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29 関係: 境界要素法、多項式、変位、実空間法、射影、差分法、代用電荷法、微分方程式、ノルム、ノイマン境界条件、ポアソン方程式、メッシュフリー法、ディリクレ境界条件、アワーグラスモード、ガウス求積、内挿、第一原理バンド計算、粒子法、疎行列、要素内補間、計算格子、部分空間、関数解析学、電子状態計算、電磁場解析、構造力学、数値積分、数値解析、数値流体力学。
境界要素法
境界要素法（きょうかいようそほう、boundary element method、BEM）とは、汎用性の高い離散化解析手法の1つで、有限差分法、有限体積法、有限要素法と並び、汎用離散化解析手法の主要3解法の1つとして理工学の分野で受け入れられている。電子計算機の発明・発展以前から進められてきた、応用数学分野における積分方程式論の研究に端を発していることもあり、境界積分方程式法（Boundary Integral Equation Method、BIEM）と呼ばれることもある。 電磁気学の電磁界解析では、境界要素法と同じ意味で、モーメント法（Method of Moments、MOM）と呼ばれることもある。.
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多項式
数学における多項式（たこうしき、poly­nomial）は、多数を意味するpoly- と部分を意味する -nomen あるいは nomós を併せた語で、定数および不定元（略式ではしばしば変数と呼ぶ）の和と積のみからなり、代数学の重要な対象となる数学的対象である。歴史的にも現代代数学の成立に大きな役割を果たした。 不定元がひとつの多項式は、一元多項式あるいは一変数多項式 と呼ばれ、不定元を とすれば のような形をしている。各部分 "", "", "", "" のことを項（こう、）と呼ぶ。一つの項だけからできている式を単項式 (monomial)、同様に二項式 (binomial)、三項式 (trinomial) などが、-nomial にラテン配分数詞を付けて呼ばれる。すなわち、多項式とは「多数」の「項」を持つものである。単項式の語が頻出であることに比べれば、二項式の語の使用はやや稀、三項式あるいはそれ以上の項数に対する語の使用はごく稀で一口に多項式として扱う傾向があり、それゆえ単項式のみ多項式から排他的に分類するものもある。また多項式のことを整式 (integral expression) と呼ぶ流儀もある。 多項式同士の等式として与えられる方程式は多項式方程式と呼ばれ、特に有理数係数の場合において代数方程式という。多項式方程式は多項式函数の零点を記述するものである。 不定元がふたつならば二元 (bivariate), 三つならば三元 (trivariate) というように異なるアリティを持つ多元多項式が同様に定義できる。算術あるいは初等代数学において、数の計算の抽象化として実数（あるいは必要に応じてより狭く有理数、整数、自然数）を代表する記号としての「文字」変数を伴う「」およびその計算を扱うが、それは大抵の場合多変数の多項式である。 本項では主として一元多項式を扱い、多元の場合にも多少触れるが、詳細は多元多項式の項へ譲る。.
変位
変位（へんい、displacement）とは、物体の位置の変化のこと。変位の対象は、古典力学での質点の位置であったり、結晶（固体、あるいは結晶表面やそれに吸着した原子、分子など）での原子の位置（原子変位）であったりする。表記は、変位の大きさに着目する x, d のような場合や、変化した前後の位置の差であるという点に注目する Δr という場合がある。物理量としての変位はベクトルで使うことが多く、変位ベクトルと呼ばれる。 物体の位置を表現するには原点からの位置ベクトルを使う方法もある。どこかに基準点を定めるということでは変位もあまり違わないが、局所的な現象をあらわすときには基準位置とそこからの変位で記述したほうが簡単になることもある。変位x と位置ベクトルr は次の式で変換できる。 ここでr0 は基準点の位置ベクトルである。.
実空間法
実空間法（じつくうかんほう）とは、実空間での波動関数を、FET（有限要素法）や、差分方程式を直接解いて求める方法。 これに対し、通常のバンド計算では、周期的境界条件の下に、逆格子空間での計算を必要とする。.
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射影
射影（しゃえい、projection）とは、物体に光を当ててその影を映すこと、またその影のことである。; 集合論; 圏論; 線型代数学: 内積空間における（正）射影→射影作用素; 位相幾何学: 束の射影→ファイバー束、ベクトル束等を参照; 関係代数の射影演算: 関係代数 (関係モデル)#射影.
差分法
数値解析における有限差分法（ゆうげんさぶんほう、finite-difference methods; FDM）あるいは単に差分法は、微分方程式を解くために微分を有限差分近似（差分商）で置き換えて得られる差分方程式<!-- ループリンク -->で近似するという離散化手法を用いる数値解法である。18世紀にオイラーが考案したと言われる。 今日ではFDMは偏微分方程式の数値解法として支配的な手法である.
代用電荷法
代用電荷法（だいようでんかほう、Substitute Charge Method）は数値計算手法の一つ。構造力学や電界計算の 分野で広く使われている手法。電荷重畳法ともいう。基礎解の重ねあわせで解を表現し、境界条件を満たすように基礎解の重みを決定する。通常境界上の選ばれた点で境界条件を課す選点法が採用される。代用電荷法による解において境界で誤差が最大になるという誤差の最大値原理があり、誤差評価を容易にしている。原理が簡単で、プログラムが容易、高速、高精度であるが非線形の問題には適用できない。1969年に西ドイツのSteinbiglerが高電圧工学の問題に応用したのが最初で、その後日本で大きく研究が進んだ。宅間董により種々の電界計算に応用され、村島定行により汎用の解析法として確立された。.
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微分方程式
微分方程式（びぶんほうていしき、differential equation）とは未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である長倉三郎ほか編、『 』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6。 物理法則を記述する基礎方程式は多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理学からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。微分方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等はもともと微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である。 線型微分方程式の研究は歴史が長く。それに比して、非線型微分方程式の研究は歴史が浅く比較的簡単な方程式しか解析できていない。例えばナビエ-ストークス方程式は、流体の支配方程式として重要であるが、その解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。 その他有名な微分方程式については:Category:微分方程式を参照。.
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ノルム
解析学において、ノルム (norm, Norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。.
ノイマン境界条件
数学の分野におけるノイマン境界条件（のいまんきょうかいじょうけん、Neumann boundary condition）あるいは第2種境界条件とは、数学者のの名にちなむ境界条件のことである。常微分方程式あるいは偏微分方程式に対し、その解の微分が定義域の境界でとる値を定める。 例えば、常微分方程式 に対し、定義域 上のノイマン境界条件は次のような形をとる： ここで α および β は与えられた数である。 別の例では、偏微分方程式 （ただし、∇2 はラプラシアンを表す）に対し、定義域 \Omega \subset \mathbb^n 上のノイマン境界条件は次のような形をとる： ここで n は境界 ∂Ω への法線ベクトルを表し、f は与えられたスカラー関数である。 上式の左辺に現れるは で定義される。ここで ∇ はグラディエント（ベクトル）を表し、中点は内積を表す。 熱伝導の問題において、定義域の境界から熱の出入りが全く無いという状況に出くわすことはよくある（すなわち、定義域は完全に断熱されている）。これは、法線微分がゼロであるようなノイマン境界条件に対応する。 ノイマン境界条件の他にも多くの境界条件が存在する。例えば、コーシー境界条件や、ノイマンとディリクレの条件が組み合わされた混合境界条件などがある。.
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ポアソン方程式
ポアソン方程式（ポアソンほうていしき、Poisson's equation）は、2階の楕円型偏微分方程式。方程式の名はフランスの数学者・物理学者シメオン・ドニ・ポアソンに因む。.
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メッシュフリー法
メッシュフリー法 (Meshfree method) は、偏微分方程式(PDE)の境界値問題を離散化近似で従来の有限要素法(FEM)の様なメッシュ無しで近似解を得る数学的アプローチの総称である。多くのアプローチが存在する。.
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ディリクレ境界条件
ディリクレ境界条件（ディリクレきょうかいじょうけん）あるいは第1種境界条件は、微分方程式における境界条件の一つの形状であり、境界条件上の点の値を直に与えるものである。 より厳密に言うと、y に関する微分方程式で、ディリクレ境界上の点の集合をΩとしたときに、Ωに含まれる点x があれば という形で表現できるような境界条件である。 例えば、偏微分方程式 において、一般解は となるが、ディリクレ条件としてx.
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アワーグラスモード
アワーグラスモード アワーグラスモード（hourglass mode）とは、有限要素法において、変形しているにも関わらずひずみがゼロとなる状態（モード）のことであり、ゼロエネルギーモードともいう。その不適切な変形の様子が砂時計（アワーグラス）の形をしていることからアワーグラスモードと言われている。変位速度の拘束条件が緩いことが原因で生じる。.
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ガウス求積
ウス求積（ガウスきゅうせき、Gaussian quadrature）またはガウスの数値積分公式とは、カール・フリードリヒ・ガウスに因んで名づけられた数値解析における数値積分法の一種であり、実数のある閉区間(慣例的に に標準化される)で定義された実数値関数のその閉区間に渡る定積分値を、比較的少ない演算で精度良く求めることができるアルゴリズムである。 を正の整数とし、 を 任意の多項式関数とする。 の に渡る定積分値 を、 の形でなるべく正確に近似する公式を考える。ここで、 は積分点またはガウス点 (ガウスノード)と呼ばれる 内の 個の点であり、 は重みと呼ばれるn個の実数である。 実は、 次のルジャンドル多項式の 個の零点（これらは全て 内にある）を積分点として選び、 を適切に選ぶと、 が 次以下の多項式であれば上記の式が厳密に成立することが分かっている。この場合、 は によらず一意的に定まる。この方法を 次のガウス・ルジャンドル (Gauss–Legendre) 公式と呼び、通常はガウス求積またはガウスの数値積分公式と言えばこの方法を指している森・名取・鳥居 『数値計算』、岩波書店〈情報科学 18〉、1982年、pp.
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内挿
内挿（ないそう、、補間とも言う）とは、ある既知の数値データ列を基にして、そのデータ列の各区間の範囲内を埋める数値を求めること、またはそのような関数を与えること。またその手法を内挿法（補間法）という。内挿するためには、各区間の範囲内で成り立つと期待される関数と境界での振舞い（境界条件）を決めることが必要である。 最も一般的で容易に適用できるものは、一次関数（直線）による内挿（直線内挿）である。ゼロ次関数（ステップ関数）によってデータ列を埋めること（0次補間）を内挿と呼ぶことはあまりないが、内挿の一種である。 内挿と外挿（補外）とのアルゴリズムの類似性から、それぞれ内挿補間、外挿補間と誤って呼称されることがある。本来、補間と内挿は同義であり、内挿補間と重ねて呼ぶ必要はない。.
第一原理バンド計算
一原理バンド計算（だいいちげんりバンドけいさん）は、実験結果に依らないで（第一原理）計算が遂行されるバンド計算である。第一原理電子構造計算、第一原理電子状態計算、あるいは単にバンド計算とも言う。 第一原理バンド計算手法には、様々なものがある。主に、擬ポテンシャル+平面波基底によるものと、全電子による電子状態計算手法とがある。全電子手法には、LMTO法、APW法、線形化 APW 法（LAPW法）、KKR法とそのフルポテンシャル版などがある。.
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粒子法
粒子法（りゅうしほう）とは、連続体に関する方程式を数値的に解くための離散化手法の一つで、計算対象物を粒子の集まりとして表すことからこのように呼ばれる。 主に流体解析,構造解析に用いられる手法で、代表的なものとしてDEM(Distinct Element Method)法, SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)法, MPS(Moving Particle Semi-implicit)法などがある。 流体解析においては、ラグランジュ法に属し、対流項を計算しないで済ませられるという特徴を持つ。 （有限体積法、有限要素法に代表されるオイラー法では対流項が最も煩雑で、かつ理解しにくい部分である。） その他の主なメリットとして、計算格子の作成を必要としない点が挙げられる。流体の挙動が計算格子に丸め込まれることがないため、さざ波や水しぶきなどの流体表面の細部の挙動も解析出来る。構造解析においては、大変形にも容易に対応できる。 その一方で、有限要素法、有限体積法に比べるとその歴史はまだ浅く、解析ソフトの数も少ない。また、乱流モデルなどの物理モデルの整備もまだ十分でないことから工学的な利用は現在のところ限定的である。 現実世界に極めて近い計算モデルで解析を行うため万能にも思われる粒子法であるが、従来の手法と比較した場合には幾つか欠点が存在する。従来から広く用いられてきた有限要素法では、注目したい解析領域内だけでメッシュを細かく切ることで、解析したい問題に合わせて計算量を削減する最適化ができる。しかし、粒子法では粒子の大きさを解析領域全体で一定にせざるを得ないため、計算精度を上げた場合には有限要素法と比較して計算効率が極めて悪くなる欠点がある。また、粒子法は未だに成熟した研究分野ではないため、粒子法そのものの安定性に関する研究課題も数多く残されている。 日本ではプロメテック社がGranuleworks(MPS法),Particleworks(DEM法)などの粒子法に基づく製品を開発して提供しており、産業用に広く用いられている。.
疎行列
行列（そぎょうれつ、sparse matrix）とは、成分のほとんどが零である行列のことをいう。スパース行列とも言う。 有限差分法、有限体積法、有限要素法などで離散化された偏微分方程式は一般に疎行列を係数行列とした連立一次方程式となる。 数値解析の分野では、疎行列を前提とした解法が多い。疎行列であれば格納方式を工夫することで次元数を増やすことができる上に、ベクトル-行列積が比較的低計算量で求められるためである。.
要素内補間
要素内補間（ようそないほかん）とは、数値解析において要素の各節点の既知量から、要素内の値を補間して求めることをいう。この要素内補間は、内挿とも呼ばれることがある。要素内補間は、例えば地図の等高線、CAD、CAE、CGなど、要素が使用される図形処理において、要素内の任意の位置の値を計算する際にも使用される。 与えられた節点情報のみ（要素情報は使用しない）から補間する手法もあるが、これらは本説明に含まれない。 要素には、線分（2節点）、3角形（3節点）、4面体（4節点）などがある。.
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計算格子
計算格子（computational mesh/grid）または単に格子とは、数値解析における離散化のために用いられる、解析領域（2次元または3次元の幾何形状)を有限個に分割した部分領域のことである。構造解析分野では要素とも言う。 計算領域を格子に分けることを格子生成（mesh generation）または格子分割と言う。 各計算格子は番号付けにより識別され、その幾何学的形状は節点（nodes）の座標値により規定される。また、節点には要素節点番号と呼ばれる要素内での節点の番号を付ける。.
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部分空間
数学における部分空間（ぶぶんくうかん、subspace）は、ある構造を持った集合 X について、それを空間と呼ぶとき、その構造を保つような X の部分集合あるいは、構造を保つように X に埋め込まれた別の集合 A のことをいう。.
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関数解析学
関数解析学（かんすうかいせきがく、functional analysis）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い。.
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電子状態計算
電子状態計算（でんしじょうたいけいさん、Electronic structure calculation、電子構造計算とも言う）とは、結晶、表面、クラスター、分子（高分子も含む）、原子などの系の電子状態（電子構造）を求める計算のこと。計算手法としては、バンド計算、量子化学的手法などがある。.
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電磁場解析
電磁場解析（でんじばかいせき、）とは、マクスウェルの方程式を解くことにより、対象物と電磁場の相互作用を解析することである。過去には、マクスウェルの方程式から導出される偏微分方程式を解析的に（手計算にて）計算することを指していたが、現在は専らコンピュータによって計算することを指し、積分方程式を解く解法もある。 工学分野では、電磁界解析という。電磁場解析には、静電場（静電界）解析、静磁場（静磁界）解析、電磁誘導解析、電磁波解析等が含まれる。このうち、電磁波解析は高周波回路や無線通信用回路、アンテナやレーダー等の設計・解析、電磁環境適合性 回折格子などに使用される。また、比較的低周波（数十Hz - 数百Hz）の磁界解析は、モーターなどの回転器やの設計などに用いられる。.
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構造力学
構造力学（こうぞうりきがく、英語：structural mechanics）は連続体力学の一分野であり、橋梁、建築物、ヴィークル類などの構造物が荷重を受けたときに生じる応力や変形などを解析するための力学である。一つの物体のときは材料力学という。土木工学の分野では根幹を成す学問分野であり、水理学、地盤力学と合わせて「3力（さんりき）」と呼ばれることがある。.
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数値積分
数値積分（すうちせきぶん）とは、狭義には与えられる関数の定積分の値を、解析的にではなく数値的に求めることであり、広義には与えられる導関数から原関数を求めること、また微分方程式を数値的に解くことを含む。数値解析の一つである。 以下では、狭義の数値積分（一変数の関数の定積分の値を求める方法）について述べる。.
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数値解析
バビロニアの粘土板 YBC 7289 （紀元前1800-1600年頃） 2の平方根の近似値は60進法で4桁、10進法では約6桁に相当する。1 + 24/60 + 51/602 + 10/603.
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数値流体力学
数値流体力学（すうちりゅうたいりきがく、computational fluid dynamics、略称：）とは、流体の運動に関する方程式（オイラー方程式、ナビエ-ストークス方程式、またはその派生式）をコンピュータで解くことによって流れを観察する数値解析・シミュレーション手法。計算流体力学とも。コンピュータの性能向上とともに飛躍的に発展し、航空機・自動車・鉄道車両・船舶等の流体中を移動する機械および建築物の設計をするにあたって風洞実験に並ぶ重要な存在となっている。.
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