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線型代数学

索引 線型代数学

線型代数学(せんけいだいすうがく、linear algebra)とは、線型空間と線型変換を中心とした理論を研究する代数学の一分野である。現代数学において基礎的な役割を果たし、幅広い分野に応用されている。また、これは特に行列・行列式・連立一次方程式に関する理論を含む。線形などの用字・表記の揺れについては線型性を参照。 日本の大学においては、多くの理系学部学科で解析学(微分積分学)とともに初学年から履修する。なお、高校教育においては平成27年度からの新課程では行列の分野が除外されている。.

121 関係: 加群基底単位行列可換体双対ベクトル空間双線型形式外積代数対称双線型形式対称群対称行列対角化対角行列小行列式射影作用素三角行列一次関数交代行列代数学位相空間佐武一郎微分積分学像 (数学)ハメル次元ヤコビ行列ユークリッド空間ユニタリ行列ラテン語ライブラリリー代数リー群レオポルト・クロネッカーヘルマン・グラスマンテンソルテンソル代数フロベニウスの定理フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスフェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタインベクトルベクトル空間ベクトル解析和算アーサー・ケイリーアフィン空間イングランドエルミート形式エルミート行列カール・ワイエルシュトラスカール・フリードリヒ・ガウスガウスの消去法クラメルの公式...グラム・シュミットの正規直交化法ケイリー・ハミルトンの定理コンピュータゴットフリート・ライプニッツシャルル・エルミートシルベスター行列ジュゼッペ・ペアノジョルダン標準形ジェームス・ジョセフ・シルベスタースペクトル分解 (関数解析学)冪零行列内積回転行列固有多項式固有値Basic Linear Algebra Subprograms空間ベクトル線型微分方程式線型写像線型結合線型独立線型部分空間線型方程式系線型性縮退置換 (数学)統計学経済学環 (数学)産業連関表特異値分解特殊相対性理論直交行列直交補空間随伴行列隣接行列行列行列の基本変形行列の相似行列の階数行列式行列指数関数裳華房解析学解析幾何学計量ベクトル空間高々 (数学)関孝和関数解析学量子力学零空間零行列抽象代数学核 (代数学)標準基底正則行列正規行列正方行列歪エルミート行列最小多項式 (線型代数学)斜交行列数ベクトル空間1693年1750年1800年代1844年1848年1860年代1888年1900年20世紀 インデックスを展開 (71 もっと) »

加群

加群(かぐん).

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基底

* 一般.

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単位行列

数学、特に線型代数学において、単位行列(たんいぎょうれつ、identity matrix)とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。.

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可換体

抽象代数学において、可換体(かかんたい、corps commutatif)あるいは単に体(たい、field)本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。(ガロワ理論を含む)体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は(ゼロ除算を除いて)除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.

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双対ベクトル空間

数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間(そうついベクトルくうかん、dual vector space)あるいは単に双対空間(そうついくうかん、dual space)は、そのベクトル空間上の線型汎函数(一次形式)全体の成す空間として定義される。有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。函数の成す(典型的には無限次元の)ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。 一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。.

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双線型形式

数学の特に抽象代数学および線型代数学における双線型形式(そうせんけいけいしき、bilinear form)とは、スカラー値の双線型写像、すなわち各引数に対してそれぞれ線型写像となっている二変数函数を言う。より具体的に、係数体 上のベクトル空間 で定義される双線型形式 は.

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外積代数

数学におけるベクトルの外積(がいせき、exterior product)あるいは楔積(くさびせき、ウェッジ積、wedge product)はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。 外積代数(がいせきだいすう、exterior algebra)は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数(グラスマンだいすう、Grassmann algebra)としても知られ、与えられた体 上のベクトル空間 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。 形式的には、外積代数は あるいは で表され、 を線型部分空間として含む、楔積あるいは外積と呼ばれる で表される乗法を持つ、体 上の単位的結合代数である。楔積は結合的で双線型な乗法 であり、本質的な性質として 上の交代性 を持つものである。これは以下の性質 をも特別の場合として含む。 圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の(ベクトル空間としての)双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。.

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対称双線型形式

線型代数学における対称双線型形式(たいしょうそうせんけいけいしき、symmetric bilinear form, symmetric bilinear functional)は、ベクトル空間上の対称な双線型形式を言う。平たく言えば、実ベクトル空間上の標準内積を一般化した概念である。対称双線型形式は、直交極性や二次曲面の研究に非常に重要である。 文脈上、双線型形式について述べていると明らかな場合は、単に短く対称形式と呼ぶこともある。対称双線型形式は二次形式と近しい関係にあり、この両者の差異に関する詳細はの項目を参照。.

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対称群

対称群(たいしょうぐん、)とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換(ちかん、)という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群(ちかんぐん、)と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。.

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対称行列

線型代数学における対称行列(たいしょうぎょうれつ、symmetric matrix)は、自身の転置行列と一致するような正方行列を言う。記号で書けば、行列 A は を満たすとき対称であるという。相等しい行列の型(次元、サイズ)は相等しいから、この式を満たすのは正方行列に限られる。 定義により、対称行列の成分は主対角線に関して対称である。即ち、成分に関して行列 は任意の添字 に関して を満たす。例えば、次の 行列 1 & 7 & 3\\ 7 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6 \end は対称である。任意の正方対角行列は、その非対角成分が であるから、対称である。同様に、歪対称行列( なる行列)の各対角成分は、自身と符号を変えたものと等しいから、すべて でなければならない。 線型代数学において、実対称行列は実内積空間上の自己随伴作用素を表す。これと、複素内積空間の場合に対応する概念は、複素数を成分に持つエルミート行列(自身の共役転置行列と一致するような複素行列)である。故に、複素数体上の線型代数学においては、対称行列という言葉は行列が実数に成分をとる場合に限って使うことがしばしばある。対称行列は様々な応用の場面に現れ、典型的な数値線型代数ソフトウェアではこれらに特別な便宜をさいている。.

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対角化

対角化(たいかくか、diagonalization)とは、正方行列を適当な線形変換によりもとの行列と相似な対角行列に変形することを言う。あるいは、ベクトル空間の線形写像に対し、空間の基底を取り替え、その作用が常にある方向(固有空間)へのスカラー倍(固有値)として現れるようにすること。対角化により変換において本質的には無駄な計算を省くことで計算量を大幅に減らすことが出来る。.

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対角行列

数学、特に線型代数学において、対角行列(たいかくぎょうれつ、diagonal matrix)とは、正方行列であって、その対角成分(-要素)以外が零であるような行列のことである。 \end この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば のようにも書かれる。 単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。.

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小行列式

線型代数学において,行列 の小行列式(しょうぎょうれつしき,minor, minor determinant)とは, から1列以上の行や列を取り除いて得られる小さい正方行列の行列式である.正方行列から行と列をただ1つずつ取り除いて得られる小行列式 (first minors; 第一小行列式) は行列の余因子 (cofactor) を計算するのに必要で,これは正方行列の行列式や逆行列の計算に有用である..

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射影作用素

変換 ''P'' は直線 ''m'' の上への直交射影 線型代数学および函数解析学における射影作用素あるいは単に射影(しゃえい、projection)とは、いわゆる射影(投影)を一般化した概念である。有限次元ベクトル空間 V の場合は、V 上の線型変換 P: V → V であって、冪等律 P2.

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三角行列

数学の一分野線型代数学における三角行列(さんかくぎょうれつ、triangular matrix)は特別な種類の正方行列である。正方行列が またはであるとは主対角線より「上」の成分がすべて零となるときに言い、同様にまたはとは主対角線より「下」の成分がすべて零となるときに言う。三角行列は上半または下半三角となる行列のことを言い、また上半かつ下半三角となる行列は対角行列と呼ぶ。 三角行列に関する行列方程式は解くことが容易であるから、それは数値解析において非常に重要である。LU分解アルゴリズムにより、正則行列が下半三角行列 と上半三角行列 との積 に書くことができるための必要十分条件は、その行列の首座小行列式 (leading principal minor) がすべて非零となることである。.

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一次関数

y-切片を持つ。 数学、特に初等解析学における(狭義の)一次関数(いちじかんすう、linear function)は、(の)一次()、つまり次数 の多項式が定める関数 をいう。ここで、係数 は に依存しない定数であり、矢印は各値 に対して を対応させる関数であることを意味する。特に解析幾何学において、係数および定義域は実数の範囲で扱われ、その場合一次関数のグラフは平面直線である。 より広義には、係数や定義域として複素数やその他の環を考えたり、多変数の一次多項式函数や、あるいは一次式をベクトル空間や作用を持つ加群の文脈で理解することもある。 一次関数は線型関数( の直訳)やアフィン関数 とも呼ばれ、この場合しばしば定数関数 も含む。ベクトルを変数とする広義の一次関数はアフィン写像と呼ばれ、これはベクトルにベクトルを対応させる写像であるが、ふつう線型写像はその特別な場合 で斉一次函数で与えられる。 以下、解析幾何学における実函数としての一次函数について述べる。.

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交代行列

線型代数学において、交代行列(こうたいぎょうれつ、alternative matrix)、歪対称行列(わいたいしょうぎょうれつ、skew-symmetric matrix)または反対称行列(はんたいしょうぎょうれつ、antisymmetric matrix, antimetric matrix; 反称行列)は、正方行列 であってその転置 が自身の 倍となるものをいう。すなわち、転置に対して反対称性を持つ行列は交代行列である。交代行列とは逆に、転置に対して対称な行列は対称行列と呼ばれる。本項において(何も言わなければ)、係数体の標数 は でない と仮定する。標数が のとき、任意のスカラーは自身を反数として持つので、任意の歪対称行列は対称行列の概念に一致する。歪対称行列に付随する双線型形式は歪対称形式であり、標数 のときは対称形式になる。一方、付随する双線型形式が交代形式であるような行列を「交代行列」と呼べば、標数 のとき「交代行列」は歪対称(.

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代数学

代数学(だいすうがく、algebra)は数学の一分野で、「代数」 の名の通り数の代わりに文字を用いて方程式の解法を研究する学問として始まった。しかし19世紀以降の現代数学においては、ヒルベルトの公理主義やブルバキスタイルに見られるように、代数学はその範囲を大きく広げているため、「数の代わりに文字を用いる数学」や「方程式の解法の学問」という理解の仕方は必ずしも適当ではない。現代数学においては、方程式の研究は方程式論(代数方程式論)という代数学の古典的一分野として捉えられている。現在は代数学と言えば以下の抽象代数学をさすのが普通である。 現代代数学は、一般的に代数系を研究する学問分野であると捉えられている。以下に示す代数学の諸分野の名に現れる半群・群・環・多元環(代数)・体・束は代数系がもつ代表的な代数的構造である。 群・環・多元環・体の理論はガロアによる代数方程式の解法の研究などに起源があり、束論はブールによる論理学の数学的研究などに起源がある。 半群は、群・環・多元環・体・束に共通する最も原始的な構造である。 現代日本の大学では 1, 2 年次に、微分積分学と並んで、行列論を含む線型代数学を教えるが、線型代数学は線型空間という代数系を対象とすると共に、半群・群・環・多元環・体と密接に関連し、集合論を介して、また公理論であるために論理学を介して、束とも繋がっている。 現代ではまた、代数学的な考え方が解析学・幾何学等にも浸透し、数学の代数化が各方面で進んでいる。ゆえに、代数学は数学の諸分野に共通言語を提供する役割もあるといえる。.

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位相空間

数学における位相空間(いそうくうかん, topological space)とは、集合にある種の情報(位相、topology)を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.

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佐武一郎

佐武 一郎(さたけ いちろう、1927年 - 2014年10月10日)は、日本の数学者。山口県出身。カリフォルニア大学バークレー校名誉教授。東北大学名誉教授。理学博士。 専門は微分幾何学、代数群。(Satake isomorphism)、志村多様体の佐武コンパクト化、ディンキン図形の一般化である(Satake diagram)などで知られる。著書の『線型代数学』は線型代数学の入門書として有名であり、現在でも広く読まれている。.

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微分積分学

微分積分学(びぶんせきぶんがく, )とは、解析学の基本的な部分を形成する数学の分野の一つである。微分積分学は、局所的な変化を捉える微分と局所的な量の大域的な集積を扱う積分の二本の柱からなり、分野としての範囲を確定するのは難しいが、大体多変数実数値関数の微分と積分に関わる事柄(逆関数定理やベクトル解析も)を含んでいる。 微分は、ある関数のある点での接線、或いは接平面を考える演算である。数学的に別の言い方をすると、基本的には複雑な関数を線型近似して捉えようとする考え方である。従って、微分は線型写像になる。但し、多変数関数の微分を線型写像として捉える考え方は 20世紀に入ってからのものである。微分方程式はこの考え方の自然な延長にある。 対して積分は、幾何学的には、曲線、あるいは曲面と座標軸とに挟まれた領域の面積(体積)を求めることに相当している。ベルンハルト・リーマンは(一変数の)定積分の値を、長方形近似の極限として直接的に定義し、連続関数は積分を有することなどを証明した。彼の定義による積分をリーマン積分と呼んでいる。 微分と積分はまったく別の概念でありながら密接な関連性を持ち、一変数の場合、互いに他の逆演算としての意味を持っている(微分積分学の基本定理)。微分は傾き、積分は面積を表す。.

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像 (数学)

'''f''' は始域 '''X''' から終域 '''Y''' への写像。'''Y''' の内側にある小さな楕円形が '''f''' の像である。 数学において、何らかの写像の像(ぞう、image)は、写像の始域(域、定義域)の部分集合上での写像の出力となるもの全てからなる、写像の終域(余域)の部分集合である。すなわち、始域の部分集合 X の各元において写像の値を評価することによって得られる集合を f による(または f に関する、f のもとでの、f を通じた)X の像という。また、写像の終域の何らかの部分集合 S の逆像(ぎゃくぞう、inverse image)あるいは原像(げんぞう、preimage)は、S の元に写ってくるような始域の元全体からなる集合である。 像および逆像は、写像のみならず一般の二項関係に対しても定義することができる。.

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ハメル次元

数学における、ベクトル空間の次元(じげん、dimension)とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数)である。 他の種類の次元との区別のため、ハメル次元または代数次元と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は(選択公理を仮定すれば)基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 F 上のベクトル空間 V の次元を dimF(V) あるいは で表す(文脈から基礎とする体 F が明らかならば単に dim(V) と書く)。 ベクトル空間 V が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。.

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ヤコビ行列

数学、特に多変数微分積分学およびベクトル解析におけるヤコビ行列(やこびぎょうれつ、Jacobian matrix)あるいは単にヤコビアンまたは関数行列(かんすうぎょうれつ、Funktionalmatrix)は、一変数スカラー値関数における接線の傾きおよび一変数ベクトル値函数の勾配の、多変数ベクトル値関数に対する拡張、高次元化である。名称はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに因む。多変数ベクトル値関数 のヤコビ行列は、 の各成分の各軸方向への方向微分を並べてできる行列で \end\quad (f.

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ユークリッド空間

数学におけるユークリッド空間(ユークリッドくうかん、Euclidean space)は、エウクレイデス(ユークリッド)が研究したような幾何学(ユークリッド幾何学)の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や(三次元)ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、(標準的なモデルを与えるものという意味で)しばしば とかかれるが、(余分な構造を想起させない)ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.

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ユニタリ行列

ユニタリ行列(~ぎょうれつ、英:Unitary matrix)は、次を満たす複素正方行列 として定義される。 ここで、 は単位行列、 は行列 の随伴行列。 なお、実数で構成される行列の随伴は単に転置であるため実ユニタリ行列は直交行列に等しく、直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。.

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ラテン語

ラテン語(ラテンご、lingua latina リングア・ラティーナ)は、インド・ヨーロッパ語族のイタリック語派の言語の一つ。ラテン・ファリスク語群。漢字表記は拉丁語・羅甸語で、拉語・羅語と略される。.

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ライブラリ

ライブラリ()は、汎用性の高い複数のプログラムを再利用可能な形でひとまとまりにしたものである。ライブラリと呼ぶ時は、それ単体ではプログラムとして作動させることはできない実行ファイルではない場合がある。ライブラリは他のプログラムに何らかの機能を提供するコードの集まりと言うことができる。ソースコードの場合と、オブジェクトコード、あるいは専用の形式を用いる場合とがある。たとえば、UNIXのライブラリはオブジェクトコードをarと呼ばれるアーカイバでひとまとめにして利用する。図書館()と同様にプログラム(算譜)の書庫であるので、索引方法が重要である。 また、ソフトウェア以外の再利用可能なものの集合について使われることもある。.

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リー代数

数学において、リー代数、もしくはリー環日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、後述の Lie ring はより一般的な概念である。本項ではこの2つの用語を区別して用いる。は、「リー括弧積」(リーブラケット、Lie bracket)と呼ばれる非結合的な乗法 を備えたベクトル空間である。 の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算がであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群がによる違いを除いて一意的に存在する()。このによってリー群をリー代数によって研究することができる。.

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リー群

リー群(リーぐん、Lie group)は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.

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レオポルト・クロネッカー

レオポルト・クロネッカー(Leopold Kronecker, 1823年12月7日 - 1891年12月29日)はドイツの数学者である。リーグニッツ(現在のポーランド・レグニツァ Legnica)生まれ。ユダヤ系。 彼は、ヤコビ、ディリクレ、アイゼンシュタイン、クンマーといったドイツの先達の後に立って、また、パリ滞在中にエルミートなどの影響によって、群論、モジュラー方程式、代数的整数論、楕円関数、また行列式の理論において大きな業績を残した。クロネッカーの名前は現在でも、クロネッカーのデルタ、クロネッカー積、クロネッカー=ウェーバーの定理、クロネッカーの青春の夢などに見ることができる。.

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ヘルマン・グラスマン

ヘルマン・ギュンター・グラスマン(Hermann Günther Graßmann, 1809年4月15日 - 1877年9月26日)はドイツの数学者・物理学者・言語学者。 まず数学を研究し、現在グラスマン代数と呼ばれる成果をあげたが、時代に先んじていたため認められなかった。しかし他の分野でも才能を開花させ、色彩論および言語学においてそれぞれグラスマンの法則と呼ばれる業績を残した。.

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テンソル

テンソル(tensor, Tensor)とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。しかし、テンソル自身は、特定の座標系によらないで定まる対象である。個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。 例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1のテンソルであり、力や加速度ベクトルの間の異方的な関係などをあらわす線型変換は階数2のテンソルで表される。 物理学や工学においてしばしば「テンソル」と呼ばれているものは、実際には位置や時刻を引数としテンソル量を返す関数である「テンソル場」であることに注意しなければならない。いずれにせよテンソル場の理解のためにはテンソルそのものの概念の理解が不可欠である。.

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テンソル代数

数学におけるベクトル空間 上のテンソル代数(テンソルだいすう、tensor algebra) または は 上の任意階のテンソル全体がテンソル積を乗法として成す体上の多元環である。これは多元環をベクトル空間とみなすの左随伴となるという意味において 上の自由多元環、すなわち普遍性を満たすという意味で を含む多元環として「最も一般」のものである。 テンソル代数はまた二種類の余代数構造を持つ。一つは簡素で双代数を定めないが、もう一つはより複雑なもので双代数を導き、さらに対蹠射を以ってホップ代数へ拡張することができる。; 注意: 本項において多元環(代数)は単位的かつ結合的なものと仮定する。.

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フロベニウスの定理

フロベニウスの名にちなむ定.

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フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス

フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス(Georg Ferdinand Frobenius、1849年10月26日 - 1917年8月3日)はドイツの数学者。 ベルリンに生まれる。1867年ゲッティンゲン大学に入学、その後ベルリン大学に転じて、1870年に博士号を取得。1874年ベルリン大学助教授、1875年から1902年までチューリッヒ工科大学教授を務めた。1902年からベルリン大学教授となり、最期までその職にあり続けた。 群の指標の概念を導入し、有限群の表現論を実質的に完成した。これはのちに量子力学に不可欠のものとなる。また代数的整数論でフロベニウス置換を発見。.

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フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン

フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン(Ferdinand Gotthold Max Eisenstein、1823年4月16日 - 1852年10月11日)は、ドイツの数学者。楕円関数論、行列の理論やアイゼンシュタイン整数の発見などの業績を残したが若くして結核で亡くなった。ガウスやディリクレのもとで学び、ガウスも彼の才能を高く評価していた。ベルリン大学で学生時代に、レオポルト・クロネッカーと友人になった。リーマンはベルリン大学で彼の講義を受けている。 楕円関数論での研究では、(関数論に依拠するのではなく)整数論との関連を重視して多くの公式を具体的に与えた。この成果を晩年のクロネッカーが見出して、楕円関数論に新たな方向性をもたらすことになる。.

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ベクトル

ベクトル()またはベクター() ベクトルは Vektor に由来し、ベクターは vector に由来する。物理学などの自然科学の領域ではベクトル、プログラミングなどコンピュータ関係ではベクターと表記される、という傾向が見られることもある。また、技術文書などではしばしばJIS規格に準拠する形で、長音を除いたベクタという表記が用いられる。 は「運ぶ」を意味するvehere に由来し、18世紀の天文学者によってはじめて使われた。 ベクトルは通常の数(スカラー)と区別するために矢印を上に付けたり(例: \vec,\ \vec)、太字で書いたりする(例: \boldsymbol, \boldsymbol)が、分野によっては矢印も太字もせずに普通に書くこともある(主に解析学)。 ベクトル、あるいはベクターに関する記事と用法を以下に挙げる。.

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ベクトル空間

数学、特に線型代数学におけるベクトル空間(ベクトルくうかん、vector space)、または、線型空間(せんけいくうかん、linear space)は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積(「スケール変換」)を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件(後述)を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である(同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す)。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元(大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの)によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は(直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような)古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.

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ベクトル解析

ベクトル解析(ベクトルかいせき、英語:vector calculus)は空間上のベクトル場やテンソル場に関する微積分に関する数学の分野である。 多くの物理現象はベクトル場やテンソル場として記述されるため、ベクトル解析は物理学の様々な分野に応用を持つ。 物理学では3次元ユークリッド空間上のベクトル解析を特によく用いられるが、ベクトル解析は一般のn次元多様体上で展開できる。.

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和算

和算(わさん)は、日本独自に発達した数学である。狭義には大いに発展した江戸時代の関孝和以降のそれを指すが、西洋数学導入以前の数学全体を指すこともある。.

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アーサー・ケイリー

アーサー・ケイリー(、、1821年8月16日 - 1895年1月26日)は、イギリスの数学者、弁護士。行列に関するケイリー・ハミルトンの定理で有名。.

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アフィン空間

数学において、アフィン空間(あふぃんくうかん、affine space, アファイン空間とも)または擬似空間(ぎじくうかん)とは、幾何ベクトルの存在の場であり、ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量の概念を取り除いたアフィン構造を抽象化した幾何学的構造である。(代数的な)ベクトル空間からどの点が原点であるかを忘れたものと考えることもできる。 1次元のアフィン空間はアフィン直線、2次元のアフィン空間はと呼ばれる。.

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イングランド

イングランド(England)は、グレートブリテン及び北アイルランド連合王国(イギリス)を構成する4つの「国」(country)の一つである。人口は連合王国の83%以上、面積はグレートブリテン島の南部の約3分の2を占める。北方はスコットランドと、西方はウェールズと接する。北海、アイリッシュ海、大西洋、イギリス海峡に面している。 イングランドの名称は、ドイツ北部アンゲルン半島出身のゲルマン人の一種であるアングル人の土地を意味する「Engla-land」に由来する。イングランドは、ウェールズとともにかつてのイングランド王国を構成していた。.

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エルミート形式

数学の線型代数学におけるエルミート積 (Hermitian product), エルミート半双線型形式 (Hermitian Sesqui­linear form) あるいは単にエルミート形式(エルミートけいしき、Hermitian form)は、シャルル・エルミートに名を因む特別な種類の半双線型形式で、対称双線型形式の複素版にあたる。 複素線型空間 とその上のエルミート形式 との組, あるいは同じことだが対応する「二次形式」 との組 をエルミート空間(あるいはエルミート二次空間)と呼ぶ。.

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エルミート行列

線型代数学におけるエルミート行列(エルミートぎょうれつ、Hermitian matrix)または自己随伴行列(じこずいはんぎょうれつ、self-adjoint matrix)は、複素数に成分をとる正方行列で自身の随伴行列(共軛転置)と一致するようなものを言う。エルミート行列は、実対称行列の複素数に対する拡張版の概念として理解することができる。 行列 の随伴を と書くとき、複素行列がエルミートであるということは、 が成り立つということであり、これはまた が成り立つことと同値ゆえ、その成分は任意の添字 について -成分は -成分の複素共軛と等しい。 随伴行列 は と書かれるほうが普通だが、 を複素共軛(本項では と書いた)の意味で使う文献も多く紛らわしい。 エルミート行列の名はシャルル・エルミートに因む。エルミートは1855年、この種の行列が固有値が常に実数となるという実対称行列と同じ性質を持つことを示した。 よく知られたパウリ行列、ゲルマン行列および一般化されたそれらはエルミートである。理論物理学においてそれらのエルミート行列には、しばしば虚数の係数が掛かって歪エルミート行列となる。.

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カール・ワイエルシュトラス

ール・ワイエルシュトラス カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス(Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, 1815年10月31日 – 1897年2月19日)はドイツの数学者である。姓のワイ (Wei) の部分はヴァイと表記するほうが正確である。また、"er" に当たる部分はエル/ヤ/ア、"st" はシュト/スト、"raß" はラス/ラースとそれぞれ表記されることがある。.

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カール・フリードリヒ・ガウス

Disquisitiones Arithmeticae のタイトルページ ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス(; Johann Carl Friedrich Gauß, Carolus Fridericus Gauss, 1777年4月30日 - 1855年2月23日)は、ドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼の研究は広範囲に及んでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。数学の各分野、さらには電磁気など物理学にも、彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。19世紀最大の数学者の一人である。.

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ガウスの消去法

ウスの消去法(ガウスのしょうきょほう、Gaussian elimination)あるいは掃き出し法(はきだしほう、row reduction)とは、連立一次方程式を解くための多項式時間アルゴリズムであり、通常は問題となる連立一次方程式の係数からなる拡大係数行列に対して行われる一連の変形操作を意味する。 同様のアルゴリズムは歴史的には前漢に九章算術で初めて記述された。連立一次方程式の解法以外にも.

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クラメルの公式

線型代数学におけるクラメルの法則あるいはクラメルの公式(クラメルのこうしき、Cramer's rule; クラメルの規則)は、未知数の数と方程式の本数が一致し、かつ一意的に解ける線型方程式系の解を明示的に書き表す行列式公式である。これは、方程式の解を正方係数行列とその各列ベクトルを一つずつ方程式の右辺のベクトルで置き換えて得られる行列の行列式で表すものになっている。名称はガブリエル・クラーメル (1704–1752) に因むもので、クラーメルは任意個の未知数に関する法則を1750年に記している。なお特別の場合に限れば、コリン・マクローリンが1748年に公表している(また、恐らくはそれを1729年ごろにはすでに知っていたと思われる)。.

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グラム・シュミットの正規直交化法

ラム・シュミットの正規直交化法(グラム・シュミットのせいきちょっこうかほう、Gram–Schmidt orthonormalization)とは、計量ベクトル空間に属する線型独立な有限個のベクトルが与えられたとき、それらと同じ部分空間を張る正規直交系を作り出すアルゴリズムの一種。シュミットの直交化(ちょっこうか、orthogonalization)ともいう。Jørgen Pedersen Gramおよびエルハルト・シュミットにより名付けられた。変換行列は上三角行列に取ることができる。正規化する工程を省略すると、必ずしも正規でない直交系を得ることができる。.

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ケイリー・ハミルトンの定理

イリー・ハミルトンの定理(ケイリー・ハミルトンのていり、Cayley–Hamilton theorem)、またはハミルトン・ケイリーの定理とは、線型代数学において、(実数体や複素数体を含む)可換環上の正方行列は固有方程式を満たすという定理である。アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなむ。.

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コンピュータ

ンピュータ(Computer)とは、自動計算機、とくに計算開始後は人手を介さずに計算終了まで動作する電子式汎用計算機。実際の対象は文字の置き換えなど数値計算に限らず、情報処理やコンピューティングと呼ばれる幅広い分野で応用される。現代ではプログラム内蔵方式のディジタルコンピュータを指す場合が多く、特にパーソナルコンピュータやメインフレーム、スーパーコンピュータなどを含めた汎用的なシステムを指すことが多いが、ディジタルコンピュータは特定の機能を実現するために機械や装置等に組み込まれる組み込みシステムとしても広く用いられる。電卓・機械式計算機・アナログ計算機については各項を参照。.

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ゴットフリート・ライプニッツ

ットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ(Gottfried Wilhelm Leibniz、1646年7月1日(グレゴリオ暦)/6月21日(ユリウス暦) - 1716年11月14日)は、ドイツの哲学者、数学者。ライプツィヒ出身。なお Leibniz の発音は、(ライプニッツ)としているものと、(ライブニッツ)としているものとがある。ルネ・デカルトやバールーフ・デ・スピノザなどとともに近世の大陸合理主義を代表する哲学者である。主著は、『モナドロジー』、『形而上学叙説』、『人間知性新論』など。.

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シャルル・エルミート

ャルル・エルミート(Charles Hermite、1822年12月24日-1901年1月14日)は、フランスの数学者。1869年からエコール・ポリテクニークの教授、1876年からソルボンヌ大学の教授を務めた。 エルミートは、エルミート内積、エルミート行列やエルミート作用素(エルミート演算子)、エルミート多項式などにその名を残している。また、オイラー、ラグランジュ、アーベル、ガロア等、数多くの偉大な数学者が挑んだ五次方程式の解法を見つけるという難問に挑み、1858年に楕円関数を用いて、初めて一般的な五次方程式を解くことに成功した。1873年にネイピア数 が超越数であることを証明したことでも知られる。この結果を引き継いで、1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンにより円周率 が超越数であることが証明され、円積問題が否定的に解決された(エルミート.

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シルベスター行列

ルベスター行列(シルベスターぎょうれつ、Sylvester matrix)とは、2つの多項式が共通根を持つか否かを判定する行列である。.

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ジュゼッペ・ペアノ

ュゼッペ・ペアノ(ペアーノ、Giuseppe Peano, 1858年8月27日、ピエモンテ州クーネオ – 1932年4月20日、トリノ)はイタリアの数学者。トリノ大学教授。自然数の公理系 (ペアノの公理)、ペアノ曲線の考案者として知られる。 人工言語の一つである無活用ラテン語を提唱したことでも知られる。.

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ジョルダン標準形

ョルダン標準形(ジョルダンひょうじゅんけい、Jordan normal form)とは、代数的閉体(例えば複素数体)上の正方行列に対する標準形のことである。任意の正方行列は本質的にただ一つのジョルダン標準形と相似である。名前はカミーユ・ジョルダンにちなむ。.

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ジェームス・ジョセフ・シルベスター

ェームス・ジョセフ・シルベスター(James Joseph Sylvester, 1814年9月3日 - 1897年3月15日)は、イギリスの数学者。 1838年からユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドン教授、1877年に渡米してジョンズ・ホプキンス大学教授、1883年からオックスフォード大学の幾何学の Savillian 教授を歴任した。1839年王立協会フェロー選出。 w:American Journal of Mathematicsを創刊。シルベスター行列などに名を残している。.

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スペクトル分解 (関数解析学)

数学の関数解析学の分野において、あるバナッハ空間 X(関数解析学における基本概念の一つ)上の線型作用素 T のスペクトルは、作用素 T-\lambda が X 上に有界な逆作用素を持たないようなすべてのスカラー \lambda で構成される。そのようなスペクトルは、通常以下の三つの部分に分解(ぶんかい、)される:.

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冪零行列

冪零行列(べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix)とは、冪乗して零(零行列)となる正方行列のこと。すなわち、ある自然数 m に対して、 が成り立つ行列 M をいう。冪零行列は基底の与えられたベクトル空間に対して冪零変換を定める。.

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内積

線型代数学における内積(ないせき、inner product)は、(実または複素)ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式(実係数の場合には対称双線型形式)のことである。二つのベクトルに対してある数(スカラー)を定める演算であるためスカラー積(スカラーせき、scalar product)ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間と見做される。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。.

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回転行列

線型代数において、回転行列(かいてんぎょうれつ、rotation matrix)とは、ユークリッド空間内における原点中心の回転変換の表現行列のことである。 二次元や三次元では、幾何学、物理学、コンピュータグラフィックスの分野での計算に非常によく使われている。大半の応用で扱うのは2次元や3次元の回転だが、一般の次元でも回転行列を定義することができる。 n 次元空間における回転行列は、実数を成分とする正方行列であって、行列式が 1 の n 次直交行列として特徴づけられる: n 次元の回転行列の全体は特殊直交群(あるいは回転群)と呼ばれる群をなす。.

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固有多項式

線型代数学において、固有多項式(こゆうたこうしき、characteristic polynomial)あるいは特性多項式(とくせいたこうしき)とは、正方行列に付随して得られるある多項式を指し、その行列の固有値、行列式、トレース、最小多項式といった重要な量と関連している。相似な行列に対しては同じ固有多項式が定まる。 またグラフ理論において、グラフの固有多項式とは、グラフの隣接行列の固有多項式のことを指す。この多項式はグラフの不変量となっている。すなわち同型なグラフは同じ固有多項式を持つ。.

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固有値

線型代数学において、線型変換の特徴を表す指標として固有値 (eigenvalue) や固有ベクトル (eigenvector) がある。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (eigenvalue problem) という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。.

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Basic Linear Algebra Subprograms

Basic Linear Algebra Subprograms(BLAS)は、ベクトルと行列に関する基本線型代数操作を実行するライブラリAPIのデファクトスタンダードである。1979年に初公開され、これを使ったLAPACKなどの上位パッケージが構築されている。科学技術計算・高性能計算で多用される。 高度に最適化(高速な実装)された BLAS API の実装がインテル(Intel Math Kernel Library)などの各ハードウェアベンダーなどから提供されている。オープンソースの最適化 BLAS 実装として OpenBLAS や ATLAS がある。LINPACK ベンチマークの性能は、BLAS のサブルーチンである DGEMM(倍精度汎用行列乗算)の性能に大きく影響される。.

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空間ベクトル

間ベクトル(くうかんベクトル、Vektor, vector, vector, 「運搬者、運ぶもの」より)は、大きさと向きを持った量である。ベクタ、ベクターともいう。漢字では有向量と表記される。ベクトルで表される量をベクトル量と呼ぶ。 例えば、速度や加速度、力はベクトルである。平面上や空間内の矢印(有向線分)として幾何学的にイメージされる。ベクトルという用語はハミルトンによってスカラーなどの用語とともに導入された。スカラーはベクトルとは対比の意味を持つ。 この記事では、ユークリッド空間内の幾何ベクトル、とくに 3次元のものについて扱い、部分的に一般化・抽象化された場合について言及する。本項目で特に断り無く空間と呼ぶときは、3次元実ユークリッド空間のことを指す。.

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線型微分方程式

線型微分方程式線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。(せんけいびぶんほうていしき、linear differential equation)は、微分を用いた線型作用素(線型微分作用素) と未知関数 と既知関数 を用いて の形に書かれる微分方程式のこと。.

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線型写像

数学の特に線型代数学における線型変換(せんけいへんかん、linear transformation、一次変換)あるいは線型写像(せんけいしゃぞう、linear mapping)は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の(零写像でない)線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは(体上の加群としての)ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像(自己準同型)の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、(特に無限次元空間上の)線型写像のことを「線型作用素」(せんけいさようそ、linear operator)と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」(いちじけいしき、linear form, one-form; 線型形式; 1-形式)とも呼ばれる一次の微分形式(一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form)を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。.

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線型結合

線型結合(せんけいけつごう、)は、線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えば、ベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。 いくつかのベクトルを組み合わせると他のベクトルを作ることができる。例えば、2次元数ベクトルを例にとれば、ベクトル v.

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線型独立

線型代数学において、ベクトルの集合が線型独立 (せんけいどくりつ、linearly independent) または一次独立であるとは、線型従属(一次従属)でないこと、つまり集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの表示が自明なものに限ることをいう(#定義)。.

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線型部分空間

数学、とくに線型代数学において、線型部分空間(せんけいぶぶんくうかん、linear subspace)または部分ベクトル空間(ぶぶんベクトルくうかん、vector subspace)とは、ベクトル空間の部分集合で、それ自身が元の空間の演算により線型空間になっているもののことである。 ベクトル空間のある部分集合が、それ自身ある演算に関してベクトル空間の構造を持っていたとしても、その演算がもとの空間の演算でないならば部分線型空間とは呼ばない、ということに注意されたい。また、文脈により紛れの恐れのない場合には、線型部分空間のことを単に部分空間と呼ぶことがある。.

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線型方程式系

数学において、線型方程式系(せんけいほうていしきけい)とは、同時に成立する複数の線型方程式(一次方程式)の組のことである。線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。 複数の方程式の組み合わせを方程式系あるいは連立方程式と呼ぶことから、線型方程式系のことを一次方程式系、連立線型方程式、連立一次方程式等とも呼ぶこともある。.

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線型性

線型性(せんけいせい、英語: linearity)あるいは線型、線形、線状、リニア(せんけい、英語: linear、ラテン語: linearis)とは、直線そのもの、または直線のようにまっすぐな図形やそれに似た性質をもつ対象および、そのような性質を保つ変換などを指して用いられている術語である。対義語は非線型性(英語:Non-Linearity)である。 英語の数学用語のlinear にあてる日本語訳としては、線型が本来の表記であると指摘されることもあるが、他にも線形、線状などといった表記もしばしば用いられている。また一次という表記・表現もしばしば用いられている。というのはlinearは、(多変数の)斉一次函数を指していると考えて間違っていない場合も多いためである。.

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縮退

縮退(しゅくたい、Degeneracy、ごくまれに縮重とも)とは物理学において、2つ以上の異なったエネルギー固有状態が同じエネルギー準位をとること。.

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置換 (数学)

数学における置換(ちかん、permutation)の概念は、いくつか僅かに異なった意味で用いられるが、いずれも対象や値を「並べ替える」ことに関するものである。有り体に言えば、対象からなる集合の置換というのは、それらの対象に適当な順番を与えて並べることを言う。例えば、集合 の置換は、 の全部で六種類ある順序組である。単語のアナグラムは、単語を構成する文字列に対する置換として定められる。そういった意味での置換の研究は、一般には組合せ論に属する話題である。 相異なる n 個の対象の置換の総数は 通りであり、これは "n!" と書いて n の階乗と呼ばれる。 置換の概念は、多かれ少なかれ(あるいは陰に陽に)、数学のほとんどすべての領域に現れる。たとえばある有限集合上に異なる順序付けが考えられる場合に、単にそれらの順番を無視したいとか、無視した時にどれほどの配置が同一視されるかを知る必要があるなどの理由で、置換が行われることも多い。同様の理由で、置換は計算機科学におけるソートアルゴリズムの研究において生じる。 代数学、特に群論において、集合 S 上の置換は S から自身への全単射(つまり写像 で S の各元が像としてちょうど一つずつ現れるもの)として定義される。これは各元 s を対応する f(s) と入れ替えるという意味での S の並び替え (rearrangement) と関連する。このような置換の全体は対称群と呼ばれる群を成す。重要なことは、置換の合成が定義できること、つまり二つの並び替えを続けて行うと、それは全体として別の並べ替えになっているということである。S 上の置換は、S の元(あるいはそれを特定の記号によって置き換えたもの)を対象として、それらに対象の並び替えとして作用する。 初等組合せ論において、「」はともに n 元集合から k 個の元を取り出す方法として可能なものを数え上げる問題に関するもので、取り出す順番を勘案するのが k-順列、順番を無視するのが k-組合せである。k.

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統計学

統計学(とうけいがく、statistics、Statistik)とは、統計に関する研究を行う学問である。 統計学は、経験的に得られたバラツキのあるデータから、応用数学の手法を用いて数値上の性質や規則性あるいは不規則性を見いだす。統計的手法は、実験計画、データの要約や解釈を行う上での根拠を提供する学問であり、幅広い分野で応用されている。 現在では、医学(疫学、EBM)、薬学、経済学、社会学、心理学、言語学など、自然科学・社会科学・人文科学の実証分析を伴う分野について、必須の学問となっている。また、統計学は哲学の一分科である科学哲学においても重要な一つのトピックになっている。.

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経済学

この記事では経済学(けいざいがく、economics)について解説する。経済学の原語であるeconomicsという語彙は、新古典派経済学者アルフレッド・マーシャルの主著『経済学原理』(Principles of Economics, 1890年)によって誕生・普及したとされる。 日本語で「経済学」と言った場合、economicsだけでなく政治経済学(political economy)を指す場合もあるため、本記事ではこの「政治経済学」も併せて解説する。 佐藤雅彦・竹中平蔵 『経済ってそういうことだったのか会議』 日本経済新聞社学〈日経ビジネス人文庫〉、2002年、5頁。。 -->.

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環 (数学)

数学における環(かん、ring)は、台集合に「加法」(和)および「乗法」(積)と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである(これは乗法が可換だから可換環の例でもある)。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す(乗法単位元の存在を要求しない)こともある。定義に関する注意節を参照。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。 環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは(整数環や多項式環などの)よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。 また、環論は基本的な物理法則(の根底にある特殊相対性)や物質化学における対称現象の理解にも寄与する。 環の概念は、1880年代のデデキントに始まる、フェルマーの最終定理に対する証明の試みの中で形成されていった。他分野(主に数論)からの寄与もあって、環の概念は一般化されていき、1920年代のうちにエミー・ネーター、ヴォルフガング・クルルらによって確立される。活発に研究が行われている数学の分野としての現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する(イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど)。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える(前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する)。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環(斜体)が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。.

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産業連関表

産業連関表(さんぎょうれんかんひょう、Input Output Table)は、産業ごとの生産・販売等の取引額を行列形式にした指標。英語の頭文字を取ってI-O表とも。アメリカの経済学者であるワシリー・レオンチェフが、1936年にアメリカを対象として作成したものが最初である。一般均衡理論を現実の経済に適用しようとする試みであり、レオンチェフ自身によればカール・マルクスの再生産表式から着想したとされる。.

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特異値分解

特異値分解(とくいちぶんかい、singular value decomposition; SVD)とは、線形代数学における、複素数あるいは実数を成分とする行列に対する行列分解の一手法である。信号処理や統計学の分野で用いられる。特異値分解は、行列に対するスペクトル定理の一般化とも考えられ、正方行列に限らず任意の形の行列を分解できる。.

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特殊相対性理論

特殊相対性理論(とくしゅそうたいせいりろん、Spezielle Relativitätstheorie、Special relativity)とは、慣性運動する観測者が電磁気学的現象および力学的現象をどのように観測するかを記述する、物理学上の理論である。アルベルト・アインシュタインが1905年に発表した論文に端を発する。特殊相対論と呼ばれる事もある。.

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直交行列

交行列(ちょっこうぎょうれつ, )とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまりn × n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、MTM.

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直交補空間

数学の線型代数学および関数解析学の分野において、部分線型空間の直交補空間(ちょっこうほくうかん、; perp)とは、その部分空間内のすべてのベクトルと直交するようなベクトル全体の成す集合を言い、直交補空間はそれ自身部分線型空間を成す。.

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随伴行列

数学の特に線型代数学における行列の, エルミート転置 (Hermitian transpose), エルミート共軛 (Hermitian conjugate), エルミート随伴 (Hermitian adjoint) あるいは随伴行列(ずいはんぎょうれつ、adjoint matrix)とは、複素数に成分をとる 行列 に対して、 の転置およびその成分の複素共軛(実部はそのままで虚部の符号を反転する)をとって得られる 行列 を言う。 \end.

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隣接行列

隣接行列(りんせつぎょうれつ、adjacency matrix)とは、における基本的な概念で、グラフの頂点と頂点の隣接関係を表わす正方行列である。 頂点集合を とする有限無向グラフ に対して、その隣接行列 とは(頂点集合によって添字づけられた) 次正方行列であって、その 成分 は頂点 と頂点 を結ぶ枝の数で定義される。これによりグラフ の固有多項式やスペクトルがそれぞれ隣接行列 の固有多項式やスペクトルとして定義される。これらはグラフの不変量である(隣接行列そのものは頂点集合上の置換を除いてしか定まらない)。 有向グラフの場合、 から に向かう枝があるときのみ 成分を 1 に、そうでないとき 成分を 0 にする。また、枝に重みがついているグラフの場合は、 成分を重みとする。.

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行列

数学の線型代数学周辺分野における行列(ぎょうれつ、matrix)は、数や記号や式などを行と列に沿って矩形状に配列したものである。行の数と列の数が同じ行列はが成分ごとの計算によって与えられる。行列の積の計算はもっと複雑で、2 つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。 行列の応用として顕著なものは一次変換の表現である。一次変換は のような一次関数の一般化で、例えば三次元空間におけるベクトルの回転などは一次変換であり、 が回転行列で が空間の点の位置を表す列ベクトル(1 列しかない行列)のとき、積 は回転後の点の位置を表す列ベクトルになる。また 2 つの行列の積は、2 つの一次変換の合成を表現するものとなる。行列の別な応用としては、連立一次方程式の解法におけるものである。行列が正方行列であるならば、そのいくつかの性質は、行列式を計算することによって演繹することができる。例えば、正方行列が正則であるための必要十分条件は、その行列式の値が非零となることである。固有値や固有ベクトルは一次変換の幾何学に対する洞察を与える。行列の応用は科学的な分野の大半に及び、特に物理学において行列は、電気回路、光学、量子力学などの研究に利用される。コンピュータ・グラフィックスでは三次元画像の二次元スクリーンへの投影や realistic-seeming motion を作るのに行列が用いられる。は、古典的な解析学における微分や指数関数の概念を高次元へ一般化するものである。 主要な数値解析の分野は、行列計算の効果的なアルゴリズムの開発を扱っており、主題は何百年にもわたって今日では研究領域も広がっている。行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を単純化するもので、アルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計が効率的に処理される。惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。関数のテイラー級数に対して作用する微分の表現行列は、無限次行列の簡単な例である。.

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行列の基本変形

行列の基本変形(ぎょうれつのきほんへんけい)とは、行列の変形のうち下の六つである。.

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行列の相似

線型代数学において、ふたつの n 次正方行列 A, B が相似(そうじ、similar)であるとは、n 次正則行列 P で となるようなものが存在するときに言う。互いに相似な行列は同じ線型写像を異なる基底に関して表現するもので、さきほどの P はそれらの基底の間の基底変換 (change of basis) を与える行列である。上記のような変換はしばしば、変換行列 P に関する相似変換 (similarity transformation) と呼ばれる。線型代数群の文脈では、行列の相似性は(群の元としての)共軛性として言及されることも多い。.

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行列の階数

線型代数学における行列の階数(かいすう、rank; ランク)は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。 例えば、行列 の階数 (あるいは または丸括弧を落として )は、 の列空間(列ベクトルの張るベクトル空間)の次元に等しく、また の行空間の次元とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。.

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行列式

数学における行列式(ぎょうれつしき、)とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。.

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行列指数関数

線型代数学における行列の指数関数(ぎょうれつのしすうかんすう、matrix exponential; 行列乗)は、正方行列に対して定義されるで、通常の(実または複素変数の)指数関数に対応するものである。より抽象的には、行列リー群とその行列リー代数の間の対応関係(指数写像)を行列の指数函数が記述する。 実または複素行列 の指数関数 または は、冪級数 で定義される -次正方行列である。この級数は任意の に対して収束するから、行列 の指数関数は well-defined である。 が 行列のとき、-乗 は 行列であり、その唯一の成分は の唯一の成分に対する通常の指数関数に一致する。これらはしばしば同一視される。この意味において行列の指数函数は、通常の指数函数の一般化である。.

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裳華房

裳華房(しょうかぼう)は、日本の出版社。主に、数学、物理学、化学、生物学、工学といった自然科学関係の教科書や演習書、専門雑誌を出版し、理工系の学生や研究者、技術者、中学校や高等学校の理科教師にはなじみが深い。『ポピュラー・サイエンス』シリーズに代表される一般向けの科学啓蒙書の出版も手がけている。 創業は非常に古く、1700年代前半にはすでに仙台藩の御用板所として活動。当時より算術や暦、気象などに関する書物を出版していた。() 所在地は東京都千代田区四番町8-1。.

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解析学

解析学(かいせきがく、英語:analysis, mathematical analysis)とは、極限や収束といった概念を扱う数学の分野である 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「解析学」より。ISBN978-4-00-080309-0 C3541 。代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす。 数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い。これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する。 例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる。 解析学の最も基本的な部分は、微分積分学、または微積分学と呼ばれる。また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する。また解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。 解析学は微積分をもとに、微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており、現代では確率論をも含む。 現代日本においては解析学の基本的分野は概ね高校2年から大学2年程度で習い、進度の差はあれ世界中の高校や大学等で教えられている。.

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解析幾何学

初等幾何学における解析幾何学(かいせききかがく、analytic geometry)あるいは座標幾何学(ざひょうきかがく、coordinate geometry)、デカルト幾何学(デカルトきかがく、Cartesian geometry)は、座標を用いて代数的解析幾何学という名称における接頭辞「解析」は、微積分学を含む現代的な解析学という意味の「解析」ではなく、発見的な代数的手法によるものであることを示唆するものである。(解析幾何学 - コトバンク)に図形を調べる幾何学をいう。座標を用いるという点において、(より古典的な、ユークリッドの原論にもあるような)点や直線などがどのような公理に従うかということのみによって図形を調べる とは対照的である。座標を利用することにより、図形のもつ性質を座標のあいだにあらわれる関係式として特徴づけたり、数や式として図形を取り扱ったりすることができる。 ふつうは(二次元)平面上の点、直線などを扱う(平面解析幾何)か(三次元)空間内のそれらを扱う(立体解析幾何)。.

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計量ベクトル空間

線型代数学における計量ベクトル空間(けいりょうベクトルくうかん、metric vector space)は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間(ないせきくうかん、inner product space)とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積(スカラー積)を備えたユークリッド空間を任意の次元(無限次元でもよい)のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。 内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は(内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから)前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。.

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高々 (数学)

数学において、高々(たかだか)という表現は、英語の at most に対応した厳密な意味を持つ用語である。 「多くとも」、「以下」と同義であるが、文脈によってはこれらよりも好まれる場合もある(例:「高々可算」とは言うが「可算以下」とは言わない。).

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関孝和

関 孝和 記念切手1992年 関 孝和(せき たかかず/こうわ、寛永19年(1642年)3月? - 宝永5年10月24日(1708年12月5日))は、日本の江戸時代の和算家(数学者)である。本姓は藤原氏。旧姓は内山氏、通称は新助。字は子豹、自由亭と号した。.

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関数解析学

関数解析学(かんすうかいせきがく、functional analysis)は数学(特に解析学)の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い。.

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量子力学

量子力学(りょうしりきがく、quantum mechanics)は、一般相対性理論と同じく現代物理学の根幹を成す理論として知られ、主として分子や原子、あるいはそれを構成する電子など、微視的な物理現象を記述する力学である。 量子力学自身は前述のミクロな系における力学を記述する理論だが、取り扱う系をそうしたミクロな系の集まりとして解析することによって、ニュートン力学に代表される古典論では説明が困難であった巨視的な現象についても記述することができる。たとえば量子統計力学はそのような応用例の一つである。従って、生物や宇宙のようなあらゆる自然現象もその記述の対象となり得る。 代表的な量子力学の理論として、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始された、シュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスクアル・ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある。ただしこの二つは数学的に等価である。 基礎科学として重要で、現代の様々な科学や技術に必須な分野である。 たとえば科学分野について、太陽表面の黒点が磁石になっている現象は、量子力学によって初めて解明された。 技術分野について、半導体を利用する電子機器の設計など、微細な領域に関するテクノロジーのほとんどは量子力学を基礎として成り立っている。そのため量子力学の適用範囲の広さと現代生活への影響の大きさは非常に大きなものとなっている。一例として、パソコンや携帯電話、レーザーの発振器などは量子力学の応用で開発されている。工学において、電子工学や超伝導は量子力学を基礎として展開している。.

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零空間

数学、とくに関数解析学において、線型作用素 A: V → W の零空間(ぜろくうかん、れいくうかん、null space)あるいは核空間(かくくうかん、kernel space)とは、 のことである。Nul(A) は N(A) や Ker(A) などとも書かれる。とくに Ker は零空間が線型写像としての A の核 (kernel) にあたることを意味するのであるが、零空間という語を用いる文脈においては、核ということばを熱核 などの積分核に対して用いていることがほとんどであろうから注意されたい。 また、零空間という語をもちいる文脈においては、線型写像の像 は値域 と呼ばれ、線型作用素 A の値域は Ran(A) や R(A) と綴るのが通例のようである。 零空間は、ベクトル空間 V の部分空間である。さらに、 商空間 V/(Ker A) は、 A の像 Ran(A) に同型である; 特に次元について が成り立つ。 Nul A.

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零行列

数学において、零行列(ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix)とは、その成分(要素)が全て 0 の行列。O あるいは 0 と記述されることが多い。 \end また、下付き添字によって行列の型を明記することもある。 O_.

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抽象代数学

抽象代数学 (ちゅうしょうだいすうがく、abstract algebra) とは、群、環、体、加群、ベクトル空間や線型環のように公理的に定義される代数的構造に関する数学の研究の総称である。.

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核 (代数学)

数学において、準同型の核(かく、kernel)とは、その準同型の単射からのずれの度合いを測る道具である。代数系における準同型の核が "自明" (trivial) であることとその準同型が単射であることとが同値となる。.

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標準基底

線型代数学における標準基底(ひょうじゅんきてい、standard basis, canonical basis)または自然基底 (natural basis) は直交座標系の各軸方向に向かう単位ベクトルからなるユークリッド空間の基底を言う。例えばユークリッド平面の標準基底は であり、三次元ユークリッド空間の標準基底は で与えられる。ここで、各ベクトル ex, ey, ez はそれぞれ x-軸方向、y-軸方向、z-軸方向を向いている。この基底を表すのによく用いられる記法として、,,, などを挙げることができる。単位ベクトルであることを強調するためにサーカムフレックス(キャレット)を載せることもある。 ここでいう基底は、それらのベクトルの線型結合として、任意のベクトルがそれぞれただ一通りに表されるという意味においていう。例えば三次元ベクトル v は必ず なる形に書くことができて、スカラー vx, vy, vz は v の座標成分になる。.

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正則行列

正則行列(せいそくぎょうれつ、regular matrix)、非特異行列(ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix)あるいは可逆行列(かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix)とは行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のこと、言い換えると逆行列が存在する行列のことである。 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群はあるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。.

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正規行列

数学の特に線型代数学において正規行列(せいきぎょうれつ、normal matrix)は、複素数に成分をとる正方行列であって、自身のエルミート共軛と可換となるような行列を言う。式で書けば、複素正方行列 が正規であるとは、 が成り立つことを言う。ただし、 の共軛転置を で表した。 成分が実数の行列 に対しては が成り立つから、それが正規であるのは が成り立つときである。 正規性に対しては、対角化可能性を調べるのが便利である。すなわち、行列が正規であるための必要十分条件は、それが対角行列とユニタリ行列に関して相似となることである。即ち、 を満たす任意の行列 は対角化可能である。 正規行列の概念は無限次元ヒルベルト空間上の正規作用素の概念、および ''C''∗-環における正規元の概念に拡張することができる。行列の場合には正規性は可換性を保つが、非可換な状況に置いても拡張は可能である。これにより、正規作用素や C∗-環の正規元は、より解析学と馴染む。.

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正方行列

正方行列(せいほうぎょうれつ、square matrix)とは、行要素の数と列要素の数が一致する行列である。サイズが n × n つまり、n 行 n 列であるとき、n 次正方行列という。 \end.

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歪エルミート行列

歪エルミート行列(わいえるみーとぎょうれつ、Skew-Hermitian matrix)あるいは反エルミート行列(はんえるみーとぎょうれつ、Anti-Hermitian matrix)とは、自身のエルミート共役が自身に負号をつけたものに等しいような複素正方行列のことである。つまり、 次正方行列 に対し、そのエルミート共役を で表すとき、 が歪エルミートならば、以下の条件を満たす。 行列 の成分をあらわに書けば、これは次のようにも表せる。 歪エルミート行列と似た定義を持つ行列として、エルミート行列がある。エルミート行列は自身と自身のエルミート共役が等しい。 歪エルミート行列はエルミート行列と同じく、正規行列の特別な場合であり、 をユニタリ行列 と見なせば、以下の正規行列の定義を満たしている。.

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最小多項式 (線型代数学)

線型代数学において、体 F 係数の 行列 の F 上の最小多項式(さいしょうたこうしき、minimal polynomial)とは、F-係数のモニック多項式 p(x) であって、p(A) が零行列となるようなものの中で次数最小のものを言う。q(A).

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斜交行列

数学において、斜交行列(しゃこうぎょうれつ、symplectic matrix:シンプレクティック行列)は、2n×2n の行列 M (要素は、典型的には実数または複素数)であって、以下の条件を満たすものをいう。 ここで、 tM は M の転置を意味し、Ω はある固定された非特異な反対称行列である。 Ω は、一般的には区分行列(block matrix) となる様に選ぶ。ここで、In は n×n 次の単位行列である。 Ω の行列式は +1 であり、逆行列は Ω−1.

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数ベクトル空間

数ベクトル空間(すうべくとるくうかん、space of numerical vectors, numerical vector space)とは、「“数”の組からなる空間」(数空間数空間のことを座標空間と呼ぶこともあるが、「座標系を備えた空間」という意味で座標空間と呼ぶこともあるので紛らわしい(の項も参照)。)を自然にベクトル空間と見たものである。.

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1693年

記載なし。

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1750年

記載なし。

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1800年代

1800年代(せんはっぴゃくねんだいねんだい)は、.

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1844年

記載なし。

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1848年

記載なし。

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1860年代

1860年代(せんはっぴゃくろくじゅうねんだい)は、西暦(グレゴリオ暦)1860年から1869年までの10年間を指す十年紀。.

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1888年

記載なし。

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1900年

19世紀最後の年である。100で割り切れるが400では割り切れない年であるため、閏年ではなく、4で割り切れる平年となる。.

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20世紀

摩天楼群) 20世紀(にじっせいき、にじゅっせいき)とは、西暦1901年から西暦2000年までの100年間を指す世紀。2千年紀における最後の世紀である。漢字で二十世紀の他に、廿世紀と表記される場合もある。.

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