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核 (代数学)

索引 核 (代数学)

数学において、準同型の核(かく、kernel)とは、その準同型の単射からのずれの度合いを測る道具である。代数系における準同型の核が "自明" (trivial) であることとその準同型が単射であることとが同値となる。.

16 関係: 半群単射同値関係二項関係余像ベクトル空間イデアル (環論)線型写像群論環論自明性 (数学)零空間核 (圏論)準同型準同型定理数学

半群

数学における半群(はんぐん、semigroup)は集合 S とその上の結合的二項演算とをあわせて考えた代数的構造である。言い換えれば、半群とは演算が結合的なマグマのことをいう。半群の名は、既存の群の概念に由来するものである。半群は、各元が必ずしも逆元を持たないこと(さらに、単位元すら持たないかもしれないこと)が、群と異なる。 半群の演算はほとんど乗法的に書かれる(順序対 (x, y) に対して演算を施した結果を x • y などで、あるいは単に xy で表す)。 半群についてきちんとした形での研究が行われるようになるのは20世紀の初めごろからである。半群は、「無記憶」系 ("memoryless" system) すなわち各反復時点でゼロから開始される時間依存系 (time-dependent system) の抽象代数的な定式化の基盤であるので、数学の各種分野において重要な概念である。応用数学においては、半群はの基本モデルである。また偏微分方程式論では、半群は空間発展的かつ時間非依存な任意の方程式に対応している。有限半群論は1950年代以降、有限半群と有限オートマトンとの間の自然な関連性から、理論計算機科学の分野で特に重要となった。確率論では半群はマルコフ過程に関連付けられている 。.

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単射

数学において、単射あるいは単写(たんしゃ、injective function, injection)とは、その値域に属する元はすべてその定義域の元の像として唯一通りに表されるような写像のことをいう。一対一(いったいいち、)の写像ともいう。似ているが一対一対応は全単射の意味で使われるので注意が必要である。.

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同値関係

数学において、同値関係(どうちかんけい、equivalence relation)は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割(類別)する。 同値関係にあることを表す記法は文献によって様々に用いられるけれども、与えられた集合上の同値関係 に関して二元 が同値であることを "" や "" で表すのがもっともよく用いられる記法である。 に関して同値であることを明示する場合には、"" や "" あるいは "" などと書かれる。.

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二項関係

数学において、二項関係(にこうかんけい、binary relation)あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 の部分集合を、集合 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 に対して、 と との間の二項関係とは、直積 の部分集合のことをいう。 二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 と整数全体の成す集合 の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 は、 の倍数である任意の整数 に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 が関係を持つ整数には などが含まれるが や は含まれない。同様に素数 が関係する整数として などが挙げられるが、 や はそうではない。 二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。 二項関係はn-項関係 (各 -番目の成分が関係の -番目の始集合 からとられているようなn-組からなる集合)で とした特別の場合である。 ある種の公理的集合論では(集合の一般化としての)類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念(に限った話ではないが)のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。.

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余像

数学の代数学において、ある種の代数系における準同型写像 の余像(よぞう、)とは、定義域と核の のことを言う。その代数系において第一同型定理が成り立つならば、定理に言うところの同型写像 によって余像と像とは自然同型(canonical isomorphism)である。 より一般に、圏論において、射の余像とは射の像の双対概念である。f: X → Y とするとき、f の余像は(存在するならば)次を満たす全射 c: X → C を言う:.

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ベクトル空間

数学、特に線型代数学におけるベクトル空間(ベクトルくうかん、vector space)、または、線型空間(せんけいくうかん、linear space)は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積(「スケール変換」)を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件(後述)を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である(同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す)。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元(大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの)によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は(直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような)古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.

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イデアル (環論)

抽象代数学の分野である環論におけるイデアル(ideal, Ideal)は環の特別な部分集合である。整数全体の成す環における、偶数全体の成す集合や の倍数全体の成す集合などの持つ性質を一般化したもので、その部分集合に属する任意の元の和と差に関して閉じていて、なおかつ環の任意の元を掛けることについても閉じているものをイデアルという。 整数の場合であれば、イデアルと非負整数とは一対一に対応する。即ち整数環 の任意のイデアルは、それぞれただ一つの整数の倍数すべてからなる主イデアルになる。しかしそれ以外の一般の環においてはイデアルと環の元とは全く異なるものを指しうるもので、整数のある種の性質を一般の環に対して一般化する際に、環の元を考えるよりもそのイデアルを考えるほうが自然であるということがある。例えば、環の素イデアルは素数の環における対応物であり、中国の剰余定理もイデアルに対するものに一般化することができる。素因数分解の一意性もデデキント環のイデアルに対応するものが存在し、数論において重要な役割を持つ。 イデアルは整数の算術から定義される合同算術の方法と同様の剰余環(商環)の構成にも用いられる、この点において群論で剰余群(商群)の構成に用いられる正規部分群と同様のものと理解することができる。 順序集合に対するの概念は環論におけるこのイデアルの概念に由来する。またイデアルの概念を一般化して分数イデアルの概念を考えることもでき、それとの区別のためここで扱う通常のイデアルは整イデアルと呼ばれることもある。.

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線型写像

数学の特に線型代数学における線型変換(せんけいへんかん、linear transformation、一次変換)あるいは線型写像(せんけいしゃぞう、linear mapping)は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の(零写像でない)線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは(体上の加群としての)ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像(自己準同型)の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、(特に無限次元空間上の)線型写像のことを「線型作用素」(せんけいさようそ、linear operator)と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」(いちじけいしき、linear form, one-form; 線型形式; 1-形式)とも呼ばれる一次の微分形式(一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form)を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。.

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群論

群論(ぐんろん、group theory)とは、群を研究する学問。 群の概念は抽象代数学における中心的な概念。 環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。 群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。 線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。 特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。 結晶や、水素原子などの構造の多くは、対称性の群(symmetry group)で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。 1960年代~80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀の数学の最も重要な業績の一つ。.

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環論

数学において、環論(かんろん、ring theory)は(加法と乗法が定義され、整数の持つ性質とよく似た性質を満足する代数的構造である)環を研究する学問分野である。環論の研究対象となるのは、環の構造や環の表現(環上の加群)などについての一般論、および(群環、可除環、普遍展開環などの)具体的な特定の環のクラスあるいは理論と応用の両面で興味深い様々な環の性質(たとえばホモロジー的性質や多項式の等式)などである。 可換環は非可換の場合と比べてその性質はよく調べられている。可換環の自然な例を多く提供する代数幾何学や代数的数論は可換環論の発展の大きな原動力であった。この二つは可換環に密接に関係する分野であるから、一般の環論の一部というよりは、可換環論や可換体論の一部と考えるほうが普通である。 非可換環は可換の場合と比べて奇妙な振る舞いをすることが多くあるので、その理論は可換環論とは極めて毛色の異なったものとなる。非可換論は、それ自身の独自の方法論を用いた発展をする一方で、可換環論の方法論に平行する形で(仮想的な)「非可換空間」上の函数環として幾何学的な方法である種の非可換環のクラスを構築するという方法論が新興している。このような傾向は1980年代の非可換幾何学の発展と量子群の発見に始まる。こうした新たなパラダイムは、非可換環(特に非可換ネーター環)のよりよい理解を導くこととなった 。.

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自明性 (数学)

数学において、形容詞自明な (trivial) は対象(例えば群や位相空間)であって非常に単純な構造を持つものに対して頻繁に使われる。名詞自明性 (triviality) は通常証明や定義の単純な技術的面を言う。数学の言葉の用語の起源は中世の trivium curriculum から来ている。対義語非自明な (nontrivial) は明らかではないまたは証明するのが易しくないステートメントや定理を指し示すためにエンジニアや数学者によってよく使われる。.

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零空間

数学、とくに関数解析学において、線型作用素 A: V → W の零空間(ぜろくうかん、れいくうかん、null space)あるいは核空間(かくくうかん、kernel space)とは、 のことである。Nul(A) は N(A) や Ker(A) などとも書かれる。とくに Ker は零空間が線型写像としての A の核 (kernel) にあたることを意味するのであるが、零空間という語を用いる文脈においては、核ということばを熱核 などの積分核に対して用いていることがほとんどであろうから注意されたい。 また、零空間という語をもちいる文脈においては、線型写像の像 は値域 と呼ばれ、線型作用素 A の値域は Ran(A) や R(A) と綴るのが通例のようである。 零空間は、ベクトル空間 V の部分空間である。さらに、 商空間 V/(Ker A) は、 A の像 Ran(A) に同型である; 特に次元について が成り立つ。 Nul A.

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核 (圏論)

圏論と他の数学分野へのその応用において,核(かく,kernel)は群準同型の核や加群準同型の核や他の代数系の核の一般化である.直観的には,射 の核は の前に合成して 0 になる「最も一般的な」射 である. や差核(二項のイコライザとも)も「核」と呼ばれることがあるので注意.関連はあるものの,同じというわけではなく,この記事では議論されない..

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準同型

準同型(じゅんどうけい、homomorphic)とは、複数の対象(おもに代数系)に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像(じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) を持つことを意味する。構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型(どうけい、isomorphic)および同型写像(どうけいしゃぞう、isomorphism)という術語を用いる。しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。.

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準同型定理

抽象代数学における準同型定理(じゅんどうけいていり、fundamental theorem on homomorphisms; 準同型の, )は、与えられた構造をもつ二つの対象の間の準同型が与えられたとき、その準同型の核と像とを関係づける。 準同型定理は同型定理の証明に利用できる。 以下、群の場合に定理の主張を述べるが、同様の主張はモノイド、ベクトル空間、加群、環などについても成立する。.

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数学

数学(すうがく、μαθηματικά, mathematica, math)は、量(数)、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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