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正二十面体

索引 正二十面体

正二十面体 正二十面体(せいにじゅうめんたい、regular icosahedron)は立体の名称の1つ。空間を正三角形20枚で囲んだ凸多面体。3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。.

35 関係: 単純群反角柱双対多面体同型写像対称群対角線展開図平行交代群五次方程式体積デルタ多面体フェリックス・クラインドジックダイマクション地図切頂二十面体アーベル–ルフィニの定理アーベル群ウイルスカルボランガロア群凸多面体倍数接頭辞空間立体面積表面積角錐正十二面体正多面体正三角形正二十面体の星型一覧正六百胞体正規部分群3次元

単純群

数学において、単純群 (simple group)とは、自明でない正規部分群 (それ自身と自明群 (単位群) 以外の正規部分群) を持たず、またそれ自身も自明群ではない群である。単純群は自明でない正規部分群を持たないので当然直既約群であるが、直既約群は必ずしも単純群ではない (下の例参照)。 群に主組成列が存在すれば、有限個の直既約群の直積に一意的に分解される (クルル・レマク・シュミットの定理)。しかし、上記の理由により、必ずしも有限個の単純群の直積に分解されるとは限らない。もし、群が有限個の単純群の直積に分解可能であれば、その群は完全可約群または半単純群であるという。また、その場合に限って、主組成列の長さと直積の成分である単純群の個数は一致する浅野啓三・永尾汎 『群論』、岩波書店〈岩波全書〉、1965年、pp102-104。。.

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反角柱

正反五角柱 正反十七角柱 反角柱(はんかくちゅう、antiprism)または、ねじれ角柱(-かくちゅう)、逆プリズム(ぎゃく-)とは、名の通り角柱をねじって側面の四角形を三角形にした多面体である。角柱と同じで屋根と底にあたる多角形を底面、周りの三角形を側面という。反角柱は 2 個の底面と底面の辺の数の 2 倍の側面を持つ。 反角柱のなかで、底面が正多角形のものを正反角柱(せいはんかくちゅう、regular antiprism)又は正多角反柱、底面も側面も正多角形のものをアルキメデスの反角柱 (Archimedean antiprism) という。特にアルキメデスの反角柱だけに限って反角柱という場合もある。 アルキメデスの反角柱は、半正多面体の条件を満たすが、正多角形が厚みを持ったものなので無限個あり、通常は半正多面体には含まない。アルキメデスの反角柱のうち、底面が正三角形のものは正三角形の面が合計 8 個であるから、正八面体となる。 また正反五角柱の 2 つの底面に、側面が正三角形である正五角錐を付けると、正二十面体になる。.

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双対多面体

双対多面体(そうついためんたい)、ある立体の頂点と面を入れ替えた立体のことをいう。 具体的には、面の重心を新たな頂点とし、辺で接する面の重心同士を辺で結び(したがって辺の数は変わらない)、頂点で接する面の重心を結ぶ多角形を面とする。ただし、定量的な長さや角度を問題とせず、トポロジー(頂点・辺・面の接する関係)だけを問題とすることもある。 3次元における双対多胞体である。多面体について述べていることが自明なときは単に双対という。 双対多面体の双対多面体は元の多面体である。自身と双対関係にある多面体を自己双対多面体という。.

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同型写像

数学において,同型写像(isomorphismfrom the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape")あるいは単に同型とは,は準同型写像あるいは射であって,逆射を持つものである逆関数ではない..2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは,それらの間に同型写像が存在することをいう.自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である.同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある.したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい. 群や環を含むほとんどの代数的構造に対して,準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である. 位相幾何学において,射とは連続写像のことであるが,同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる.解析学において,射は可微分関数であり,同型写像は微分同相とも呼ばれる. 標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなである.2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは,それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう.例えば,有限次元ベクトル空間 から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である.一方, は双対空間に同型であるが,一般には標準的にではない. 同型写像は圏論を用いて形式化される.ある圏の射 が同型射であるとは,両側逆射を持つことをいう,すなわち,その圏における別の射 があって, かつ となる,ただし と はそれぞれ と の恒等射である..

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対称群

対称群(たいしょうぐん、)とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換(ちかん、)という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群(ちかんぐん、)と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。.

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対角線

対角線(たいかくせん、diagonal)は、多角形上の異なる2つの頂点同士を結ぶ線分のうち辺を除く線分のことである。三角形以外の多角形は全て2本以上の対角線を持つ。 ある多角形の全ての内角が180度未満であるならば全ての対角線はその多角形の内部に存在し、その逆もまた成り立つ。 n角形の対角線の本数dは異なるn個の頂点から2点を選ぶ組み合わせから隣り合った2つの頂点同士を結ぶ線(つまり辺)の本数nを引くことで次のように計算できる。 正五角形の5本全ての対角線をつなげると五芒星になる。これは5本の線分を用いて辺を共有しない5つの三角形を作る方法としても知られる。 正六角形の9本の対角線のうち短い6本を組み合わせた図形はダビデの星の形として有名な六芒星になる。.

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展開図

展開図(てんかいず、net)とは、ある1点を基準としてその点から立体を切り開いて一平面に伸ばしたもの。基準となる点の位置は決まっていないのでひとつの立体から様々な形態の展開図を作ることができる。 立体の細部を示して理解を助ける目的、あるいは、紙、布、板金などの平面素材により立体形状のものをつくるために使用される。分野によって後者の展開図は型紙とも呼ばれるものもある。 350px一例として六角柱の第三角法での図面(図中I、側面図、底面図省略)と展開図(図中II)を書いた。.

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平行

初等幾何学、特にユークリッド幾何学における平行性(へいこうせい、parallelism)は、ユークリッド平面上の直線が互いに交わらないという関係性を抽象化するものである。三次元空間において、直線と平面や平面同士についても共有点がないことを以って平行性を考えることができる。ただし、三次元空間内の直線同士の場合には、それらが互いに平行となるためにはそれらが同一平面上にあることを要請しなければならない(交わらない二直線は、それらが同一平面上にないならばねじれの位置にあるという)。 平行線はユークリッド原論における平行線公準の主対象である。 平行性は第一義にはの性質の一つであり、ユークリッド幾何学はその種の幾何学の特別な実例である。その他の幾何学においては、例えば双曲幾何学などでは、同様の(しかしまったく同じではない)特定の性質を満たすことを「平行」と言い表す。 以下、特に言及のない限り、主にユークリッド幾何学における平行性について述べる。.

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交代群

交代群(こうたいぐん、alternating group, Alternierende Gruppe)とは、有限集合の偶置換全体がなす群である。集合 上の交代群は n 次の交代群、もしくは n 文字の交代群 (the alternating group on n letters) と呼ばれ、An もしくは Alt(n), \mathfrak_n という記号で表す。これは n 変数の交代式を不変とするような変数の置換がなす群と思ってもよい。 例として、4つの元からなる集合 の交代群 A4 は以下のようになる。A4.

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五次方程式

五次方程式(ごじほうていしき、英語:quintic equation)とは、次数が5であるような代数方程式のこと。.

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体積

体積(たいせき)とは、ある物体が 3 次元の空間でどれだけの場所を占めるかを表す度合いである。和語では嵩(かさ)という。.

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デルタ多面体

デルタ多面体(-ためんたい、deltahedron)とは、全ての面が正三角形である凸多面体。 全ての辺の長さは等しい。全ての面は大きさも等しく合同である。ただし、頂点形状や二面角は必ずしも一定ではない。 全部で8種。うち3種は正多面体で、それ以外の5種はジョンソンの立体である。また1つは角錐、3つは双角錐、2つは双角錐反柱である。面の数が4、6、8、10、12、14、16、20のものが1つずつあるが、デルタ十八面体は存在しない。 また、デルタ多面体を凸多面体に限らない場合もある。そうすると、ダ・ヴィンチの星や一種の正二十面体の星型など多くの多面体がデルタ多面体の仲間となる。.

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フェリックス・クライン

フェリックス・クリスティアン・クライン(Felix Christian Klein, 1849年4月25日 - 1925年6月22日)は、ドイツの数学者。群論と幾何学との関係、関数論などの発展に寄与した。クラインの壺の考案者。ダフィット・ヒルベルトやアンリ・ポアンカレといった次の世代の数学者に影響を与えた。.

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ドジック

ドジック ドジック(Dogic)は正二十面体の形をしたパズルである。 ルービックキューブの系統に属するパズルである。 10色版と12色版の2種類が存在する。 画像:Dogic10-2.jpg|10色版 画像:Dogic12.jpg|12色.

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ダイマクション地図

ダイマクション地図(ダイマクションちず、英:Dymaxion map)は世界地図のひとつである。地球を多面体上に投影したもので、さまざまな形の展開図へと展開できる。バックミンスター・フラーによって発明され、1946年に特許が取得された。このときの例としては立方八面体(ベクトル平衡体)への投影が示されている。1954年にThe AirOcean World Map(空海一体世界地図)として発表された版では正二十面体への投影に変更され、 今日ではこれが最も有名である。「ダイマクション」という名前はフラーが自身の発明のいくつかに付けているものである。 他の多くの投影法と異なり、ダイマクション地図では地球全面を正確に再現することを目指している。多面体の各面は心射方位図法であり、したがってダイマクション地図の各面を拡大することはその投影法と等価である。.

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切頂二十面体

切頂二十面体(せっちょうにじゅうめんたい、truncated icosahedron)、または切頭二十面体(せっとうにじゅうめんたい)、切隅二十面体(せつぐうにじゅうめんたい)とは、半正多面体の一種で、正二十面体の各頂点を切り落とした立体である。また、一般的なサッカーボールは、この立体に空気を入れて、球に近づけたものである。.

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アーベル–ルフィニの定理

アーベル–ルフィニの定理(アーベル–ルフィニのていり、Abel–Ruffini theorem)は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。.

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アーベル群

数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群(アーベルぐん、abelian group)または可換群(かかんぐん、commutative group)は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。 アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群(加法群)としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法(例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す)が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。 一般に可換群はに比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。.

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ウイルス

ウイルス()は、他の生物の細胞を利用して、自己を複製させることのできる微小な構造体で、タンパク質の殻とその内部に入っている核酸からなる。生命の最小単位である細胞をもたないので、非生物とされることもある。 ヒト免疫不全ウイルスの模式図.

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カルボラン

ルボラン (carborane) はホウ素原子と炭素原子からなるクラスターである。ほかのボランと同じく分子は多面体型であり、その形状によってcloso-、nido-、arachno-、hypho-などの接頭語により分類される。closo-は完全な多面体、nido-は頂点が1つ欠けたもの、arachno-などはそれ以上欠けたものである。カルバボラン (carbaborane)とも呼ばれる。 特に安定な20面体型のcloso-カルボランであるo-カルボラン (C2B10H12) が有名である。接頭語のoはオルトに由来し、この化合物はヒュッケル則により超芳香族性を示すので熱力学的に安定である。o-カルボランは420 ℃でメタ異性化する (ベンゼンは1000 ℃で異性化)。アレーンと同じくカルボランは芳香族求核置換反応を起こす。 負電荷を持ったCHB11H11−も重要なカルボランであり、超酸の合成に使われる。.

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ガロア群

ア群(英:Galois Group)とは、代数方程式または体の拡大から定義される群のことである。発見者であるフランスの数学者エヴァリスト・ガロアから命名された。これらの群を用い方程式などの数学的対象について研究する分野をガロア理論と呼ぶ。.

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凸多面体

凸多面体(とつためんたい)は、多面体の内、全ての辺(稜)における二面角(2つの面で作られる角度)が180°未満のもの。この条件を満たすためには、全ての面が凸多角形(全ての頂点における内角が180°未満の多角形)である必要がある。 正多面体や半正多面体などはこれに含まれるが、星型正多面体は含まれない。.

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倍数接頭辞

倍数接頭辞(ばいすうせっとうじ、numeral, or number prefixes)は英語において数を表す為の接頭辞。接頭辞にはラテン語、ギリシア語、サンスクリット語サンスクリット語の接頭辞を使っている例に関しては例えばMendeleev's predicted elementsを参照。の3種類があるが、主に前者2つが使われる。 具体例としては以下がある:.

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空間

間(くうかん)とは、.

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立体

結ばれたトーラス体 幾何学における立体(りったい、body)あるいは中身のつまった図形 (solid figure) は、その表面となる曲面を記述することによって与えられる三次元の図形である。立体の表面は平坦または曲がった面の小片を繋ぎ合わせてかたち作ることができる。その表面をかたち作る小片が全て平面であるような立体は多面体という。様々な立体に対して、それらの体積や表面積を計算するための公式が存在する(参照)。より高い次元の図形についても一般にこのような仕方で「立体」を定式化するのは容易であるから、ここで述べた立体のことを特に三次元立体とよぶこともある。.

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面積

面積(めんせき)とは、平面内の、あるいは曲面内の図形の大きさ、広さ、の量である。立体物の表面の面積の合計を特に表面積(ひょうめんせき)と呼ぶ。.

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表面積

表面積(ひょうめんせき)は、立体図形の表面の面積。 ユークリッド空間では、図形が a 倍に拡大されると、体積が a3 倍になるのに対し、表面積は a2 倍になる。ただし、3軸それぞれについて a、b、c 倍に拡大された場合は、体積は abc 倍になるが、表面積の変化は図形による。 せん断成分のある変形に対しては、体積は一定だが表面積は一般に異なる。たとえば、底面が合同で高さが同じ平行六面体と直方体は、体積が等しいが表面積は異なる。 表面積は、一般には積分を使って計算される。対称性の高い図形のみ、初等数学で求まる公式が得られる。楕円体のように、体積は簡単に求まるが表面積を求めるには複雑な計算が必要な図形もある。.

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角錐

角錐(かくすい、geometrical pyramid)は凸多面体の一種で、底面の形が多角形である錐体のことである。.

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正十二面体

正十二面体(せいじゅうにめんたい、dodecahedron)は立体の名称の1つ。空間を正五角形12枚で囲んだ凸多面体。.

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正多面体

正多面体(せいためんたい、regular polyhedron)、またはプラトンの立体(プラトンのりったい、Platonic solid)とは、すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のこと。正多面体には正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類がある。 三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形に関する制限から、正多面体が先に示した五種類のみであることが証明できる。このことは、オイラーの多面体公式からも証明できる。しかし、条件を緩めることによって、正多面体の拡張を考えることができる(参照:星型正多面体、ねじれ正多面体、正平面充填形)。正多面体の構成面を正 p 角形、頂点に集まる面の数を q として のように表すことができる。これをシュレーフリ記号という。シュレーフリ記号は半正多面体(別名:アルキメデスの立体)にも拡張することができる。.

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正三角形

正三角形(せいさんかくけい、equilateral triangle)は、正多角形である三角形である。つまり、3本の辺の長さが全て等しい三角形である。3つの内角の大きさが全て等しい三角形と定義してもよい。1つの内角は 60°(π/3 rad)である。また一つの内角が60°である二等辺三角形は正三角形となる。 正三角形.

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正二十面体の星型一覧

正二十面体の星型一覧(せいにじゅうめんたいのほしがたいちらん)は、正二十面体を星型化した多面体の一覧である。 星型の胞(セル)はa,b,c,d,e1,e2,f1,f1,f2,g1,g2,hがある。 星型は全部で59種類あり、そのうちの27種類はねじれた外観を持つ。その中には大二十面体や5つの正四面体の複合多面体などの特殊な図形も含まれている。ねじれた図形は片方のみを載せる。.

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正六百胞体

正六百胞体(Regular hexacosichoron)とは、 四次元正多胞体の一種で600個の正四面体からできており、三次元の正二十面体に相当する。標準正多胞体ではない。.

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正規部分群

数学、とくに抽象代数学における正規部分群(せいきぶぶんぐん、normal subgroup)は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。正規部分群は、与えられた群から剰余群を構成するのに用いることができる。 正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。.

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3次元

3次元(さんじげん、三次元)は、ある概念が直交あるいは独立な(しかし同等な)要素3つの組によって一意に決定可能な場合にしばしば用いられる術語である。.

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正20面体

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