ロゴ
ユニオンペディア
コミュニケーション
Google Play で手に入れよう
新しい! あなたのAndroid™デバイスでユニオンペディアをダウンロードしてください!
インストール
ブラウザよりも高速アクセス!
 

論理演算

索引 論理演算

論理演算(ろんりえんざん、logical operation)は、論理式において、論理演算子などで表現される論理関数(ブール関数)を評価し(正確には、関数適用を評価し)、変数(変項)さらには論理式全体の値を求める演算である。 非古典論理など他にも多くの論理の体系があるが、ここでは古典論理のうちの命題論理、特にそれを形式化したブール論理に話を絞る。従って対象がとる値は真理値の2値のみに限られる。また、その真理値の集合(真理値集合)と演算(演算子)はブール代数を構成する。 コンピュータのプロセッサやプログラミング言語で多用されるものに、ブーリアン型を対象とした通常の論理演算の他に、ワード等のビット毎に論理演算を行なう演算があり、ビット演算という。 なお、以上はモデル論的な議論であり、証明論的には、公理と推論規則に従って論理式を変形(書き換え)する演算がある(証明論#証明計算の種類)。.

38 関係: 古典論理否定論理和否定論理積吸収法則交換法則マスク (情報工学)モデル理論ブーリアン型ブール代数ブール論理ブール関数プログラミング言語プロセッサビットビット演算ド・モルガンの法則ベン図分配法則命題論理オイラー図カルノー図冪等公理真理値結合法則非古典論理証明論論理学論理包含論理和論理回路論理積論理演算子NANDゲートNORゲート推論規則数学数理論理学

古典論理

古典論理(こてんろんり, classical logic)は形式論理の部類で、最も研究され最も広く使われている論理である。標準論理(standard logic)とも呼ばれる。.

新しい!!: 論理演算と古典論理 · 続きを見る »

否定論理和

否定論理和(ひていろんりわ)とは、与えられた複数の命題の全てが偽であることを示す論理演算である。NORと表記される。矢印の「↓」を用いて"A ↓ B"とする表記方法もある。.

新しい!!: 論理演算と否定論理和 · 続きを見る »

否定論理積

否定論理積(ひていろんりせき)とは、与えられた複数の命題のうちに偽であるものが含まれることを示す論理演算である。NANDと表記される。別の表記法として、Henry M. Shefferが1913年に導入したシェファーの棒記号(Sheffer stroke、記号 "|" で表す)や矢印の「↑」を用いる表記法もある。.

新しい!!: 論理演算と否定論理積 · 続きを見る »

吸収法則

吸収法則(きゅうしゅうほうそく、Absorption law)は、代数学において1対の二項演算を結びつける恒等式である。吸収律あるいは簡約律とも。 任意の二項演算 $ と % について吸収法則が成り立つとは、次の式が成り立つことを意味する。 このとき、演算 $ と % は一種の双対である。 2つの二項演算について閉じている集合があるとする。これらの演算に交換法則と結合法則が成り立ち、吸収法則も成り立つ場合、これらを抽象代数学的には束と呼ぶ。また、2つの演算子を「交わり」と「結び」と呼ぶ。交換法則と結合法則は、一般的な代数的構造でも成り立つことが多いので(例えば、実数の加算と乗算など)、吸収法則が束を特徴付けていると言える。ブール代数やハイティング代数は束の一種なので、これらも吸収法則に従う。 古典論理学がブール代数のモデルであるように、直観論理とハイティング代数には同様の関係がある。そのため、それぞれ論理和と論理積に対応する演算 \vee と \wedge に吸収法則が成り立つ。 ここで、.

新しい!!: 論理演算と吸収法則 · 続きを見る »

交換法則

交換法則(こうかんほうそく、Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則(かかんそく)や交換律(こうかんりつ)ともいう。.

新しい!!: 論理演算と交換法則 · 続きを見る »

マスク (情報工学)

ンピュータでの演算でマスク(英: mask)とは、ビット演算と呼ぶビット単位の操作を行う処理である。ビットマスク (bit mask) とも。 マスクを使用すると、バイト、ニブル、ワードなどの複数のビットを同時にオンやオフにしたり、ビット単位にオン/オフを反転させたり、また特定のビットの状態を知ることができる。注目するビットを操作し、それ以外のビットを操作対象外として覆うことから、顔の口に当てる「マスク」などのようにマスクと呼ぶ。 むしろそのように「使用すると何かができる」ということよりも、「使用しなければならない」という場合のほうが多い。一般に、ほとんどのコンピュータの命令セットは、レジスタの一部のビットのみ、あるいは、メモリの一部のビットのみを操作する、というような命令を持たない(少ないが、持っているものもある)。なので、レジスタやメモリ中の一部のビットのみを操作したい、という場合は、ビットマスクで論理ビット演算(bitwise operation)を行わねばならないのである。メモリが対象の場合は、さらに「リード・モディファイ・ライト」が必要な場合も多い。.

新しい!!: 論理演算とマスク (情報工学) · 続きを見る »

モデル理論

モデル理論(model theory)は、数理論理学による手法を用いて数学的構造(例えば、群、体、グラフ:集合論の宇宙)を研究(分類)する数学の分野である。 モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与える構造としてのモデルである。もし言語のモデルがある特定の文または理論(特定の条件を満足する文の集合)を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。 モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。 この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする有限モデル理論は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなっている。完全性は高階述語論理または無限論理において一般的には成立しないため、これらの論理に対するモデル理論は困難なものとなっている。しかしながら、研究の多くの部分はそのような言語によってなされている。.

新しい!!: 論理演算とモデル理論 · 続きを見る »

ブーリアン型

ブーリアン型(ブーリアンがた、Boolean datatype)は、真理値の「真.

新しい!!: 論理演算とブーリアン型 · 続きを見る »

ブール代数

ブール代数(ブールだいすう、boolean algebra)またはブール束(ブールそく、boolean lattice)とは、ジョージ・ブールが19世紀中頃に考案した代数系の一つである。ブール代数の研究は束の理論が築かれるひとつの契機ともなった。ブール論理の演算はブール代数の一例であり、現実の応用例としては、組み合わせ回路(論理回路#組み合わせ回路)はブール代数の式で表現できる。.

新しい!!: 論理演算とブール代数 · 続きを見る »

ブール論理

ブール論理(ブールろんり、Boolean logic)は、古典論理のひとつで、その名称はブール代数ないしその形式化を示したジョージ・ブールに由来する。 リレーなどによる「スイッチング回路の理論」として1930年代に再発見され(論理回路#歴史を参照)、間もなくコンピュータに不可欠な理論として広まり、こんにちでは一般的に使われている。 本項目では、集合代数を用いて、集合、ブール演算、ベン図、真理値表などの基本的解説とブール論理の応用について解説する。ブール代数の記事ではブール論理の公理を満足する代数的構造の型を説明している。ブール論理はブール代数で形式化され2値の意味論を与えられた命題論理とみることができる。.

新しい!!: 論理演算とブール論理 · 続きを見る »

ブール関数

ブール関数(ブールかんすう、Boolean function)は、非負整数 k 個のブール領域 B.

新しい!!: 論理演算とブール関数 · 続きを見る »

プログラミング言語

プログラミング言語(プログラミングげんご、programming language)とは、コンピュータプログラムを記述するための形式言語である。なお、コンピュータ以外にもプログラマブルなものがあることを考慮するならば、この記事で扱っている内容については、「コンピュータプログラミング言語」(computer programming language)に限定されている。.

新しい!!: 論理演算とプログラミング言語 · 続きを見る »

プロセッサ

プロセッサ は、コンピュータシステムの中で、ソフトウェアプログラムに記述された命令セット(データの転送、計算、加工、制御、管理など)を実行する(=プロセス)ためのハードウェアであり、演算装置、命令や情報を格納するレジスタ、周辺回路などから構成される。内蔵されるある程度の規模の記憶装置までを含めることもある。プロセッサー、プロセサ、プロセッシングユニット、処理装置(しょりそうち)ともいう。「プロセッサ」は処理装置の総称で、システムの中心的な処理を担うものを「CPU()」(この呼称はマイクロプロセッサより古くからある)、集積回路に実装したものをマイクロプロセッサ、またメーカーによっては(モトローラなど)「MPU()」と呼んでいる。 プロセッサの構成要素の分類として、比較的古い分類としては、演算装置と制御装置に分けることがある。また、理論的な議論では、厳密には記憶装置であるレジスタすなわち論理回路の用語で言うところの順序回路の部分を除いた、組み合わせ論理の部分のみを指すことがある(状態機械モデルと相性が悪い)。の分類としては、実行すべき命令を決め、全体を制御するユニットと、命令を実行する実行ユニットとに分けることがある。.

新しい!!: 論理演算とプロセッサ · 続きを見る »

ビット

ビット (bit, b) は、ほとんどのデジタルコンピュータが扱うデータの最小単位。英語の binary digit (2進数字)の略であり、2進数の1けたのこと。量子情報科学においては古典ビットと呼ばれる。 1ビットを用いて2通りの状態を表現できる(二元符号)。これらの2状態は一般に"0"、"1"と表記される。 情報理論における選択情報およびエントロピーの単位も「ビット」と呼んでいるが、これらの単位は「シャノン」とも呼ばれる(詳細は情報量を参照)。 省略記法として、バイトの略記である大文字の B と区別するために、小文字の b と表記する。.

新しい!!: 論理演算とビット · 続きを見る »

ビット演算

ビット演算(ビットえんざん、bitwise operation: 直訳すると「ビット毎操作」)とは、固定長のワードなどといった「ビットのカタマリ」(コンピュータの数値表現なども参照)に対して、各のビット全てに対する論理演算をいっぺんに行う演算操作である。 実装の観点からは、現在一般的な二進法(ディジタル)式の電子式コンピュータでは、加減算ではビットあたり数個程度の論理ゲートに加え多少複雑なキャリー伝搬の処理が、乗除算では多段に渡る処理が必要であるのに対し、ビット演算は1個か高々2個の論理ゲートで行えるため、多くの場合、最短サイクルしか必要としない。そのことから、高性能なプログラムを実現するための機械語コーディングではビット演算の使いこなしは重要なテクニックである。 ビットマスクを利用したフラグ管理などに用いられるほか、Bitapアルゴリズムなど、各種のビット並列アルゴリズムの実装にも使われる。ビット並列アルゴリズムは特に、NEON(ARM)あるいはSSE/AVX(x86)などのSIMD拡張命令をサポートするCPUやGPUといった、容易に入手可能なハードウェアにおける高効率プログラミングの鍵である。.

新しい!!: 論理演算とビット演算 · 続きを見る »

ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則(ド・モルガンのほうそく、De Morgan の法則)は、ブール論理や集合の代数学において、論理和と論理積と否定(集合のことばでは、共通部分と合併と補集合)の間に成り立つ規則性である。名前は数学者オーガスタス・ド・モルガン(1806–1871)にちなむ。 この関係性は(論理のことばで言うと)「真と偽を入替え、論理和を論理積を入替えた論理体系」は、元の論理体系と同一視できる、ということであるので、ド・モルガンの双対性(英: De Morgan's duality)と呼ばれることもある。.

新しい!!: 論理演算とド・モルガンの法則 · 続きを見る »

ベン図

ベン図が描かれたステンドグラス ベン図(ベンず、もしくはヴェン図、Venn diagram)とは、複数の集合の関係や、集合の範囲を視覚的に図式化したものである。イギリスの数学者ジョン・ベン (John Venn) によって考え出された。ベンにゆかりの深いケンブリッジ大学のゴンヴィル・アンド・キーズ・カレッジには、ベン図を描いたステンドグラスがある。.

新しい!!: 論理演算とベン図 · 続きを見る »

分配法則

集合 S に対して、積 × と和 + が定義されている時に、.

新しい!!: 論理演算と分配法則 · 続きを見る »

命題論理

命題論理(propositional logic)とは、数理論理学(記号論理学)の基礎的な一部門であり、命題全体を1つの記号に置き換えて単純化し、論理演算を表す記号(論理記号・論理演算子)を用いて、その命題(記号)間の結合パターンを表現・研究・把握することを目的とした分野のこと。ブール論理はブール代数で形式化され2値の意味論を与えられた命題論理とみることができる。 命題を1つの記号で大まかに置き換える命題論理に対して、命題の述語(P)と主語(S)を、関数のF(x)のように別記号で表現し、更に量化子で主語(S)の数・量・範囲もいくらか表現し分けることを可能にした、すなわちより詳細に命題の内部構造を表現できるようにしたものを、述語論理と呼ぶ。.

新しい!!: 論理演算と命題論理 · 続きを見る »

オイラー図

イラー図(オイラーず、Euler diagram)は集合の相互関係を表す図。 考案者であるレオンハルト・オイラーの名をとってオイラー図と名付けられた。ベン図と似ているが、ベン図とは異なり、各集合を表す円が必ずしも重なっている必要はない(右図参照)。.

新しい!!: 論理演算とオイラー図 · 続きを見る »

カルノー図

ルノー図の例 カルノー図(カルノーず、Karnaugh map)は論理回路などにおいて論理式を簡単化するための表であり、その方法をカルノー図法という。よく似た概念にベイチ 図と呼ばれる図があり、変数と数字の書き方のみが異なる。.

新しい!!: 論理演算とカルノー図 · 続きを見る »

冪等

数学において、冪等性(べきとうせい、idempotence 「巾等性」とも書くが読み方は同じ)は、大雑把に言って、ある操作を1回行っても複数回行っても結果が同じであることをいう概念である。まれに等冪(とうべき)とも。抽象代数学、特に射影(projector)や閉包(closure)演算子に見られる特徴である。"idempotence" という単語はラテン語の "idem"(同じ.

新しい!!: 論理演算と冪等 · 続きを見る »

公理

公理(こうり、axiom)とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された(形式的な)言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明(絶対的)な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.

新しい!!: 論理演算と公理 · 続きを見る »

真理値

真理値 (しんりち、truth value) は、命題論理などの命題の真偽を示す値である。英語のTrueとFalseから、真に対してT、偽に対してFという記号をあてることもある。論理値 (logical value) も同じ。真と偽という値をとることから真偽値ともいうが、非古典論理などで多値論理における「真らしさ」の値も(真と偽以外の値にもなる)真理値である。 コンピュータプログラミング言語などのデータ型では、真理値のような型として真理値型(真偽値型、ブーリアン型などとも)があるものがある。関係演算子の結果などがブーリアン型であり、さらに論理演算子などで組み合わせることができ、それをif文などの制御構造や、条件演算子などで使用できる。.

新しい!!: 論理演算と真理値 · 続きを見る »

結合法則

数学、殊に代数学における結合法則(けつごうほうそく、associative law) 、結合則、結合律あるいは演算の結合性(けつごうせい、associativity)は二項演算に対して考えられる性質の一つ。ひとつの数式にその演算の演算子が2個以上並んでいる時、その演算子について、左右どちらの側が優先されるかに関わらず結果が同じになるような演算は結合的 (associative) である。.

新しい!!: 論理演算と結合法則 · 続きを見る »

非古典論理

非古典論理(ひこてんろんり、non-classical logic(s))は、古典論理におけるいくつかの仮定を否定、もしくは置き換えることによって構築された論理、あるいは、古典論理における仮定をすべて認めた上で新たな仮定を付け加えることによって構築された論理の総称である。.

新しい!!: 論理演算と非古典論理 · 続きを見る »

証明論

証明論(proof theory)は、数理論理学の一分野であり、証明を数学的対象として形式的に表し、それに数学的解析を施す。.

新しい!!: 論理演算と証明論 · 続きを見る »

論理学

論理学(ろんりがく、)とは、「論理」を成り立たせる論証の構成やその体系を研究する学問である。.

新しい!!: 論理演算と論理学 · 続きを見る »

論理包含

P \rightarrow Q のベン図による表現 論理包含(ろんりほうがん、含意(がんい)、内含、implication、IMP)は、第1命題が偽または第2命題が真のときに真となる論理演算である。条件文(じょうけんぶん、conditional)とほぼ同じものである。論理的帰結(logical consequence)や伴意(entailment)とは異なる物であり、論理的帰結の項目を参照。 2つの命題 P と Q に対する論理包含を P → Q などと書き、「P ならば Q」と読む。命題 P → Q に対し、P をその前件、Q をその後件などと呼ぶ。.

新しい!!: 論理演算と論理包含 · 続きを見る »

論理和

''P'' ∨ ''Q'' のベン図による表現 数理論理学において論理和(ろんりわ、Logical disjunction)とは、与えられた複数の命題のいずれか少なくとも一つが真であることを示す論理演算である。離接(りせつ)、選言(せんげん)とも呼び、ORとよく表す。 二つの命題 P, Q に対する論理和を P ∨ Q と書き、「P または Q」と読む。後述のように、日常会話における「または」とは意味が異なる。.

新しい!!: 論理演算と論理和 · 続きを見る »

論理回路

論理回路(ろんりかいろ、logic circuit)は、論理演算を行う電気回路及び電子回路である。真理値の「真」と「偽」、あるいは二進法の「0」と「1」を、電圧の正負や高低、電流の方向や多少、位相の差異、パルスなどの時間の長短、などで表現し、論理素子などで論理演算を実装する。電圧の高低で表現する場合それぞれを「」「」等という。基本的な演算を実装する論理ゲートがあり、それらを組み合わせて複雑な動作をする回路を構成する。状態を持たない組み合わせ回路と状態を持つ順序回路に分けられる。論理演算の結果には、「真」、「偽」の他に「不定」がある。ラッチ回路のdon't care, フリップフロップ回路の禁止が相当する。 ここでの論理は離散(digital)であるためディジタル回路を用いる。論理演算を行うアナログ回路、「アナログ論理」を扱う回路(どちらも「アナログ論理回路」)もある。 多値論理回路も量子コンピュータで注目されている。 電気(電子)的でないもの(たとえば流体素子や光コンピューティングを参照)もある。 以下では離散なデジタル回路を扱う。.

新しい!!: 論理演算と論理回路 · 続きを見る »

論理積

数理論理学において論理積(ろんりせき、logical conjunction)とは、与えられた複数の命題のいずれもが例外なく真であることを示す論理演算である。合接(ごうせつ)、連言(れんげん、れんごん)とも呼び、ANDとよく表す。 二つの命題 P, Q に対する論理積を P ∧ Q と書き、「P かつ Q」や「P そして Q」などと読む。 ベン図による論理積P \wedge Q の表.

新しい!!: 論理演算と論理積 · 続きを見る »

論理演算子

論理演算子(ろんりえんざんし、Logical operator)は、コンピュータプログラミング言語など(コンピュータ関係に限らず、命題論理の命題においてなど、普通にもっと一般に使われる)における論理演算の演算子である。プログラミング言語の場合は短絡評価の演算子であることが多い。 ベン図による論理積 (AND) ベン図による論理和 (OR) ベン図による論理否定 (NOT) Category:プログラミング言語の構文.

新しい!!: 論理演算と論理演算子 · 続きを見る »

NANDゲート

NANDゲートは否定論理積の論理ゲートであり、その(論理的な)動作は全ての入力の論理積(AND)をとったものの反転(NOT)である。つまり、全ての入力がHighの場合のみ出力がLowになり、Lowの入力がひとつでもある場合はHighを出力する。 NAND論理の完全性(:en:Functional completeness)により、いかなる組合せ論理回路の論理もNANDゲートの組合せで実装できる。それを利用して、NANDのみで実装することで同種の回路のみで構成することができるため、結果としてコスト削減になるという主張もある。 汎用ロジックICシリーズにおいて、最も基本的な製品群として大量生産されたのは、完全性という論理的な理由よりも、実装の容易さ等による面が大きい。 全加算器.

新しい!!: 論理演算とNANDゲート · 続きを見る »

NORゲート

全加算器の動作概念図 NORゲートは否定論理和の論理ゲートであり、その(論理的な)動作は、否定論理和すなわち、全ての入力の論理和(OR)をとったものの反転(NOT)である。つまり、全ての入力がLowの場合のみ出力がHighになり、Highの入力がひとつでもある場合はLowを出力する。 NANDゲート(否定論理積)と同様 functional complete である(詳細は否定論理積#完全性を参照)。.

新しい!!: 論理演算とNORゲート · 続きを見る »

推論規則

推論規則(すいろんきそく、rule of inference, inference rule, transformation rule)とは、論理式から他の論理式を導く推論の規則である。 記号、公理、代入規則、推論規則によって理論を形式化したものを公理系という。 公理は記号だけで記述されるが、推論規則や代入規則はこれらの記号について述べているメタ言語で記述される。 恒真式 (トートロジー)から推論規則を導くと妥当性のある推論になる。.

新しい!!: 論理演算と推論規則 · 続きを見る »

数学

数学(すうがく、μαθηματικά, mathematica, math)は、量(数)、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

新しい!!: 論理演算と数学 · 続きを見る »

数理論理学

数理論理学(mathematische Logik、mathematical logic)は、論理学(形式論理学)の数学への応用の探求ないしは論理学の数学的な解析を主たる目的とする、数学の関連分野である。局所的には数理論理学は超数学、数学基礎論、理論計算機科学などと密接に関係している。数理論理学の共通な課題としては形式体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。 数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学(とくに)における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細はを参照。 この分野が始まって以来、数理論理学は数学基礎論の研究に貢献し、また逆に動機付けられてきた。数学基礎論は幾何学、算術、解析学に対する公理的な枠組みの開発とともに19世紀末に始まった。20世紀初頭、数学基礎論は、ヒルベルトのプログラムによって、数学の基礎理論の無矛盾性を証明するものとして形成された。クルト・ゲーデルとゲルハルト・ゲンツェンによる結果やその他は、プログラムの部分的な解決を提供しつつ、無矛盾性の証明に伴う問題点を明らかにした。集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。しかしながら、集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。むしろ現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか(逆数学のように)ということに焦点を当てている。.

新しい!!: 論理演算と数理論理学 · 続きを見る »

ここにリダイレクトされます:

ブール演算論理結合子論理記号

出ていきます入ってきます
ヘイ!私たちは今、Facebook上です! »