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50 関係: 原点 (数学)、反対称テンソル、反ド・ジッター空間、可微分多様体、同型写像、多様体、定数、宇宙論、射影空間、一般線型群、一般相対性理論、幾何学、代数群、位相同型、位相空間、位相群、佐藤幹夫 (数学者)、微分同相写像、圏 (数学)、ユークリッドの運動群、ユークリッド空間、リーマン幾何学、リー群、ビアンキ分類、テンソル、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量、ベクトル空間、アフィン空間、アフィン群、エルランゲン・プログラム、エディントンのイプシロン、カルタンの定理 (リー群)、キリングベクトル場、ザリスキー位相、内部自己同型、共変微分、剰余類、回転群、現代宇宙論、等方的と異方的、群 (数学)、群作用、直交群、非ユークリッド幾何学、計量テンソル、自己同型、Λ-CDMモデル、準同型、数学、曲率。
原点 (数学)
初等数学における原点（げんてん、origin）は、その周りの幾何に言及するための固定された点として用いられる、ユークリッド空間の特別な点で、ふつう で表される。.
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反対称テンソル
数学および理論物理学において、テンソルが添字の対に関して反対称 (anti­symmetric) もしくは歪対称 (skew-symmertic) であるとは、それら添字の入れ替えに関して符号が反転することを言う。また、交代的 (alternating) であるとは、それらを等しいと置いたとき零になることを言う。の標数が でないときこれら二つの概念は一致する（多重線型写像の項も参照）。.
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反ド・ジッター空間
数学と物理学では、n次元の反ド・ジッター空間(はんどじったーくうかん、Anti-de Sitter space, AdSn)とは最大の対称性を持ち、負の定スカラー曲率を持つローレンツ多様体である。反ド・ジッター空間とド・ジッター空間は、ライデン大学の天文学の教授で、ライデン天文台の天文台長であったウィレム・ド・ジッター (Willem de Sitter、1872–1934) の名前に因んでいる。ウィレム・ド・ジッターとアルベルト・アインシュタイン (Albert Einstein) は、1920年代にライデンで、宇宙の時空の構造について研究を共にした。 定曲率の多様体は、正の定曲率の表面である、2次元の球体の表面の場合とほぼ同じである。平らな（ユークリッドの）平面は、零の定曲率の表面であり、双曲平面は負の定曲率の表面である。 アインシュタインの一般相対性理論は、時空間を対等な立場に置いているので、空間と時間をバラバラであるとみなす代わりに、統一された時空の幾何学とみなしている。定曲率の時空の事例は、ド・ジッター空間（正）とミンコフスキー空間（零）と反ド・ジッター空間（負）である。それ自体は、それらは、それぞれが正、零または負の宇宙定数のにおけるアインシュタイン方程式の厳密解である。 反ド・ジッター空間はどんな次元の宇宙にも一般化する。より高次元では、AdS/CFT対応における役割として知られている。そして、AdS/CFT対応は、弦が1次元を追加した反ド・ジッター空間に存在している弦理論における、ある次元数（例えば4次元）における（電磁気学や弱い力、強い力のような）量子力学の力を記述することが可能だと示唆している。.
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可微分多様体
数学において、可微分多様体（かびぶんたようたい、differentiable manifold）、あるいは微分可能多様体（びぶんかのうたようたい）は、局所的に十分線型空間に似ており微積分ができるような多様体である。任意の多様体は、チャート（座標近傍、局所座標）の集まり、アトラス（座標近傍系、局所座標系）、によって記述することができる。各座標近傍は微積分の通常のルールが適用する線型空間の中にあるから、各々のチャートの中で考えるときには微積分学のアイデアを適用できる。チャートが適切に両立可能であれば（すなわち1つのチャートから別のチャートへの変換が微分可能であれば）、1つのチャートでなされた計算は任意の他の微分可能なチャートにおいても有効である。 フォーマルに言えば、可微分多様体は大域的に定義されたを持つ位相多様体である。任意の位相多様体にはアトラスの同相写像と線型空間上の標準的な微分構造を用いて局所的に微分構造を与えることができる。同相写像によって誘導された局所座標系上の大域的な微分構造を誘導するためには、アトラスのチャートの共通部分上での合成が対応する線型空間上の微分可能な関数でなければならない。言い換えると、チャートの定義域が重なっているところでは、各チャートによって定義された座標はアトラスのすべてのチャートによって定義された座標に関して微分可能であることが要求される。様々なチャートによって定義された座標を互いに結びつける写像を変換関数 (transition map/遷移写像/座標変換) と呼ぶ。 微分可能性は文脈によって連続微分可能、k 回微分可能、滑らか、正則といった異なる意味を持つ。さらに、抽象的な空間にそのような可微分構造を誘導できることによって微分可能性の定義を大域的な座標系なしの空間に拡張することができる。微分構造によって大域的に微分可能な接空間、微分可能な関数、微分可能なテンソル場やベクトル場を定義することができる。可微分多様体は物理においても非常に重要である。特別な種類の可微分多様体は古典力学、一般相対論、ヤン・ミルズ理論といった物理理論の基礎をなす。可微分多様体に対して微積分を展開することが可能である。これによって exterior calculus （外微分法/外微分学）のような数学的機構が導かれる。可微分多様体上の微積分の研究は微分幾何学と呼ばれる。.
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同型写像
数学において，同型写像（isomorphismfrom the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape"）あるいは単に同型とは，は準同型写像あるいは射であって，逆射を持つものである逆関数ではない．．2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは，それらの間に同型写像が存在することをいう．自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である．同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある．したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい． 群や環を含むほとんどの代数的構造に対して，準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である． 位相幾何学において，射とは連続写像のことであるが，同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる．解析学において，射は可微分関数であり，同型写像は微分同相とも呼ばれる． 標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなである．2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは，それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう．例えば，有限次元ベクトル空間 から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である．一方， は双対空間に同型であるが，一般には標準的にではない． 同型写像は圏論を用いて形式化される．ある圏の射 が同型射であるとは，両側逆射を持つことをいう，すなわち，その圏における別の射 があって， かつ となる，ただし と はそれぞれ と の恒等射である．.
多様体
多様体（たようたい、manifold, Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。.
定数
数学における定数（ていすう、じょうすう、constant; 常数）あるいは定項 (constant term) は、二つの異なる意味を示し得る。そのひとつは固定 (fix) され、矛盾なく定義された数（またはもっとほかの数学的対象）であり、この意味で言う定数であることをはっきりさせるために「数学定数」（あるいは「物理定数」もそうだが）という語を用いることもある。もう一つの意味は、定数函数またはその（これらはふつうたがいに同一視される）を指し示すもので、この意味での「定数」は扱う問題における主変数に依存しない変数という形で表されるのが普通である。後者の意味での例として、は、与えられた函数の原始函数をすべて得るために特定の原始函数に加えられる、任意の（積分変数に依存しないという意味での）定数函数を言う。 例えば、一般の二次函数はふつう を定数（あるいはパラメタ）として のようにあらわされる。ここに変数 は考えている函数の引数のプレースホルダとなるものである。より明示的に のように書けば がこの函数の引数であることが明瞭で、しかも暗黙の裡に が定数であることを提示できる。この例では、定数 はこの多項式の係数と呼ばれる。 の項は を含まないからと呼ばれ（これを の係数と考えることができる）、多項式において次数が零の任意の項または式は定数である。.
宇宙論
宇宙論（うちゅうろん、cosmology）とは、「宇宙」や「世界」などと呼ばれる人間をとりかこむ何らかの広がり全体、広義には、それの中における人間の位置、に関する言及、論、研究などのことである。 宇宙論には神話、宗教、哲学、神学、科学（天文学、天体物理学）などが関係している。 「Cosmology コスモロジー」という言葉が初めて使われたのはクリスティアン・ヴォルフの 『Cosmologia Generalis』（1731）においてであるとされている。 本項では、神話、宗教、哲学、神学などで扱われた宇宙論も幅広く含めて扱う。.
射影空間
射影空間（しゃえいくうかん、projective space） とは、その次元が n であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。非ユークリッド幾何学のひとつである射影幾何学がその概念の端緒であるが、射影空間は位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学など幾何学のあらゆる分野にわたって非常に重要な概念である。.
一般線型群
数学において、一般線型群（いっぱんせんけいぐん、general linear group）とは線型空間上の自己同型写像のなす群のこと。あるいは基底を固定することで、正則行列のなす群のことを指すこともある。.
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一般相対性理論
一般相対性理論（いっぱんそうたいせいりろん、allgemeine Relativitätstheorie, general theory of relativity）は、アルベルト・アインシュタインが1905年の特殊相対性理論に続いて1915年から1916年にかけて発表した物理学の理論である。一般相対論（いっぱんそうたいろん、general relativity）とも。.
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幾何学
最先端の物理学でも用いられるカラビ-ヤウ多様体の一種。現代幾何学では図も書けないような抽象的な分野も存在する。 幾何学（きかがく、）は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である広辞苑第六版「幾何学」より。イエズス会マテオ・リッチによる geometria の中国語訳である。以前は geometria の冒頭の geo- を音訳したものであるという説が広く流布していたが、近年の研究により否定されている。 もともと測量の必要上からエジプトで生まれたものだが、人間に認識できる図形に関する様々な性質を研究する数学の分野としてとくに古代ギリシャにて独自に発達しブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。、これらのおもな成果は紀元前300年ごろユークリッドによってユークリッド原論にまとめられた。その後中世以降のヨーロッパにてユークリッド幾何学を発端とする様々な幾何学が登場することとなる。 幾何学というとユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学が一般には馴染みが深いであろうが、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している。 現代の日本の教育では、体系的な初等幾何学はほぼ根絶されかけたが、近年、中・高の数学教育で線型幾何/代数幾何を用いない立体を含む、本格的な綜合幾何は見直されつつある。.
代数群
代数幾何学において，代数群（だいすうぐん，algebraic group, あるいは群多様体，group variety）とは，代数多様体であるような群であって，積と逆元を取る演算がその多様体上の正則写像によって与えられるものである． 圏論のことばでは，代数群は代数多様体の圏におけるである．.
位相同型
位相同型 （いそうどうけい、homeomorphic）、あるいは同相（どうそう）とは、2つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」な双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップの表面も同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は位相幾何学的に全く同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球面とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。（直観的には、連続的な変形によって穴の個数が変化することはないということである。） ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。.
位相空間
数学における位相空間（いそうくうかん, topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.
位相群
数学における位相群（いそうぐん、topological group）は、位相の定められた群であって、そのすべての群演算が与えられた位相に関して連続となるという意味において代数構造と位相構造が両立する。したがって位相群に関して、群としての代数的操作を行ったり、位相空間として連続写像について扱ったりすることができる。位相群のは、連続対称性を調べるのに利用でき、例えば物理学などにも多くの応用を持つ。 文献によっては、本項に言うところの位相群を連続群と呼び、単に「位相群」と言えば位相空間として T2（ハウスドルフの分離公理）を満たす連続群すなわちハウスドルフ位相群を意味するものがある。.
佐藤幹夫 (数学者)
佐藤 幹夫（さとう みきお、男性、1928年4月18日 - ）は、日本の数学者で佐藤超函数、概均質ベクトル空間、D加群の創始者。大阪大学教授を経て京都大学数理解析研究所名誉教授。京都大学数理解析研究所元所長。1992年退官。東京都出身。 東京大学理学部数学科で彌永昌吉に師事した後、一時期高校教師を務めるなど異色の経歴を持つ。ノーベル物理学賞受賞の物理学者朝永振一郎に学んだこともある。.
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微分同相写像
数学において、微分同相写像（びぶんどうそうしゃぞう、diffeomorphism）は滑らかな多様体の同型写像である。それは1つの可微分多様体を別の可微分多様体に写す可逆関数であって、関数と逆関数が両方滑らかであるようなものである。.
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圏 (数学)
数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏（けん、category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる 二つの圏が等しい（相等）とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり（それよりも緩いでさえ強すぎる）、圏同値がしばしば考慮される（二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる）。 圏論が初めて現れるのは Eilenberg–Mac Lane, "General Theory of Natural Equivalences" (1945) と題された論文である。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの がある。.
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ユークリッドの運動群
数学におけるユークリッド群（ユークリッド-ぐん、Euclidean group）あるいは運動群 (motion group) は、ユークリッド空間のを言う。その元はユークリッド距離に付随する等距変換であり、合同変換あるいはユークリッドの運動 (motion) と呼ばれる。ユークリッドの運動群の研究は、少なくとも二次元や三次元の場合については極めて古く、群の概念が発するよりもずっと以前から（従ってもちろん群としてでなく、もっと陰伏的な形で）よく調べられている。 -次元ユークリッド空間の運動群は や などとも表される。; 三次元までの等長変換についての概観 は の任意の元が螺旋変位であることを主張する。.
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ユークリッド空間
数学におけるユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）は、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.
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リーマン幾何学
リーマン幾何学（リーマンきかがく、Riemannian geometry）とは、リーマン計量や擬リーマン計量と呼ばれる距離の概念を一般化した構造を持つ図形を研究する微分幾何学の分野である。このような図形はリーマン多様体、擬リーマン多様体とよばれる。ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンに因んでこの名前がついている。1850年代に確立された。 楕円・放物・双曲の各幾何学は、リーマン幾何学では、曲率がそれぞれ正、0、負の一定値をとる空間（それぞれ球面、ユークリッド空間、双曲空間）上の幾何学と考えられる。なお、楕円幾何学のことをリーマン幾何と呼ぶことがあるが、本稿で述べるリーマン幾何学はそれとは異なるものである。 アルベルト・アインシュタインは、重力、即ち、一様ではなく湾曲した時空を記述するのに擬リーマン多様体の枠組みが有効であることを見いだし、リーマン幾何学を数学的核心とした一般相対性理論を構築した。 3.
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リー群
リー群（リーぐん、Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.
ビアンキ分類
数学では、(Luigi Bianchi)の名前に因んだ、ビアンキ分類(Bianchi classification)は、リー代数の分類である。 3-次元実リー代数は、11個のクラスに分類され、その中の 9個は単独のグループで、残る 2つは同型類で繋がるという性質を持っている。（2つのグループは、無限個の族をなし、11個のグループの中に含まれることがあり、9個のグループをなることがある。）.
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テンソル
テンソル（tensor, Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。しかし、テンソル自身は、特定の座標系によらないで定まる対象である。個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。 例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1のテンソルであり、力や加速度ベクトルの間の異方的な関係などをあらわす線型変換は階数2のテンソルで表される。 物理学や工学においてしばしば「テンソル」と呼ばれているものは、実際には位置や時刻を引数としテンソル量を返す関数である「テンソル場」であることに注意しなければならない。いずれにせよテンソル場の理解のためにはテンソルそのものの概念の理解が不可欠である。.
フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量
フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量（フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカーけいりょう、、略称 FLRW計量）は、一般相対性理論のアインシュタイン方程式の厳密解の一つで、一様・等方な物質分布のもとで、膨張または収縮する宇宙モデルを表す。計量 とは、相対性理論に現れる不変な時空距離のこと。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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アフィン空間
数学において、アフィン空間（あふぃんくうかん、affine space, アファイン空間とも）または擬似空間（ぎじくうかん）とは、幾何ベクトルの存在の場であり、ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量の概念を取り除いたアフィン構造を抽象化した幾何学的構造である。（代数的な）ベクトル空間からどの点が原点であるかを忘れたものと考えることもできる。 1次元のアフィン空間はアフィン直線、2次元のアフィン空間はと呼ばれる。.
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アフィン群
数学において、アフィン群（アフィン-ぐん、affine group）あるいは一般アフィン群（いっぱん-アフィン-ぐん、general affine group）は、体 K 上のアフィン空間からそれ自身への正則アフィン変換の全体の成す群である。アフィン変換群とも。 アフィン群は K が実または複素（あるいは四元）数体であるとき、リー群を成す。.
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エルランゲン・プログラム
ルランゲン・プログラムもしくはエアランゲン・プログラム（Erlanger Programm, Erlangen program）とは、1872年フェリックス・クラインが23歳でエルランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である。日本語ではエルランゲン(の)目録と表記される場合もある。.
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エディントンのイプシロン
ディントンのイプシロンは、数学で用いられる記号。交代記号、レヴィ.
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カルタンの定理 (リー群)
数学において、リー群論の3つの結果が、エリ・カルタンにちなんで、カルタンの定理 (Cartan's theorem) と呼ばれている。.
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キリングベクトル場
リングベクトル場(Killing vector field)（時々、キリング場(Killing fieldとも呼ばれる）は、(Wilhelm Killing)の名前に因んだ名称で、計量を保存するリーマン多様体や擬リーマン多様体上のベクトル場であり、計量テンソルを保存する。キリング場は、等長(isometry)なリー群に付随するリー代数の無限小生成子である。すなわち、キリング場により生成されるフロー (幾何学)(flow)であり、多様体の(continuous isometries)写像である。さらに単純化すると、フローは、各々の点をキリングベクトル場の方法へ同じ距離にある対象上の各々の点を動かすことが、距離を曲げないという意味の対称性を生成する。.
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ザリスキー位相
代数幾何学と可換環論において、ザリスキ位相は代数多様体に定義される位相であり、最初はオスカー・ザリスキによって導入された。ザリスキ位相は可換環の素イデアル全体の集合に対しても定義され、その環のスペクトルと呼ばれる。 ザリスキ位相によって、基礎体が位相体でないときでさえ、代数多様体の研究に位相空間論の道具を使うことができるようになる。このような手法はスキーム論の基本的な考えの1つであり、多様体 (manifold) が局所座標系（実アファイン空間の開部分集合）を貼り合わせて構成されるのと同じように、一般の代数多様体はアファイン多様体を貼り合わせて構成される。 代数多様体のザリスキ位相は、多様体の代数的部分集合の全体を閉集合系とする位相である。複素数体上の代数多様体の場合には、ザリスキ位相は通常の位相よりも粗く、任意の代数的集合は通常の位相でも閉集合であるが、逆は一般には正しくない。 可換環の素イデアル全体の集合へのザリスキ位相の一般化は、代数閉体上定義されたアファイン多様体の点全体と多様体の正則関数環の極大イデアル全体との間の1:1対応を確立するヒルベルトの零点定理から従う。この定理より、可換環の極大イデアル全体の集合上のザリスキ位相は、ある与えられたイデアルを含む極大イデアルの全体を閉集合とし、かつそのような集合のみが閉集合である、と定めればよいことが示唆される。グロタンディークのスキーム論のもう1つの基本的な考えは、極大イデアルに対応する普通の点のみならず、すべての（既約）代数多様体、これは素イデアルに対応する、をも点として考えることである。したがって、可換環の素イデアル全体の集合（スペクトル）上のザリスキ位相は、ある固定されたイデアルを含むような素イデアル全体の集合の全体を閉集合系とする位相である。.
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内部自己同型
抽象代数学において、内部自己同型写像 (inner automorphism) は、ある操作をして、次に別の操作をして、次に最初の操作の逆をするような写像である。記号では、f^ \circ g \circ f (X) のように書ける。最初の行動と後に続くその逆の行動は、全体として得る結果を変えることもあれば（「傘をさして、雨の中を歩いて、傘をとじる」というのは単に「雨の中を歩く」のとは異なる結果になる）、変えないこともある（「左手の手袋を外し、右手の手袋を外し、左手の手袋をつける」のは「右手の手袋のみを外す」のと同じ結果になる）。 より正確には、群 の内部自己同型写像 は、 の任意の元 に対し によって定義される写像である。ここで a は G の与えられた固定された元であり、群の元の作用は右に起こると考える（なのでこれを読むとすれば「a かける x かける a−1」ということになる）。 元 を一つ固定して考えるとき、元 を の による共軛 (conjugate) （あるいは は によって と共軛である）と言い、 から を得る操作 を の による共役変換 (conjugation) または相似変換 (similarity transformation) と呼ぶ（共役類も参照）。また適当な によって の形に書けるような元を総称して の共軛元 (conjugate element) と呼ぶ。 1 つの元による共役が別の 1 つの元を変えない場合（上の「手袋」の場合）と共役によって新しい元が得られる場合（「傘」の場合）を区別することはしばしば興味の対象となる。 事実、 と言うことと と言うことは同値である。したがって、恒等写像でない内部自己同型の存在と個数は、群における交換法則の成り立たなさを測るようなものである。.
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共変微分
微分幾何学における共変微分（きょうへんびぶん、covariant derivative）とは、可微分多様体上の微分演算を言う。クリストッフェル並びにレヴィ＝チヴィタ、リッチによって導入された。局所表示をとった場合その変換規則は共変（covariant）となる。.
剰余類
数学、特に群論における剰余類（じょうよるい、residue class）あるいは傍系（ぼうけい、coset; コセット）とは、特定の種類の同値関係に関する同値類である。.
回転群
（n 次の）回転群（かいてんぐん、rotation group）あるいは特殊直交群（とくしゅちょっこうぐん、special orthogonal group）とは、n行n列の直交行列であって、行列式が1のもの全体が行列の乗法に関してなす群をいう。SO(n) と書く。 SO(n) はコンパクトリー群であり、n.
現代宇宙論
代宇宙論（げんだいうちゅうろん、）は、すなわち、現代の宇宙論である。現代の科学者が「現代宇宙論」という言葉で指しているのは、おおむね英語の （フィジカル・コスモロジー）に相当する。フィジカル・コスモロジーは、物理学と天文物理学の一部門であり、宇宙の大規模構造および宇宙の生成や宇宙の変化に関する根本的な問題を扱っている。.
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等方的と異方的
ある対象の性質や分布が方向に依存しないときそれは等方的（英語：isotropic）であるという。また、方向に依存するとき異方的（anisotropic）であるという。別な表現では、ある対象の性質や分布が回転により変化しないとき等方的であり、回転により変化するとき異方的である。対象が等方的か異方的かは、対象の等方性（isotropy）もしくは異方性（anisotropy）の有無として表現する場合もある。 空間（真空）は、本質的には、回転に関して物理法則が不変であるので等方的である。また、そこに何らかの物体があるとその場は異方的になる場合がある。.
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群 (数学)
数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.
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群作用
数学における群作用（ぐんさよう、group action）は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。.
直交群
数学において、 次元の直交群（ちょっこうぐん、orthogonal group）とは、 次元ユークリッド空間上のある固定された点を保つような距離を保つ変換全体からなる群であり、群の演算は変換の合成によって与える。 と表記する。同値な別の定義をすれば、直交群とは、元が の実直交行列であり、群の積が行列の積によって与えられるものをいう。直交行列とは、逆行列がもとの行列の転置と等しくなるような行列のことである。 直交行列の行列式は か である。 の重要な部分群である特殊直交群 は行列式が である直交行列からなる。この群は回転群ともよばれ、例えば次元 2 や 3 では、群の元が表す変換は（2次元における）点や（3次元における）直線のまわりの通常の回転である。低次元ではこれらの群の性質は幅広く研究されている。 用語「直交群」は上の定義を一般化して、体上のベクトル空間における非退化な対称双線型形式や二次形式基礎体の標数が でなければ、対称双線型形式と二次形式のどちらを使っても同値である。を保つような、可逆な線形作用素全体からなる群を表すことがある。特に、体 上の 次元ベクトル空間 上の双線型形式がドット積で与えられ、二次形式が二乗の和で与えられるとき、これに対応する直交群 は、群の元が 成分 直交行列で群の積を行列の積で定めるものである。これは一般線形群 の部分群であって、以下の形で与えられる。 ここで は の転置であり、 は単位行列である。.
非ユークリッド幾何学
非ユークリッド幾何学（ひユークリッドきかがく、non-Euclidean geometry）は、ユークリッド幾何学の平行線公準が成り立たないとして成立する幾何学の総称。非ユークリッドな幾何学の公理系を満たすモデルは様々に構成されるが、計量をもつ幾何学モデルの曲率を一つの目安としたときの両極端の場合として、至る所で負の曲率をもつ双曲幾何学と至る所で正の曲率を持つ楕円幾何学（殊に球面幾何学）が知られている。 ユークリッドの幾何学は、至る所曲率0の世界の幾何であることから、双曲・楕円に対して放物幾何学と呼ぶことがある。大雑把に言えば「平面上の幾何学」であるユークリッド幾何学に対して、「曲面上の幾何学」が非ユークリッド幾何学である。.
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計量テンソル
計量テンソル（けいりょうテンソル、metric tensor）は、リーマン幾何学において、空間内の距離と角度を定義する、階数（）が2のテンソルである。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（）と呼ばれることもある。 ひとたび、ある座標系 が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、 として表記され、各成分は と表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。 点 から までの曲線の長さは、 をパラメータとして、 と定義される。2つの接ベクトル（）U.
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自己同型
数学において自己同型(automorphism)とは、数学的対象から自分自身への同型射のことを言う。ある解釈においては、構造を保ちながら対象をそれ自身へと写像する方法のことで、その対象の対称性を表わしていると言える。対象の全ての自己同型の集合は群を成し、自己同型群(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群である。.
Λ-CDMモデル
Λ-CDMモデルとは、「冷たい暗黒物質 （Cold Dark Matter, CDM）モデル」に宇宙項 Λ を加えた宇宙モデルのこと。英語圏では“Lambda-Cold Dark Matter Model”とも表記し、「ラムダ・コールド・ダークマター・モデル」と読む。Λ-CDMあるいはLCDMと略記される場合が多い Heart of Darkness: Unraveling the Mysteries of the Invisible Universe, by Jeremiah P. Ostriker and Simon Mitton、2013年、Princeton University Press刊。243, 252, 253頁。それを敢えて日本語に直訳すれば「ラムダ項入りの冷たいダークマター・モデル」あるいは「宇宙項入りの冷たい暗黒物質モデル」などとなるかもしれないが、いずれにせよ不自然な日本語になってしまうので、ここではΛ-CDMモデルという表記を採用した。 銀河の回転運動（中心部の回転速度と周辺部の回転速度が同じであるというアノマリー）や銀河群、銀河団の運動の観測から、宇宙には光を発しない暗黒物質が存在することを仮定する。そして、元素合成理論から、暗黒物質の主成分が暗い天体（ブラックホール、褐色矮星等）ではないこと、さらに普通の物質とは重力以外では弱く相互作用しない非バリオン的な物質であることが知られている。その中でも、ニュートリノのような軽い（熱い）粒子ではなく、重い（冷たい）粒子（アクシオン、ニュートラリーノなど）があると、インフレーション理論で生まれた揺らぎが成長することによって、現在の宇宙の階層構造になったという観測事実をうまく説明できる。.
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準同型
準同型（じゅんどうけい、homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) を持つことを意味する。構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。.
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
曲率
曲率（きょくりつ、）とは曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。 例えば、半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。曲面上の曲線の曲率を最初に研究したのは、ホイヘンスとされ、ニュートンの貢献もさることながら、オイラーは曲率の研究に本格的に取り組んだ。その他モンジュ、ベルヌーイ、ムーニエなども研究した。.
