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28 関係: 反復法 (数値計算)、同伴行列、多項式、多項式補間、実数、差分法、二分法、微分、ブレント法、ビット、ディオファントス方程式、ニュートン法、ベルヌーイ法、アルゴリズム、スツルムの定理、線形補間、複素数、重根 (多項式)、零点、連続 (数学)、逆写像、暗号論的擬似乱数生成器、極値、極限、最大公約数、方程式、数列、数値解析。
反復法 (数値計算)
数値計算分野における反復法(はんぷくほう、iterative method)とは、求根アルゴリズムの手法のうち、反復計算を使うもの。アルゴリズムが単純であるために古くから用いられ\が提案されてき-->ている。\bold_を求める解とする-->.
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同伴行列
線型代数学におけるフロベニウスの同伴行列（どうはんぎょうれつ、companion matrix; コンパニオン行列）とは、モニック多項式 に対して 0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -c_ \end.
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多項式
数学における多項式（たこうしき、poly­nomial）は、多数を意味するpoly- と部分を意味する -nomen あるいは nomós を併せた語で、定数および不定元（略式ではしばしば変数と呼ぶ）の和と積のみからなり、代数学の重要な対象となる数学的対象である。歴史的にも現代代数学の成立に大きな役割を果たした。 不定元がひとつの多項式は、一元多項式あるいは一変数多項式 と呼ばれ、不定元を とすれば のような形をしている。各部分 "", "", "", "" のことを項（こう、）と呼ぶ。一つの項だけからできている式を単項式 (monomial)、同様に二項式 (binomial)、三項式 (trinomial) などが、-nomial にラテン配分数詞を付けて呼ばれる。すなわち、多項式とは「多数」の「項」を持つものである。単項式の語が頻出であることに比べれば、二項式の語の使用はやや稀、三項式あるいはそれ以上の項数に対する語の使用はごく稀で一口に多項式として扱う傾向があり、それゆえ単項式のみ多項式から排他的に分類するものもある。また多項式のことを整式 (integral expression) と呼ぶ流儀もある。 多項式同士の等式として与えられる方程式は多項式方程式と呼ばれ、特に有理数係数の場合において代数方程式という。多項式方程式は多項式函数の零点を記述するものである。 不定元がふたつならば二元 (bivariate), 三つならば三元 (trivariate) というように異なるアリティを持つ多元多項式が同様に定義できる。算術あるいは初等代数学において、数の計算の抽象化として実数（あるいは必要に応じてより狭く有理数、整数、自然数）を代表する記号としての「文字」変数を伴う「」およびその計算を扱うが、それは大抵の場合多変数の多項式である。 本項では主として一元多項式を扱い、多元の場合にも多少触れるが、詳細は多元多項式の項へ譲る。.
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多項式補間
多項式補間（たこうしきほかん、polynomial interpolation）は、数値解析において、与えられたデータ群を多項式で内挿（補間）することである。言い換えれば、標本調査などで得たデータ群について、それらを正確に通る多項式を見つけることである。.
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実数
数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.
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差分法
数値解析における有限差分法（ゆうげんさぶんほう、finite-difference methods; FDM）あるいは単に差分法は、微分方程式を解くために微分を有限差分近似（差分商）で置き換えて得られる差分方程式<!-- ループリンク -->で近似するという離散化手法を用いる数値解法である。18世紀にオイラーが考案したと言われる。 今日ではFDMは偏微分方程式の数値解法として支配的な手法である.
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二分法
数値解析における二分法（にぶんほう、Bisection method）は、解を含む区間の中間点を求める操作を繰り返すことによって方程式を解く求根アルゴリズム。反復法の一種。.
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微分
数学におけるの微分（びぶん）、微分係数、微分商または導函数（どうかんすう、derivative）は、別の量（独立変数）に依存して決まるある量（函数の値あるいは従属変数）の変化の感度を測るものである。微分は微分積分学の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。 一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点における函数のグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。 微分はにも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの函数のグラフを最適線型近似する線型変換と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。 導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算 (differentiation) と言い、その逆の過程（原始函数を求めること）をという。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である。.
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ブレント法
ブレント法（Brent's method）は、二分法、割線法、逆2次補間を組み合わせた、複雑ではあるが広く用いられている、数値解析における求根アルゴリズムの1つである。二分法の安定さを有し、かつ安定でない他の手法と同程度に高速に解が求められる場合もある。可能な限り、より収束の早い割線法や逆2次補間を用い、必要に応じてより安定な二分法に切り替えて解を求めるという手法である。ブレント法は、1969年のセオドラス・デッカー(en)による初期のアルゴリズムを元にして、1973年にリチャード・ブレント(en)により考案されたものである 。.
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ビット
ビット (bit, b) は、ほとんどのデジタルコンピュータが扱うデータの最小単位。英語の binary digit （2進数字）の略であり、2進数の1けたのこと。量子情報科学においては古典ビットと呼ばれる。 1ビットを用いて2通りの状態を表現できる（二元符号）。これらの2状態は一般に"0"、"1"と表記される。 情報理論における選択情報およびエントロピーの単位も「ビット」と呼んでいるが、これらの単位は「シャノン」とも呼ばれる（詳細は情報量を参照）。 省略記法として、バイトの略記である大文字の B と区別するために、小文字の b と表記する。.
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ディオファントス方程式
ディオファントス方程式（ディオファントスほうていしき、Diophantine equation）とは、整係数多変数高次不定方程式である。文脈として、整数解や有理数解を問題にしたい場合に用いられる用語であり、主に数論の研究課題と考えられている。古代アレクサンドリアの数学者ディオファントスの著作『算術』で、その有理数解が研究されたのにちなんだ名称である。.
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ニュートン法
数値解析の分野において、ニュートン法（ニュートンほう、Newton's method）またはニュートン・ラフソン法（Newton-Raphson method）は、方程式系を数値計算によって解くための反復法による求根アルゴリズムの1つである。対象とする方程式系に対する条件は、領域における微分可能性と2次微分に関する符号だけであり、線型性などは特に要求しない。収束の速さも2次収束なので古くから数値計算で使用されていた。名称はアイザック・ニュートンとに由来する。.
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ベルヌーイ法
ベルヌーイ法とは、1902年にフランスの化学者によって開発された、初めて商業的に成功した人工宝石の製造法であり、火炎溶融法とも呼ばれる。ベルヌーイ法は主にコランダムの一種であるルビーとサファイア、ダイヤモンド類似石のルチルやチタン酸ストロンチウムの製造に用いられており、原則として、微細な粉末原料を酸水素炎を用いて溶融させ、液滴をブールへと滴下して結晶化させるという操作を含む。この製造法は最新の産業における結晶成長技術の黎明期のものと考えられており、今日でもなお広く用いられている。.
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アルゴリズム
フローチャートはアルゴリズムの視覚的表現としてよく使われる。これはランプがつかない時のフローチャート。 アルゴリズム（algorithm ）とは、数学、コンピューティング、言語学、あるいは関連する分野において、問題を解くための手順を定式化した形で表現したものを言う。算法と訳されることもある。 「問題」はその「解」を持っているが、アルゴリズムは正しくその解を得るための具体的手順および根拠を与える。さらに多くの場合において効率性が重要となる。 コンピュータにアルゴリズムをソフトウェア的に実装するものがコンピュータプログラムである。人間より速く大量に計算ができるのがコンピュータの強みであるが、その計算が正しく効率的であるためには、正しく効率的なアルゴリズムに基づいたものでなければならない。.
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スツルムの定理
ツルムの定理（スツルムのていり、Sturm's theorem）とは、実係数一変数多項式の任意に指定された実区間に含まれる（重複を含めない）実零点の個数を決定する方法である（扱える区間としては無限区間、半無限区間も含む）。 代数学の基本定理によれば（一般には複素係数の）一変数多項式の重複を込めた複素零点の個数はその多項式の次数に等しいが、スツルムの定理では実係数多項式の実零点の個数を重複を考慮せずに扱っている。.
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線形補間
区分的線形補間の例 区分線形補間の例 2次元の区分線形補間の例 線形補間（せんけいほかん、Linear interpolation, lerp）は、多項式補間の特殊なケースで、線形多項式（一次式）を用いた回帰分析の手法である。1次補間としても知られている。 なお、3つ以上のデータに対し線形補間といった場合、1つの線型近似によるフィッティングではなく、区分線形関数を使った区分線形補間（1次スプライン補間、いわゆる折れ線グラフ）のことである。 線形補間は数学の世界（特に数値解析）やコンピュータグラフィックスを含む多くの分野で非常によく使われている。補間の非常に単純な形式であり、これより単純なのは（0次補間）しかない。.
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複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
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重根 (多項式)
重根（じゅうこん、英称：multiple root）とは、1 変数多項式 f(x) の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。.
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零点
複素解析における正則函数 の零点（れいてん、ぜろてん、zero）は函数が非自明でない限り孤立する。零点が孤立することは、一致の定理あるいは解析接続の一意性の成立において重要である。 孤立零点には重複度 (order of multiplicity) が定まる。代数学における類似の概念として非零多項式の根の重複度（あるいは重根）が定義されるが、多項式函数はその不定元を複素変数と見れば整函数を定めるから、これはその一般化である。.
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連続 (数学)
数学において、連続（れんぞく、continuous）および連続性（れんぞくせい、continuity）とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。.
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逆写像
数学における逆写像（ぎゃくしゃぞう、inverse mapping）は一口に言えば写像の与える元の対応関係を「反対」にして得られる写像である。すなわち、写像 が を に写すならば、 の逆写像は を に写し戻す。 函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数 (inverse function) と呼ばれる。.
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暗号論的擬似乱数生成器
暗号論的擬似乱数生成器（cryptographically secure pseudo random number generator、暗号論的にセキュアな疑似乱数生成器、CSPRNG）とは、暗号技術での利用に適した特性を持つ擬似乱数生成器 (PRNG) である。 暗号の応用では様々な場面で乱数を必要とする。例えば、以下のようなものがある。.
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極値
数学において、関数の局所的な（つまり、ある点の近傍における）最大値または最小値のことをそれぞれ極大値（きょくだいち、maximal, local maximum）、極小値（きょくしょうち、minimal, local minimum）といい、これらを併せて極値（きょくち）と総称する。 極値は局所的な概念であるため、ある点で極値をとってもその点が全域的な最大・最小値を取るとは限らないが、極値自体が適当な区間における最大・最小値の候補と考えることができるため、関数の振る舞いを知る上で重要である。極値を調べる方法としては、微分を利用することで極値をとるための必要条件を求めることができる。.
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極限
数学においては、数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限（きょくげん、limit）がしばしば考察される。数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。収束しない場合は、発散するという。 極限を表す記号として、次のような lim (英語：limit, リミット、ラテン語：limes)という記号が一般的に用いられる。.
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最大公約数
40と15に関する次の要素が埋め込まれた図: 積(600)、 商と剰余(40÷15.
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方程式
14''x'' + 15.
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数列
数学において数列（すうれつ、numerical sequence）とは、数が列になったもの (sequence of numbers) を言う。 ある数はそれ単独で興味深い性質や深い意味を持っているかもしれない。単独ではそれほど面白くはない数たちもまとめて考えると興味深い性質を持つかもしれない。数列を考える意識は後者に属する。数列とは例えば正の奇数を小さい順に並べた のような数の“並び”である。並べる数に制限を加えて、たとえば自然数のみを並べるならば、これを自然数列と略称する。整数、有理数、実数などのほかの数体系を用いる場合も同様の略称を用いる。各々の数の“置かれるべき場所”は数列の項 (こう、term) と呼ばれる。数の並びが数列と呼ばれるためには、数列の各項を“順番に並べる”こと、つまりそれぞれの数が何番目の項に配置されているのかを一意に示すように番号付けができなければならない。したがって、“最も簡単”な数列は自然数を小さい順に並べた数列 ということになる（これは自然数が順序数であることによる）。 考える数列に端が存在する場合がある。数列の端に存在する項は、その数列の最初の項、または最後の項であると考えることができる。数列の最初の項をその数列の初項（しょこう、first term）といい、最後の項を数列の末項（まっこう、last term）と呼ぶ。 数列に対して必ずしも初項と末項を定めることはできない。たとえば「すべての自然数」を表わす数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（むげんすうれつ、infinite sequence）と呼ばれ、末項を持つ数列は有限数列（ゆうげんすうれつ、finite sequence）と呼ばれる。 初項を表わす添字は自由に与えることができ、議論や計算を簡単にするように選ばれるが、慣習的に 0 または 1 が与えられることも多い。たとえば有限数列の初項の添字を 1 から始めた場合、末項は項数に等しい添字 が与えられるため、記述が簡単になる。 特別な数列には、項の並びに規則性のあるものがある。代表的なものは、等差数列や等比数列あるいはフィボナッチ数列のように漸化式で定義される数列である。.
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数値解析
バビロニアの粘土板 YBC 7289 （紀元前1800-1600年頃） 2の平方根の近似値は60進法で4桁、10進法では約6桁に相当する。1 + 24/60 + 51/602 + 10/603.
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