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15 関係: 単項イデアル整域、多項式、多項式環、不定積分、互いに素、ヘヴィサイドの展開定理、分数、和分、冪乗、因数定理、総和、複素数、除法、有理型関数、有理関数。
単項イデアル整域
代数学において単項イデアル整域（たんこうイデアルせいいき、あるいは主イデアル整域、principal ideal domain; PID）あるいは主環（しゅかん、anneau principal）とは、任意のイデアルが単項イデアルであるような（可換）整域のことである。 より一般に、任意のイデアルが単項イデアルであるような（零環でない）可換環を単項イデアル環と呼ぶ（この場合、整域とは限らない、つまり零因子をもつかもしれない）が、文献によっては（例えばブルバキなどでは）「主（イデアル）環」という呼称によって、ここでいう「単項イデアル整域」のことを指している場合があるので注意が必要である。.
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多項式
数学における多項式（たこうしき、poly­nomial）は、多数を意味するpoly- と部分を意味する -nomen あるいは nomós を併せた語で、定数および不定元（略式ではしばしば変数と呼ぶ）の和と積のみからなり、代数学の重要な対象となる数学的対象である。歴史的にも現代代数学の成立に大きな役割を果たした。 不定元がひとつの多項式は、一元多項式あるいは一変数多項式 と呼ばれ、不定元を とすれば のような形をしている。各部分 "", "", "", "" のことを項（こう、）と呼ぶ。一つの項だけからできている式を単項式 (monomial)、同様に二項式 (binomial)、三項式 (trinomial) などが、-nomial にラテン配分数詞を付けて呼ばれる。すなわち、多項式とは「多数」の「項」を持つものである。単項式の語が頻出であることに比べれば、二項式の語の使用はやや稀、三項式あるいはそれ以上の項数に対する語の使用はごく稀で一口に多項式として扱う傾向があり、それゆえ単項式のみ多項式から排他的に分類するものもある。また多項式のことを整式 (integral expression) と呼ぶ流儀もある。 多項式同士の等式として与えられる方程式は多項式方程式と呼ばれ、特に有理数係数の場合において代数方程式という。多項式方程式は多項式函数の零点を記述するものである。 不定元がふたつならば二元 (bivariate), 三つならば三元 (trivariate) というように異なるアリティを持つ多元多項式が同様に定義できる。算術あるいは初等代数学において、数の計算の抽象化として実数（あるいは必要に応じてより狭く有理数、整数、自然数）を代表する記号としての「文字」変数を伴う「」およびその計算を扱うが、それは大抵の場合多変数の多項式である。 本項では主として一元多項式を扱い、多元の場合にも多少触れるが、詳細は多元多項式の項へ譲る。.
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多項式環
数学、殊に抽象代数学における多項式環（たこうしきかん、polynomial ring）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルトの基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。セール予想のような多くの重要な予想が、他の環の研究に影響をもち群環や形式冪級数環のようなほかの環の定義にさえ影響を及ぼしている。.
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不定積分
関数の不定積分という用語には次に挙げる四種類の意味で用いられる場合がある。 (逆微分) 0) 微分の逆操作を意味する：すなわち、与えられた関数が連続関数であるとき、微分するとその関数に一致するような新たな関数（原始関数）を求める操作のこと、およびその原始関数の全体(集合)を 逆微分としての不定積分（antiderivative）と言う。 (積分論) 1) 一変数関数 に対して、定義域内の任意の閉区間 上の定積分が に一致する関数 を関数 の 不定積分 (indefinite integral) と言う。 (積分論) 2) 一変数関数の定義域内の定数 から変数 までの（端点が定数でない）積分で与えられる関数を関数 の を基点とする不定積分 (indefinite integral with base point) と言う。 (積分論) 3) ルベーグ積分論において定義域内の可測集合を変数とし、変数としての集合上での積分を値とする集合関数を関数 の 集合関数としての不定積分 (indefinite integral as a set-function) と言う。 海外の数学サイトでは wikipedia を含めて主として上記の (逆微分) 0) を記述している場合が多いが、岩波書店の数学辞典や積分論の現代的な専門書では上記の (積分論) での不定積分が記述されている。ただしこれらはそれぞれ無関係ではなく、後述するように、例えば (積分論) 1) は (積分論) 3) を数直線上で考えたものであって (逆微分) 0) と同等となるべきものであり、(積分論) 2) は本質的には (積分論) 1) や (積分論) 3) の一部分と見なすことができる。また (積分論) 2) から (逆微分) 0) を得ることもできるが、この対応は一般には全射でも単射でもない。これ以後、この項目で考える積分は、特に指定がない限り、リーマン積分であるものとする。 また後述するように、(積分論) の意味の不定積分を連続でない関数へ一般化すると、不定積分は通常の意味での原始関数となるとは限らなくなり、(初等数学) と一致しなくなるのだが、連続関数に対してはほぼ一致する概念であるため、しばしば混同して用いられる。.
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互いに素
二つの整数 が互いに素（たがいにそ、coprime, co-prime, relatively prime, mutually prime）であるとは、 を共に割り切る正の整数が のみであることをいう。このことは の最大公約数 が であることと同値である。 が互いに素であることを、記号で と表すこともある。 例えば と を共に割り切る正の整数は に限られるから、これらは互いに素である。一方で と は共に で割り切れるから、これらは互いに素でない。 互いに素であることの判定は素因数分解を用いて行うこともできるが、二つの整数のうち少なくとも一方が巨大である場合など一般には困難である。素因数分解によって公約数を調べる方法よりも、ユークリッドの互除法によって最大公約数を調べる方法のほうが遥かに高速である。 正の整数 と互いに素となる（ から の間の）整数の個数は、オイラー関数 によって与えられる。 三つの整数 が互いに素であるとは、 が成り立つことをいう。また、、、 がすべて に等しいとき、 は対ごとに素（pairwise coprime）またはどの二つも互いに素であるという。一般に、互いに素であるからといって対ごとに素であるとは限らない（例：）。一般の 個の整数についても同様に定義される。.
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ヘヴィサイドの展開定理
ヘヴィサイドの展開定理（ヘヴィサイドのてんかいていり、）は、ある種の関数のラプラス逆変換を与える定理である。オリヴァー・ヘヴィサイドはイギリスの電気技師。有理関数に関するもののみを指す場合が多いが、より一般の有理型関数に対する主張へ拡張される。以下では、有理関数のみ扱うものとする。.
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分数
分数（ぶんすう、fraction）とは 2 つの数の比を用いた数の表現方法のひとつである。.
和分
和分（わぶん）は階差・差分の逆の操作に関係する.
冪乗
冪演算（べきえんざん、英: 独: 仏: Exponentiation）は、底 (base) および冪指数 (exponent) と呼ばれる二つの数に対して定まる数学的算法である。通常は、冪指数を底の右肩につく上付き文字によって示す。自然数 を冪指数とする冪演算は累乗（るいじょう、repeated multiplication) に一致する。 具体的に、 および冪指数 を持つ冪 (power) は、 が自然数（正整数）のとき、底の累乗 で与えられる。このとき は の -乗とか、-次の -冪などと呼ばれる。 よく用いられる冪指数に対しては、固有の名前が与えられているものがある。例えば冪指数 に対して二次の冪（二乗） は の平方 (square of) あるいは -自乗 (-squared) と呼ばれ、冪指数 に対する三次の冪 は の立方 (cube of, -cubed) と呼ばれる。また冪指数 に対して冪 は であり の逆数（あるいは乗法逆元）と呼ばれる。一般に負の整数 に対して底 が零でないとき、冪 はふつう なる性質を保つように と定義される。 冪演算は任意の実数あるいは複素数を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数であるような冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば指数函数が、冪指数を固定して底を変数と見れば冪函数がそれぞれ生じる。整数乗冪に限れば、行列などを含めた非常に多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができるが、冪指数まで同種の対象に拡張するならばその上で定義された自然指数函数と自然対数函数を持つ完備ノルム環（例えば実数全体 や複素数全体 などはそう）を想定するのが自然である。.
因数定理
初等代数学における因数定理（いんすうていり、factor theorem）は、と多項式の根を結びつける定理である。因数定理は剰余の定理の特別の場合になっている。; 定.
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総和
数学において、総和（そうわ、summation）とは与えられた数を総じて加えることである。.
複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
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除法
法（じょほう、division）とは、乗法の逆演算であり四則演算のひとつに数えられる二項演算の一種である。除算、割り算とも呼ばれる。 除法は ÷ や /, % といった記号を用いて表される。除算する 2 つの数のうち一方の項を被除数 (dividend) と呼び、他方を除数 (divisor) と呼ぶ。有理数の除法について、その演算結果は被除数と除数の比を与え、分数を用いて表すことができる。このとき被除数は分子 (numerator)、除数は分母 (denominator) に対応する。被除数と除数は、被除数の右側に除数を置いて以下のように表現される。 除算は商 (quotient) と剰余 (remainder) の 2 つの数を与え、商と除数の積に剰余を足したものは元の被除数に等しい。 剰余は余りとも呼ばれ、除算によって「割り切れない」部分を表す。剰余が 0 である場合、「被除数は除数を割り切れる」と表現され、このとき商と除数の積は被除数に等しい。剰余を具体的に決定する方法にはいくつかあるが、自然数の除法については、剰余は除数より小さくなるように取られる。たとえば、 を で割った余りは 、商は となる。これらの商および剰余を求める最も原始的な方法は、引けるだけ引き算を行うことである。つまり、 を で割る例では、 から を 1 回ずつ引いていき（）、引かれる数が より小さくなるまで引き算を行ったら、その結果を剰余、引き算した回数を商とする。これは自然数の乗法を足し算によって行うことと逆の関係にある。 剰余を与える演算に % などの記号を用いる場合がある。 除数が である場合、除数と商の積は必ず になるため商を一意に定めることができない。従ってそのような数 を除数とする除法の商は未定義となる（ゼロ除算を参照）。 有理数やそれを拡張した実数、複素数における除法では、整数や自然数の除法と異なり剰余は用いられず、 という関係が除数が 0 の場合を除いて常に成り立つ。この関係は次のようにも表すことができる。 実数などにおける定義から離れると、除法は乗法を持つ代数的構造について「乗法の逆元を掛けること」として一般化することができる。一般の乗法は交換法則が必ずしも成り立たないため、除法も左右 2 通り考えられる。.
有理型関数
複素解析において、有理型関数（ゆうりけいかんすう、ゆうりがたかんすう、meromorphic function）あるいは、関数が有理型（ゆうりけい、）であるとは、複素数平面あるいは連結リーマン面のある領域で定義され、その中で極（仮性特異点）以外の特異点を持たない解析関数（特異点以外では正則な関数）のことを指す。 有理型関数は正則関数の商として表すことができ、その分母となる正則関数の零点が元の有理型関数の極となる（分母は定数関数 0 ではない）。.
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有理関数
数学における有理関数（ゆうりかんすう、rational function）は、二つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として書ける関数の総称である。抽象代数学においては変数と不定元とを区別するので、後者の場合を有理式と呼ぶ。.
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