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証明

索引 証明

証明(しょうめい)とは、ある事柄が真理もしくは事実であることを明らかにすること。また、その内容。.

53 関係: 反例否定同値墓石記号多項式時間大辞泉定理実証主義対偶 (論理学)対話小学館帰納事実亀がアキレスに言ったこと仮説保証ミステリ判断力命題命題論理アルファベット (計算機科学)シークエント計算内容公理前提理論社会生活神の存在証明素数真理無視可能性独立 (確率論)裁判官証明論証明責任証拠計算機言語高等学校鳩の巣原理述語論理背理法自然数PSPACEQ.E.D.推論規則松村明正当性演繹...有限集合悪魔の証明数学的帰納法 インデックスを展開 (3 もっと) »

反例

反例(はんれい、counterexample) とは、なんらかの条件と性質について、「その条件を満たすすべてのものがその性質を持っている」という主張が正しくないことを示すために持ち出される、「その条件を満たしてはいるがその性質は持たないなにか」のことである。つまり、論理式 ∀x P(x) が成り立たないことを証明するために導入される、¬P(a) を満たすような a のことである。 反例が存在する場合、∃x ¬P(x) が成立し、これが元の論理式の否定になるため、∀x P(x) は成り立たない。.

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否定

数理論理学において否定 (ひてい、Negation) とは、命題の真と偽を反転する論理演算である。否定は英語で Not であるが、Invert とも言われ論理演算ではインバージョン(Inversion)、論理回路では Not回路やインバータ回路(Inverter)とも呼ばれ入力に対して出力が反転する。 命題 P に対する否定を ¬P, P, !P などと書いて、「P でない」とか「P の否定」、「P 以外の場合」などと読む。 ベン図による論理否定(NOT).

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同値

同値(どうち)または等価(とうか)とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、.

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墓石記号

墓石記号(はかいしきごう、tombstone mark)とは、数学において証明の終わりを示すために用いられる四角形の記号である。証明終了記号(end of proof mark)、Q.E.D.記号(Q.E.D. mark)、ハルモス記号(Halmos mark)、ハルモスの箱(Halmos box)とも呼ばれる。従来Q.E.D.と書かれていた箇所に、その代わりに表示される。雑誌では、記事の終わりを示すためにこの記号が用いられることがある。 Unicodeでは、に割り当てられている。表示のされ方は環境により異なる。中身が塗りつぶされている(■)または中空(□)、外形が正方形または長方形のいずれであっても良い。 AMS-LaTeXでは、証明環境 \begin...

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多項式時間

多項式時間(たこうしきじかん)とは計算理論において多項式で表される計算時間。 多項式時間のアルゴリズムとは、解くべき問題の入力サイズnに対して、処理時間の上界としてnの多項式で表現できるものが存在するアルゴリズムを指す。問題入力サイズの増大に対する、処理時間の増大を表すものであることに注意されたい。 たとえばバブルソートの処理時間は要素数nに対して要素の比較・交換を行う回数は高々 \frac n(n-1) である。したがって、この場合の最悪計算量のオーダーは''O''記法を用いてO()と表される。 またクイックソートの期待計算量のオーダーはO(n \log n)、最悪計算量のオーダーはO()である。.

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大辞泉

『大辞泉』(だいじせん)は小学館が発行する中型国語辞典。.

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定理

定理(ていり、theorem)とは、数理論理学および数学において、証明された真なる命題をいう。 文脈によっては公理も定理に含む。また、数学においては論説における役割等から、補題(ほだい、lemma)あるいは補助定理(ほじょていり、helping theorem)、系(けい、corollary)、命題(めいだい、proposition)などとも呼ばれることがある。ここでの「命題」と冒頭文に言う命題とは意味が異なることに注意。 一般的に定理は、まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている。例えば、次は代数学の基本定理の述べ方の1つである。 ある一定の条件(公理系)下で定理を述べそれを証明すること、というのが数学という分野の中心的な研究の形態である。 数学の多くの分野には、各々「基本定理」という名で呼ばれる中心的な定理が存在している。なお定理という名称と証明という手続きは、数学のみならず、物理や工学においても使用される。.

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実証主義

実証主義(じっしょうしゅぎ、positivism、positivisme、Positivismus)は、狭い意味では実証主義を初めて標榜したコント自身の哲学を指し、広い意味では、経験的事実に基づいて理論や仮説、命題を検証し、超越的なものの存在を否定しようとする立場である。 英語の「positive」は、もともと「(神によって)置かれた」を意味するラテン語「positivus」に由来する。この原義から転じて、実証主義における「positive」とは、経験的に裏付けられたものを意味する。.

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対偶 (論理学)

対偶(たいぐう、Contraposition)とは、ある命題が成立する場合に、その命題の仮定と結論の両方を否定した命題も成立するという命題同士の関係性の事を言う。 命題「AならばB」の対偶は「BでないならAでない」である。 論理記号を用いて説明すると、命題「A ⇒ B」の対偶は「¬B⇒ ¬A」(¬A は命題 A の否定)である。 通常の数学では、命題「AならばB」の真偽とその対偶「BでないならAでない」の真偽とは必ず一致する(すなわち真理値が等しい)。 数学では、元の命題「AならばB」の証明が難しくても、その対偶「BでないならAでない」の証明は比較的易しい場合がある。「AならばB」と「BでないならAでない」との真偽は一致するので、このようなときには対偶「BでないならAでない」のほうを証明すれば「AならばB」を証明できる(対偶論法)。.

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対話

対話(たいわ、dialogue, ダイアローグ)とは、2人の会話によって進行される叙述形式のこと。この対話形式を採用した文学・哲学作品のことを対話篇(たいわへん)と呼んだりもする。 一人語り(monologue, モノローグ)と対比される。.

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小学館

株式会社小学館(しょうがくかん)は、東京都千代田区にある日本の総合出版社。系列会社グループの通称「一ツ橋グループ」の中核的存在である。.

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帰納

帰納(きのう、、)とは、個別的・特殊的な事例から一般的・普遍的な規則・法則を見出そうとする論理的推論の方法のこと。演繹においては前提が真であれば結論も必然的に真であるが、帰納においては前提が真であるからといって結論が真であることは保証されない。 なお数学的帰納法・構造的帰納法・整礎帰納法・完全帰納法・累積帰納法・超限帰納法などの帰納法は、名前と違い帰納ではなく演繹である。.

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事実

事実(じじつ、ラテン語 factum、フランス語 fait、英 fact)とは、.

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亀がアキレスに言ったこと

亀がアキレスに言ったこと」(かめがアキレスにいったこと、What the Tortoise Said to Achilles)は、1895年にルイス・キャロルが哲学雑誌『Mind』に書いた短い対話編。この文章の中でキャロルによって提示された問題は現在「ルイス・キャロルのパラドックス」(Lewis Caroll's Paradox)、または単に「キャロルのパラドックス」と呼ばれることもある。文中で対話を行う「アキレス」と「亀」は、アキレスが決して亀を追い抜くことができない、という運動に関するゼノンのパラドックスから取られている。キャロルはこの2人の対話を通して、論理学の基礎的な問題をユーモラスに提示してみせた。 この対話において、亀はアキレスに対し「論理の力を使って自分を納得させてみろ」と吹っ掛ける。つまり「単純な演繹からでてくる結論を私に認めさせてみろ」と言う。しかし結局アキレスはそれができない。なぜなら、カメが論理学の基本的な推論規則に対して「なぜそうなのか?」という問いを発し続けてアキレスを無限後退に追いやるためである。.

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仮説

仮説(かせつ、hypothesis)とは、真偽はともかくとして、何らかの現象や法則性を説明するのに役立つ命題のこと。.

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保証

保証(ほしょう)とは、民法上に規定された契約としての保証(保証契約)のことである。 民法について、以下では条数のみ記載する。.

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ミステリ

ミステリ、ミステリー、ミステリイ (英:mystery)とは、.

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判断力

判断力(はんだんりょく)とは、物事について個人的な判断をなすことのできる能力のことである。それは、可能性、能力の問題でもあるといわれる。そこから、判断力の有無についての議論も生じてくる。 イマヌエル・カントの『判断力批判』がこの分野の古典としてよく知られている。カントの判断力は、Urteilskraftと標記し、これは純粋理性や実践理性に対置して用いられ、主に趣味的な判断をなすことのできる能力と理解されていた。つまり、判断力とはカントでは、正しい認識の能力ではなく、真偽を見抜く純粋理性と、何をなすべきか、ことの善悪を見抜く実践理性との間に橋を架けるような能力として考えられていたのである。 犯罪などで、この能力が劣っている人間は罰せられない、といったことが言われるが、哲学の分野でのこの用語の用法とはかならずしも整合していない。.

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命題

命題(めいだい、proposition)とは、論理学において判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの。また数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題のこと。西周による訳語の一つ。 厳密な意味での命題の存在は、「意味」の存在と同様に、疑問を投げかける哲学者もいる。また、「意味」の概念が許容される場合にあっても、その本質は何であるかということにはなお議論のあるところである。古い文献では、語の集まりあるいはその語の集まりの表す「意味」という意味で命題という術語を用いているかどうかということが、つねに十分に明らかにされているわけではなかった。 現在では、論争や存在論的な含みを持つことを避けるため、ある解釈の下で(真か偽のいずれであるかという)真理の担い手となる記号列自体について述べる時は、「命題」という代わりに「文 (sentence)」という術語を用いる。ストローソンは「言明 ("statement")」 という術語を用いることを提唱した。.

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命題論理

命題論理(propositional logic)とは、数理論理学(記号論理学)の基礎的な一部門であり、命題全体を1つの記号に置き換えて単純化し、論理演算を表す記号(論理記号・論理演算子)を用いて、その命題(記号)間の結合パターンを表現・研究・把握することを目的とした分野のこと。ブール論理はブール代数で形式化され2値の意味論を与えられた命題論理とみることができる。 命題を1つの記号で大まかに置き換える命題論理に対して、命題の述語(P)と主語(S)を、関数のF(x)のように別記号で表現し、更に量化子で主語(S)の数・量・範囲もいくらか表現し分けることを可能にした、すなわちより詳細に命題の内部構造を表現できるようにしたものを、述語論理と呼ぶ。.

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アルファベット (計算機科学)

形式言語とオートマトンの理論において、アルファベット (英: alphabet) または字母とは、文字や数字などといったような「記号」の有限の集合のこと。有限の文字列は、アルファベットからなる文字の有限の並びである。特に、からなるアルファベットはバイナリアルファベットと呼ばれる。また、二進列 (binary string)は、バイナリアルファベットの並びである。また、うまく処理することで、無限の文字の並びも考えることが可能である。 アルファベットΣが与えられたとき、Σ*はアルファベットΣからなる有限の文字列全てを意味する。ここでの*はクリーネ閉包を意味する演算子である。また、\Sigma^\infty (or occasionally, \Sigma^\N or \Sigma^\omega)は、アルファベットΣからなる無限の文字列全てを意味する。 例えばバイナリアルファベットからはのような文字列が生成できる(εは空文字列を意味する)。.

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シークエント計算

ークエント計算(シークエントけいさん、Sequent calculus)は、一階述語論理や特殊な命題論理で広く用いられる演繹手法である。類似の手法もシークエント計算と呼ぶことがあるので、LK と呼んで区別することがある。また類似の手法も含め、総称してゲンツェン・システムとも呼ばれる。 シークエント計算とその概念全般は証明論や数理論理学において重要な意味を持つ。以下では LK について解説する。.

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内容

内容(ないよう).

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公理

公理(こうり、axiom)とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された(形式的な)言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明(絶対的)な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.

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前提

前提(ぜんてい)とは、ある物事が成り立つためにあらかじめ満たされていなければならない条件のことをいう。論理学・言語学では、いくつか異なった文脈で用いられる。.

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理論

論(りろん、theory, théorie, Theorie)とは対象となる事象の原因と結果の関係を説明する一般的な論述である。自然科学、人文科学、社会科学などの科学または学問において用いられている。.

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社会生活

会生活(しゃかいせいかつ)とは、人間が生活をしていく中で、それが社会の一員として行われていくような部分のことを言う。成人をした者が就職をして社会人としての生活ができているようならば、その者は社会生活を送ることができていると言える。社会生活というのは現在の国民の置かれている状況の現れであり、それは日本政府や地方自治体が定期的に実施しているアンケートなどを元として作成したデータの閲覧などから知ることができる。 社会生活を送ることができている者というのは健康な者であるということである。この場合の健康というのは病気を患っていないということも意味しているが、これだけでなく精神的にも健康であるということである。精神的に健康であるということは社会においての人間関係が良い形で築き上げることができていることであり、精神的に健康であるならば、病気を患う危険性が減少したり、患った場合にでも治癒をする事が容易であるなどという利点が存在する。.

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神の存在証明

の存在証明(かみのそんざいしょうめい、英語:Existence of God)とは、主として(少なくとも、西欧哲学でこの言葉を使うときは)、中世哲学における理性による、神の存在の根拠の提示を意味する。神の存在は、諸事物の存在が自明であると同様に、自明と考えられていたが、トマス・アクィナスが『神学大全』において取った立場が示すように、神は、自然なる理性においても、その存在や超越的属性が論証可能な存在である。このように神の存在を、理性(推論)によって導出する手順が、「神の存在証明」と呼ばれる。神の存在証明は、古代から中世にかけての哲学的思索の中で、代表的には3つのものが知られ、これに、3つの神の存在証明を全て論駁し否定したイマニュエル・カントが、彼自身の哲学の帰結として要請した「神の存在」の根拠が加わって、4種類が存在する。 また、この4種類の存在証明は、いわば典型的な論証形式のパターン区別に当たり、他の様々な個別的な思想家が、神の存在証明を試みてきた。.

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素数

素数(そすう、prime number)とは、 より大きい自然数で、正の約数が と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が である自然数と言い換えることもできる。 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。 一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される(そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる)。このため、有理整数環 \mathbb Z での素数は有理素数(ゆうりそすう、rational prime)と呼ばれることもある。 最小の素数は である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる。 素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のユークリッドの著書『原論』で既に証明されていた。 自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。 分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。2018年1月現在で知られている最大の素数は、2017年12月に発見された、それまでに分かっている中で50番目のメルセンヌ素数 であり、十進法で表記したときの桁数は2324万9425桁に及ぶ。.

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真理

真理(しんり、ἀλήθεια、veritas、truth、vérité、Wahrheit)とは、確実な根拠によって本当であると認められたこと。ありのまま誤りなく認識されたことのあり方。真実とも。 真理は、現実や事実と異なり、妨害・障害としての虚偽・誤謬を対義語としており、露わさ、明らかさ、隠れなさに重点がある。そのものありのままであり、あらわであり、その本質が覆われていない、という意義に関しては、哲学的には本質主義や同一性とも関わりが深い。西欧哲学において真理論は論理学や認識論においてとりわけ主題化される。 真理論の歴史は、古代ギリシアに始まる。人間を尺度とする相対的なものの見方に反論する形で、永遠性・普遍性を有する真理の概念が生まれた。このような絶対性を内実とする真理概念は独断主義を生み、これに対する防衛・反抗が懐疑主義を生んだ。そのどちらにも陥らず、確実な知識の基礎付けを求めて近代の認識論が始まり、その後、真理の担い手が思惟・観念・判断、命題、「事物」(羅:res、レス)等のいずれであるか、について議論がなされてきた。現代論理学では真理の担い手は命題であるとされ、真と偽を合わせて真理値という。論理学で、「Pは○か○でないかのいずれかである(○であり、かつ○でない、ということはない)」という形をした文は○の内容に関係なく正しいので、これは「形式的真理」と呼ばれ、思惟と思惟自身の一致と定義される。このような形式的な形相についてではなく、質料について真理が語られるときは「実体的真理」という。判断について真理が語られるときを「認識論的真理」といい、存在について真理が語られるときを「存在論的真理」という加藤信朗。現代の真理概念は様々な形で修正を受け、相対的な傾向を強めている。 論証する、つまり、言語による表現であることが真理に不可欠であり、哲学的にはロゴスとも関わりが深い。東洋には不言真如という概念もある。 人間を自由にするものとしての真理が説かれることもある。キリスト教では「真理はあなたたちを自由にする(ヨハネ8章32節) 」と説かれている。仏教では、人間を苦しみから解放する真理をあらわす「法」が説かれる。.

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無視可能性

無視できる(Negligible)とは、考えている量が十分小さく、大勢に影響ないという意味で考慮からはずしてもよいことを意味する術語である。これはより数学的な無限小の概念と関連するが、無視可能という考え方は、特に物理学や化学、電気工学や計算機プログラミング、あるいは日常的な決定などの実利的な場面で有効なものである。ある量が「無視できる」ということができるのは、それが「当面の問題」においてその場合に許容できるという合意の得られる「誤差の範囲内」に収まるために、無視しても安全であるときである。例えば、電線の電気抵抗や原子における電子の質量などは、しばしば無視してよい量として扱われる。.

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独立 (確率論)

立(どくりつ、independent)とは、確率論において、2つのが成立する確率がそれぞれの確率の積で表されることを言う。2つの確率変数が独立であるというのは、「ある確率変数の値が一定範囲に入る事象」と「別の確率変数の値が別の一定範囲に入る事象」が、考えられるどのような「一定範囲」(「考えられる」とは通常ボレル集合族を指す)を定めても事象として独立であることを言う。 確率論における独立は、他の分野における独立性の概念と区別する意味で、確率論的独立(かくりつろんてきどくりつ、stochastic independence)あるいは統計的独立(とうけいてきどくりつ、statistical independence)などとも呼ばれる。 2つの事象が独立といった場合は、片方の事象が起きたことが分かっても、もう片方の事象の起きる確率が変化しないことを意味する。2つの確率変数が独立といった場合は、片方の変数の値が分かっても、もう片方の変数の分布が変化しないことを意味する。.

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裁判官

裁判官(さいばんかん、Judge)とは、司法権を行使して裁判を行う官職にある者をいう。 各国の訴訟法制に応じて裁判官の職掌は定まり、陪審制を採用している国などでは事実認定について裁判官が担当しないことがあることから、裁判官を法廷における審理を主宰する者として位置づけることがより妥当な場合もある。.

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証明論

証明論(proof theory)は、数理論理学の一分野であり、証明を数学的対象として形式的に表し、それに数学的解析を施す。.

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証明責任

証明責任(しょうめいせきにん)とは、裁判をするにあたって裁判所又は裁判官がある事実の有無につき確信を抱けない場合(真偽不明、non liquet)に、その事実の有無を前提とする法律効果の発生ないし不発生が認められることにより被る、当事者一方の不利益のことをいう。挙証責任、立証責任とも言う。民事訴訟では「証明責任」の用語が、刑事訴訟では「挙証責任」の用語が、一般的に使われることが多い。「客観的証明責任」「客観的立証責任」「形式的挙証責任」などとも表現する。法令や裁判文書、論文等において証明責任を負うことを「証明すべき」という表現で表すことが慣例であるが、「証明の必要」又は「実質的挙証責任」と誤解しやすいので注意を要する。 なお、上記の法律上の用法から転じて、論理学・哲学的な文脈で、どちらが対象となる事実について証拠を挙げる、または証明を行う責任を負うか、という意味で用いられることがある。.

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証拠

証拠(しょうこ、evidence)とは、有形・無形にかかわらず、ある命題(真偽不明の主張や存否不明の事実)の真偽や存否を判断する根拠となるものをいう。エヴィデンスとも呼ぶ。.

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計算機

計算機(けいさんき)は、計算を機械的に、さらには自動的に行う装置である。人間が行う計算を援助するのみのものや、手動操作で自動的ではないものなどは計算器という文字表現をすることがある。.

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言語

この記事では言語(げんご)、特に自然言語について述べる。.

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語(ご、word)とは、言語の構成単位の一つであり、一つ以上の形態素からなる。語が集まることで句、節、文が作られる。 言語学では語は独立して発声できる最小の単位である。文法的な役割を持つ語を機能語、一般的な意味を持つ語を内容語という。一つの形態素からなる語を単純語、複数の形態素からなる語を合成語という。 語の厳密な定義は各言語によるが、一般に以下の性質がある。.

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高等学校

等学校(こうとうがっこう)は、日本における後期中等教育段階の学校。略して高校(こうこう)と呼ばれている。その名称から誤解されることもあるが、高等教育(ISCEDレベル5)を行う学校ではなく、後期中等教育段階(ISCEDレベル3)に相当する学校である。 1948年に発足した新制の高等学校は旧制の中学校、高等女学校、実業学校を改組再編したものである 国立教育政策研究所 2018年月14日閲覧。高等学校は中学校の教育を基礎とし、中学校の課程を修了した生徒に高度な普通教育および専門教育を施すことを目的とする。主に市民としての総合的な基礎教養、大学・専門学校など高等教育機関への進学準備、また就職に向けての技術・技能の習得の教育を行う。 新制の高等学校は小学区制・総合制・男女共学を原則としたものの前二者は実施には至らなかった。1990年代以降は中高一貫制の導入、単位制の実施、総合課程の導入など教育の多様化・柔軟化がみられる。 日本の高等学校の制度上の正式な英語表記はUpper Secondary Schoolである。一般には米国式のhigh schoolとの訳や、Senior high schoolとの訳(中学校のJunior high Schoolに対応した訳)もみられる。 なお、日本において学制改革後の1950年(昭和25年)まで存在した高等学校については、旧制高等学校を参照。.

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鳩の巣原理

''n''.

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述語論理

述語論理(じゅつごろんり、)とは、数理論理学における記号的形式体系群を指す用語で、一階述語論理、二階述語論理、、無限論理などが含まれる。これらの形式体系の特徴は、論理式に含まれる変数を量化できる点である。一般的な量化子として、存在量化子 ∃ と全称量化子 ∀ がある。変数は議論領域の要素、関係、関数などである。例えば、関数記号に対する存在量化は「ある関数が存在する」という修飾として解釈される。述語論理の基礎は、ゴットロープ・フレーゲとチャールズ・サンダース・パースがそれぞれ独自に生み出し発展させた。 述語論理と言った場合、一階述語論理を指すこともある。述語論理の公理化された形態を述語計算 (predicate calculus) と呼び、述語論理は非形式的でより直観的なものとする見方もある。 様相作用素と量化子を併用する論理も述語論理の一種とされる。これについては様相論理を参照。.

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背理法

背理法(はいりほう、proof by contradiction, reduction to the absurd, indirect proof, apagogical argument など、reductio ad absurdum)とは、ある命題 P を証明したいときに、P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けることである。帰謬法(きびゅうほう)とも言う。 P を仮定すると、矛盾が導けることにより、P の否定 ¬P を結論付けることは否定の導入などと呼ばれる。これに対して ¬P を仮定すると矛盾が導けることにより P を結論付けることを狭義の背理法あるいは否定の除去ということがある。否定の導入と狭義の背理法をあわせて広義の背理法ということもある。 一般的には、背理法と言った場合広義の背理法を指す。否定の導入により、¬P から矛盾が導けた場合、¬¬P を結論できるが、いわゆる古典論理では推論規則として二重否定の除去が認められているため、結局 P が結論できることになる。排中律や二重否定の除去が成り立たない直観論理では、狭義の背理法による証明は成立しないが、否定の導入や、¬¬¬P から ¬P を結論することは、認められる。 背理法を使って証明される有名な定理には、\sqrt が無理数であること、素数が無限に存在すること、中間値の定理,ハイネ・カントールの定理などがあり、無限を相手にした証明には基本的に背理法のスタイルを取らざるを得ないものが多くある。 しかし例えば、\sqrt が無理数である(すなわち有理数でない)ことの証明は、狭義の背理法ではなく否定の導入によって証明することができる。 背理法の証明において仮定に矛盾する結論を導く場合は,容易に非背理法証明に直すことができる.たとえば,ハイネ・カントールの定理:「有界閉集合上の連続関数は一様連続である」は,有界閉集合上の連続関数 f は一様連続でないと仮定して議論を進め, f が連続でないことを導いて矛盾を出すが,これは連続性を仮定せず「有界閉集合上の関数 f が一様連続でない」と仮定し,連続でないことを示すことによって,対偶としてハイネ・カントールの定理が直接証明できる(((P かつ Q)⇒R) ⇔ ((P かつ ¬R)⇒¬Q) ということを用いる)..

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自然数

自然数(しぜんすう、natural number)とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる(詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照)。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数(例えば 3 や 18)を指して自然数ということもある。.

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PSPACE

PSPACE とは計算複雑性理論における複雑性クラスの一つ、Polynomial SPACE の略である。.

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Q.E.D.

数学、哲学などにおける Q.E.D. はラテン語の Quod Erat Demonstrandum(かく示された)が略されてできた頭字語。証明や論証の末尾におかれ、議論が終わったことを示す。ただし現代の数学において Q.E.D. はほとんど使用されていない。(#電子的な記号を参照。).

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推論規則

推論規則(すいろんきそく、rule of inference, inference rule, transformation rule)とは、論理式から他の論理式を導く推論の規則である。 記号、公理、代入規則、推論規則によって理論を形式化したものを公理系という。 公理は記号だけで記述されるが、推論規則や代入規則はこれらの記号について述べているメタ言語で記述される。 恒真式 (トートロジー)から推論規則を導くと妥当性のある推論になる。.

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松村明

松村 明(まつむら あきら、1916年9月3日 - 2001年11月22日)は、日本の国語学者。位階勲等は正四位勲三等瑞宝章。称号は文学士、東京大学名誉教授。『大辞林』の編纂者として知られる。.

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正当性

正当性(せいとうせい).

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演繹

演繹(えんえき、)は、一般的・普遍的な前提から、より個別的・特殊的な結論を得る論理的推論の方法である。 帰納に於ける前提と結論の導出関係が「蓋然的」に正しいとされるのみであるのに対し、演繹の導出関係は、その前提を認めるなら、「絶対的」「必然的」に正しい。したがって理論上は、前提が間違っていたり適切でない前提が用いられたりした場合には、誤った結論が導き出されることになる。近代では、演繹法とは記号論理学によって記述できる論法の事を指す。.

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有限集合

数学において、集合が有限(ゆうげん、finite)であるとは、自然数 n を用いて という形にあらわされる集合との間に全単射が存在することをいう(ただしここでは、n.

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悪魔の証明

悪魔の証明(あくまのしょうめい、ラテン語:probatio diabolica、英語:devil's proof)とは、中世ヨーロッパの法学者によるローマ法解釈において、所有権帰属の証明の困難性を比喩的に表現した言葉である。.

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数学的帰納法

数学的帰納法(すうがくてききのうほう、mathematical induction)は自然数に関する命題 が全ての自然数 に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である自然数の定義は を含む流儀とそうでない流儀があるが、ここでは後者を採用した。。.

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