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自由振動

索引 自由振動

自由振動(じゆうしんどう、free oscillation、free vibration)とは、ある系がその固有振動数で振動することである。減衰のない自由振動では強制振動とは異なり、系に外部から力が作用しなくても運動しつづける。.

32 関係: 力学的エネルギー原子ばねうなり射影三角関数強制振動弾性位置エネルギー位相ポテンシャルロバート・フックテイラー展開フックの法則ニュートンの運動方程式分子イギリス共振回転固体固有振動線型微分方程式運動エネルギー角速度調和振動子質点自励振動減衰減衰振動振動振動数

力学的エネルギー

力学的エネルギー(りきがくてきエネルギー、mechanical energy)とは、運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和のことを指す。 保存力の場での質点の運動では力学的エネルギー(運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和)が一定となる。これを、力学的エネルギー保存の法則(力学的エネルギー保存則)と言う。 これを式で書くと次のようになる。ただし、運動エネルギーを K、ポテンシャルを U、力学的エネルギーを E とする。 一般にこれが保存するとき(即ち、保存力のみが仕事をし、非保存力が仕事をしないとき)によく使われる概念である。エネルギーが保存する場合、エネルギーの総和は初期条件で決まる。運動エネルギー K は、 なので、 となり、ポテンシャルの範囲が決まってしまう。ポテンシャルは位置に依存する量なので、これは運動の領域が決まることになる。ポテンシャルの概形が分かれば運動の様子がある程度推測できる。例えば、調和振動のポテンシャルは、 である。(x0 は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x2 の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。 十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。 力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー(摩擦などを通してやりとりされる)や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している(→エネルギー保存の法則)。.

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原子

原子(げんし、άτομο、atom)という言葉には以下の3つの異なった意味がある。.

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ばね

ばねとは、力が加わると変形し、力を取り除くと元に戻るという、物体の弾性という性質を利用する機械要素である。広義には、弾性の利用を主な目的とするものの総称ともいえる。ばねの形状や材質は様々で、日用品から車両、電気電子機器、構造物に至るまで、非常に多岐にわたって使用される。 ばねの種類の中ではコイルばねがよく知られ、特に圧縮コイルばねが広く用いられてる。他には、板ばね、渦巻ばね、トーションバー、皿ばねなどがある。ばねの材料には金属、特に鉄鋼が広く用いられているが、用途に応じてゴム、プラスチック、セラミックスといった非金属材料も用いられている。空気を復元力を生み出す材料とする空気ばねなどもある。ばねの荷重とたわみの関係も、荷重とたわみが比例する線形のものから、比例しない非線形のものまで存在する。ばねばかりのように荷重を変形量で示させたり、自動車の懸架装置のように振動や衝撃を緩和したり、ぜんまい仕掛けのおもちゃのように弾性エネルギーの貯蔵と放出を行わせたりなど、色々な用途のためにばねが用いられる。 「ばね」は和語の一種だが、平仮名ではわかりにくいときは片仮名でバネとも表記される。現在使用されている漢字表記では発条と書かれる。英語に由来するスプリング(spring)という名称でもよく呼ばれる。語源は諸説あるが、「跳ね」「跳ねる」から転じて「ばね」という語になったとされる。 人類におけるばねの使用の歴史は太古に遡り、原始時代から利用されてきた弓はばねそのものである。カタパルト、クロスボウ、機械式時計、馬車の懸架装置といった様々な機械や器具で利用され、ばねは発展を遂げていった。1678年にはイギリスのロバート・フックが、ばねにおいて非常に重要な物理法則となるフックの法則を発表した。産業革命後には、他の工業と同じくばねも大きな発展を遂げ、理論的な設計手法も確立していった。今日では、ばねの製造は機械化された大量生産が主だが、一方で特殊なばねに対しては手作業による製造も行われる。現在のばねへの要求は多様化し、その実現に高度な技術も求められるようになっている。.

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うなり

うなり(唸り)とは、.

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射影

射影(しゃえい、projection)とは、物体に光を当ててその影を映すこと、またその影のことである。; 集合論; 圏論; 線型代数学: 内積空間における(正)射影→射影作用素; 位相幾何学: 束の射影→ファイバー束、ベクトル束等を参照; 関係代数の射影演算: 関係代数 (関係モデル)#射影.

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三角関数

三角関数(さんかくかんすう、trigonometric function)とは、平面三角法における、角の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。三角関数という呼び名は三角法に由来するもので、後述する単位円を用いた定義に由来する呼び名として、円関数(えんかんすう、circular function)と呼ばれることがある。 三角関数には以下の6つがある。.

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強制振動

強制振動(きょうせいしんどう、英語:forced oscillation, forced vibration)とは、時間的に変動する外力・外場の影響を受けることによって、強制的に引き起こされる振動のことである。運動に対する抵抗を有するエネルギー散逸系において、振動の減衰を補うべく、外部から時間的に変動する外力・外場が与えられることによって、振動が継続される系である。ここでいう時間的に変動する外力・外場は必ずしも周期的である必要はなく地震波のような波形も含まれる。周期的でない波形でもフーリエ級数展開により、近似的に正弦波・余弦波の和として表現可能なので、線形系であればそれぞれの成分に対する応答の和として全体の振動応答が求められる。 正弦波または余弦波として加振波形を表すとき、線形系ではその振動数が系の固有振動数に近いとき、もしくは一致するとき、大きな振動が発生する。この現象を共振または共鳴と呼ぶ。しかし非線形系ではその名の通り入力と出力が線形関係(比例関係)にないので、より複雑な挙動となる。 強制振動が問題となるのはその応答(出力)が大きくなる場合であり、その意味では、現実に共振や共鳴が発生しその原因を究明する過程で強制振動が議論されることも多い。また構造物などの設計では可能な限り、使用条件において共振や共鳴が発生しないよう考慮するのが普通である。ただし発振回路のように高エネルギーの特定振動数波形を得る目的でこの特性を用いることもある。 なお、構造系の係数(機械的構造物であれば質量やばね剛性など)が時間的に変動する場合も振動が発生するが、これらは広義には強制振動とも考えられるが、通常は係数励振振動として別に扱われる。.

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弾性

弾性(だんせい、elasticity)とは、応力を加えるとひずみが生じるが、除荷すれば元の寸法に戻る性質をいう。一般には固体について言われることが多い。 弾性は性質を表す語であって、それ自体は数値で表される指標ではない。弾性の程度を表す指標としては、弾性限界、弾性率等がある。弾性限界は、応力を加えることにより生じたひずみが、除荷すれば元の寸法に戻る応力の限界値である。弾性率は、応力とひずみの間の比例定数であって、ヤング率もその一種である。 一般的にはゴム等の材料に対して「高弾性」という表現が用いられる。この場合の「高弾性」とは弾性限界が大きいことを指す。しかしながら、前述の通り、弾性に関する指標は弾性限界だけでなく弾性率等があって、例えば、ゴムの場合には弾性限界は大きいが弾性率は小さいため、「高弾性」という表現は混同を生じる恐れがある。 英語で弾性をというが、この語源はギリシャ語の「ελαστικος(elastikos:推進力のある、弾みのある)」からきている。また、一般的には弾力や弾力性等の語が使われるが、これらはほぼ弾性と同義である。 現実に存在する物質は必ず弾性の他に粘性を持ち、粘弾性体である。物質が有する粘弾性のうち弾性に特に着目した場合、弾性を有する物質を弾性体と呼ぶ。.

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位置エネルギー

位置エネルギー(いちエネルギー)とは、物体が「ある位置」にあることで物体にたくわえられるエネルギーのこと。力学でのポテンシャルエネルギー(ポテンシャルエナジー、英:potential energy)と同義であり、主に教育の分野でエネルギーの概念を「高さ」や「バネの伸び」などと結び付けて説明するために導入される用語である。 位置エネルギーが高い状態ほど、不安定で、動き出そうとする性質を秘めているといえる。力との関係や数学的な詳細についてはポテンシャルに回し、この項目では具体的な例を挙げて説明する。.

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位相

位相(いそう、)は、波動などの周期的な現象において、ひとつの周期中の位置を示す無次元量で、通常は角度(単位は「度」または「ラジアン」)で表される。 たとえば、時間領域における正弦波を とすると、(ωt + &alpha) のことを位相と言う。特に t.

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ポテンシャル

ポテンシャル(potential)は、潜在力、潜在性を意味する物理用語。 最初にポテンシャル(スカラーポテンシャル)の考え方を導入したのは、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュである(1773年)。ラグランジュの段階ではポテンシャルとは言われておらず、これをポテンシャルと呼んだのは、ジョージ・グリーンである(1828年)。カール・フリードリヒ・ガウス、ウィリアム・トムソン、ペーター・グスタフ・ディリクレによってポテンシャル論における三つの基本問題として、ディリクレ問題、ノイマン問題、斜交微分の問題が注目されるようになった。 ポテンシャルエネルギー(位置エネルギー)のことをポテンシャルと呼ぶこともある。.

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ロバート・フック

バート・フック(Robert Hooke、1635年7月28日 - 1703年3月3日)は、イギリスの自然哲学者、建築家、博物学者。王立協会フェロー。実験と理論の両面を通じて科学革命で重要な役割を演じた。.

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テイラー展開

数学において、テイラー級数 (Taylor series) は関数のある一点での導関数たちの値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開という。 テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。 関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はと呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間(あるいは複素平面の開円板)でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。.

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フックの法則

フックの法則(フックのほうそく、Hooke's law)は、力学や物理学における構成則の一種で、ばねの伸びと弾性限度以下の荷重は正比例するという近似的な法則である。弾性の法則(だんせいのほうそく)とも呼ばれる。フックの法則が近似として成り立つ物質を線形弾性体またはフック弾性体 (Hookean elastic material) と呼ぶ。 フックの法則は17世紀のイギリスの物理学者、ロバート・フックが提唱したものであり、彼の名を取ってフックの法則と名づけられた。フックは1676年にラテン語のアナグラムでこの法則を記述し、1678年にアナグラムの答えが、即ち であると発表した。フックの法則に従う系では、荷重は伸びに正比例し と表される。ここで.

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ニュートンの運動方程式

ニュートンの運動方程式(ニュートンのうんどうほうていしき、英語:Newtonian Equation of motion)は、非相対論的古典力学における一質点の運動を記述する運動方程式のひとつであり、以下のような形の2階微分方程式である。 ここで、mは質点の質量、\boldsymbol は質点の位置ベクトル、\boldsymbol は質点の加速度、\boldsymbol は質点にかかる力、t は時間である。\boldsymbol, \boldsymbolはベクトル量、mはスカラー量。.

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分子

分子(ぶんし)とは、2つ以上の原子から構成される電荷的に中性な物質を指すIUPAC.

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イギリス

レートブリテン及び北アイルランド連合王国(グレートブリテンおよびきたアイルランドれんごうおうこく、United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland)、通称の一例としてイギリス、あるいは英国(えいこく)は、ヨーロッパ大陸の北西岸に位置するグレートブリテン島・アイルランド島北東部・その他多くの島々から成る同君連合型の主権国家である。イングランド、ウェールズ、スコットランド、北アイルランドの4つの国で構成されている。 また、イギリスの擬人化にジョン・ブル、ブリタニアがある。.

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共振

共振(きょうしん、)は、エネルギーを有する系が外部から与えられた刺激により固有振動を起こすことである。特に、外部からの刺激が固有振動数に近い状態を表す。共鳴と同じ原理に基づく現象であるが、電気や固体については「共振」の語がよく用いられる。 共振の特性を表す無次元量としてQ値が用いられる。値が大きいほどエネルギーの分散が小さく、狭い振動数の帯域で共振する。 共振のシステムとして、振動する振り子が単純な例として挙げられる。振り子を押して系に振動を励起することにより、振り子はその固有振動数で振動を始める。振り子の固有振動に近い周期で振動を与えると、振動の振幅は次第に大きくなる。しかし、固有振動と大きく異なる周期で振動を与えると、振幅は大きくならない。 共振による現象の例としてタコマナローズ橋がしばしば取り上げられるが、これについては専門家から誤解が指摘されている。ミレニアム・ブリッジの一時閉鎖は多数の歩行者によって引き起こされた共振現象の例である。.

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回転

回転(廻転、かいてん、rotation)は、大きさを持たない点または大きさを持つ物体が、ある点を中心としてあるいは直線を軸として、あるいは別の物体の周りを回る運動。この点を回転中心、この直線を回転軸という。回転中心や回転軸が回転する物体の内部にある場合を特に自転というときもある。まさに運動している状態を指す場合も、運動の始状態から終状態への変化や移動を指す場合もある。前者の意味を強調したい場合は回転運動ということもある。 転じて、資金などの供給・サービス業の客の出入りなどをこう称する場合がある。.

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固体

固体インスリンの単結晶形態 固体(こたい、solid)は物質の状態の一つ。固体内の原子は互いに強く結合しており、規則的な幾何学的格子状に並ぶ場合(金属や通常の氷などの結晶)と、不規則に並ぶ場合(ガラスなどのアモルファス)がある。 液体や気体と比較して、変形あるいは体積変化が非常に小さい。変形が全く起こらない剛体は理想化された固体の一つである。連続体力学においては、固体は静止状態においてもせん断応力の発生する物体と捉えられる。液体のように容器の形に合わせて流動することがなく、気体のように拡散して容器全体を占めることもない。 固体を扱う物理学は固体物理学と呼ばれ、物性物理学の一分野である。また物質科学はそもそも、強度や相変化といった固体の性質を扱う学問であり、固体物理学と重なる部分が多い。さらに固体化学の領域もこれらの学問と重なるが、特に新しい物質の開発(化学合成)に重点が置かれている。 今まで知られている最も軽い固体はエアロゲルであり、そのうち最も軽いものでは密度は約 1.9 mg/cm3 と水の密度の530分の1程度である。.

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固有振動

固有振動(こゆうしんどう、characteristic vibration, normal mode)とは対象とする振動系が自由振動を行う際、その振動系に働く特有の振動のことである。このときの振動数を固有振動数という。.

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線型微分方程式

線型微分方程式線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。(せんけいびぶんほうていしき、linear differential equation)は、微分を用いた線型作用素(線型微分作用素) と未知関数 と既知関数 を用いて の形に書かれる微分方程式のこと。.

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熱の流れは様々な方法で作ることができる。 熱(ねつ、heat)とは、慣用的には、肌で触れてわかる熱さや冷たさといった感覚である温度の元となるエネルギーという概念を指していると考えられているが、物理学では熱と温度は明確に区別される概念である。本項目においては主に物理学的な「熱」の概念について述べる。 熱力学における熱とは、1つの物体や系から別の物体や系への温度接触によるエネルギー伝達の過程であり、ある物体に熱力学的な仕事以外でその物体に伝達されたエネルギーと定義される。 関連する内部エネルギーという用語は、物体の温度を上げることで増加するエネルギーにほぼ相当する。熱は正確には高温物体から低温物体へエネルギーが伝達する過程が「熱」として認識される。 物体間のエネルギー伝達は、放射、熱伝導、対流に分類される。温度は熱平衡状態にある原子や分子などの乱雑な並進運動の運動エネルギーの平均値であり、熱伝達を生じさせる性質をもつ。物体(あるいは物体のある部分)から他に熱によってエネルギーが伝達されるのは、それらの間に温度差がある場合だけである(熱力学第二法則)。同じまたは高い温度の物体へ熱によってエネルギーを伝達するには、ヒートポンプのような機械力を使うか、鏡やレンズで放射を集中させてエネルギー密度を高めなければならない(熱力学第二法則)。.

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運動エネルギー

運動エネルギー(うんどうエネルギー、)は、物体の運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の は、「運動」を意味するギリシア語の (kinesis)に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。.

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角速度

運動学において、角速度(かくそくど、angular velocity)は、ある点をまわる回転運動の速度を、単位時間に進む角度によって表わした物理量である。言い換えれば角速度とは、原点と物体を結ぶ線分、すなわち動径が向く角度の時間変化量である。特に等速円運動する物体の角速度は、物体の速度を円の半径で割ったものとして与えられる。従って角速度の量の次元物理学などの文献においては、文脈上紛れがない限り、単に「次元」と呼ばれる。は、通常の並進運動の速度とは異なり速度の次元は長さ L に時間 T の逆数を掛けた L⋅T−1 である。、時間の逆数 T−1 となる。.

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調和振動子

調和振動子(ちょうわしんどうし、harmonic oscillator)とは、質点が定点からの距離に比例する引力を受けて運動する系である。調和振動子は定点を中心として振動する系であり、その運動は解析的に解くことができる。.

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質点

質点(しつてん、point mass)とは力学的概念で、位置が一意的に定まり質量を持つ運動の要素だが、それ以外の、体積・変形・角速度などの内部自由度を一切持たないものと定義される。 点粒子の一種である。モデルであるが、初等的な積分計算で証明できるように、球対称な質量分布を持つ固い物体は、その重心運動を扱う限りにおいては、全質量をその中心に集中させた質点として扱ったとしても、近似ではなく完全に一致する。従って、例えば、惑星の公転軌道を計算する場合などにおいては、惑星を質点と見なしても、体積を持った球として計算した場合と全く同様の正確さで計算できる。ただしこの例の場合は、そもそも多体問題に厳密解が無い。結局のところ、近似か否かは、真の質点が存在するか否かの問題ではなく、扱っている問題において、対象を質点として扱っても厳密に一致するかそうでないかの問題である。 多数の質点が存在する系を質点系という。この場合の質点の数は、2から、一般の n個まで、様々である。質点系を扱う際には、個々の質点に自然数の番号をつけて「〜番目の質点」のように区別するとともに、総和記号を用いて式の見通しをよくすることがよく行われる。.

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自励振動

自励振動(じれいしんどう、self-excited vibration、self-induced vibration)とは、ある系に非振動的な入力のみが加わる場合でも、その系自体の特性により系内部で非振動入力が振動に変換されて引き起こされる振動現象のことである。 実際に起きた事故として有名なものに、タコマナローズ橋の崩落事故がある。.

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減衰

物理学において、減衰(げんすい、、文脈により とも)は媒質中のなんらかの流束の強度が漸次的に失われる現象をいう。たとえば、濃色ガラスは日光を減衰させ、鉛はX線を減衰させ、水は光と音を減衰させる。 媒質として防音材を例にとると、防音材中を伝播するにつれて音エネルギー流束が減少する現象はと呼ばれる。音波減衰はデシベル (dB) 単位で測定される。 電気工学および通信工学において、電気回路や光ファイバー、空気中(電波の場合)を伝わるまたは信号が減衰の影響を受ける。電気的減衰器とがこの分野では一般的な部品として用いられる。.

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減衰振動

減衰振動(げんすいしんどう、damped oscillation、damped vibration)とは、振幅が時間とともに徐々に小さくなるような振動現象である。単振動などは永久に動き続ける運動であるが、実際にそのような実験を行うと、空気抵抗や摩擦力などの抵抗力を受け、いずれは停止してしまう。そのような運動を減衰振動と呼ぶ。.

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振動

振動(しんどう、oscillation、vibration)とは、状態が一意に定まらず揺れ動く事象をいう。英語では、重力などによる周期が長い振動と、弾性や分子間力などによる周期の短い振動は別の語が充てられるが、日本語では周期によらず「振動」という語で呼ばれる。周期性のある振動において、単位時間あたりの振動の数を振動数(または周波数)、振動のふれ幅を振幅、振動の一単位にかかる時間を周期という。 振動は、同じ場所での物質の周期的な運動であるが、物理学においてさまざまな現象の中に現れ、基本的な概念の一つとして扱われる。物理的にもっとも単純な振動は単振動である。また、振動する系はそれぞれ固有振動(数)をもつ。振動の振幅を減少させる要因がある場合には、振動が次第に弱まる減衰振動となる。外部から一定の間隔で力を与えることなどにより振動を引き起こすことを強制振動とよぶ。強制振動の振動数がその系の固有振動数に近い場合、共振(または共鳴とも)を引き起こす。古典物理学だけでなく、電磁気学では電気回路や電場・磁場の振動を扱い、またミクロな現象を扱う現代物理学などにおいても、振動は基本的な性質である。 波動現象は、振動が時間的変化にとどまらず空間的に伝わっていく現象であり、自然現象の理解になくてはならない基礎概念へと関連している。.

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振動数

振動数(しんどうすう、英語:frequency)は、物理学において等速円運動あるいは単振動などの振動運動や波動が単位時間当たりに繰り返される回数である。振動数は、運動の周期の逆数であり、単位はヘルツ(Hz)原康夫 『物理学通論 I』 第I部3章3.4 単振動、学術図書出版、1988年。 「周波数」も英語では frequency(ラテン語で「“frequentia”」から) であり根本的には同じことであるが、「周波数」がおもに電気振動(電磁波や振動電流)のような電気工学・電波工学または音響工学などで用いられる工学用語であるのに対し、力学的運動など自然科学(理学)における物理現象には「振動数」が用いられることが多い。一般的には記号 f を用いて表されるが、光の振動数などはν(ニュー)の記号を用いられることが多い。 等速円運動においては、振動数は「回転速度(回転数)」と同じ数値になるが、単位は異なる。.

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単振動振動運動調和振動

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