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19 関係: 力学系、反復合成写像、マンデルブロ集合、ポワンカレ計量、モンテルの定理、ラミネーション (位相幾何学)、リーマンの写像定理、ボッチャーの方程式、ファトゥ集合、カラテオドリの定理 (等角写像)、カントール関数、カオス理論、シュワルツの補題、ジュリア集合、ジョン・ウィラード・ミルナー、複素解析、複素数、解析関数、正則関数。
力学系
力学系（りきがくけい、英語：dynamical system）とは、一定の規則に従って時間の経過とともに状態が変化するシステム（系）、あるいはそのシステムを記述するための数学的なモデルのことである。一般には状態の変化に影響を与える数個の要素を変数として取り出し、要素間の相互作用を微分方程式または差分方程式として記述することによってモデル化される。 力学系では、システムの状態を実数の集合によって定義している。各々の状態の違いは、その状態を代表する変数の差のみによって表現される。システムの状態の変化は関数によって与えられ、現在の状態から将来の状態を一意に決定することができる。この関数は、状態の発展規則と呼ばれる。 力学系の例としては、振り子の振動や自然界に存在する生物の個体数の変動、惑星の軌道などが挙げられるが、この世界の現象すべてを力学系と見なすこともできる。システムの振る舞いは、対象とする現象や記述のレベルによって多種多様である。;力学系の具体例.
反復合成写像
数学における写像の反復適用および反復合成（はんぷくごうせい、iteration）は、同じ写像を繰り返し適用すること（繰り返してもよい）、および同じ写像同士で合成を繰り返すことをいう。またそうして得られた写像は、もとの写像の反復合成写像 (iterated function) あるいは合成冪 (power) と呼ぶ。適当な対象を初期値として、それに反復合成写像を適用して得られる値の列は、初期値の軌道 (orbit) と言う。 反復合成は計算機科学、フラクタル、力学系など、あるいは数学および繰り込み群の物理学において研究の対象となる。.
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マンデルブロ集合
マンデルブロ集合 数学、特に複素力学系に於けるマンデルブロ集合（マンデルブロしゅうごう、 ）は、 充填ジュリア集合に対する指標として提唱された集合である。数学者ブノワ・マンデルブロの名に因む。.
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ポワンカレ計量
数学におけるポアンカレ計量（ポアンカレけいりょう、Poincaré metric）は、アンリ・ポアンカレにその名を因む、二次元の負曲率一定曲面を記述する計量テンソルである。この計量は、双曲幾何やリーマン面において様々な計算を展開する際に広く用いられる。 二次元の双曲幾何の表現には、互いに同値な三種類がよく用いられる。ひとつは上半平面上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ上半平面模型、もうひとつは単位円板上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ円板模型であり、このふたつは等角写像（共形写像）およびメビウス変換によって与えられる等距写像によって関連付けられる。いまひとつの表現は穴あき円板上のもので、その関係性はq-類似によっても表される。以下これらについて述べる。.
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モンテルの定理
数学の一分野である複素解析学において、モンテルの定理 (Montel's theorem) と呼ばれる、正則関数の族についての2つの定理がある。これらはにちなんで名づけられていて、正則関数の族がとなる十分条件を与える。.
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ラミネーション (位相幾何学)
数学の一分野である位相幾何学において、ラミネーション（; 葉理、葉紋）とは.
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リーマンの写像定理
複素解析において、リーマンの写像定理 (Riemann mapping theorem) は、U\subsetneq\mathbb が空でない単連結な開集合（単連結な領域）のとき、U から単位開円板 への双正則な写像（全単射な正則写像）f が存在することを言っている定理である。 この写像はリーマンの写像 (Riemann mapping) として知られている。 直感的には、U が単連結であることは U には「穴」があいていないことを意味する。f が双正則であることは、それが等角写像であり、従って角度を保つことを意味する。直感的には、そのような写像は、回転したり拡大・縮小したりはする（ただし折り返してはいけない）が、十分に小さな形を保存する。 アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) は、写像 f が本質的に一意的であることを証明した。z0 を U の元とし、φ を任意の角度とすると、ちょうど一つだけ以下を満たす上記のような f が存在する。f(z0).
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ボッチャーの方程式
数学においての名にちなむボッチャーの方程式（ボッチャーのほうていしき、）とは、次の函数方程式のことを言う。 但し、.
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ファトゥ集合
数学、特に複素力学系に於けるファトゥ集合（ファトゥしゅうごう、 ）は、複素平面上のある近傍で反復関数が正規族となる点の集合である。数学者ピエール・ファトゥの名に因む。 ファトゥ集合の補集合はジュリア集合である。.
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カラテオドリの定理 (等角写像)
複素解析学において、1913 年にコンスタンティン・カラテオドリによって証明されたカラテオドリの定理 (Carathéodory's theorem) は、U が複素平面 C の単連結な開部分集合であってその境界がジョルダン曲線であれば（そのような領域をジョルダン領域という）、U から単位（開）円板 D へのリーマン写像（すなわち双正則写像） は境界に連続に拡張し、Γ から単位円 S1 への同相写像 が与えられるという定理である。 言い換えると、この定理が述べているのは、ジョルダン領域 U に対し、U の閉包から単位閉円板 cl(D) への同相写像 であってその内部への制限がリーマン写像であるようなものが存在するということである。 カラテオドリの定理の別の標準的な定式化は、ジョルダン曲線 Γ1 と Γ2 に囲まれた単連結開集合 U と V の任意の対に対して、等角写像 は同相写像 に拡張し、その Γ1 への制限は Γ2 への同相写像になる。 この主張は最初の主張から一方のリーマン写像の逆をもう一方のリーマン写像と合成することによって得られる。 より一般的に述べると以下のようになる。 をリーマン写像の逆写像とする、ただし D ⊂ C は単位円板で、U ⊂ C は単連結領域。すると g が連続に に拡張することと、U の境界が局所連結であることが同値である。この結果は最初 Marie Torhorst によって 1918 年の学位論文 において、ハンス・ハーンの指導の下、カラテオドリの の理論を用いて、述べられ証明された。.
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カントール関数
ントール関数（カントールかんすう、Cantor function）または悪魔の階段（あくまのかいだん、Devil's staircase）とは、連続ではあるが絶対連続ではない関数の一つである。カントール関数の名前はゲオルク・カントールに由来する。.
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カオス理論
論（カオスりろん、、、）は、力学系の一部に見られる、数的誤差により予測できないとされている複雑な様子を示す現象を扱う理論である。カオス力学ともいう。 ここで言う予測できないとは、決してランダムということではない。その振る舞いは決定論的法則に従うものの、積分法による解が得られないため、その未来（および過去）の振る舞いを知るには数値解析を用いざるを得ない。しかし、初期値鋭敏性ゆえに、ある時点における無限の精度の情報が必要であるうえ、（コンピューターでは無限桁を扱えないため必然的に発生する）数値解析の過程での誤差によっても、得られる値と真の値とのずれが増幅される。そのため予測が事実上不可能という意味である。.
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シュワルツの補題
ュワルツの補題（Schwarzsche Lemma、Schwarz lemma）は、ドイツの数学者ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツにちなむ、複素解析における正則関数の性質に関する定理である。複素関数が正則であるために満たすべき、強い制約条件の1つを端的に示し、リーマンの写像定理、ピカールの定理など、複素解析学における重要な諸定理を証明する上で重要な働きをする。.
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ジュリア集合
ュリア集合 数学、特に複素力学系に於けるジュリア集合（ジュリアしゅうごう、 ）は、複素平面上のある近傍で反復関数が非正規族となる点の集合である。数学者ガストン・ジュリアの名に因む。 ジュリア集合内には充填ジュリア集合と発散点集合が稠密に存在している。 ジュリア集合の補集合はファトゥ集合である。.
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ジョン・ウィラード・ミルナー
ョン・ウィラード・ミルナー ジョン・ウィラード・ミルナー（John Willard Milnor, 1931年2月20日 - ）はアメリカ合衆国の数学者。微分幾何学、K理論、力学系の研究および、これまで数学の名著の好例と見なされてきた数々の著書で知られる。1962年にフィールズ賞を受賞した。現在はニューヨーク州立大学ストーニブルック校で教授を務めている。妻のDusa McDuffもストーニブルック校の教授である。.
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複素解析
数学の分科である複素解析（ふくそかいせき、complex analysis）は、複素数の関数に関わる微分法、積分法、変分法、微分方程式論、積分方程式論、複素函数論などの総称である。初等教育で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することが多い。複素解析の手法は、応用数学を含む数学、理論物理学、工学などの多くの分野で用いられている。.
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複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
解析関数
複素変数 z の複素数値関数 f(z) が1点 z.
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正則関数
複素解析において、正則関数（せいそくかんすう、regular analytic function）あるいは整型函数（せいけいかんすう、holomorphic function）とは、ガウス平面あるいはリーマン面上のある領域の全ての点で微分可能であるような複素変数のことである。.
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