini)と(Eduard Study)が記述したものであった。 ベクトル空間 Cn+1 のエルミート形式は、GL(n+1,C) の中のユニタリ部分群 U(n+1) を定義する。フビニ・スタディ計量は、U(n+1) 作用の下での不変性（スケーリングに対して）により差異を同一視すると決定し、等質性を持つ。フビニ・スタディ計量を持つ CPn は、（スケーリングを渡る）(symmetric space)である。特に、計量の正規化は、スケーリングの適用に依存する。リーマン幾何学においては、正規化された計量を使うことができるので、(2''n'' + 1) 次元球面上のフビニ・スタディ計量は、単純に標準の計量と関連付けられる。代数幾何学では、正規化を使い、CPn をホッジ多様体とすることができる。 n endowed with a Hermitian form.
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ホモトピー
数学におけるホモトピー (homotopy)とは、点や線や面などの幾何学的対象、あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した位相幾何学における概念のひとつである。位相幾何学では、2 つの対象 A と X との関係のうち、連続的な変形によって保たれるものを問題とすることが多い。これらの関係はふつう連続写像 A → X を通して定義され、ホモトピーの概念は連続的に変形する連続写像の族によって定式化される。ホモトピー的な種々の不変量は位相幾何学の研究における基本的な道具となる。 考察している幾何学的対象に「穴」が開いていれば、端を固定された曲線はそれを越えて連続的に変形することができない。したがって、ホモトピーによって「穴」の有無や、単純な構成要素に分解したときのそれらの組み合わせ的なつながり具合といった構造を調べることができる。ホモトピーが威力を発揮するのは、空間や写像といった幾何学的な対象に対し群や準同型などという代数的な対象を対応づけることであり、またそのような代数的な対象がしばしばもとの幾何学的な対象よりも単純化されているということにある。 このように、代数的な道具によって空間と写像の位相的性質を調べるという方法をとる幾何学は、代数的位相幾何学と呼ばれる。.
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ホッジ双対
数学において、ホッジスター作用素(ホッジスターさようそ、Hodge star operator)、もしくは、ホッジ双対(ホッジそうつい、Hodge dual)は、(Hodge)により導入された線型写像である。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた内積空間の外積代数の上で定義される -ベクトルのなす空間から-ベクトルのなす空間への線形同型である。 他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上のベクトルバンドルへの作用に拡張することができる。 たとえば余接束の外積代数（すなわち、多様体上の微分形式の空間）に対して、ホッジスター作用素を用いてラプラス＝ド・ラーム作用素を定義し、コンパクトなリーマン多様体上の微分形式のホッジ分解を導くことができる。.
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ホッジ理論
数学におけるホッジ理論（ホッジりろん、Hodge theory ）とは可微分多様体 上の微分形式に関する理論である。特に、 上のリーマン計量に付随する（一般化された）ラプラス作用素に関する偏微分方程式論をもちいて得られる 上の実係数コホモロジー群の性質のことをいう。 1930年代にによってド・ラームコホモロジーの拡張として開発され、3つのレベルで大きな応用を持っている。.
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ベルグマン計量
ベルグマン計量 (ベルグマンけいりょう、Bergman metric) は、微分幾何学において、ある種の複素多様体上に定義できるエルミート計量である。ベルグマン核から導かれるのでそのように呼ばれる。名称は (Stefan Bergman9 にちなむ。.
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ベッチ数
代数的位相幾何学において、ベッチ数 (Betti numbers) は、位相空間に対する不変量であり、自然数に値をもつ。 右の図のようなトーラスを考える。このトーラスに切り口が円周になるように切れ込みをいれたとき、その結果二つのピースに分かれない切り方が、穴のまわりにそって一周する方法と、縦に切断する方法の二通りある。このことからトーラスの 1 次ベッチ数は 2 である。直感的な言葉を使うと、ベッチ数は様々な次元の｢穴｣の数である。例えば、円の 1 次ベッチ数は 1であり、一般的なプレツェル(pretzel)の場合は、1 次ベッチ数は穴の数の 2 倍となる。 ベッチ数は、今日、数学のみならず計算機科学やデジタル画像などの分野でも研究されている。 「ベッチ数」ということばは、エンリコ・ベッチ (Enrico Betti) にちなみ、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) により命名された。.
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アルベルト・アインシュタイン
アルベルト・アインシュタイン日本語における表記には、他に「アルト・アインシュタイン」（現代ドイツ語の発音由来）、「アルト・アインタイン」（英語の発音由来）がある。（Albert Einstein アルベルト・アインシュタイン、アルバート・アインシュタイン アルバ（ー）ト・アインスタイン、アルバ（ー）タインスタイン、1879年3月14日 - 1955年4月18日）は、ドイツ生まれの理論物理学者である。 特殊相対性理論および一般相対性理論、相対性宇宙論、ブラウン運動の起源を説明する揺動散逸定理、光量子仮説による光の粒子と波動の二重性、アインシュタインの固体比熱理論、零点エネルギー、半古典型のシュレディンガー方程式、ボーズ＝アインシュタイン凝縮などを提唱した業績などにより、世界的に知られている偉人である。 「20世紀最高の物理学者」や「現代物理学の父」等と評され、それまでの物理学の認識を根本から変えるという偉業を成し遂げた。（光量子仮説に基づく光電効果の理論的解明によって）1921年のノーベル物理学賞を受賞。.
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アンドレ・ヴェイユ
アンドレ・ヴェイユ（André Weil, 1906年5月6日 - 1998年8月6日）は、フランスの数学者で、20世紀を代表する数学者の一人である。思想家のシモーヌ・ヴェイユは妹、児童文学者のは娘である。.
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アインシュタイン多様体
微分幾何と数理物理において、アインシュタイン多様体(Einstein manifold)は、リッチテンソルが計量テンソルに比例するリーマン多様体もしくは、擬リーマン多様体である。通常、一般相対論で研究する 4次元のローレンツ多様体とは違い、この条件は、符合と同様に計量の次元も任意であることが可能であるにもかかわらず、この条件と計量が（宇宙定数を持つ）真空のアインシュタイン方程式の解であることとが同値であるとの理由から、アインシュタイン多様体はアルベルト・アインシュタイン(Albert Einstein)の名前に由来している。 M が基礎となる n-次元多様体で、g がその計量テンソルであれば、アインシュタインの条件は、ある定数 k が存在し、 であることを意味する。ここに、Ric は g のリッチテンソルを表わす。k.
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エルミート多様体
数学では、エルミート多様体（）はリーマン多様体の複素類似である。より詳しく述べると、エルミート多様体は各々の（正則）接空間上に滑らかに変化するエルミート内積をもつ複素多様体である。また、エルミート多様体を複素構造を保つリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできる。 複素構造は、本質的には可積分条件をもつ概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、概エルミート多様体を得る。 任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造の選択にしか依存しない基本 2-形式(fundamental 2-form)、もしくはコシンプレクティック構造(cosymplectic structure)を導入することができる。基本形式は常に非退化である。これが閉形式である（こすなわちシンプレクティック形式である）という追加の可積分条件を課すことにより、概ケーラー構造(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本形式の両方が積分可能であれば、 ケーラー構造を持つ。.
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エルミート形式
数学の線型代数学におけるエルミート積 (Hermitian product), エルミート半双線型形式 (Hermitian Sesqui­linear form) あるいは単にエルミート形式（エルミートけいしき、Hermitian form）は、シャルル・エルミートに名を因む特別な種類の半双線型形式で、対称双線型形式の複素版にあたる。 複素線型空間 とその上のエルミート形式 との組, あるいは同じことだが対応する「二次形式」 との組 をエルミート空間（あるいはエルミート二次空間）と呼ぶ。.
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エーリッヒ・ケーラー
ハンブルグにて） エーリッヒ・ケーラー（, 1906年1月16日 - 2000年5月31日）は、ドイツの数学者および哲学者。ライプツィヒ生まれ、ハンブルク近郊のにて没。.
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カラビ予想
数学においてカラビ予想（Calabi conjecture）とは、ある種の複素多様体上に「良い」性質を持つリーマン計量が存在することを主張する予想である。 が1950年代に提出し、1977年頃ににより解決された。この証明を理由のひとつとしてヤウは1982年フィールズ賞を受賞した。 カラビ予想とは、コンパクト ケーラー多様体は、2-形式により与えられる任意のリッチ曲率に対し、リッチ曲率の所属する第一チャーン類に対し、多様体上に一意にケーラー計量が決まるであろうという予想である。特に、第一チャーン類がゼロである場合には、リッチ曲率がゼロとなる同じクラスのなかに一意的にケーラー計量が決まり、これらをカラビ・ヤウ多様体と言う。 さらに公式に、カラビ予想を記述すると、 カラビ予想は、どのようなケーラー多様体がケーラー・アインシュタイン計量を持つのかという問題と密接に関連する。 g\; and Kähler form \omega\;, and R is any (1,1)-form representing the manifold's first Chern class, then there exists a unique Kähler metric \tilde on M with Kähler form \tilde such that \omega\; and \tilde represent the same class in cohomology H2(M,R) and the Ricci form of \tilde is R. The Calabi conjecture is closely related to the question of which Kähler manifolds have Kähler–Einstein metrics.-->.
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カラビ・ヤウ多様体
ラビ・ヤウ多様体は、代数幾何などの数学の諸分野や数理物理で注目を浴びている特別なタイプの多様体。特に超弦理論では、時空の余剰次元が6次元（実次元）のカラビ・ヤウ多様体の形をしていると予想されている。この余剰次元の考え方が、ミラー対称性の考えを導くことになった。 カラビ・ヤウ多様体は、1次元の楕円曲線や2次元のK3曲面の高次元版の複素多様体であり、コンパクトケーラー多様体で標準バンドルが自明なものとして定義されることが多い。ただし、他にも類似の（しかし互いに同値ではない）いくつかの定義がある。では、"カラビ・ヤウ空間"と呼ばれた。最初は微分幾何学の立場から、エウゲニオ・カラビで研究され、シン＝トゥン・ヤウが、これらがリッチ平坦な計量を持つであろうというカラビ予想を証明したことから、カラビ・ヤウ多様体と命名された。.
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クリストッフェル記号
リーマン幾何学において、クリストッフェル記号（クリストッフェルきごう、Christoffel symbols）またはクリストッフェルの三添字記号（クリストッフェルのさんそえじきごう、Christoffel three index symbols）とは、測地線の微分方程式を表すにあたってブルーノ・クリストッフェル (1829–1900) によって導入された記号を言う。 クリストッフェル記号には第一種記号 \left と第二種記号 \left\ の二種類があるが、基本的には第二種記号のことを意味する。.
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ケンブリッジ大学出版局
ンブリッジ大学出版局（Cambridge University Press）は、ケンブリッジ大学の出版事業を手がける出版社である。1534年、ヘンリー8世により特許状が発せられたのを起こりとする世界最古の出版社、かつ世界第2の規模の大学出版局であり、聖書や学術誌の出版も手掛けている。 「出版活動を通して、大学の理念である全世界における学問、知識、研究の促進を推し進めること」を使命として掲げている。これは、ケンブリッジ大学規約中の「Statute J」に規定されている。そして、「公益のため継続的に出版活動を行い、ケンブリッジという名前の評価を高めること」を目的としている。 ケンブリッジ大学出版局は、学術、教育分野の書籍の出版を行なっており、ヨーロッパ、中東、アフリカ、アメリカ、アジア太平洋といった地域で事業を展開している。世界中に50以上の事業所を持ち、2000人近くの従業員を抱え、4万以上のタイトルの書籍を発行している。その種類は、専門書、教科書、研究論文、参考書、 300近くに及ぶ学術誌、聖書、祈祷書、英語教育教材、教育ソフト、電子出版など、多岐にわたる。.
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ケーラー・アインシュタイン計量
微分幾何学において、複素多様体上のケーラー・アインシュタイン計量 (Kähler–Einstein metric) は、ケーラー計量かつアインシュタイン計量であるようなリーマン計量である。多様体がケーラー・アインシュタインであるとは、ケーラー・アインシュタイン計量を持つ場合を言う。これらの中で最も重要なものは、カラビ・ヤウ多様体であり、これは、ケーラーかつリッチ平坦なものである。 この分野の最も重要な問題は、コンパクトケーラー多様体にケーラー・アインシュタイン計量が存在することである。 ケーラー計量がある場合には、リッチ曲率はケーラー計量に比例するので、第一チャーン類は、負か、0か、または、正のいずれかである。 第一チャーン類が負の場合は、オーバン(Aubin)とヤウ(Shing-Tung Yau)が常にケーラー・アインシュタイン計量が存在することを証明した。 第一チャーン類が 0 の場合は、ヤウは常にケーラー・アインシュタイン計量が存在するというカラビ予想を証明した。ヤウはこの仕事でフィールズ賞を受賞した。これがカラビ・ヤウ多様体の名称の由来である。 残りの、第一チャーン類が正の場合（ファノ多様体と言う）が最も困難である。この場合は、存在に非自明な障害が存在する。2012年、チェン(Chen)、ドナルドソン(Donaldson)、スン(Sun)は、この場合の存在性は K-安定性と呼ばれる代数幾何学的な条件に同値であることを証明した。彼らの証明は、アメリカ数学会誌 (the Journal of the American Mathematical Society) の一連の論文に発表された。.
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コンパクト
ンパクト.
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コホモロジー
数学、とくにホモロジー論と代数トポロジーにおいて、コホモロジー (cohomology) はコチェイン複体から定義されるアーベル群の列を意味する一般的な用語である。つまり、コホモロジーはコチェイン、コサイクル、そしてコバウンダリの抽象的な研究として定義される。コホモロジーは、を、ホモロジーがもっているよりも洗練された代数的構造をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる。コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる。より抽象的でない言葉で言えば、基本的な意味でのコチェインは'量'をホモロジー論のチェインに割り当てる。 位相幾何学におけるその起源から、このアイデアは20世紀後半の数学において主要な手法となった。チェインについての位相的不変関係としてのホモロジーの最初の考えから、ホモロジーとコホモロジーの理論の応用の範囲は幾何学と抽象代数学に渡って拡がった。用語によって、多くの応用においてコホモロジー、反変理論、がホモロジーよりも自然であるという事実が隠されがちである。基本的なレベルではこれは幾何学的な状況において関数とを扱う。空間 X と Y、そして Y 上のある種の関数 F が与えられたとすると、任意の写像 f: X → Y に対して、f との合成は X 上の関数 F o f を引き起こす。コホモロジー群はまたしばしば自然な積、カップ積をもっており、環の構造を与える。この特徴のために、コホモロジーはホモロジーよりも強い不変量である。ホモロジーでは区別できないある種の代数的対象を区別できるのである。.
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シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア
ュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア（Springer Science+Business Media, Springer）は、科学（Science）、技術（Technology、工学など）、医学（Medicine）、すなわちSTM関連の書籍、電子書籍、査読済みジャーナルを出版するグローバル企業である。シュプリンガーはまた、"SpringerLink"（「シュプリンガー・リンク」） 、"SpringerProtocols"（「」） 、"SpringerImages"（「シュプリンガー・イメージ」） 、"SpringerMaterials"（「シュプリンガー・マテリアル」） などいくつかの科学データベース・サービスのホスティングも行っている。 出版物には、参考図書（Reference works、レ（リ）ファレンス・ワークス）、教科書、モノグラフ（Monograph）、（Proceedings）、叢書など多数が含まれる。また、シュプリンガー・リンクには45,000以上のタイトルが自然科学など13の主題・テーマで集められており、それらは電子書籍として利用可能である。シュプリンガーはSTM分野の書籍に関しては世界最大の出版規模を持ち、ジャーナルでは世界第2位である（第1位はエルゼビア）。 多数のインプリントや、20ヶ国に約55の発行所（パブリッシング・ハウス）、5,000人以上の従業員を抱え、毎年約2,000のジャーナル、7,000以上の新書（これにはSTM分野だけではなく、B2B分野のものも含まれる）を発刊している。シュプリンガーはベルリン、ハイデルベルク、ドルトレヒト、ニューヨークに主要オフィスを構える。近年成長著しいアジア市場のために、アジア地域本部を香港に置いており、2005年8月からは北京に代表部を設置している 。 2015年5月、シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディアとマクミラン・サイエンス・アンド・エデュケーションの大半の事業の合併が、欧州連合や米国司法省などの主要な公正競争監視機関により承認された。新会社の名称は「シュプリンガー・ネイチャー（Springer Nature）」。.
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シュタイン多様体
数学の多変数複素函数論および複素多様体論におけるシュタイン多様体（シュタインたようたい、）とは、複素 n 次元ベクトル空間のある複素部分多様体のことを言う。考案者の の名にちなむ。同様の概念にシュタイン空間（Stein space）があるが、こちらは特異性を持つことも許されている。シュタイン空間は、代数幾何学におけるアフィン多様体、あるいはアフィンスキームと類似の概念である。.
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シンプレクティック多様体
数学におけるシンプレクティック多様体（symplectic manifold）は、シンプレクティック形式と呼ばれる非退化な閉形式である 2-形式を持つ滑らかな多様体である。シンプレクティック多様体の研究分野はシンプレクティック幾何学やシンプレクティックトポロジーと呼ばれる。シンプレクティック多様体は、古典力学の抽象的定式化であるハミルトン力学などにおいて多様体の余接バンドルとして自然に表れるもので、この分野に対して大きな動機付けを与えた。実際、系の取り得るすべての配位が成す集合を多様体としてモデル化すると、この多様体は系の相空間を記述する。 シンプレクティック多様体上の微分可能な実数値関数 H は(energy function)を与えることができ、これをハミルトニアンと呼ぶ。どのようなハミルトニアンに対してもハミルトンベクトル場が対応付けられる。ハミルトンベクトル場の積分曲線はハミルトン方程式の解曲線になる。ハミルトンベクトル場は、シンプレクティック多様体上のフロー（ハミルトンフロー、あるいは、シンプレクティック同相写像と呼ばれる）を定め、リウヴィルの定理によれば、ハミルトンフローは相空間上の体積要素を保存する。.
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セール双対性
代数幾何学という数学の分野において，セール双対性（セールたいしょうせい、Serre duality）は， 次元の非特異射影代数多様体 （あるいはより一般的にベクトル束やさらに連接層）に関する双対性である．それはコホモロジー群 が別のもの の双対空間である述べている． 滑らかなコンパクト複素多様体 上の正則ベクトル束 に対する場合は，主張は であり， は射影的である必要はない．.
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複素多様体
微分幾何学で複素多様体（ふくそたようたい、complex manifold）とは、多様体上の各点の開近傍が、Cn の中の単位開円板への正則な座標変換を持つ多様体のことを言う。座標変換が正則である場合には、Cn の中で、コーシー・リーマンの方程式の制約を受ける。 複素多様体という言葉は、上の意味で可積分複素多様体として特徴づけることができる。 One must use the open unit disk in Cn as the model space instead of Cn because these are not isomorphic, unlike for real manifolds.
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複素微分形式
数学では、複素微分形式(complex differential form)は、複素数係数を持つ多様体（通常は複素多様体）上の微分形式である。 複素微分形式は、微分幾何学において広く応用されている。複素多様体上での代数幾何学やケーラー幾何学やホッジ理論の多くで、複素微分形式は重要な基本としなっている。複素多様体でない場合でも、複素微分方程式は概複素構造やスピノルの理論やCR構造の研究で重要な役割を果たしている。 典型的には、複素微分形式は容易に期待される分解を持つ考えられている。たとえば、複素多様体上では、任意の k-形式が一意に (p,q)-形式に分解する。(p,q)-形式とは、大まかには、正則座標の p 個の外微分と、その複素共役の q 個の外微分のウェッジ積である。(p,q)-形式の集合は、基本的研究対象であり、k-形式以上に、多様体の幾何学的構造をよりよく反映定する。たとえば、ホッジ理論が適用可能な場合は、（k-形式よりも）良い多様体の構造が存在する。.
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計量テンソル
計量テンソル（けいりょうテンソル、metric tensor）は、リーマン幾何学において、空間内の距離と角度を定義する、階数（）が2のテンソルである。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（）と呼ばれることもある。 ひとたび、ある座標系 が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、 として表記され、各成分は と表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。 点 から までの曲線の長さは、 をパラメータとして、 と定義される。2つの接ベクトル（）U.
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超ケーラー多様体
微分幾何学において、超ケーラー多様体(hyperkähler manifold)は、次元 4k次元のリーマン多様体で、(holonomy group)がSp(''k'')を含んでいる場合を言う（ここに、Sp(k) はシンプレクティック群のコンパクトな形を表していて、k-次元の四元数エルミート空間の四元数線型ユニタリ自己準同型の群と同一視される）。超ケーラー多様体は、ケーラー多様体の特別なクラスで、ケーラー多様体の四元数と考えることができる。超ケーラー多様体はみな、リッチ平坦であり、従って、Sp(k) はSU(2''k'')の部分群であることから容易に分かるように、カラビ・ヤウ多様体である。 超ケーラー多様体は、エウジェニオ・カラビにより 1978年に定義された。.
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閉微分形式
微分位相幾何学における微分形式が閉 (closed) である、または閉微分形式（へいびぶんけいしき、closed differential form、短く閉形式 (closed form) とは、その外微分が零となるときに言う。 シュヴァルツの定理により、-函数係数の任意の完全微分形式は閉微分形式である。ポワンカレの補題はこの部分的な逆を保証する。.
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K3曲面
数学において、K3曲面 (K3 surface) とは、不正則数が で、自明な標準バンドルを持っているという複素解析的、もしくは代数的な滑らかな最小完備曲面をいう。 エンリケス・小平の曲面の分類では、それらは小平次元がゼロの曲面の 4つのクラスのうちの一つである。 K3曲面は、複素トーラスとともに 2次元のカラビ・ヤウ多様体である。ほとんどの複素K3曲面は代数的ではない。このことは、K3曲面を多項式により定義される曲面として射影空間へ埋め込むことができないことを意味する。K3曲面はラマヌジャンが1910年代に発見したが未発表に終わり、後に が再発見して、3人の代数幾何学者（クンマー、ケーラー、小平邦彦）と当時未踏峰だったK2に因みK3曲面と名付けた。.
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格子 (数学)
数学における、特に初等幾何学および群論における、n-次元空間 Rn 内の格子（こうし、lattice）とは、実ベクトル空間 Rn を生成するような Rn の離散部分群をいう。すなわち、Rn の任意の格子は、ベクトル空間としての基底から、その整数係数線型結合の全体として得られる。ひとつの格子は、その基本領域あるいはによる正多面体空間充填 (regular tiling) と見ることもできる。 格子には多くの顕著な応用があり、純粋数学では特にリー環論、数論および群論に関係がある。応用数学でいえば、まず暗号理論において、いくつかの格子問題の計算が困難であることに起因する符号理論に関連する。また、物理科学においてもいくつかのやり方で応用があり、例えば物質科学および固体物理学では、「格子」は結晶構造の「枠組み」の同義語であり、結晶において原子や分子が隣接して占める正多面体状の三次元的な空間配列を意味する。より一般に、物理学において格子モデルが（しばしば計算物理の手法を用いて）研究される。.
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概複素構造
数学における多様体の概複素構造（がいふくそこうぞう、almost complex structure）は、多様体の各点での接ベクトル空間が（滑らかな）複素構造を持つことを言う。1つの多様体に対して複数の概複素構造が入る場合がある。また、複素解析的多様体は必ず概複素構造をもつ一方で、概複素構造を持ちながら複素解析的多様体とならないものが存在する。概複素多様体はシンプレクティック幾何学に重要な応用を持つ。 この概念は、1940年代の(Charles Ehresmann)と(Heinz Hopf)による。.
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標準束
数学において，体上の 次元非特異代数多様体 の標準束（ひょうじゅんそく，canonical bundle）とは，直線束, すなわち 上の余接束 の 次外冪である． 複素数体上，それは 上の正則 形式の行列式束である．これは 上のセール双対性に対する dualising object である．それはまた可逆層と考えることもできる． 標準類 (canonical class) とは標準束を生じる 上の のである――それは 上のの同値類であり，それに属する任意の因子を標準因子 (canonical divisor) と呼んでよい．反標準 (anticanonical) 因子は を任意の標準因子として因子 のことである． 反標準束 (anticanonical bundle) は対応する である． の反標準束が豊富であるとき， はファノ多様体と呼ばれる． \omega_D.
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断面曲率
リーマン幾何学において、断面曲率(sectional curvature)は、を記述する方法のひとつである。断面曲率 K(σp) は p の接空間内の 2次元平面 σp に依存する。断面曲率は曲面のガウス曲率であり、σp 方向の点 p から始まる測地線より得られる p での接平面 σp を持つ（言い換えると、この平面は、p でのの下の像である。断面曲率は、多様体上の 2次元のファイバーバンドル上の滑らかな実数値函数である。 断面曲率は、リーマン曲率テンソルを完全に決定する。 p) depends on a two-dimensional plane σp in the tangent space at p. It is the Gaussian curvature of the surface which has the plane σp as a tangent plane at p, obtained from geodesics which start at p in the directions of σp (in other words, the image of σp under the exponential map at p). The sectional curvature is a smooth real-valued function on the 2-Grassmannian bundle over the manifold. The sectional curvature determines the curvature tensor completely.-->.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
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曲率形式
微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式の曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。.
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