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39 関係: 基底 (線型代数学)、多項式、多項式列、多項式環、実数、不定和分、二項型多項式列、二項係数、底に関する指数函数、微分、微分積分学、ポッホハマー記号、テイラーの定理、ディガンマ関数、和分差分学、ガンマ関数、シェファー列、スターリング数、冪乗、冪函数、Concrete Mathematics、空積、等差数列、算法 (数学)、線型結合、組合せ数学、環 (数学)、畳み込み級数、特殊関数、階乗、順列、複素数、調和数 (発散列)、離散数学、陰計算、極 (複素解析)、有限差分、数学、0の0乗。
基底 (線型代数学)
線型代数学における基底（きてい、basis）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。 ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。.
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多項式
数学における多項式（たこうしき、poly­nomial）は、多数を意味するpoly- と部分を意味する -nomen あるいは nomós を併せた語で、定数および不定元（略式ではしばしば変数と呼ぶ）の和と積のみからなり、代数学の重要な対象となる数学的対象である。歴史的にも現代代数学の成立に大きな役割を果たした。 不定元がひとつの多項式は、一元多項式あるいは一変数多項式 と呼ばれ、不定元を とすれば のような形をしている。各部分 "", "", "", "" のことを項（こう、）と呼ぶ。一つの項だけからできている式を単項式 (monomial)、同様に二項式 (binomial)、三項式 (trinomial) などが、-nomial にラテン配分数詞を付けて呼ばれる。すなわち、多項式とは「多数」の「項」を持つものである。単項式の語が頻出であることに比べれば、二項式の語の使用はやや稀、三項式あるいはそれ以上の項数に対する語の使用はごく稀で一口に多項式として扱う傾向があり、それゆえ単項式のみ多項式から排他的に分類するものもある。また多項式のことを整式 (integral expression) と呼ぶ流儀もある。 多項式同士の等式として与えられる方程式は多項式方程式と呼ばれ、特に有理数係数の場合において代数方程式という。多項式方程式は多項式函数の零点を記述するものである。 不定元がふたつならば二元 (bivariate), 三つならば三元 (trivariate) というように異なるアリティを持つ多元多項式が同様に定義できる。算術あるいは初等代数学において、数の計算の抽象化として実数（あるいは必要に応じてより狭く有理数、整数、自然数）を代表する記号としての「文字」変数を伴う「」およびその計算を扱うが、それは大抵の場合多変数の多項式である。 本項では主として一元多項式を扱い、多元の場合にも多少触れるが、詳細は多元多項式の項へ譲る。.
多項式列
数学における多項式列（たこうしきれつ、）は、非負の整数 によって添字付けられた多項式の列であって、各添字が対応する多項式の次数と等しいものを言う。多項式列は、数え上げ組合せ論やの他、応用数学において興味の持たれているトピックの一つである。.
多項式環
数学、殊に抽象代数学における多項式環（たこうしきかん、polynomial ring）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルトの基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。セール予想のような多くの重要な予想が、他の環の研究に影響をもち群環や形式冪級数環のようなほかの環の定義にさえ影響を及ぼしている。.
実数
数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.
不定和分
数学における不定和分（ふていわぶん、indefinite sum） または逆差分（ぎゃくさぶん、antidifference; 反差分） は、微分に対する不定積分（反微分）ので、前進差分 の逆演算となる線型作用素である。一つのパラメータ を導入して、歩み の差分 あるいは差分商 の逆演算として、歩み の不定和分 を考えることもある。 が本項における場合であり、また の極限で は微分商、 は不定積分となる。 文献によっては "indefinite sum" の語を、例えば のような和において、上の限界となる値 (この例では) をとくに固定せずに考える場合を指すのに用いることもある。この場合、この和を表す閉じた式 は函数方程式（畳み込み方程式） の解であり、これは後退差分作用素 の逆である。この後退和分作用素と先の（前進）和分作用素との間には後述の和分差分学の基本定理を通じて関係がある。.
二項型多項式列
数学における多項式列（つまり、自然数の集合 で添字付けられた多項式の成す列であって、かつ各多項式の添字がその多項式の次数に等しいもの） が二項型（にこうがた、binomial type）であるとは、この列が恒等式 を満足するときに言う。このような数列は無数に存在し、二項型多項式列をすべて集めて得られる集合は後述のように陰合成のもとで群を成す。任意の二項型多項式列はベル多項式で表すことができる。任意の二項型多項式列はシェファー列だが、逆は必ずしも成り立たない。多項式列は19世紀の漠然とした umbral calculus の概念を下敷きにしている。 二項型多項式列の概念は組合せ論、確率論、統計学、その他さまざまな分野に応用を持つ。.
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二項係数
数学における二項係数（にこうけいすう、binomial coefficients）は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は二つの非負整数で添字付けられ、添字 を持つ二項係数はふつう \tbinom と書かれる（これは二項冪 の展開における の項の係数である。適当な状況の下で、この係数の値は \tfrac で与えられる）。二項係数を、連続する整数 に対する各行に を から まで順に並べて得られる三角形状の数の並びをパスカルの三角形と呼ぶ。 この整数族は代数学のみならず数学の他の多くの分野、特に組合せ論において現れる。-元集合から -個の元を（その順番を無視して）選ぶ方法が \tbinom nk 通りである。二項係数の性質を用いて、記号 \tbinom nk の意味を、もともとの および が なる非負整数であった場合を超えて拡張することが可能で、そのような場合もやはり二項係数と称する。.
底に関する指数函数
実解析における底 の指数函数（しすうかんすう、a） は、実数 を実数 へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された を へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。しかがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、\exp_a (x).
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微分
数学におけるの微分（びぶん）、微分係数、微分商または導函数（どうかんすう、derivative）は、別の量（独立変数）に依存して決まるある量（函数の値あるいは従属変数）の変化の感度を測るものである。微分は微分積分学の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。 一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点における函数のグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。 微分はにも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの函数のグラフを最適線型近似する線型変換と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。 導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算 (differentiation) と言い、その逆の過程（原始函数を求めること）をという。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である。.
微分積分学
微分積分学（びぶんせきぶんがく, ）とは、解析学の基本的な部分を形成する数学の分野の一つである。微分積分学は、局所的な変化を捉える微分と局所的な量の大域的な集積を扱う積分の二本の柱からなり、分野としての範囲を確定するのは難しいが、大体多変数実数値関数の微分と積分に関わる事柄（逆関数定理やベクトル解析も）を含んでいる。 微分は、ある関数のある点での接線、或いは接平面を考える演算である。数学的に別の言い方をすると、基本的には複雑な関数を線型近似して捉えようとする考え方である。従って、微分は線型写像になる。但し、多変数関数の微分を線型写像として捉える考え方は 20世紀に入ってからのものである。微分方程式はこの考え方の自然な延長にある。 対して積分は、幾何学的には、曲線、あるいは曲面と座標軸とに挟まれた領域の面積（体積）を求めることに相当している。ベルンハルト・リーマンは（一変数の）定積分の値を、長方形近似の極限として直接的に定義し、連続関数は積分を有することなどを証明した。彼の定義による積分をリーマン積分と呼んでいる。 微分と積分はまったく別の概念でありながら密接な関連性を持ち、一変数の場合、互いに他の逆演算としての意味を持っている（微分積分学の基本定理）。微分は傾き、積分は面積を表す。.
ポッホハマー記号
解析学におけるポッホハマー記号（ポッホハマーきごう、Pochhammer symbol）はの名に因む特殊函数で、組合せ論および超幾何級数論にも応用を持つ。.
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テイラーの定理
''n''(''x'' − 1)''k''''f''(''k'')(1)/''k''! による近似 微分積分学において、テイラーの定理（テイラーのていり、Taylor's theorem）は、k 回微分可能な関数の与えられた点のまわりでの近似を k 次のテイラー多項式によって与える。解析関数に対しては、与えられた点におけるテイラー多項式は、そのテイラー級数を有限項で切ったものである。テイラー級数は関数を点のある近傍において完全に決定する。「テイラーの定理」の正確な内容は1つに定まっているわけではなくいくつかのバージョンがあり、状況に応じて使い分けられる。バージョンのいくつかは関数のテイラー多項式による近似誤差の明示的な評価を含んでいる。 テイラーの定理は1712年に1つのバージョンを述べた数学者ブルック・テイラー (Brook Taylor) にちなんで名づけられている。しかし誤差の明示的な表現はかなり後になってジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ (Joseph-Louis Lagrange) によってはじめて与えられた。結果の初期のバージョンはすでに1671年にジェームス・グレゴリー (James Gregory) によって言及されている。 テイラーの定理は微分積分学の入門レベルで教えられ、解析学の中心的な初等的道具の1つである。純粋数学ではより進んだの入り口であり、より応用的な分野の数値計算や数理物理学においてよく使われている。テイラーの定理は任意次元 n, m の多変数ベクトル値関数 にも一般化する。テイラーの定理のこの一般化は微分幾何学や偏微分方程式において現れるいわゆるの定義の基礎である。 n の大きさを評価することで、近似がどれだけ正確であるかが分かる。f が無限回微分可能であり、Rn が0に収束する場合、すなわち である場合、f(x) はテイラー展開が可能である。そのとき f は解析的(analytic)であるといわれる。 テイラーの定理は平均値の定理を一般化したものになっている。実際、上の式において n.
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ディガンマ関数
実数''x'' に対するψ(''x'')の挙動 複素平面上でのψ(''z'')。点''z'' における色が ψ(''z'') の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表す。 数学において、ディガンマ関数（でぃがんまかんすう、digamma function）とはガンマ関数の対数微分で定義される特殊関数。ポリガンマ関数の一種である。.
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和分差分学
数学の一部門としての差分法（さぶんほう、difference calculus, calculus of finite difference）あるいは和分差分学（わぶんさぶんがく、discrete calculus）は、（微分法および積分法を柱とする）微分積分学の離散版にあたる。微分積分学が（極限の概念を定式化し得る）連続的な空間上の函数（特に実数直線上で定義された函数）に興味が持たれるのに対して、和分差分学では離散的な空間、特に整数全体の成す集合 上で定義された函数（すなわち数列）に注目する。差分法は級数の計算にも応用される。.
ガンマ関数
1.
シェファー列
数学におけるシェファー列（シェファーれつ、）あるいはパワーロイド（poweroid; 擬冪）は、多項式列（つまり、各添字がその多項式の次数に等しいような多項式の列）で、組合せ論における陰計算と関連する条件を満たすものを言う。の名にちなむ。.
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スターリング数
ターリング数（スターリングすう、Stirling number）は、上昇階乗冪 や 下降階乗冪 を数値の冪乗と関係づけるための級数の展開係数として、イギリスの数学者が1730年に彼の著書 Methodus Differentialis で導入した数である。スターリング数は第1種スターリング数と、第2種スターリング数に分類される。 第1種スターリング数はべき乗から階乗への変換に、第2種スターリング数は階乗からべき乗への変換に現れる。また、スターリング数は組合せ数学において意味をもった数値を与える。.
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冪乗
冪演算（べきえんざん、英: 独: 仏: Exponentiation）は、底 (base) および冪指数 (exponent) と呼ばれる二つの数に対して定まる数学的算法である。通常は、冪指数を底の右肩につく上付き文字によって示す。自然数 を冪指数とする冪演算は累乗（るいじょう、repeated multiplication) に一致する。 具体的に、 および冪指数 を持つ冪 (power) は、 が自然数（正整数）のとき、底の累乗 で与えられる。このとき は の -乗とか、-次の -冪などと呼ばれる。 よく用いられる冪指数に対しては、固有の名前が与えられているものがある。例えば冪指数 に対して二次の冪（二乗） は の平方 (square of) あるいは -自乗 (-squared) と呼ばれ、冪指数 に対する三次の冪 は の立方 (cube of, -cubed) と呼ばれる。また冪指数 に対して冪 は であり の逆数（あるいは乗法逆元）と呼ばれる。一般に負の整数 に対して底 が零でないとき、冪 はふつう なる性質を保つように と定義される。 冪演算は任意の実数あるいは複素数を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数であるような冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば指数函数が、冪指数を固定して底を変数と見れば冪函数がそれぞれ生じる。整数乗冪に限れば、行列などを含めた非常に多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができるが、冪指数まで同種の対象に拡張するならばその上で定義された自然指数函数と自然対数函数を持つ完備ノルム環（例えば実数全体 や複素数全体 などはそう）を想定するのが自然である。.
冪函数
数学の特に解析学における冪函数（巾函数、べきかんすう、power function）は、適当な定数 に対して定義される函数 を言う。ここに定数 は、この冪函数の冪指数 (exponent) と呼ばれ、文脈により自然数、整数、有理数、実数、複素数などに値をとることができるが、 の持つ性質によって対応する函数 の自然な定義域が異なってくることに注意が必要である。 冪函数は実変数に対する函数として一般に定義することができる。自然数冪を持つ冪函数は、多項式函数あるいは冪級数の展開の基底を与える。また実数冪を持つ冪函数は物理学、生物学、経済学などにおいて関係するモデルを与える。 複素変数に関して有効な議論も中にはあるが、以下では専ら実変数 に関する冪函数について述べる。またより一般には、上記函数の定数倍 （単項式函数）をも含む意味で冪函数と呼ぶ場合もあるが、本項では常に のみを扱う。.
Concrete Mathematics
Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science（邦題：コンピュータの数学）は、、ドナルド・クヌース、による、計算機科学の分野で幅広く使用されている教科書である。.
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空積
数学における空積（くうせき、empty product）あるいは零項積 (nullary product) は、 個の因子を掛けた結果である。（考えている乗法演算に単位元が存在する場合に限り）「空積の値は単位元 1 に等しい」という規約を設ける。このことは、空和（すなわち0個の数を足した結果）が零元 0 に等しいと約束することと同様である。 用語 "空積" は算術的演算を議論するときに上の意味で使われることが多い。しかしながら、この用語は集合論の共通部分、圏論の積、コンピュータプログラミングにおける積に対しても使われる。これらは以下で議論される。.
等差数列
数学における等差数列（とうさすうれつ、arithmetic progression, arithmetic sequence; 算術数列）とは、「隣接する項が共通の差（公差）を持つ数列」() を言う。例えば、 はの等差数列である。 算術数列の初項を とし、その公差を とすれば、-番目の項 は a_n.
算法 (数学)
算法（さんぽう）には次の用法がある。.
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線型結合
線型結合（せんけいけつごう、）は、線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えば、ベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。 いくつかのベクトルを組み合わせると他のベクトルを作ることができる。例えば、2次元数ベクトルを例にとれば、ベクトル v.
組合せ数学
組合せ数学（くみあわせすうがく、combinatorics）や組合せ論（くみあわせろん）とは、特定の条件を満たす（普通は有限の）対象からなる集まりを研究する数学の分野。特に問題とされることとして、集合に入っている対象を数えたり（数え上げ的組合せ論）、いつ条件が満たされるのかを判定し、その条件を満たしている対象を構成したり解析したり（組合せデザインやマトロイド理論）、「最大」「最小」「最適」な対象をみつけたり（極値組合せ論や組合せ最適化）、それらの対象が持ちうる代数的構造をみつけたり（代数的組合せ論）することが挙げられる。.
環 (数学)
数学における環（かん、ring）は、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す（乗法単位元の存在を要求しない）こともある。定義に関する注意節を参照。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。 環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。 また、環論は基本的な物理法則（の根底にある特殊相対性）や物質化学における対称現象の理解にも寄与する。 環の概念は、1880年代のデデキントに始まる、フェルマーの最終定理に対する証明の試みの中で形成されていった。他分野（主に数論）からの寄与もあって、環の概念は一般化されていき、1920年代のうちにエミー・ネーター、ヴォルフガング・クルルらによって確立される。活発に研究が行われている数学の分野としての現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する（イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環（斜体）が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。.
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畳み込み級数
数学において、畳み込み級数（たたみこみきゅうすう、telescoping series; 望遠鏡級数）は、各項からその近くの後続または先行する項と打ち消しあう部分をとりだして、次々に項が消えていくことで和が求まるような級数である。。こうやって項を打ち消しあって和を求める方法は差分法 (method of differences) や和分法としても知られる。 たとえば、級数 は、以下のように簡単になる： \end.
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特殊関数
特殊関数（とくしゅかんすう、special functions）は、何らかの名前や記法が定着している関数であり、解析学、関数解析学、物理学、その他の応用分野でよく使われる関数であることが多い。 何が特殊関数であるかのはっきりした定義は存在しないが、しばしば特殊関数として扱われるものには、ガンマ関数、ベッセル関数、ゼータ関数、楕円関数、ルジャンドル関数、超幾何関数、ラゲール多項式、エルミート多項式などがある。一般には初等関数の対義語ではなく、ある関数が初等関数であって同時に特殊関数とされる場合もある。.
階乗
数学において非負整数 の階乗（かいじょう、factorial） は、1 から までのすべての整数の積である。例えば、 である。空積の規約のもと と定義する。 階乗は数学の様々な場面に出現するが、特に組合せ論、代数学、解析学などが著しい。階乗の最も基本的な出自は 個の相異なる対象を一列に並べる方法（対象の置換）の総数が 通りであるという事実である。この事実は少なくとも12世紀にはインドの学者によって知られていた。は1677年にへの応用として階乗を記述した。再帰的な手法による記述の後、Stedman は（独自の言葉を用いて）階乗に関しての記述を与えている: 感嘆符(!)を用いた、この "" という表記は1808年にによって発明された。 階乗の定義は、最も重要な性質を残したまま、非整数を引数とする函数に拡張することができる。そうすれば解析学における著しい手法などの進んだ数学を利用できるようになる。.
順列
初等組合せ論における順列（じゅんれつ、sequence without repetition、arrangement）は、区別可能な特定の元から有限個を選んで作られる重複の無い有限列をいう。 初等組合せ論における「」はともに n-元集合から -個の元を取り出す方法として可能なものを数え上げる問題に関するものである。取り出す順番を勘案するのが -順列、順番を無視するのが -組合せである。.
複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
調和数 (発散列)
数学において、n-番目の調和数（ちょうわすう、harmonic number）は 1 から n までの自然数の逆数和 である。これはまた、1 から n までの自然数の調和平均の逆数の n-倍に等しい。 調和数は遥か昔から研究され、数論の各分野において重要である。調和数の極限は、調和級数と呼ばれ（しばしば調和数もひっくるめて一口に調和級数と呼ぶこともある）、リーマンゼータ函数と近しい関係にあり、また種々の特殊函数のさまざまな表示に現れる。 十分大きな数の標本について、その出現頻度がジップの法則に従って分布するとき、全体の中で n-番目の頻度で現れる標本の総頻度は n-番目の調和数である。このことは長い尻尾およびの驚くべき帰結の一種を導く。.
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離散数学
離散数学（りさんすうがく、英語：discrete mathematics）とは、原則として離散的な（言い換えると連続でない、とびとびの）対象をあつかう数学のことである。有限数学あるいは離散数理と呼ばれることもある。 グラフ理論、組み合わせ理論、最適化問題、計算幾何学、プログラミング、アルゴリズム論が絡む応用分野で、その領域を包括的・抽象的に表現する際に用いられることが多い。またもちろん離散数学には整数論が含まれるが、初等整数論を超えると解析学などとも関係し（解析的整数論）、離散数学の範疇を超える。.
陰計算
1970年代以前の数学において "umbral calculus"（陰影の算法、陰計算（いんけいさん））は、ある種の「証明」に用いられるある種の暗喩的手法と、それとは一見して無関係のはずの多項式方程式との間に横たわる驚くべき関係についていうものであった。これらの手法は で導入されたもので、ブリサードの記号法 (Blissard's symbolic method) と呼ばれることもある。理論の展開には、この手法を広く用いたリュカ（やシルヴェスター）の貢献もある。 1930-40年代には umbral calculus に厳格な足場を築くことを試みた。 1970年代に、、ジャン・カルロ・ロタらは、多項式からなる空間上の線型汎函数を用いて umbral calculus を展開した。現在においては、umbral calculus とは（二項型およびアペル多項式列を含む）シェファー列の研究を指す言葉になっているが、それらもまた対応する系統的な和分差分学周辺の手法に包摂される。.
極 (複素解析)
数学の一分野の複素解析において、有理型函数の極 (pole) は、 の における特異点のような振る舞いをする特異点の一種である。点 が函数 の極であるとき、 が に近づくと函数は無限遠点へ近づく。.
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有限差分
数学における有限差分（ゆうげんさぶん、finite difference）は なる形の式を総称して言う。有限差分を で割れば、差分商が得られる。微分を有限差分で近似することは、微分方程式（特に境界値問題）の数値的解法である有限差分法において中心的な役割を果たす。 ある種の漸化式は多項間の関係式を有限差分で置き換えて差分方程式にすることができる。 今日では「有限差分」の語は、特に数値解法の文脈において、微分の有限差分近似の同義語としてもよく用いられる。有限差分近似は冒頭の用語法に則れば有限差分商のことである。 有限差分それ自体も、抽象的な数学的対象として研究の主題となり得るものである。例えばジョージ・ブール (1860), (1933), (1939) らの業績があり、それはアイザック・ニュートンにまで遡れる。そのような観点で言えば、有限差分に関する形式的な計算は無限小に関する計算の代替となるものである。.
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
0の0乗
の 乗（ぜろのぜろじょう、zero to the power of zero, 0 to the 0th power）は、累乗あるいは指数関数において、底を 、指数を としたものである。通常、指数関数 は実数 と に対して定義されているため、 はこの意味では定義されていない。その値は、指数の が「非負整数の 」であるような場合には と定義しておくと便利であることが多い一方で、0 と定義するのが便利である場合もある。少なくとも「実数あるいは複素数としての 0」であるような場合には、例えば二変数関数 を考えれば分かるように、原点 において自然な（二変数関数として連続となる）定義は存在しないから、連続性や解析性による延長はこの議論において有効でない。.
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上昇階乗、上昇階乗冪、上方階乗、上方階乗冪、下方階乗、下方階乗冪、下降階乗、下降階乗冪、昇冪、階乗冪函数、降冪。
