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最小二乗法

索引 最小二乗法

データセットを4次関数で最小二乗近似した例 最小二乗法(さいしょうにじょうほう、さいしょうじじょうほう;最小自乗法とも書く、)は、測定で得られた数値の組を、適当なモデルから想定される1次関数、対数曲線など特定の関数を用いて近似するときに、想定する関数が測定値に対してよい近似となるように、残差の二乗和を最小とするような係数を決定する方法、あるいはそのような方法によって近似を行うことである。.

40 関係: 反復法 (数値計算)外れ値媒介変数対数尤度関数三角行列一次関数平均微視的ノルム分散 (確率論)アドリアン=マリ・ルジャンドルカール・フリードリヒ・ガウスカイ二乗分布ガウス・ニュートン法ガウス=マルコフの定理コレスキー分解共分散回帰線型結合線型性特異値分解独立 (確率論)誤差転置行列近似関数 (数学)自由度QR分解標準偏差正則行列正規分布残差平方和最尤推定擬似逆行列数値的安定性曲線あてはめ1795年1805年1809年

反復法 (数値計算)

数値計算分野における反復法(はんぷくほう、iterative method)とは、求根アルゴリズムの手法のうち、反復計算を使うもの。アルゴリズムが単純であるために古くから用いられ\が提案されてき-->ている。\bold_を求める解とする-->.

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外れ値

外れ値(はずれち、英:outlier )は、統計において他の値から大きく外れた値である。 測定ミス・記録ミス等に起因する異常値とは概念的には異なるが、実用上は区別できないこともある。.

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媒介変数

数学において媒介変数(ばいかいへんすう、パラメータ、パラメタ、parameter)とは、主たる変数(自変数)あるいは関数に対して補助的に用いられる変数のことである。なおこの意味でのパラメータは助変数(じょへんすう)とも呼び、また古くは径数(けいすう)とも訳された(後者はリー群の一径数部分群(1-パラメータ部分群)などに残る)。母数と呼ぶこともある。 媒介変数の役割にはいくつかあるがその主なものとして、主たる変数たちの間に陰に存在する関係を記述すること、あるいはいくつもの対象をひとまとまりのものとして扱うことなどがある。前者では関数の媒介変数表示とか陰関数などとよばれるもの、後者では集合族とか数列などが一つの例である。後者の意味を持つ媒介変数はしばしば文字の肩や斜め下に本文より少し小さな文字 (script style) で書かれ、添字 (index) と呼ばれる。.

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対数

対数(たいすう、logarithm)とは、ある数 を数 の冪乗 として表した場合の冪指数 である。この は「底を とする の対数(x to base; base logarithm of )」と呼ばれ、通常は と書き表される。また、対数 に対する は(しんすう、antilogarithm)と呼ばれる。数 に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 と表される。 通常の対数 は真数, 底 を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。 実数の対数 は、底 が でない正数であり、真数 が正数である場合この条件は真数条件と呼ばれる。 について定義される。 これらの条件を満たす対数は、ある と の組に対してただ一つに定まる。 実数の対数関数 はb に対する指数関数 の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先であるネイピア数 のヤコブ・ベルヌーイによる発見が1683年であり、指数関数の発見もその頃である。詳細は指数関数#歴史と概観や を参照。。 y 軸を漸近線に持つ。.

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尤度関数

尤度関数(ゆうどかんすう、likelihood function)とは統計学において、ある前提条件に従って結果が出現する場合に、逆に観察結果からみて前提条件が「何々であった」と推測する尤もらしさ(もっともらしさ)を表す数値を、「何々」を変数とする関数として捉えたものである。また単に尤度ともいう。 その相対値に意味があり、最尤法、尤度比検定などで用いられる。.

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三角行列

数学の一分野線型代数学における三角行列(さんかくぎょうれつ、triangular matrix)は特別な種類の正方行列である。正方行列が またはであるとは主対角線より「上」の成分がすべて零となるときに言い、同様にまたはとは主対角線より「下」の成分がすべて零となるときに言う。三角行列は上半または下半三角となる行列のことを言い、また上半かつ下半三角となる行列は対角行列と呼ぶ。 三角行列に関する行列方程式は解くことが容易であるから、それは数値解析において非常に重要である。LU分解アルゴリズムにより、正則行列が下半三角行列 と上半三角行列 との積 に書くことができるための必要十分条件は、その行列の首座小行列式 (leading principal minor) がすべて非零となることである。.

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一次関数

y-切片を持つ。 数学、特に初等解析学における(狭義の)一次関数(いちじかんすう、linear function)は、(の)一次()、つまり次数 の多項式が定める関数 をいう。ここで、係数 は に依存しない定数であり、矢印は各値 に対して を対応させる関数であることを意味する。特に解析幾何学において、係数および定義域は実数の範囲で扱われ、その場合一次関数のグラフは平面直線である。 より広義には、係数や定義域として複素数やその他の環を考えたり、多変数の一次多項式函数や、あるいは一次式をベクトル空間や作用を持つ加群の文脈で理解することもある。 一次関数は線型関数( の直訳)やアフィン関数 とも呼ばれ、この場合しばしば定数関数 も含む。ベクトルを変数とする広義の一次関数はアフィン写像と呼ばれ、これはベクトルにベクトルを対応させる写像であるが、ふつう線型写像はその特別な場合 で斉一次函数で与えられる。 以下、解析幾何学における実函数としての一次函数について述べる。.

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平均

平均(へいきん、mean, Mittelwert, moyenne)または平均値(へいきんち、mean value)は、観測値の総和を観測値の個数で割ったものである。 例えば A、B、C という3人の体重がそれぞれ 55 kg、60 kg、80 kg であったとすると、3人の体重の平均値は (55 kg + 60 kg + 80 kg)/3.

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微視的

微視的(びしてき、)とは、肉眼で見えない微小な物や事ブリタニカ国際大百科事典-小項目電子辞書版。。ミクロスコピックまたはミクロともいい、通常は物の構成要素(分子、原子、原子核、素粒子)を意味する。顕微鏡で見られる大きさの物を対象とすることもある。広義には、一つの体系を構成する個々の要素またはその挙動も意味する。 これに対して、巨視的(きょしてき、、マクロ)は、本来は肉眼で見える大きさの物や事柄を意味するが、分子、原子などの多数の集合体の意味として用いられている。巨視的な対象が古典力学で記述されるのに対し、微視的な対象はしばしば現代物理学である量子力学での取り扱いを要する。.

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ノルム

解析学において、ノルム (norm, Norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。.

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分散 (確率論)

率論および統計学において、分散(ぶんさん、variance)は、確率変数の2次の中心化モーメントのこと。これは確率変数の分布が期待値からどれだけ散らばっているかを示す非負の値である。 記述統計学においては標本が標本平均からどれだけ散らばっているかを示す指標として標本分散(ひょうほんぶんさん、sample variance)を、推測統計学においては不偏分散(ふへんぶんさん、unbiased (sample) variance)を用いる。 に近いほど散らばりは小さい。 日本工業規格では、「確率変数 からその母平均を引いた変数の二乗の期待値。 である。」と定義している。 英語の variance(バリアンス)という語はロナルド・フィッシャーが1918年に導入した。.

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アドリアン=マリ・ルジャンドル

アドリアン=マリ・ルジャンドル(Adrien-Marie Legendre、1752年9月18日 - 1833年1月10日)は、フランスのパリトゥールーズ出身ともされる。出身の数学者。統計学、数論、代数学、解析学で様々な功績を残した。中でも整数論や楕円積分に大きく貢献したとして名高い。.

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カール・フリードリヒ・ガウス

Disquisitiones Arithmeticae のタイトルページ ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス(; Johann Carl Friedrich Gauß, Carolus Fridericus Gauss, 1777年4月30日 - 1855年2月23日)は、ドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼の研究は広範囲に及んでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。数学の各分野、さらには電磁気など物理学にも、彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。19世紀最大の数学者の一人である。.

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カイ二乗分布

記載なし。

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ガウス・ニュートン法

ウス・ニュートン法(ガウス・ニュートンほう、Gauss-Newton method)は、非線形最小二乗法を解く手法の一つである。これは関数の最大・最小値を見出すニュートン法の修正とみなすことができる。ニュートン法とは違い、ガウス・ニュートン法は二乗和の最小化にしか用いることができないが、計算するのが困難な2階微分が不要という長所がある。 非線形最小二乗法はなどで、観測データを良く表すようにモデルのパラメータを調整するために必要となる。 この手法の名称はカール・フリードリヒ・ガウスとアイザック・ニュートンにちなむ。.

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ガウス=マルコフの定理

ウ.

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コレスキー分解

レスキー分解(コレスキーぶんかい、)とは、正定値エルミート行列 を下三角行列 と の共役転置 との積に分解することをいう。 のエルミート性を利用したLU分解の特別な場合である。 の対角成分は実数にとることができて(符号・位相の自由度があるが)通常は、対角成分を正の実数に採り、その場合には、 は一意に定まる。アンドレ=ルイ・コレスキーにちなんで名づけられた。 が実対称行列の場合、上式の共役転置は転置に単純化される。 エルミート対称行列 が正定値であることと、 のコレスキー分解が存在することは同値になる。.

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共分散

共分散(きょうぶんさん、covariance)は、2 組の対応するデータ間での、平均からの偏差の積の平均値である。2 組の確率変数 X, Y の共分散 Cov(X, Y) は、E で期待値を表すことにして、 で定義する。.

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回帰

回帰(かいき)とは一般にはもとの位置または状態に戻ること、あるいはそれを繰り返すこと。これに関係する概念として次のものがある。.

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線型結合

線型結合(せんけいけつごう、)は、線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えば、ベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。 いくつかのベクトルを組み合わせると他のベクトルを作ることができる。例えば、2次元数ベクトルを例にとれば、ベクトル v.

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線型性

線型性(せんけいせい、英語: linearity)あるいは線型、線形、線状、リニア(せんけい、英語: linear、ラテン語: linearis)とは、直線そのもの、または直線のようにまっすぐな図形やそれに似た性質をもつ対象および、そのような性質を保つ変換などを指して用いられている術語である。対義語は非線型性(英語:Non-Linearity)である。 英語の数学用語のlinear にあてる日本語訳としては、線型が本来の表記であると指摘されることもあるが、他にも線形、線状などといった表記もしばしば用いられている。また一次という表記・表現もしばしば用いられている。というのはlinearは、(多変数の)斉一次函数を指していると考えて間違っていない場合も多いためである。.

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特異値分解

特異値分解(とくいちぶんかい、singular value decomposition; SVD)とは、線形代数学における、複素数あるいは実数を成分とする行列に対する行列分解の一手法である。信号処理や統計学の分野で用いられる。特異値分解は、行列に対するスペクトル定理の一般化とも考えられ、正方行列に限らず任意の形の行列を分解できる。.

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独立 (確率論)

立(どくりつ、independent)とは、確率論において、2つのが成立する確率がそれぞれの確率の積で表されることを言う。2つの確率変数が独立であるというのは、「ある確率変数の値が一定範囲に入る事象」と「別の確率変数の値が別の一定範囲に入る事象」が、考えられるどのような「一定範囲」(「考えられる」とは通常ボレル集合族を指す)を定めても事象として独立であることを言う。 確率論における独立は、他の分野における独立性の概念と区別する意味で、確率論的独立(かくりつろんてきどくりつ、stochastic independence)あるいは統計的独立(とうけいてきどくりつ、statistical independence)などとも呼ばれる。 2つの事象が独立といった場合は、片方の事象が起きたことが分かっても、もう片方の事象の起きる確率が変化しないことを意味する。2つの確率変数が独立といった場合は、片方の変数の値が分かっても、もう片方の変数の分布が変化しないことを意味する。.

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誤差

誤差(ごさ、error)は、測定や計算などで得られた値 M と、指定値あるいは理論的に正しい値あるいは真値 T の差 ε であり、 で表される。.

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転置行列

転置行列(てんちぎょうれつ、transpose, transposed matrix)とは 行 列の行列 に対して の 要素と 要素を入れ替えた 行 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列のことである。転置行列は などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置(てんち、transpose)といい、「 を転置する」などと表現する。.

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近似

近似(きんじ、approximation)とは、数学や物理学において、複雑な対象の解析を容易にするため、細部を無視して、対象を単純化する行為、またはその方法。近似された対象のより単純な像は、近似モデルと呼ばれる。 単純化は解析の有効性を失わない範囲内で行われなければならない。解析の内容にそぐわないほど、過度に単純化されたモデルにもとづいた解析は、近似モデルの適用限界を見誤った行為であり、誤った解析結果をもたらす。しかしながら、ある近似モデルが、どこまで有効性を持つのか、すなわち適用限界がどこにあるのかは、実際にそのモデルに基づいた解析を行ってみなければ分からないことが多い。.

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関数 (数学)

数学における関数(かんすう、、、、、函数とも)とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。.

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自由度

自由度(じゆうど、degree of freedom)とは、一般に、変数のうち独立に選べるものの数、すなわち、全変数の数から、それら相互間に成り立つ関係式(束縛条件、拘束条件)の数を引いたものである。数学的に言えば、多様体の次元である。「自由度1」、「1自由度」などと表現する。 自由度は、力学、機構学、統計学などで使用され、意味は上記の定義に準じるが、それぞれの具体的に示唆する処は異なる。.

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QR分解

QR分解(キューアールぶんかい、QR decomposition, QR factorization)とは、m × n 実行列 Aを、 m 次直交行列 Q と m × n 上三角行列 R との積への分解により表すことまたはそう表した表現をいう。このような分解は常に存在する。 QR分解は線型最小二乗問題を解くために使用される。また、固有値問題の解法の1つである、QR法の基礎となっている。 QR分解を計算する手法として、ギブンス回転、ハウスホルダー変換、グラム・シュミット分解などがある。.

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標準偏差

標準偏差(ひょうじゅんへんさ、)は、日本工業規格では、分散の正の平方根と定義している。データや確率変数の散らばり具合(ばらつき)を表す数値のひとつ。物理学、経済学、社会学などでも使う。例えば、ある試験でクラス全員が同じ点数、すなわち全員が平均値の場合、データにはばらつきがないので、標準偏差は 0 になる。 母集団や確率変数の標準偏差を σ で、標本の標準偏差を s で表すことがある。二乗平均平方根 (RMS) と混同されることもある。両者の差異については、二乗平均平方根を参照。.

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正則行列

正則行列(せいそくぎょうれつ、regular matrix)、非特異行列(ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix)あるいは可逆行列(かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix)とは行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のこと、言い換えると逆行列が存在する行列のことである。 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群はあるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。.

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正規分布

率論や統計学で用いられる正規分布(せいきぶんぷ、normal distribution)またはガウス分布(Gaussian distribution)は、平均値の付近に集積するようなデータの分布を表した連続的な変数に関する確率分布である。中心極限定理により、独立な多数の因子の和として表される確率変数は正規分布に従う。このことにより正規分布は統計学や自然科学、社会科学の様々な場面で複雑な現象を簡単に表すモデルとして用いられている。たとえば実験における測定の誤差は正規分布に従って分布すると仮定され、不確かさの評価が計算されている。 また、正規分布の確率密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている。 確率変数 が1次元正規分布に従う場合、X \sim N(\mu, \sigma^) 、確率変数 が 次元正規分布に従う場合、X \sim N_n(\mu, \mathit) などと表記される。.

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残差平方和

統計学において、残差平方和(ざんさへいほうわ、residual sum of squares, RSS)は、残差の平方(二乗)の和である。残差二乗和、SSR(sum of squared residuals)やSSE(sum of squared errors of prediction)とも呼ばれる。残差平方和はデータと推定モデルとの間の不一致を評価する尺度である。小さいRSSの値はデータに対してモデルがぴったりとフィットしていること示している。 一般的に、総平方和.

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最尤推定

最尤推定(さいゆうすいてい、maximum likelihood estimation、略してMLEともいう)や最尤法(さいゆうほう、method of maximum likelihood)とは、統計学において、与えられたデータからそれが従う確率分布の母数を点推定する方法である。この方法はロナルド・フィッシャーが1912年から1922年にかけて開発した。 生物学に於いて、塩基やアミノ酸配列のような分子データの置換に関する確率モデルに基づいて系統樹を作成する際に、一番尤もらしくデータを説明する樹形を選択するための有力な方法としても利用される。.

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擬似逆行列

ムーア-ペンローズの擬似逆行列(ぎじぎゃくぎょうれつ、pseudo-inverse matrix)は線型代数学における逆行列の概念の一般化である。擬逆行列、一般化逆行列、一般逆行列(generalized inverse)ともいう。また擬は疑とも書かれる。 連立一次方程式の解を簡潔に表現するものとして逆行列の概念は重要であり、逆行列を持つ行列は、可逆あるいは正則であると言われる。正則でない行列の場合にも逆行列のような都合のよい行列として擬逆の概念を導入する。ロボット工学に関していうならば、動特性の同定や冗長ロボットの制御などで良く用いられている。.

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数値的安定性

数値的安定性(すうちてきあんていせい、numerical stability)は、数値解析におけるアルゴリズムの望ましい属性の1つ。「安定性」の正確な定義は文脈に依存するが、基本的にはアルゴリズムの正確性に関連する。 ある計算を実施する方法がいくつか存在することがあり、それらは理想的な実数や複素数では代数学的に等価だが、デジタルコンピュータで実行すると結果に差異が生じる。ある計算方法は途中で生じる誤差を弱めるし、別の計算方法は誤差を拡大させる。誤差を拡大させない計算方法は「数値的に安定」であるという。数値解析では、堅牢なアルゴリズム、すなわち数値的安定性のよいアルゴリズムを選択することが重要である。.

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曲線あてはめ

曲線あてはめ(きょくせんあてはめ)またはカーブフィッティング(curve fitting)本間 仁,春日屋 伸昌「次元解析・最小二乗法と実験式」コロナ社(1989)加川 幸雄,霜山 竜一「入門数値解析」朝倉書店(2000)John R. Taylor、林 茂雄、 馬場 凉「計測における誤差解析入門 」東京化学同人(2000)吉沢 康和「新しい誤差論―実験データ解析法 」共立出版 (1989/10) は、実験的に得られたデータまたは制約条件に最もよく当てはまるような曲線を求めること。最良あてはめ、曲線回帰とも。一般に内挿や回帰分析を用いる。場合によっては外挿も用いる。回帰分析で曲線を求める場合、その曲線はデータ点を必ず通るわけではなく、曲線とデータ点群の距離が最小になるようにする。曲線あてはめによって得られた曲線を、近似曲線という。特に回帰分析を用いた場合には回帰曲線という。現実の実験データは直線的ではないことが多いため散布図、近似曲線を求める必要性は高い。.

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1795年

記載なし。

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1805年

記載なし。

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1809年

記載なし。

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