クリストッフェル記号とトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ

ショートカット: 違い、類似点、ジャカード類似性係数、参考文献。

クリストッフェル記号とトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタの違い

クリストッフェル記号 vs. トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ

リーマン幾何学において、クリストッフェル記号（クリストッフェルきごう、Christoffel symbols）またはクリストッフェルの三添字記号（クリストッフェルのさんそえじきごう、Christoffel three index symbols）とは、測地線の微分方程式を表すにあたってブルーノ・クリストッフェル (1829–1900) によって導入された記号を言う。 クリストッフェル記号には第一種記号 \left と第二種記号 \left\ の二種類があるが、基本的には第二種記号のことを意味する。. トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ（Tullio Levi-Civita、1873年3月29日 - 1941年12月29日）は、イタリアパドヴァ出身のユダヤ人数学者。絶対微分学、テンソル解析学に貢献し、レヴィ＝チヴィタ記号（エディントンのイプシロン）の考案者として名高い。また、レヴィ＝チヴィタ接続（:en:Levi-Civita connection）やレヴィ＝チヴィタ (クレーター)（:en:Levi-Civita (crater)）に名前が伝わっている。.

リーマン曲率テンソル

リーマン幾何学においてリーマン曲率テンソル（リーマンきょくりつテンソル、Riemann curvature tensor）あるいはリーマン-クリストッフェルのテンソル（Riemann–Christoffel tensor）とは、リーマン多様体の曲率を表す4階のテンソルを言う。名称は、ベルンハルト・リーマンおよびエルウィン・ブルーノ・クリストッフェルに因む。 リーマン-クリストッフェルのテンソル（リーマン曲率テンソル）は重力の現代的理論である一般相対性理論における数学的な道具の中心となるものである。.

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リッチテンソル

微分幾何学において、リッチ曲率テンソル とは、歪んだリーマン多様体上の測地球の体積がユークリッド空間上の球体からどれだけずれるかを表す量である。に因んでその名がある。あるリーマン計量が与えられたとき、その記述する幾何が通常の 次元ユークリッド空間からどれだけ違うか表わす尺度として使うことができる。リッチテンソルはどんな擬リーマン多様体に対しても、リーマン曲率テンソルのトレースとして定義される。計量それ自体と同様、リッチテンソルは多様体の接空間上の対称双線型形式である。 相対性理論では、リッチテンソルは時空の曲率(Rμvと表す)の一部であり、レイチャウデューリ方程式を通じて物質が時間とともにどれだけ収縮もしくは拡散するかの程度に関連する。アインシュタイン方程式を通じて、宇宙に含まれる物質の量にも関連する。微分幾何学では、あるリーマン多様体上のリッチテンソルの下界により、一様な曲率をもつと比較した場合の（も参照）大域的幾何学および位相幾何学的な情報を得ることができる。リッチテンソルが真空のアインシュタイン方程式を満たすとき、その多様体はアインシュタイン多様体であるといい、特に研究されている (cf.)。これと関係して、リッチフロー方程式はある計量がアインシュタイン計量へ発展するさまを記述する。この方法により、ポアンカレ予想が最終的に解決することとなった。.

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レヴィ・チヴィタ接続

リーマン幾何学では、レヴィ・チヴィタ接続 (Levi-Civita connection) は多様体の接バンドル上の特別な接続であり、特別とは捩れをもたない(metric connection)、つまり、捩れを持たない与えられた（擬）リーマン計量を保存する接バンドル上の接続（アフィン接続）である。 リーマン幾何学の基本定理は、これらの性質を満たす接続が一意的に決まることを言っている。 リーマン多様体や擬リーマン多様体の理論では、共変微分はレヴィ・チヴィタ接続のために使われる。局所座標系の観点からは、この接続の成分はクリストッフェル記号と呼ばれる。.

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テンソル

テンソル（tensor, Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。しかし、テンソル自身は、特定の座標系によらないで定まる対象である。個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。 例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1のテンソルであり、力や加速度ベクトルの間の異方的な関係などをあらわす線型変換は階数2のテンソルで表される。 物理学や工学においてしばしば「テンソル」と呼ばれているものは、実際には位置や時刻を引数としテンソル量を返す関数である「テンソル場」であることに注意しなければならない。いずれにせよテンソル場の理解のためにはテンソルそのものの概念の理解が不可欠である。.

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クロネッカーのデルタ

ネッカーのデルタ（）とは、集合 T（多くは自然数の部分集合）の元 i, j に対して によって定義される二変数関数 δij: T×T → のことをいう。つまり、T×T の対角成分の特性関数のことである。名称は、19世紀のドイツの数学者レオポルト・クロネッカーに因む。 アイバーソンの記法を用いると と書ける。 単純な記号だが、色々な場面で有用である。例えば、単位行列は (δij) と書けたり、n 次元直交座標の基底ベクトルの内積は、(ei, ej).

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