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218 関係: 基底 (線型代数学)、原始再帰関数、ねじれの位置、あみだくじ、単位円、単位元、反射関係、可算集合、可換体、同値関係、定理、定性、完全性、対称式、対称律、対称群、対角行列、対数、巡回群、差分法、不等式、中国語、三角関数、三次方程式、一階述語論理、乱択アルゴリズム、乱数表、平均、平方根、交代群、交換法則、人民郵電出版社、二分探索、二項定理、二項分布、二項演算、二次方程式、互いに素、代数学の基本定理、位数、形式体系、体の拡大、微分法、保型形式、ペアノの公理、バーゼル問題、バブルソート、メディアファクトリー、モンティ・ホール問題、モジュラー形式、...、ランダムウォーク、ランダウの記号、ラッセルのパラドックス、ラグランジュの定理 (群論)、ラジアン、リーマンゼータ関数、パー、パスカルの三角形、ヒルベルト・プログラム、ピタゴラスの定理、テイラー展開、フィボナッチ数、フェルマーの最終定理、ド・モルガンの法則、ド・モアブルの定理、ベクトル、ベクトル空間、判別式、分配法則、分数、命題、アルゴリズム、アルゴリズム解析、アーベル–ルフィニの定理、アーベル群、イプシロン-デルタ論法、オイラーの公式、オイラーの等式、カントールの対角線論法、カタラン数、ガロア理論、ガロア理論の基本定理、ガロア群、ガウス整数、クーポンコレクター問題、クイックソート、ゲーデルの不完全性定理、ゲーデル数、コミックフラッパー、スターリングの近似、ソート、冪乗、冪級数、円分多項式、円周率、写像、商群、公理、充足可能性問題、剰余環、剰余類、因数分解、固有値、矛盾、確率変数、確率分布、確率論、空集合、等比数列、算術の基本定理、簡体字、級数、素因数、素因数分解、素数、約数、線型写像、線型結合、線型独立、線型性、繁体字、群 (数学)、結城浩、結合法則、絶対値、組合せ (数学)、環 (数学)、生成 (数学)、無矛盾、無限、無限降下法、畳み込み、階差数列、階乗、階乗冪、青文出版社、順序集合、順列、項、行列、行列式、複素平面、複素数、角の三等分問題、証明、調和級数、調和数 (発散列)、論理式、谷山–志村予想、鳩の巣原理、超数学、茉崎ミユキ、部分群、背理法、開平法、自己言及のパラドックス、自然数の分割、英語、集合、集合論、連続 (数学)、逆元、虚数、虚数単位、除法、NP完全問題、P≠NP予想、SBクリエイティブ、推移関係、推論規則、恒等式、東亜日報、根と係数の関係、極限、楕円曲線、標本空間、次元、正の数と負の数、正多角形、正則行列、正規部分群、正規拡大、母関数、漸化式、期待値、朝鮮語、木 (数学)、月刊コミックアライブ、有理点、有理数、有限体、最大公約数、最小多項式 (線型代数学)、最小公倍数、春日旬、方程式、日坂水柯、日本数学会、擬似コード、数学、数学的帰納法、数列、数論、整数の合同、0.999...、10月27日、1の冪根、2007年、2008年、2009年、2010年、2011年、2012年、2013年、2018年、4月5日、9月27日、9月4日。 インデックスを展開 (168 もっと) »
基底 (線型代数学)
線型代数学における基底（きてい、basis）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。 ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。.
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原始再帰関数
原始再帰関数（げんしさいきかんすう、）とは、原始再帰と合成で定義される関数であり、再帰関数（計算可能関数）の部分集合である。原始帰納的関数とも。 再帰理論において原始再帰関数は、計算可能性の完全形式化のための重要な要素となる関数のクラスの1つである。このような関数は証明論においても重要である。 数論が扱う関数の多くや、実数を値とする関数の近似は原始再帰的であり、加法、除法、階乗、指数、n 番目の素数を求める関数などがある (Brainerd and Landweber, 1974年)。実際、原始再帰的でない関数を考案するのは難しいが、いくつかの例が知られている（限界の節を参照）。 計算複雑性理論では、原始再帰関数の集合をPRと呼ぶ。 原始再帰関数のクラスはwhileプログラムでwhileループを使用せずに計算できる（すなわちloopプログラムで計算可能な）関数のクラスと一致する。原始再帰関数のクラスはグジェゴルチク階層と呼ばれる階層に分類される。.
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ねじれの位置
道路同士の立体交差。この2本の道路はねじれの位置にある 空間幾何学においてねじれの位置（ねじれのいち）とは、空間内の2本の直線が平行でなく、かつ、交差していない時の、位置関係のことである。 2直線が平行であるか、交差するならば、その2直線は同一平面上に存在し、逆に同一平面上にある2直線は、交差するか、平行であるかのいずれかである。 一方、任意の2直線が同一平面上に存在しない時、またその時に限り、ねじれの位置関係である、と言う。 そのため、ねじれの位置にある2直線は3次元以上の空間でのみ存在する。 言い換えると、空間内での2つの直線の位置関係は以下の3つのどれかである。.
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あみだくじ
あみだくじ（阿弥陀籤）とは、線のはしに当たりはずれなどを書いて隠し、各自が引き当てるくじのこと。現在は、平行線の間に横線を入れ、はしご状にすることが多い。 もともとは、人数分の線を引き、一端にそれぞれ異なる金額を書いて隠し、各自が引き当てた金額を出させ、集めた金で茶菓子などを買い、平等に分配する仕組みだった。現在では、用途は広がっており、何かの順番を決めたり、何かで言い争った場合に○を引き当てた方が勝ちとしたりして、幅広く利用されている。.
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単位円
数学において単位円（たんいえん、unit circle）とは、半径が 1 の円のことである。解析幾何学（いわゆる“座標幾何”）では特に原点（すなわち x 軸と y 軸の交点） O(0, 0) を中心とするものをいう。これは、原点からの距離が 1 であるような点の全体が描く軌跡のことと言っても同じことである。 単位円はしばしば S1 で表される（これは n 次元の球面 (sphere) という概念の n.
単位元
数学、とくに抽象代数学において、単位元（たんいげん, ）あるいは中立元（ちゅうりつげん, ）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。.
反射関係
反射関係（はんしゃかんけい、reflexive relation）は、数学における二項関係の一種。二項関係には反射性 (reflexivity) のものと非反射性 (irreflexivity) のものがある。なお、ここでの（二項）関係は X × X という形式であり、集合 X からそれ自身への関係である。.
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可算集合
可算集合（かさんしゅうごう、countable set 又は denumerable set）もしくは可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。 有限集合も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を可算無限集合と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて高々可算の集合と呼ぶ。可算でない無限集合を非可算集合という。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、カントールによって初めて示された。.
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可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロワ理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は（ゼロ除算を除いて）除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.
同値関係
数学において、同値関係（どうちかんけい、equivalence relation）は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）する。 同値関係にあることを表す記法は文献によって様々に用いられるけれども、与えられた集合上の同値関係 に関して二元 が同値であることを "" や "" で表すのがもっともよく用いられる記法である。 に関して同値であることを明示する場合には、"" や "" あるいは "" などと書かれる。.
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定理
定理（ていり、theorem）とは、数理論理学および数学において、証明された真なる命題をいう。 文脈によっては公理も定理に含む。また、数学においては論説における役割等から、補題（ほだい、lemma）あるいは補助定理（ほじょていり、helping theorem）、系（けい、corollary）、命題（めいだい、proposition）などとも呼ばれることがある。ここでの「命題」と冒頭文に言う命題とは意味が異なることに注意。 一般的に定理は、まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている。例えば、次は代数学の基本定理の述べ方の1つである。 ある一定の条件（公理系）下で定理を述べそれを証明すること、というのが数学という分野の中心的な研究の形態である。 数学の多くの分野には、各々「基本定理」という名で呼ばれる中心的な定理が存在している。なお定理という名称と証明という手続きは、数学のみならず、物理や工学においても使用される。.
定性
定性（ていせい、英語:finite）とは意味・機能的概念で、対象が限定されるかどうかを表す要素である。対象が限定されるものを定（definite）、されないものを不定（indefinite）という。 なお、定性は「特定性」（specificity）と区別される。例えば、ドアの向こうに人がいるのが分かるが、誰だか限定できない場合、不定特定（indefinite specific）である。 冠詞というカテゴリーに属する形態素をもつ言語がある。例えば英語では定である対象には定冠詞 the を、またフランス語では男性名詞には le 、女性名詞には la 、名詞複数形には les を前接させる。また英語では不定である対象には単数の場合、不定冠詞 a または an を前接させ、複数名詞はそのままで用いる。フランス語では男性名詞には un 、女性名詞には une を前接させ、複数名詞には des を前接させる。それぞれ、詳細は英語の冠詞およびフランス語の限定詞を参照。 日本語では主題を助詞「は」という文法的な方法で表示するが、主題は意味・機能上、定的か不定特定であることが要請されるため、不定不特定のものは「は」をつけて主題にすることができない。 クラス概念（...というもの」）はその成員が限定されていないため不定である。しかしどの成員に対しても成立つことから特定的といえる。このような場合、日本語では「は」で表示されるが、英語では無冠詞複数形で表現され、フランス語では定冠詞で表される。.
完全性
数理論理学における完全性（かんぜんせい、completeness）には二つの意味がある。.
対称式
対称式（たいしょうしき、symmetric polynomial）あるいは対称多項式（たいしょうたこうしき）とは、変数を入れ替えても変わらない多項式のことである。.
対称律
* 対称関係.
対称群
対称群（たいしょうぐん、）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、）という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、）と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。.
対角行列
数学、特に線型代数学において、対角行列（たいかくぎょうれつ、diagonal matrix）とは、正方行列であって、その対角成分（-要素）以外が零であるような行列のことである。 \end この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば のようにも書かれる。 単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。.
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対数
対数（たいすう、logarithm）とは、ある数 を数 の冪乗 として表した場合の冪指数 である。この は「底を とする の対数（x to base; base logarithm of ）」と呼ばれ、通常は と書き表される。また、対数 に対する は（しんすう、antilogarithm）と呼ばれる。数 に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 と表される。 通常の対数 は真数, 底 を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。 実数の対数 は、底 が でない正数であり、真数 が正数である場合この条件は真数条件と呼ばれる。 について定義される。 これらの条件を満たす対数は、ある と の組に対してただ一つに定まる。 実数の対数関数 はb に対する指数関数 の逆関数である。この性質はしばしば対数関数の定義として用いられるが、歴史的には対数の出現の方が指数関数よりも先であるネイピア数 のヤコブ・ベルヌーイによる発見が1683年であり、指数関数の発見もその頃である。詳細は指数関数#歴史と概観や を参照。。 y 軸を漸近線に持つ。.
巡回群
群論における巡回群（じゅんかいぐん、cyclic group、monogenous group）とは、ただ一つの元で生成される群（単項生成群）のことである。ここで群が「ただ一つの元で生成される」というのは、その群の適当な元 g をとれば、その群のどの元も（群が乗法的に書かれている場合は）g の整数冪として（群が加法的に書かれている場合は g の整数倍として）表されるということであり、このような元 g はこの群の生成元 (generator) あるいは原始元 (primitive) と呼ばれる。.
差分法
数値解析における有限差分法（ゆうげんさぶんほう、finite-difference methods; FDM）あるいは単に差分法は、微分方程式を解くために微分を有限差分近似（差分商）で置き換えて得られる差分方程式<!-- ループリンク -->で近似するという離散化手法を用いる数値解法である。18世紀にオイラーが考案したと言われる。 今日ではFDMは偏微分方程式の数値解法として支配的な手法である.
不等式
不等式（ふとうしき、inequality）とは不等号（ふとうごう）を用いて、数量の大小関係を表した式を言う。 値や量を評価するという意味では等式を不等式の一種であると見なすこともできる。.
中国語
記載なし。
三角関数
三角関数（さんかくかんすう、trigonometric function）とは、平面三角法における、角の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。三角関数という呼び名は三角法に由来するもので、後述する単位円を用いた定義に由来する呼び名として、円関数（えんかんすう、circular function）と呼ばれることがある。 三角関数には以下の6つがある。.
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三次方程式
三次方程式（さんじほうていしき、cubic equation）とは、次数が 3 であるような代数方程式の事である。この項目では主に、実数を係数とする一変数の三次方程式を扱う。.
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一階述語論理
一階述語論理（いっかいじゅつごろんり、first-order predicate logic）とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理（にかいじゅつごろんり、second-order predicate logic）と呼ぶ。それにさらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理（こうかいじゅつごろんり、higher-order predicate logic）という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細は「二階述語論理」「高階述語論理」を参照。.
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乱択アルゴリズム
乱択アルゴリズム（らんたくアルゴリズム、Randomized algorithm、ランダム・アルゴリズム）または確率的アルゴリズム（かくりつてき-、Probabilistic algorithm）は、その論理の一部に無作為性を導入したアルゴリズムである。通常のアルゴリズムでは自然数を順番にあてはめるような決定的な部分で、乱数による非決定的な選択を入れることで、「平均的に」よい性能を実現することを目的としている。形式的には、乱択アルゴリズムの性能はランダムビット列で決定される確率変数となる。その期待値を「期待実行時間; expected runtime」と呼ぶ。最悪の場合に関して「無視できる」ほどに低い確率であることが、一般に、この類のアルゴリズムが効果的である要件となる。.
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乱数表
乱数表（らんすうひょう、random number table）とは、乱数列の数表のことだが、この記事ではもっぱら暗号に関係するものについて主に暗号理論の観点から述べる。なお、日本において広く知られているものに野球における乱数表があり、暗号の一種ではあるが限定された話となるので、独立記事の「野球における乱数表」の方を参照のこと。また英語版記事としては、対応している random number table の他、:en:Random number book も参照。.
平均
平均（へいきん、mean, Mittelwert, moyenne）または平均値（へいきんち、mean value）は、観測値の総和を観測値の個数で割ったものである。 例えば A、B、C という3人の体重がそれぞれ 55 kg、60 kg、80 kg であったとすると、3人の体重の平均値は (55 kg + 60 kg + 80 kg)/3.
平方根
平方根（へいほうこん、square root）とは、数に対して、平方すると元の値に等しくなる数のことである。与えられた数を面積とする正方形を考えるとき、その数の平方根の絶対値がその一辺の長さであり、一つの幾何学的意味付けができる。また、単位長さと任意の長さ x が与えられたとき、長さ x の平方根を定規とコンパスを用いて作図することができる。二乗根（にじょうこん）、自乗根（じじょうこん）とも言う。.
交代群
交代群（こうたいぐん、alternating group, Alternierende Gruppe）とは、有限集合の偶置換全体がなす群である。集合 上の交代群は n 次の交代群、もしくは n 文字の交代群 (the alternating group on n letters) と呼ばれ、An もしくは Alt(n), \mathfrak_n という記号で表す。これは n 変数の交代式を不変とするような変数の置換がなす群と思ってもよい。 例として、4つの元からなる集合 の交代群 A4 は以下のようになる。A4.
交換法則
交換法則（こうかんほうそく、Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則（かかんそく）や交換律（こうかんりつ）ともいう。.
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人民郵電出版社
人民郵電出版社（じんみんゆうでんしゅっぱんしゃ、略称：PTPress）は中華人民共和国工業情報化部が主管している比較的大きな出版社である。1953年10月1日に設立され、主に通信、電子、経済、管理、交通、計算機、児童向け図書及び雑誌を出版している。その中、計算機図書の小売市場のシェアで1位を記録した。子会社の中華人民共和国第一家合資出版公司童趣出版有限公司（デンマークのEgmont社との合資）は著名な児童向け図書の別称であり、「ミッキーマウス」の雑誌、「喜羊羊与灰太郎」系列の図書の出版量は比較的多い。 人民郵電出版社の子会社には"計算機図書出版分社"、"教育出版分社"及び"通信電子図書出版分社"がある。ほかに北京普華文化発展有限公司、北京図霊文化発展有限公司、北京新曲線出版諮詢有限公司等の合資会社を持つ。.
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二分探索
二分探索（にぶんたんさく、binary search、BS）や二分検索やバイナリサーチとは、ソート済み配列に対する探索アルゴリズムの一つ。.
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二項定理
初等代数学における二項定理（にこうていり、binomial theorem）または二項展開 (binomial expansion) は二項式の冪の代数的な展開を記述するものである。定理によれば、冪 は の形の項の和に展開できる。ただし、冪指数 は を満たす非負整数で、各項の係数 は と に依存して決まる特定の正整数である。例えば の項の係数 は二項係数 \tbinom (.
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二項分布
数学において、二項分布（にこうぶんぷ、binomial distribution）は、結果が成功か失敗のいずれかである 回の独立な試行を行ったときの成功数で表される離散確率分布である。各試行における成功確率 は一定であり、このような試行をベルヌーイ試行と呼ぶ。二項分布に基づく統計的有意性の検定は、二項検定と呼ばれている。.
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二項演算
数学において、二項演算（にこうえんざん、binary operation）は、数の四則演算（加減乗除）などの 「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念である。二項算法（にこうさんぽう）、結合などともいう。.
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二次方程式
数学の特に代数学において二次方程式（にじほうていしき、quadratic equation）は、二次の多項式函数のを記述する。多変数の二次方程式については（特に実数係数のものについて）その零点集合に対する幾何学的考察が歴史的に行われ、よく知られている（二元二次方程式については円錐曲線を、一般の多変数二次方程式については二次曲面を参照するとよい）。 初等代数学における二次方程式は未知数 および既知数 を用いて ax^2+bx+c.
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互いに素
二つの整数 が互いに素（たがいにそ、coprime, co-prime, relatively prime, mutually prime）であるとは、 を共に割り切る正の整数が のみであることをいう。このことは の最大公約数 が であることと同値である。 が互いに素であることを、記号で と表すこともある。 例えば と を共に割り切る正の整数は に限られるから、これらは互いに素である。一方で と は共に で割り切れるから、これらは互いに素でない。 互いに素であることの判定は素因数分解を用いて行うこともできるが、二つの整数のうち少なくとも一方が巨大である場合など一般には困難である。素因数分解によって公約数を調べる方法よりも、ユークリッドの互除法によって最大公約数を調べる方法のほうが遥かに高速である。 正の整数 と互いに素となる（ から の間の）整数の個数は、オイラー関数 によって与えられる。 三つの整数 が互いに素であるとは、 が成り立つことをいう。また、、、 がすべて に等しいとき、 は対ごとに素（pairwise coprime）またはどの二つも互いに素であるという。一般に、互いに素であるからといって対ごとに素であるとは限らない（例：）。一般の 個の整数についても同様に定義される。.
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代数学の基本定理
代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、fundamental theorem of algebra）は「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」 という定理である。.
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位数
数学において位数 (いすう、 order)とは，階数・次数などと同じくある種の指標 (index) として働く数に用いられる。.
形式体系
形式体系（けいしきたいけい、Formal System）は、数学のモデルに基づいた任意の well-defined な抽象思考体系と定義される。エウクレイデスの『原論』は史上初の形式体系とされることが多く、形式体系の特徴をよく表している。その論理的基盤による体系の命題と帰結の関係（論理包含）は、他の抽象モデルを何らかの基盤とする体系から形式体系を区別するものである。形式体系は大きな理論や分野（例えばユークリッド幾何学）の基盤またはそのものとなることが多く、現代数学では証明論やモデル理論などと同義に扱われる。ただし形式体系は必ずしも数学的である必然性はなく、例えばスピノザの『エチカ』はエウクレイデスの『原論』の形式を模倣した哲学（倫理学）書である。 形式体系には形式言語があり、その形式言語は基本的な記号（シンボル）で構成される。形式言語の文（式）は公理群を出発点として、所定の構成規則（推論規則）に従って発展する。従って形式体系は基本的な記号群の有限の組み合わせを通して構築された任意個の数式で構成され、その組み合わせは公理群と構成規則群から作り出される。 数学における形式体系は以下の要素から構成される.
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体の拡大
抽象代数学のとくに体論において体の拡大（たいのかくだい、field extension）は、体の構造や性質を記述する基本的な道具立ての一つである。 体の拡大の理論において、通常は非可換な体を含む場合を扱わない（そのようなものは代数的数論に近い非可換環論あるいは多元環論の範疇に属す）。ただし、非可換体（あるいはもっと一般の環）の部分集合が、非可換体の演算をその部分集合へ制限して得られる演算により、その非可換体を上にある体として（可換な）体構造をもつとき、元の非可換体の（可換）部分体と呼び、元の非可換体を（非可換）拡大体と呼ぶことがある。 以下本項では特に断りの無い限り、体として可換体のみを扱い、単に体と呼称する。.
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微分法
数学における微分法（びぶんほう、differential calculus; 微分学）は微分積分学の分科で、量の変化に注目して研究を行う。微分法は積分法と並び、微分積分学を二分する歴史的な分野である。 微分法における第一の研究対象は函数の微分（微分商、微分係数）、および無限小などの関連概念やその応用である。函数の選択された入力における微分商は入力値の近傍での函数の変化率を記述するものである。微分商を求める過程もまた、微分 (differentiation) と呼ばれる。幾何学的にはグラフ上の一点における微分係数は、それが存在してその点において定義されるならば、その点における函数のグラフの接線の傾きである。一変数の実数値函数に対しては、一点における函数の微分は一般にその点における函数の最適線型近似を定める。 微分法と積分法を繋ぐのが微分積分学の基本定理であり、これは積分が微分の逆を行う過程であることを述べるものである。 微分は量を扱うほとんど全ての分野に応用を持つ。たとえば物理学において、動く物体の変位の時間に関する導函数はその物体の速度であり、速度の時間に関する導函数は加速度である。物体の運動量の導函数はその物体に及ぼされた力に等しい（この微分に関する言及を整理すればニュートンの第二法則に結び付けられる有名な方程式 が導かれる）。化学反応の反応速度も導函数である。オペレーションズ・リサーチにおいて導函数は物資転送や工場設計の最適な応報の決定に用いられる。 導函数は函数の最大値・最小値を求めるのに頻繁に用いられる。導函数を含む方程式は微分方程式と呼ばれ、自然現象の記述において基本的である。微分およびその一般化は数学の多くの分野に現れ、例えば複素解析、函数解析学、微分幾何学、測度論および抽象代数学などを挙げることができる。.
保型形式
調和解析や数論において、保型形式（ほけいけいしき、automorphic form）は、位相群 上で定義された複素数（あるいは複素ベクトル空間）値の函数で、離散部分群 の作用の下に不変なものである。保型形式は、ユークリッド空間における周期函数（これは離散位相群としての 1 次元トーラス上の函数と見なされる）を、一般の位相群に対して一般化したものである。 モジュラー形式は、モジュラー群あるいはのひとつを離散部分群として持つ SL2('''R''')（特殊線型群）や PSL2('''R''')（射影特殊線型群）の上に定義された保型形式である。この意味では、保型形式の理論はモジュラー形式の理論の拡張である。 アンリ・ポアンカレ (Henri_Poincaré) は、三角函数や楕円函数の一般化として、最初に保型形式を発見した。ラングランズ予想を通して、保型形式は現代の数論で重要な役割を果たす。.
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ペアノの公理
ペアノの公理（ペアノのこうり、Peano axioms） とは、自然数全体を公理化したものである。1891年に、ジュゼッペ・ペアノによって定義された。.
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バーゼル問題
バーゼル問題（バーゼルもんだい、Basel problem）は、級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和はいくつかという問題である。1644年に によって提起され、1735年にレオンハルト・オイラーによって解かれた。バーゼルはオイラーの故郷であり、この問題を解くのに失敗したベルヌーイ一家の故郷でもある。.
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バブルソート
バブルソート (bubble sort) は、ソートのアルゴリズムの一つ。隣り合う要素の大小を比較しながら整列させること。最悪計算時間がO(n2)と遅いが、アルゴリズムが単純で実装が容易なため、また並列処理との親和性が高いことから、しばしば用いられる。安定な内部ソート。基本交換法、隣接交換法ともいう。（単に交換法と言う場合もある）.
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メディアファクトリー
メディアファクトリー（MEDIA FACTORY）は、日本の出版社・株式会社KADOKAWAのブランドの1つ。雑誌や書籍の出版のほか、トレーディングカードゲームやゲームソフトなどの製作も行っている。また映像ソフトのうち、アニメを製作委員会に参加する形で多数製作しているほか、近年は往年のアニメ・子供向け教育番組をパッケージソフト化することに力を注いでいる。 本項では、当ブランドの前身となる株式会社メディアファクトリー及び同社が吸収合併されて発足したKADOKAWA・メディアファクトリーブランドカンパニーについても解説する。.
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モンティ・ホール問題
'''モンティ・ホール問題'''閉まった3つのドアのうち、当たりは1つ。例示のように1つのドアが外れとわかった場合、直感的には残り2枚の当たりの確率はそれぞれ1/2になるように思える。 モンティ・ホール問題（モンティ・ホールもんだい、Monty Hall problem）とは、確率論の問題で、ベイズの定理における事後確率、あるいは主観確率の例題のひとつとなっている。 (Monty Hall, 本名 Monte Halperin) が司会者を務めるアメリカのゲームショー番組、「」の中で行われたゲームに関する論争に由来する。一種の心理トリックになっており、確率論から導かれる結果を説明されても、なお納得しない者が少なくないことから、ジレンマあるいはパラドックスとも称される。「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」の適例とされる。 なお、モンティ・ホール問題と実質的に同型である「3囚人問題」については、かつて日本で精力的に研究された。.
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モジュラー形式
モジュラー形式は、モジュラー群という大きな群についての対称性をもつ上半平面上の複素解析的函数である。歴史的には数論で興味をもたれる対象であり、現代においても主要な研究対象である一方で、代数トポロジーや弦理論などの他分野にも現れる。 モジュラー函数（modular function）: ここでいうモジュラー函数以外にも、「モジュラー函数」という術語はいくつか別の意味で用いられることがあるので注意が必要である。例えば、ハール測度の理論に現れる群の共軛作用から定まる函数 Δ(g) もモジュラー函数と呼ばれることがあるが、別な概念である。は重さ 0 、つまりモジュラー群の作用に関して不変であるモジュラー形式のことを言う。そしてそれゆえに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の函数として理解することができる。また、「モジュラー函数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点で f(z) が正則性を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー函数は無限遠点では有理型である。 モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、従って現在では、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。.
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ランダムウォーク
ランダムウォーク（random walk）は、次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動である。日本語の別名は乱歩（らんぽ）、酔歩（すいほ）である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。 ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス等の具体的モデル化に盛んに応用される。.
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ランダウの記号
ランダウの記号（ランダウのきごう、Landau symbol）は、関数の極限における値の変化度合いに、おおよその評価を与えるための記法である。 ランダウの漸近記法 (asymptotic notation)、ランダウ記法 (Landau notation) あるいは主要な記号として O （オーもしくはオミクロン Ο。数字の0ではない）を用いることから（ランダウの）O-記法、ランダウのオミクロンなどともいう。 記号 O は「程度」の意味のオーダー（Order）から。 なおここでいうランダウはエドムント・ランダウの事であり、『理論物理学教程』の著者であるレフ・ランダウとは別人である。 ランダウの記号は数学や計算機科学をはじめとした様々な分野で用いられる。.
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ラッセルのパラドックス
ラッセルのパラドックス（Russell's paradox）とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に表れる。これは1903年に出版されたフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（Grundgesetze der Arithmetik II）の後書きに収録されている。同じパラドックスはツェルメロが1年先に発見していたが、彼はその発見を公開せず、ヒルベルトやフッサールなどのゲッティンゲン大学の同僚たちだけに知られているだけだった。 ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた。.
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ラグランジュの定理 (群論)
群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。 実は、任意の群に対し、（選択公理を認めれば）指数を用いて次のような式が成り立つ。.
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ラジアン
ラジアン（radian、記号: rad）は、国際単位系 (SI) における角度（平面角）の単位である。円周上でその円の半径と同じ長さの弧を切り取る2本の半径が成す角の値と定義される。.
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リーマンゼータ関数
1.
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パー
パー.
パスカルの三角形
パスカルの三角形（パスカルのさんかくけい、英語：Pascal's triangle）は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル（1623年 - 1662年）の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。 この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に1を配置する。それより下の行はその位置の右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の1と右上の3の合計である4が入る。このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、二項係数 に等しい（n-1Ck-1 と表すこともある）。これは、パスカルによって示された以下の式に基づいている。 負でない整数 n ≥ k に対して が成り立つ。 パスカルの三角形は三次元以上に拡張が可能である。3次の物は「パスカルのピラミッド」「パスカルの四面体」と呼ばれる。4次以上のものは一般に「パスカルの単体」と呼ばれる。.
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ヒルベルト・プログラム
ヒルベルト・プログラムとは、ダフィット・ヒルベルトによって提唱された、数学を形式化しようとする試みのことをいう。ヒルベルト計画とも呼ばれる。.
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ピタゴラスの定理
90 度回転し、緑色の部分は裏返して橙色に重ねる。 視覚的証明 初等幾何学におけるピタゴラスの定理（ピタゴラスのていり、Pythagorean theorem）は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す。斜辺の長さを, 他の2辺の長さを とすると、定理は が成り立つという等式の形で述べられる。三平方の定理（さんへいほうのていり）、勾股弦の定理（こうこげんのていり）とも呼ばれる。 ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。例えば、直交座標系において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる2次元の座標系を例に取ると、ある点 の 軸成分を, 軸成分を とすると、原点から までの距離は と表すことができる。ここで は平方根を表す。。このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間の距離を測ることができる。このようにして導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。 「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスが発見したかどうかは分からない。バビロニア数学のプリンプトン322や古代エジプトなどでもピタゴラス数については知られていたが、彼らが定理を発見していたかどうかは定かではない。 中国古代の数学書『九章算術』や『周髀算経』でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼び、日本の和算でも中国での名称を用いて鉤股弦の法（こうこげんのほう）等と呼んだ。三平方の定理という名称は、敵性語が禁じられていた第二次世界大戦中に文部省の図書監修官であった塩野直道の依頼を受けて、数学者末綱恕一が命名したものである。.
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テイラー展開
数学において、テイラー級数 (Taylor series) は関数のある一点での導関数たちの値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開という。 テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。 関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はと呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間（あるいは複素平面の開円板）でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。.
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フィボナッチ数
フィボナッチ数列の各項を一辺とする正方形 メインページ（2007年〜2012年）で使われていたイメージ画像もフィボナッチ数列を利用している フィボナッチ数（フィボナッチすう、Fibonacci number）は、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ（ピサのレオナルド）にちなんで名付けられた数である。.
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フェルマーの最終定理
算術』。 フェルマーの最終定理（フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem）とは、 以上の自然数 について、 となる自然数の組 は存在しない、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、360年後にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。.
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ド・モルガンの法則
ド・モルガンの法則（ド・モルガンのほうそく、De Morgan の法則）は、ブール論理や集合の代数学において、論理和と論理積と否定（集合のことばでは、共通部分と合併と補集合）の間に成り立つ規則性である。名前は数学者オーガスタス・ド・モルガン（1806–1871）にちなむ。 この関係性は（論理のことばで言うと）「真と偽を入替え、論理和を論理積を入替えた論理体系」は、元の論理体系と同一視できる、ということであるので、ド・モルガンの双対性（英: De Morgan's duality）と呼ばれることもある。.
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ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理（ド・モアブルのていり、de Moivre's theorem; ド・モアブルの公式（ド・モアブルのこうしき）とも）とは、複素数（特に実数） および整数 に対して が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない。帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。 実数 と正の整数 に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、 倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の 倍角の公式を内在的に含んでいる。 オイラーの公式: e^.
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ベクトル
ベクトル（）またはベクター（） ベクトルは Vektor に由来し、ベクターは vector に由来する。物理学などの自然科学の領域ではベクトル、プログラミングなどコンピュータ関係ではベクターと表記される、という傾向が見られることもある。また、技術文書などではしばしばJIS規格に準拠する形で、長音を除いたベクタという表記が用いられる。 は「運ぶ」を意味するvehere に由来し、18世紀の天文学者によってはじめて使われた。 ベクトルは通常の数（スカラー）と区別するために矢印を上に付けたり（例： \vec,\ \vec）、太字で書いたりする（例： \boldsymbol, \boldsymbol）が、分野によっては矢印も太字もせずに普通に書くこともある（主に解析学）。 ベクトル、あるいはベクターに関する記事と用法を以下に挙げる。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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判別式
代数学において、多項式の判別式（はんべつしき、discriminant）はその係数たちの関数であり、一般には大文字の 'D' あるいは大文字のギリシャ文字デルタ (Δ) で表記される。それは根の性質についての情報を与えてくれる。例えば、二次多項式 の判別式は である。ここで、実数,, に対して、Δ > 0 であれば、多項式は 2 つの実根を持ち、Δ.
分配法則
集合 S に対して、積 × と和 + が定義されている時に、.
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分数
分数（ぶんすう、fraction）とは 2 つの数の比を用いた数の表現方法のひとつである。.
命題
命題（めいだい、proposition）とは、論理学において判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの。また数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題のこと。西周による訳語の一つ。 厳密な意味での命題の存在は、「意味」の存在と同様に、疑問を投げかける哲学者もいる。また、「意味」の概念が許容される場合にあっても、その本質は何であるかということにはなお議論のあるところである。古い文献では、語の集まりあるいはその語の集まりの表す「意味」という意味で命題という術語を用いているかどうかということが、つねに十分に明らかにされているわけではなかった。 現在では、論争や存在論的な含みを持つことを避けるため、ある解釈の下で（真か偽のいずれであるかという）真理の担い手となる記号列自体について述べる時は、「命題」という代わりに「文 (sentence)」という術語を用いる。ストローソンは「言明 ("statement")」 という術語を用いることを提唱した。.
アルゴリズム
フローチャートはアルゴリズムの視覚的表現としてよく使われる。これはランプがつかない時のフローチャート。 アルゴリズム（algorithm ）とは、数学、コンピューティング、言語学、あるいは関連する分野において、問題を解くための手順を定式化した形で表現したものを言う。算法と訳されることもある。 「問題」はその「解」を持っているが、アルゴリズムは正しくその解を得るための具体的手順および根拠を与える。さらに多くの場合において効率性が重要となる。 コンピュータにアルゴリズムをソフトウェア的に実装するものがコンピュータプログラムである。人間より速く大量に計算ができるのがコンピュータの強みであるが、その計算が正しく効率的であるためには、正しく効率的なアルゴリズムに基づいたものでなければならない。.
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アルゴリズム解析
アルゴリズム解析とは、アルゴリズムの実行に必要とされるリソース（時間や記憶領域）量を見積もることである。多くのアルゴリズムは任意長の入力を受け付けるよう設計されている。アルゴリズムの「効率」や「複雑さ」は一般に、入力長からそのアルゴリズムを実行するのに必要なステップ数（時間複雑性）や記憶領域サイズ（空間複雑性）への関数として表される。 アルゴリズム解析は計算複雑性理論の重要な一分野である。計算複雑性理論では、与えられた計算問題を解くアルゴリズムが必要とするリソースを理論的に見積もる。この見積もりにより効率的なアルゴリズムを設計する指針が得られることがある。 アルゴリズム解析ではふつう、漸近的（asymptotic）な意味で複雑性を見積もる。すなわち、ある程度大きな入力長の際の複雑性関数を見積もる。このためにO記法、Ω記法、Θ記法が用いられる。例えば、二分探索のステップ数は入力サイズの対数に比例し、これを O(log(n)) と表記したり、「対数時間」と称したりする。このような漸近的な見積もりを用いるのは、同じアルゴリズムでも実装の違いにより差が出るのを捨象するためである。異なる妥当な実装による効率の違いは定数倍に留まる。この定数を隠れた定数（hidden constant）と呼ぶ。 漸近的でない正確な効率がわかる場合もあるが、そのためには「計算モデル」と呼ばれるアルゴリズムの特定の実装を仮定する必要がある。計算モデルはチューリング機械のような抽象化された機械を使うか、個々の命令の実行時間が変化しないと仮定することが多い（例えば実際のコンピュータではキャッシュにヒットするかしないかでは大きく実行時間が異なるが、アルゴリズム解析では一般にそれを無視する）。例えば、二分探索で N 個のソートされた数から探索する場合、1回の参照を一定の単位時間でできるとした場合、回答を得るまでに最大で log2 N+1 単位時間を要する。.
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アーベル–ルフィニの定理
アーベル–ルフィニの定理（アーベル–ルフィニのていり、Abel–Ruffini theorem）は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。.
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アーベル群
数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、abelian group）または可換群（かかんぐん、commutative group）は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。 アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。 一般に可換群はに比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。.
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イプシロン-デルタ論法
ε-δ 論法（イプシロンデルタろんぽう、(ε, δ)-definition of limit）は、解析学において、（有限な）実数値のみを用いて極限を議論する方法である。.
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オイラーの公式
数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、Euler's formula）は、指数関数と三角関数の間に成り立つ以下の関係をいう。 ここで は指数関数、 は虚数単位、 はそれぞれ余弦関数および正弦関数である指数関数 は累乗を拡張したもので、複素数 について という関係が成り立つ。 は自然対数の底あるいはネイピア数と呼ばれる。虚数単位 は を満たす複素数である。余弦関数 および正弦関数 は三角関数の一種である。正弦関数 は、直角三角形の斜辺とその三角形の変数 に対応する角度を持つ鋭角の対辺（正弦）の長さの比を表す。余弦関数 はもう一方の鋭角（余角）の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円（半径の長さを 1 とする円）の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す 座標はそれぞれ に等しい（ は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、 軸のなす角の大きさに対応する）。文献によっては、指数関数は、（指数）から3字取って と表される。また虚数単位には でなく を用いることがある。。任意の複素数 に対して成り立つ等式であるが、特に が実数である場合が重要でありよく使われる。 が実数のとき、 は複素数 がなす複素平面上の偏角（角度 の単位はラジアン）に対応する。 公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes) とされる。コーツは1714年に を発見したが、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。 1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった。 この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。 オイラーの公式は、変数 が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 に対応する余弦関数 と正弦関数 に等しいことを表す。このとき、偏角 をパラメータとする曲線 は、複素平面上の単位円をなす。 特に、 のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、 となる。この関係はオイラーの等式 と呼ばれる三角関数の周期性（従って複素指数関数の周期性）により、オイラーの等式が成り立つのは に限らない。すなわち、任意の整数 について は を満たす。。 が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。 オイラーの公式は、三角関数 が双曲線関数 に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などの扱いを簡単にすることなどに利用される。.
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オイラーの等式
イラーの等式（オイラーのとうしき、Euler's identity）とは、解析学における等式 であり、その名はレオンハルト・オイラーに因む。ここに、 である。.
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カントールの対角線論法
ントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文の中で用いられたのが最初だとされている。 その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。.
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カタラン数
初等組合せ論におけるカタラン数（カタランすう、Catalan number）は、ベルギーの数学者に因んで名付けられた自然数のクラスである。n番目のカタラン数 C は で表される。カタラン数を数列として順に列記すると となる。.
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ガロア理論
ア理論（ガロアりろん、Galois theory）は、代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論。1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた。 ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。.
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ガロア理論の基本定理
数学において、ガロア理論の基本定理 (fundamental theorem of Galois theory) とは、ある種の体の拡大がなす構造を記述する結果である。 定理の最も基本的な主張は「体の有限次ガロア拡大 が与えられると、その中間体とガロア群 の部分群の間に一対一対応が存在する」ことである。（中間体とは、 を満たす体のことを言う、それらを の部分拡大と言う。）この定理は拡大体 の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。.
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ガロア群
ア群（英：Galois Group）とは、代数方程式または体の拡大から定義される群のことである。発見者であるフランスの数学者エヴァリスト・ガロアから命名された。これらの群を用い方程式などの数学的対象について研究する分野をガロア理論と呼ぶ。.
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ガウス整数
ウス整数とは、ガウス平面では格子点に当たる。 ガウス整数（ガウスせいすう、Gaussian integer）とは、実部と虚部が共に整数である複素数のことである。すなわち、（, は整数）の形の数のことである。ここで は虚数単位を表す。ガウス整数という名称は、カール・フリードリヒ・ガウスが導入したことに因む。ガウス自身はガウス整数のことを複素整数（Komplexe Ganze Zahl）と呼んだが、今日ではこの呼称は一般的ではない。 通常の整数は、 の場合なので、ガウス整数の一種である。区別のために、通常の整数は有理整数と呼ばれることもある。 数学的には一つ一つのガウス整数を考えるよりも、集合として全体の構造を考える方が自然である。ガウス整数全体の集合を と表し、これをガウス整数環と呼ぶ。すなわち、 である（ は有理整数環、すなわち有理整数全体の集合を表す）。その名が示すように、ガウス整数環は加法と乗法について閉じており、環としての構造を持つ。複素数体 C の部分環であるから、整域でもある。 を有理数体、すなわち有理数全体の集合とするとき、 をガウス数体という。ガウス整数環はガウス数体の整数環である。ガウス数体は、典型的な代数体であるところの円分体や二次体の一種であるので、ガウス整数環は代数的整数論における最も基本的な対象の一つである。.
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クーポンコレクター問題
率論において、クーポンコレクター問題（クーポンコレクターもんだい、Coupon collector's problem）とは、 「全てのクーポンを集めると、何らかの特典が得られる」ような場合に、何回クーポンを引けば良いかという問題である。「クーポンコレクター」と表現しているが、ソーシャルゲームにおけるコンプリートガチャや、（全て集めることで特典があるわけではないが）カプセルトイ・食玩・トレーディングカード等で全種類を集める場合にも適用できる問題である。日本においては食玩問題 とも呼ばれる。 具体的には次のような問題である。 別の言い方をすると次のようになる。 数学的分析によれば、必要とされる試行回数の期待値は \Theta(n\log(n)) である。例えば n.
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クイックソート
イックソート (quicksort) は、1960年にアントニー・ホーアが開発したソートのアルゴリズム。分割統治法の一種。 n個のデータをソートする際の最良計算量および平均計算量はO(n\log n)である。他のソート法と比べて、一般的に最も高速だといわれているが対象のデータの並びやデータの数によっては必ずしも速いわけではなく、最悪の計算量はO(n^2)である。また数々の変種がある。 安定ソートではない。.
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ゲーデルの不完全性定理
ーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、）又は単に不完全性定理とは、数学基礎論における重要な定理で、クルト・ゲーデルが1930年に証明したものである。;第1不完全性定理: 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。;第2不完全性定理: 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。.
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ゲーデル数
ーデル数（ゲーデルすう、Gödel number）は、数理論理学において何らかの形式言語のそれぞれの記号や整論理式に一意に割り振られる自然数である。クルト・ゲーデルが不完全性定理の証明に用いたことから、このように呼ばれている。また、ゲーデル数を割り振ることをゲーデル数化（Gödel numbering）と呼ぶ。 ゲーデル数のアイデアを暗に使っている例としては、コンピュータにおけるエンコードが挙げられる。 コンピュータでは何でも0と1で表し、「apple」のような文字列も0と1による数字で表す。 ゲーデル数化とは、このように文字列に数字を対応させる事を指す。 ゲーデル数化は、数式におけるシンボルに数を割り当てる符号化の一種でもあり、それによって生成された自然数の列が文字列を表現する。この自然数の列をさらに1つの自然数で表現することもでき、自然数についての形式的算術理論を適用可能となる。 ゲーデルの論文が発表された1931年以来、ゲーデル数はより広範囲な様々な数学的オブジェクトに自然数を割り振るのに使われるようになっていった。.
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コミックフラッパー
『月刊コミックフラッパー』は、KADOKAWA・メディアファクトリーブランドが出版している月刊漫画雑誌。1999年11月5日に創刊。前身は1998年に創刊した『コミックアルファ』（株式会社メディアファクトリー刊）。発売日は毎月5日。.
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スターリングの近似
log ''n''! と ''n'' log ''n'' − ''n'' は ''n'' → ∞ のとき漸近する スターリングの近似（Stirling's approximation）またはスターリングの公式（Stirling's formula）は、階乗、あるいはその拡張の一つであるガンマ関数の漸近近似である。名称は数学者に因む。.
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ソート
ート は、データの集合を一定の規則に従って並べること。日本語では整列（せいれつ）と訳される。（以前はその原義から分類という訳語が充てられていたが、もう使われていない） 主にコンピュータソフトにおけるリストに表示するデータに対し、全順序関係によって一列に並べることを指す。また、単に「ソート」といった場合、値の小さい方から大きい方へ順に並べる昇順（しょうじゅん、）を指すことが多い。その反対に値を大きい方から小さい方へ順に並べることを降順（こうじゅん、）という。 対象となるデータのデータ構造や必要な出力によって、使われるアルゴリズムは異なる。.
冪乗
冪演算（べきえんざん、英: 独: 仏: Exponentiation）は、底 (base) および冪指数 (exponent) と呼ばれる二つの数に対して定まる数学的算法である。通常は、冪指数を底の右肩につく上付き文字によって示す。自然数 を冪指数とする冪演算は累乗（るいじょう、repeated multiplication) に一致する。 具体的に、 および冪指数 を持つ冪 (power) は、 が自然数（正整数）のとき、底の累乗 で与えられる。このとき は の -乗とか、-次の -冪などと呼ばれる。 よく用いられる冪指数に対しては、固有の名前が与えられているものがある。例えば冪指数 に対して二次の冪（二乗） は の平方 (square of) あるいは -自乗 (-squared) と呼ばれ、冪指数 に対する三次の冪 は の立方 (cube of, -cubed) と呼ばれる。また冪指数 に対して冪 は であり の逆数（あるいは乗法逆元）と呼ばれる。一般に負の整数 に対して底 が零でないとき、冪 はふつう なる性質を保つように と定義される。 冪演算は任意の実数あるいは複素数を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数であるような冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば指数函数が、冪指数を固定して底を変数と見れば冪函数がそれぞれ生じる。整数乗冪に限れば、行列などを含めた非常に多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができるが、冪指数まで同種の対象に拡張するならばその上で定義された自然指数函数と自然対数函数を持つ完備ノルム環（例えば実数全体 や複素数全体 などはそう）を想定するのが自然である。.
冪級数
数学において、（一変数の）冪級数（べききゅうすう、power series）あるいは整級数（せいきゅうすう、série entière）とは の形の無限級数である。ここで は 番目の項の係数を表し、 は定数である。この級数は通常ある知られた関数のテイラー級数として生じる。 多くの状況において （級数の中心 (center)）は である。例えばマクローリン級数を考えるときがそうである。そのような場合には、冪級数は簡単な形 \sum_^\infty a_n x^n.
円分多項式
円分多項式（えんぶんたこうしき、cyclotomic polynomial, Kreisteilungspolynom）とは1の冪根に関連のある多項式である。具体的には次の式で定義される多項式 を指す。 \Phi_n \left(x\right).
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円周率
円周率（えんしゅうりつ）は、円の周長の直径に対する比率として定義される数学定数である。通常、ギリシア文字 （パイ、ピー、ラテン文字表記: ）で表される。数学をはじめ、物理学、工学といった様々な科学分野に出現し、最も重要な数学定数とも言われる。 円周率は無理数であり、その小数展開は循環しない。円周率は、無理数であるのみならず、超越数でもある。 円周率の計算において功績のあったルドルフ・ファン・コーレンに因み、ルドルフ数とも呼ばれる。ルドルフは、小数点以下35桁までを計算した。小数点以下35桁までの値は次の通りである。.
写像
写像（しゃぞう、mapping, map）とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数（関数）、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。 ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価函数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。.
商群
数学において，商群（しょうぐん，quotient group, factor group）あるいは剰余群，因子群とは，群構造を保つ同値関係を用いて，大きい群から似た元を集めて得られる群である．例えば，n を法とした加法の巡回群は，整数から，差が の倍数の元を同一視し，そのような各類（合同類と呼ばれる）に1つの実体として作用する群構造を定義することによって得られる．群論と呼ばれる数学の分野の一部である． 群の商において，単位元の同値類はつねにもとの群の正規部分群であり，他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである．得られる商は と書かれる，ただし はもとの群で は正規部分群である．（これは「（ジーモッドエヌ）」と読まれる．"mod" は modulo の略である．） 商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する．第一同型定理は任意の群 の準同型による像はつねに のある商と同型であると述べている．具体的には，準同型 による の像は と同型である，ただし は の核 を表す． 商群の双対概念は部分群であり，これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である．任意の正規部分群 は，大きい群から部分群 の元の間の差異を除去して得られる，対応する商群を持つ．圏論では，商群は商対象の例であり，これは部分対象の双対である．商対象の他の例は，商環，商線型空間，商位相空間，商集合を参照．.
公理
公理（こうり、axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された（形式的な）言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明（絶対的）な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.
充足可能性問題
充足可能性問題（じゅうそくかのうせいもんだい、satisfiability problem, SAT）は、一つの命題論理式が与えられたとき、それに含まれる変数の値を偽 (False) あるいは真 (True) にうまく定めることによって全体の値を'真'にできるか、という問題をいう。SATisfiabilityの頭3文字を取ってしばしば「SAT」と呼ばれる。.
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剰余環
数学の一分野、環論における商環（しょうかん、quotient ring）、剰余環（じょうよかん、factor ring）あるいは剰余類環（じょうよるいかん、residue class ring）とは、群論における剰余群や線型代数学における商線型空間に類似した環の構成法およびその構成物である。すなわち、はじめに環 R とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環 R/I と呼ばれる新しい環が、I の全ての元が零元に潰れる（I による違いを「無視」するともいえる）ことで得られる。 注意: 剰余環は商環とも呼ばれるけれども、整域に対する商体（分数の体）と呼ばれる構成とは異なるし、全商環（商の環、これは環の局所化の一種）とも異なる。.
剰余類
数学、特に群論における剰余類（じょうよるい、residue class）あるいは傍系（ぼうけい、coset; コセット）とは、特定の種類の同値関係に関する同値類である。.
因数分解
数学における因数分解（いんすうぶんかい、factorization）は（数、多項式、行列といったような、積の定義される）代数的対象を、（それらを掛け合わせると元に戻る）別の対象、つまり因数 (factor) の積に分解することである。たとえば、15 という数は 3 × 5 という因数の積に分解され、多項式 x2 − 4 は (x − 2)(x + 2) という因数の積に分解される。このようにより単純な対象の積になっている。 因数分解の反対は、因数を掛け合わせてもとの展開された対象を得る過程であるところの、展開である。 因数分解の目的はふつう、何らかのものを（自然数ならば素数、多項式ならば既約多項式といったような）「基本的な構成要素」に帰着させることである。1でない自然数が素数の積で表せることは算術の基本定理で、定数でない一変数複素係数多項式が一次式の積で表せることは代数学の基本定理で保障されている。ヴィエタの公式は多項式の根と係数の関係を記述するものである。 巨大整数の素因数分解は困難な問題で、これを一般に短時間に行う方法は知られていない。この複雑性はRSA暗号のような公開鍵暗号によるセキュリティの信頼性の基礎になっている。 行列も（応用に際して利用しやすい）特別な種類の行列の積に分解することができる。よく用いられるのはたとえば、直交行列やユニタリ行列あるいは三角行列などである。ほかに、QR, LQ, QL, RQ, RZ のような分解が知られる。 他の例としては、写像を特定の性質を持つ写像の合成の形に分解することが挙げられる。たとえば、任意の写像は全射と単射の合成と見ることができる。これはによって一般化される。.
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固有値
線型代数学において、線型変換の特徴を表す指標として固有値 (eigenvalue) や固有ベクトル (eigenvector) がある。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (eigenvalue problem) という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。.
矛盾
矛盾（むじゅん、contradiction）とは、あることを一方では肯定し、同時に他方では否定するなど、論理の辻褄（つじつま）が合わないこと。物事の筋道や道理が合わないこと。.
確率変数
率変数（かくりつへんすう、random variable, aleatory variable, stochastic variable）とは、確率論ならびに統計学において、ランダムな実験により得られ得る全ての結果を指す変数である。 数学で言う変数は関数により一義的に決まるのに対し、確率変数は確率に従って定義域内の様々な値を取ることができる。.
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確率分布
率分布（かくりつぶんぷ, probability distribution）は、確率変数の各々の値に対して、その起こりやすさを記述するものである。日本工業規格では、「確率変数がある値となる確率，又はある集合に属する確率を与える関数」と定義している。.
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確率論
率論（かくりつろん、,, ）とは、偶然現象に対して数学的な模型(モデル)を与え、解析する数学の一分野である。 もともとサイコロ賭博といった賭博の研究として始まった。現在でも保険や投資などの分野で基礎論として使われる。 なお、確率の計算を問題とする分野を指して「確率論」と呼ぶ用例もあるが、本稿では取り扱わない。.
空集合
集合（くうしゅうごう、empty set）は、要素を一切持たない集合の事である。公理的集合論において、空集合は公理として存在を仮定される場合と、他の公理から存在が導かれる場合がある。空集合を表す記号として、∅ または \emptyset、 がある。記号 ∅ はノルウェー語等で用いられるアルファベット Ø に由来しており、形の似ているギリシャ文字φ, Φ（ファイ）とは全く関係がない。.
等比数列
等比数列（とうひすうれつ、または幾何数列（きかすうれつ）、geometric progression, geometric sequence）は、数列で、隣り合う二項の比が項番号によらず一定であるようなものである。その比のことを公比（こうひ、common ratio）という。例えば 4,12,36,108,… という数列 (an) は初項が 4 であり公比が 3 の等比数列である。公比 r は r.
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算術の基本定理
pp.
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簡体字
簡体字（かんたいじ、简体字、）または規範字（きはんじ、、）は、1950年代に中華人民共和国で制定された、従来の漢字を簡略化した字体体系である。簡体字という呼称は通称・俗称であり、正式には簡化字（かんかじ、、）と言う。 中国大陸のほか、シンガポールやマレーシアなどでも採用されている。.
級数
数学における級数 (きゅうすう、series) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。ただし「無限の項の総和」が何を表しているのかということはしばしば解析学の言葉を用いて様々な場合に意味を与える（#級数の収束性の節を参照）ことができるが、そのようなことができない「発散する級数」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。 級数を表す記法として、和記号 を用いた表現 や三点リーダ を用いた表現 などがある。 有限個の項以外は とすることで有限個の対象の和を表すこともでき、無限項の和であることを特に強調する場合には無限級数とも言う。無限の項の和の形に表された級数が何を表しているかということは一見必ずしも明らかではないため、何らかの意味付けを与えなければならない。最もよく採用される理解の方法は、有限個の項の和が収束する先を無限級数の値とすることである。例えば、 より となる。このほかに、解析接続などの手法により、みかけ上発散している級数に対して のような等式が意味付けされることもある。.
素因数
数学において、ある自然数の素因数（そいんすう、prime factor）とは、その約数になる素数のことである。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを素因数分解という。例えば 60 は 22×3×5 と素因数分解されるので 60 の相異なる素因数は 2, 3, 5 の3つである。また、7 は素数であるため、7 の素因数は 7 自身のみとなる。素因数のことを素因子（そいんし）、素因数分解のことを素因子分解ということもある。 2つの自然数が互いに素であることと、2つの自然数が共通の素因数を持たないことは同値である。なお 1 は素因数を持たない数であり、したがって 1 は全ての（1 自身を含めた）自然数と互いに素である。 自然数の素因数分解の結果は、素因数を掛ける順番の違いを除けば一意的に決まる。この事実は算術の基本定理と呼ばれている。 スミス数は自然数であって、その素因数の数字の和と各桁の数字の和が等しい数のことである。また、ルース＝アーロン・ペアは連続する自然数の組であって、それぞれの素因数の和が互いに等しいような二数のことである。.
素因数分解
素因数分解 (そいんすうぶんかい、prime factorization) とは、ある正の整数を素数の積の形で表すことである。ただし、1 に対する素因数分解は 1 と定義する。 素因数分解には次のような性質がある。.
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素数
素数（そすう、prime number）とは、 より大きい自然数で、正の約数が と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が である自然数と言い換えることもできる。 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。 一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される（そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる）。このため、有理整数環 \mathbb Z での素数は有理素数（ゆうりそすう、rational prime）と呼ばれることもある。 最小の素数は である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる。 素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のユークリッドの著書『原論』で既に証明されていた。 自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。 分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。2018年1月現在で知られている最大の素数は、2017年12月に発見された、それまでに分かっている中で50番目のメルセンヌ素数 であり、十進法で表記したときの桁数は2324万9425桁に及ぶ。.
約数
数学において、整数 の約数（やくすう、divisor）とは、 を割り切る整数またはそれらの集合のことである。割り切るかどうかということにおいて、符号は本質的な問題ではないため、 を正の整数（自然数）に、約数は正の数に限定して考えることも多い。自然数や整数の範囲でなく文字式や抽象代数学における整域などで「約数」と同様の意味を用いる場合は、「因数」（いんすう）、「因子」（いんし、factor）が使われることが多い。 整数 が整数 の約数であることを、記号 | を用いて と表す。 約数の定義を式で表すと、「整数 が の約数であるとは、ある整数 をとると が成立することである」であるが、条件「」を外すこともある（その場合、 のとき も約数になる）。 自然数（正の整数）で考えている文章では、ことわりがなくても「約数」を前提にしていることは多い。.
線型写像
数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、linear operator）と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、linear form, one-form; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる一次の微分形式（一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。.
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線型結合
線型結合（せんけいけつごう、）は、線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えば、ベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。 いくつかのベクトルを組み合わせると他のベクトルを作ることができる。例えば、2次元数ベクトルを例にとれば、ベクトル v.
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線型独立
線型代数学において、ベクトルの集合が線型独立 (せんけいどくりつ、linearly independent) または一次独立であるとは、線型従属（一次従属）でないこと、つまり集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの表示が自明なものに限ることをいう（#定義）。.
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線型性
線型性（せんけいせい、英語: linearity）あるいは線型、線形、線状、リニア（せんけい、英語: linear、ラテン語: linearis）とは、直線そのもの、または直線のようにまっすぐな図形やそれに似た性質をもつ対象および、そのような性質を保つ変換などを指して用いられている術語である。対義語は非線型性（英語：Non-Linearity）である。 英語の数学用語のlinear にあてる日本語訳としては、線型が本来の表記であると指摘されることもあるが、他にも線形、線状などといった表記もしばしば用いられている。また一次という表記・表現もしばしば用いられている。というのはlinearは、（多変数の）斉一次函数を指していると考えて間違っていない場合も多いためである。.
繁体字
繁体字（はんたいじ、、）または正体字（せいたいじ、、）は、中国語において、系統的な簡略化を経ていない筆画が多い漢字の字体を指す。特に中華人民共和国の一連の「文字改革」政策による簡体字（簡化字）との対比によりこう呼ぶ。現在では主に台湾のほか、中華人民共和国の特別行政区である香港・マカオで使用され、中華圏外の華人コミュニティーでも見られる。日本でいう「旧字体」に近いが同じではない。字体や用字法は地域ごとに異なる点が見られ、1980年代以降、それ以前に活字でよく見られた字体よりも筆写体に近づいたものが規範とされる。.
群 (数学)
数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.
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結城浩
結城 浩（ゆうき ひろし、1963年7月 - ）は、東京都武蔵野市在住のプログラマ、技術ライターである。ウィキクローンの1つであるYukiWikiを開発。 プログラミングの入門テキストを中心に雑誌連載や翻訳活動のほか、多数の書籍の執筆を行っている。特に執筆した書籍のいくつかは韓国語や英語等に翻訳され、海外でも出版されている。 自身のWebで公開していた作品を元に、小説『数学ガール』を発表した。この作品は1作目が日坂水柯、2作目が春日旬、3作目が茉崎ミユキによりそれぞれ漫画化されている。 またプロテスタントの信者として知られる。.
結合法則
数学、殊に代数学における結合法則（けつごうほうそく、associative law) 、結合則、結合律あるいは演算の結合性（けつごうせい、associativity）は二項演算に対して考えられる性質の一つ。ひとつの数式にその演算の演算子が2個以上並んでいる時、その演算子について、左右どちらの側が優先されるかに関わらず結果が同じになるような演算は結合的 (associative) である。.
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絶対値
数の絶対値は零からの距離と考えられる 数学における実数 の絶対値（ぜったいち、absolute value）または母数（ぼすう、modulus） は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 に対して および負数 に対して （このとき は正）であり、また である。例えば の絶対値は であり の絶対値も である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。 実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある.
組合せ (数学)
数学において、組合せ（くみあわせ、combination, choose）とは、相異なる（あるいは区別可能な）いくつかの要素の集まりからいくつかの要素を（重複無く）選び出す方法である。あるいは選び出した要素をその“並べる順番の違いを区別せずに”並べたもののことである。組合せは組合せ論と呼ばれる数学の分野で研究される。卑近な例でいえば、デッキ（山札）から決まった数のカード（手札）を引くことや、ロトくじなどがその例である。.
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環 (数学)
数学における環（かん、ring）は、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す（乗法単位元の存在を要求しない）こともある。定義に関する注意節を参照。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。 環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。 また、環論は基本的な物理法則（の根底にある特殊相対性）や物質化学における対称現象の理解にも寄与する。 環の概念は、1880年代のデデキントに始まる、フェルマーの最終定理に対する証明の試みの中で形成されていった。他分野（主に数論）からの寄与もあって、環の概念は一般化されていき、1920年代のうちにエミー・ネーター、ヴォルフガング・クルルらによって確立される。活発に研究が行われている数学の分野としての現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する（イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環（斜体）が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。.
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生成 (数学)
数学における生成（せいせい、generate）とは、与えられた対象と条件に対して、その条件を満たしかつ与えられた対象を全て含むような最小の構成物を求めることである。このとき与えられた対象の集まりを生成系（生成集合）(generating set) といい、生成集合の各元を生成元 (generator) という。また、「最小の構成物」は生成系から生成されるという。生成系が1つの対象からなるような場合には、生成系と生成元は同一視できる。.
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無矛盾
数学基礎論において、無矛盾性 (consistency) は公理系の最も重要な概念の一つである。.
無限
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。 直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。このことから、しばしば哲学、論理学や自然科学などの一部の分野において考察の対象として無限という概念が取り上げられ、そして深い考察が得られている。 本項では、数学などの学問分野において、無限がどのように捉えられ、どのように扱われるのかを記述する。.
無限降下法
数学における無限降下法（むげんこうかほう、infinite descent）とは、自然数が整列集合であるという性質を利用した、証明の一手法である。背理法の一種であり、数学的帰納法の一型とも見なせる。17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーが創始者であり、彼はこの証明法を好んで用いた。紀元前3世紀にユークリッドが（例えば『原論』7-31で）使用していた、との主張もある。.
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畳み込み
畳み込み（たたみこみ、convolution）とは関数 を平行移動しながら関数 に重ね足し合わせる二項演算である。畳み込み積分、合成積、重畳積分、あるいは英語に倣いコンボリューションとも呼ばれる。.
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階差数列
階差数列（かいさすうれつ、progression of differences, sequence of differences）とは、ある数列に対し、隣り合う項の差をとることによってできる新たな数列のことである。数列の規則性が見えにくい場合でも、階差数列を考えることにより元の数列の素性が分かりやすくなる場合がある。.
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階乗
数学において非負整数 の階乗（かいじょう、factorial） は、1 から までのすべての整数の積である。例えば、 である。空積の規約のもと と定義する。 階乗は数学の様々な場面に出現するが、特に組合せ論、代数学、解析学などが著しい。階乗の最も基本的な出自は 個の相異なる対象を一列に並べる方法（対象の置換）の総数が 通りであるという事実である。この事実は少なくとも12世紀にはインドの学者によって知られていた。は1677年にへの応用として階乗を記述した。再帰的な手法による記述の後、Stedman は（独自の言葉を用いて）階乗に関しての記述を与えている: 感嘆符(!)を用いた、この "" という表記は1808年にによって発明された。 階乗の定義は、最も重要な性質を残したまま、非整数を引数とする函数に拡張することができる。そうすれば解析学における著しい手法などの進んだ数学を利用できるようになる。.
階乗冪
数学、とくに離散数学の各分野における階乗冪（かいじょうべき、factorial powerKnuth, The Art of Computer Programming, Vol. は、冪乗によく似た演算だが、階乗のように因子が 1 ずつずれていく。階乗冪には下降階乗冪 (falling factorial) 降冪、下方階乗冪とも。と上昇階乗冪 (rising factorial) 昇冪、上方階乗冪とも。とがある。また、両方向へずらしながら積をとる類似の概念に、中心階乗冪 (central factorial) がある。 階乗冪は冪あるいは冪函数の類似であり、特殊函数論あるいは組合せ論に広く応用を持つ。.
青文出版社
青文出版社（せいぶんしゅっぱんしゃ）は、1964年創業の台湾台北市中山区に本社がある出版社。当初は児童書、台湾の歴史に関する書籍、哲学書等を中心とした総合出版社として発足したが、現在、日本の漫画やエンターテインメント・ファッション系の雑誌・単行本の正体字中国語翻訳出版が主力となっている。 また近年は、他社も力を入れるライトノベルの翻訳出版にも参入した。.
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順序集合
数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、ordered set）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元, に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。） 全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。 一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 において と はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。 実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A＜B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる（兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等）ので、この順序集合は全順序ではない。.
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順列
初等組合せ論における順列（じゅんれつ、sequence without repetition、arrangement）は、区別可能な特定の元から有限個を選んで作られる重複の無い有限列をいう。 初等組合せ論における「」はともに n-元集合から -個の元を取り出す方法として可能なものを数え上げる問題に関するものである。取り出す順番を勘案するのが -順列、順番を無視するのが -組合せである。.
項
; 項（こう）; 項（うなじ） Category:曖昧さ回避.
行列
数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、matrix）は、数や記号や式などを行と列に沿って矩形状に配列したものである。行の数と列の数が同じ行列はが成分ごとの計算によって与えられる。行列の積の計算はもっと複雑で、2 つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。 行列の応用として顕著なものは一次変換の表現である。一次変換は のような一次関数の一般化で、例えば三次元空間におけるベクトルの回転などは一次変換であり、 が回転行列で が空間の点の位置を表す列ベクトル（1 列しかない行列）のとき、積 は回転後の点の位置を表す列ベクトルになる。また 2 つの行列の積は、2 つの一次変換の合成を表現するものとなる。行列の別な応用としては、連立一次方程式の解法におけるものである。行列が正方行列であるならば、そのいくつかの性質は、行列式を計算することによって演繹することができる。例えば、正方行列が正則であるための必要十分条件は、その行列式の値が非零となることである。固有値や固有ベクトルは一次変換の幾何学に対する洞察を与える。行列の応用は科学的な分野の大半に及び、特に物理学において行列は、電気回路、光学、量子力学などの研究に利用される。コンピュータ・グラフィックスでは三次元画像の二次元スクリーンへの投影や realistic-seeming motion を作るのに行列が用いられる。は、古典的な解析学における微分や指数関数の概念を高次元へ一般化するものである。 主要な数値解析の分野は、行列計算の効果的なアルゴリズムの開発を扱っており、主題は何百年にもわたって今日では研究領域も広がっている。行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を単純化するもので、アルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計が効率的に処理される。惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。関数のテイラー級数に対して作用する微分の表現行列は、無限次行列の簡単な例である。.
行列式
数学における行列式（ぎょうれつしき、）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。.
複素平面
複素平面 数学において、数平面（すうへいめん、Zahlenebene）あるいは複素数­平面（ふくそすう­へいめん、Komplexe Zahlenebene, complex plane）は、数直線あるいは実数直線 (real line) を実軸 (real axis) として含む。 が実数であるとき、複素数 を単に実数の対とみなせば、平面の直交座標 の点に対応付けることができる。xy-平面上の y-軸は純虚数の全体に対応し、虚軸 (imaginary axis) と呼ばれる。-平面上の点 に複素数 を対応させるとき、-平面とも言う。 1811年頃にガウスによって導入されたため、ガウス平面 (Gaussian plane) とも呼ばれる。一方、それに先立つ1806年に も同様の手法を用いたため、アルガン図 (Argand Diagram) とも呼ばれている。さらに、それ以前の1797年の の書簡にも登場している。このように複素数の幾何的表示はガウス以前にも知られていたが、今日用いられているような形式で複素平面を論じたのはガウスである。三者の名前をとってガウス・アルガン平面、ガウス・ウェッセル平面などとも言われる。 英語名称 complex plane を「直訳」して複素平面と呼ぶことも少なくないが、ここにいう complex は「複素数上の—」という意味ではなく複素数そのものを意味している（複素数の全体を "the complexes" と呼んだり、" is a complex" などのような用例のあることを想起せよ）。したがって、語義に従った complex plane の直訳は「複素数平面」と考えるべきである（実数全体の成す real line についても同様であり、これは通例「実数直線」と訳され、実直線は多少異なる意味に用いられる）。.
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複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
角の三等分問題
3を作図している。 角の三等分問題（かくのさんとうぶんもんだい、angle trisection）とは、古代における古典的な定規とコンパスによる作図問題である。この問題は、与えられた任意の角に対しその三分の一の大きさの角を、目盛りのない定規とコンパスのみを用いて作図せよというものである。 1837年にピエール・ヴァンツェルにより、一般にはこの問題を解くことが不可能であることが示された。ただし、これは定規とコンパスのみを用いて角を三等分する方法が一般には存在しないということであり、特別な場合として三等分が可能な角は幾つか存在する。例えば、直角の三等分（即ち の角の作図）は比較的単純に行うことができる。逆に、三等分が不可能な角で不可能性を容易に証明することができるものが幾つか存在する。例えば、 の三等分（即ち の角の作図）の不可能性は比較的単純に示すことができる。 定規とコンパス以外の道具を用いて任意の角の三等分を行うことは可能である。例として、古代ギリシャから知られていたがある。これはスライドと同時に回転が可能な目盛り付きの定規を用いる作図であり、（目盛りなしの）定規とコンパスでは不可能な作図である。その他数々の方法が数学者達により何世紀にもわたって考案されてきた。 この問題の内容自体は単純で理解に難くない一方、これが解けないことの証明は複雑である。そのため、角の三等分問題の解法はよく的な試みの対象となる。これらの「解法」はしばしばルールの誤解釈、あるいは単純に誤りを含んだものとなっている。.
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証明
証明（しょうめい）とは、ある事柄が真理もしくは事実であることを明らかにすること。また、その内容。.
調和級数
数学における調和級数（ちょうわきゅうすう、harmonic series）とは発散無限級数 のことをいう。名称の「調和」(harmonics) というのは音楽や和声学における倍音の概念に由来するもので、振動する弦の倍音の波長がその弦の基本波長の 1/2, 1/3, 1/4,...
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調和数 (発散列)
数学において、n-番目の調和数（ちょうわすう、harmonic number）は 1 から n までの自然数の逆数和 である。これはまた、1 から n までの自然数の調和平均の逆数の n-倍に等しい。 調和数は遥か昔から研究され、数論の各分野において重要である。調和数の極限は、調和級数と呼ばれ（しばしば調和数もひっくるめて一口に調和級数と呼ぶこともある）、リーマンゼータ函数と近しい関係にあり、また種々の特殊函数のさまざまな表示に現れる。 十分大きな数の標本について、その出現頻度がジップの法則に従って分布するとき、全体の中で n-番目の頻度で現れる標本の総頻度は n-番目の調和数である。このことは長い尻尾およびの驚くべき帰結の一種を導く。.
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論理式
論理式.
谷山–志村予想
谷山・志村予想（たにやましむらよそう、Taniyama–Shimura conjecture）は、「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーであろう」という数学の予想。 証明されて定理となったので、モジュラー性定理またはモジュラリティ定理 (modularity theorem) と呼ばれることもある。（本記事では、この三つの用語を区別することなく使用する） アンドリュー・ワイルズ (Andrew Wiles) は、半安定楕円曲線の谷山・志村予想を証明し、それによってフェルマーの最終定理を証明した。後に、(Christophe Breuil)、(Brian Conrad)、(Fred Diamond)、リチャード・テイラー(Richard Taylor)は、ワイルズのテクニックを拡張し、2001年にモジュラリティ定理を完全に証明した。 モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)によるより一般的な予想の特別な場合である。ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現(automorphic representation)（適切なモジュラ形式の一般化）を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論的代数幾何学の対象へ関連付けようとする。拡張された予想のうち、ほとんどのケースは未だ証明されていない。しかし、が実二次体上定義された楕円曲線がモジュラーであることを証明した。.
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鳩の巣原理
''n''.
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超数学
超数学（ちょうすうがく）あるいはメタ数学（メタすうがく、）とは、数学自体を研究対象とした数学のこと。超数学という語を初めて用いたのはヒルベルトであり、彼は数学の無矛盾性や完全性を問題とした。ゲーデルの完全性定理や不完全性定理はその例である。.
茉崎ミユキ
茉崎 ミユキ(まつざき みゆき）は、日本の漫画家、イラストレーター。.
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部分群
二項演算 * に関して群 G が与えられたとする。 G の部分集合である H が G の部分群であるということは、 H が演算 * に関して群になるということである。より正確に表現すると、 H が G の部分群であるということは、群の演算 * を H×H （Hの直積）に制限したときに、 H における群の演算になっているということである。この関係は通常、 H ≤ G という記号で表現し、「 H は G の部分群である」と読む。 G の真部分群とは、部分群 H が G の真部分集合である（つまり H≠G である）ことである。任意の群 G に対し、G 自身と単位元のみからなる集合 は常に G の部分群である。 H が G の部分群であるとき、 G は H の拡大群であると表現する場合がある。 G が任意の半群であるときも、G の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 G は順序対 (G, &lowast) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、G を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造（あるいはもっとほかの構造）を定めるということを強調するためである。 以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 a ∗ b を単に ab と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。.
背理法
背理法（はいりほう、proof by contradiction, reduction to the absurd, indirect proof, apagogical argument など、reductio ad absurdum）とは、ある命題 P を証明したいときに、P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けることである。帰謬法（きびゅうほう）とも言う。 P を仮定すると、矛盾が導けることにより、P の否定 ¬P を結論付けることは否定の導入などと呼ばれる。これに対して ¬P を仮定すると矛盾が導けることにより P を結論付けることを狭義の背理法あるいは否定の除去ということがある。否定の導入と狭義の背理法をあわせて広義の背理法ということもある。 一般的には、背理法と言った場合広義の背理法を指す。否定の導入により、¬P から矛盾が導けた場合、¬¬P を結論できるが、いわゆる古典論理では推論規則として二重否定の除去が認められているため、結局 P が結論できることになる。排中律や二重否定の除去が成り立たない直観論理では、狭義の背理法による証明は成立しないが、否定の導入や、¬¬¬P から ¬P を結論することは、認められる。 背理法を使って証明される有名な定理には、\sqrt が無理数であること、素数が無限に存在すること、中間値の定理，ハイネ・カントールの定理などがあり、無限を相手にした証明には基本的に背理法のスタイルを取らざるを得ないものが多くある。 しかし例えば、\sqrt が無理数である（すなわち有理数でない）ことの証明は、狭義の背理法ではなく否定の導入によって証明することができる。 背理法の証明において仮定に矛盾する結論を導く場合は，容易に非背理法証明に直すことができる．たとえば，ハイネ・カントールの定理：「有界閉集合上の連続関数は一様連続である」は，有界閉集合上の連続関数 f は一様連続でないと仮定して議論を進め， f が連続でないことを導いて矛盾を出すが，これは連続性を仮定せず「有界閉集合上の関数 f が一様連続でない」と仮定し，連続でないことを示すことによって，対偶としてハイネ・カントールの定理が直接証明できる（((P かつ Q)⇒R) ⇔ ((P かつ ￢R)⇒￢Q) ということを用いる）．.
開平法
開平法（かいへいほう、extraction of square root）とは、正の数の平方根の小数表示を求めていくアルゴリズムである。開平や開平算、開平計算とも。平方根を求めることを開平するという。開法の一種。.
自己言及のパラドックス
哲学および論理学における自己言及のパラドックス（じこげんきゅうのパラドックス）または嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。この文に古典的な二値の真理値をあてはめようとすると矛盾が生じる（パラドックス参照）。 「この文は偽である」が真なら、それは偽だということになり、偽ならばその内容は真ということになり……というように無限に連鎖する。同様に「この文は偽である」が偽なら、それは真ということになり、真ならば内容から偽ということになり……と、この場合も無限に連鎖する。.
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自然数の分割
数学の各分野、特に数論および組合せ論 において、正の整数 n の分割（ぶんかつ、partition）あるいは整分割 (integer partition) とは、与えられた正整数 n を正整数の和として表す方法をいう。ただし、和の因子（summand; 被加数）の順番のみが異なる分割は同じ分割とみなされる（順序をも考慮する場合は、順序つき分割または、分割ではなく合成あるいは結合 (composition) と呼ばれる概念となる）。 例えば 4 の異なる分割は次の五通りである。 このとき、順序を考慮した合成 1 + 3 は分割としては 3 + 1 と同じであり、同様に合成としては異なる 1 + 2 + 1 および 1 + 1 + 2 は分割としては 2 + 1 + 1 と同じである。 分割の各因子は部分または成分 (part) などとも呼ばれる。また、各正整数 n に対して n の分割の総数を与える函数を p(n) であらわし、n の分割数 (partition function) と呼ぶ。これによれば上記は p(4).
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英語
アメリカ英語とイギリス英語は特徴がある 英語（えいご、）は、イ・ヨーロッパ語族のゲルマン語派に属し、イギリス・イングランド地方を発祥とする言語である。.
集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。.
集合論
集合論（しゅうごうろん、set theory, théorie des ensembles, Mengenlehre）は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。 通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。（論理や述語論理とともに）集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に（無定義語の）「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。 集合論における基本的な操作には、あたえられた集合のべき集合や直積集合をとる、などがある。また二つの集合の元同士の関係（二項関係）を通じて定義される順序関係や写像などの概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では二つの集合はそれぞれの集合の元の間に全単射が存在するとき濃度が等しいという。そこで集合を濃度の等しさによって類別した各々の同値類のことを濃度という。この定義では濃度は真のクラスになってしまうので、濃度そのものを集合論的な対象として取り扱い難い。選択公理を仮定すると任意の集合は整列可能であることが導かれる。整列集合の順序型を順序同型で類別した各々の同値類と定義してしまうと、それは真のクラスとなってしまう。幸いなことに任意の整列集合は順序数と呼ばれる特別な集合（を帰属関係で順序付けしたもの）と順序同型となる。そのためそれら順序数を整列集合の順序型と定義することができる。また順序数全体 \mathrm（これは真のクラスになる）もまた整列順序付けられている。以上のもとで、集合の濃度を と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はを参照。.
連続 (数学)
数学において、連続（れんぞく、continuous）および連続性（れんぞくせい、continuity）とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。.
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逆元
逆元 （ぎゃくげん、）とは、数学、とくに抽象代数学において、数の加法に対する反数や乗法に関する逆数の概念の一般化で、直観的には与えられた元に結合してその効果を「打ち消す」効果を持つ元のことである。逆元のきちんとした定義は、考える代数的構造によって少し異なるものがいくつか存在するが、群を考える上ではそれらの定義する概念は同じものになる。.
虚数
虚数（きょすう）とは、実数ではない複素数のことである。ただし、しばしば「虚数」と訳される は、「2乗した値がゼロを超えない実数になる複素数」として定義される場合がある。 または で表される虚数単位は代表的な虚数の例である。 1572年にラファエル・ボンベリ は虚数を定義した。しかし当時は、ゼロや負の数ですら架空のもの、役に立たないものと考えられており、負の数の平方根である虚数は尚更であった。ルネ・デカルトも否定的にとらえ、著書『La Géométrie（幾何学）』で「想像上の数」と名付け、これが英語の imaginary number の語源になった。その後徐々に多くの数学者に認知されていった。.
虚数単位
虚数単位（きょすうたんい、imaginary unit）とは、−1 の平方根（2乗して −1 になる数）である2つの数のうちの1つの数のことである（どちらかを特定することはできない）。そのような数を記号で i または \sqrt で表す。 任意の実数の2乗は0以上なので、虚数単位は実数でない。数の概念を複素数に拡張すると登場する数である。 虚数単位の記号 i は imaginary の頭文字から採られている。ただし、i を別の意味（電流など）の記号として使う場合は、虚数単位を j などで表すことがある（どの文字を用いるかは自由である。その場合にはどの文字を用いるかを初めに必ず宣言する）。 積の交換法則が成り立たないことを許容すると、異なる3個以上の虚数単位からなる数の体系（非可換体）を考えることができる。3個の虚数単位の場合は i,j,k、7つ以上の虚数単位の組には i_1,i_2,\cdots といったように一つずつ添字を付けて表すことが多い。.
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除法
法（じょほう、division）とは、乗法の逆演算であり四則演算のひとつに数えられる二項演算の一種である。除算、割り算とも呼ばれる。 除法は ÷ や /, % といった記号を用いて表される。除算する 2 つの数のうち一方の項を被除数 (dividend) と呼び、他方を除数 (divisor) と呼ぶ。有理数の除法について、その演算結果は被除数と除数の比を与え、分数を用いて表すことができる。このとき被除数は分子 (numerator)、除数は分母 (denominator) に対応する。被除数と除数は、被除数の右側に除数を置いて以下のように表現される。 除算は商 (quotient) と剰余 (remainder) の 2 つの数を与え、商と除数の積に剰余を足したものは元の被除数に等しい。 剰余は余りとも呼ばれ、除算によって「割り切れない」部分を表す。剰余が 0 である場合、「被除数は除数を割り切れる」と表現され、このとき商と除数の積は被除数に等しい。剰余を具体的に決定する方法にはいくつかあるが、自然数の除法については、剰余は除数より小さくなるように取られる。たとえば、 を で割った余りは 、商は となる。これらの商および剰余を求める最も原始的な方法は、引けるだけ引き算を行うことである。つまり、 を で割る例では、 から を 1 回ずつ引いていき（）、引かれる数が より小さくなるまで引き算を行ったら、その結果を剰余、引き算した回数を商とする。これは自然数の乗法を足し算によって行うことと逆の関係にある。 剰余を与える演算に % などの記号を用いる場合がある。 除数が である場合、除数と商の積は必ず になるため商を一意に定めることができない。従ってそのような数 を除数とする除法の商は未定義となる（ゼロ除算を参照）。 有理数やそれを拡張した実数、複素数における除法では、整数や自然数の除法と異なり剰余は用いられず、 という関係が除数が 0 の場合を除いて常に成り立つ。この関係は次のようにも表すことができる。 実数などにおける定義から離れると、除法は乗法を持つ代数的構造について「乗法の逆元を掛けること」として一般化することができる。一般の乗法は交換法則が必ずしも成り立たないため、除法も左右 2 通り考えられる。.
NP完全問題
NP完全（な）問題（エヌピーかんぜん（な）もんだい、NP-complete problem）とは、(1) クラスNP（Non-deterministic Polynomial）に属する決定問題（言語）で、かつ (2) 任意のクラスNPに属する問題から多項式時間還元（帰着）可能なもののことである。条件 (2) を満たす場合は、問題の定義が条件 (1) を満たさない場合にも、NP困難な問題とよびその計算量的な困難性を特徴づけている。多項式時間還元の推移性から、クラスNPに属する問題で、ある一つのNP完全問題から多項式時間還元可能なものも、またNP完全である。現在発見されているNP完全問題の証明の多くはこの推移性によって充足可能性問題などから導かれている。充足可能性問題がNP完全であることは1971年、スティーブン・クック（Stephen Cook (1971).
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P≠NP予想
P≠NP予想（P≠NPよそう、）は、計算複雑性理論（計算量理論）におけるクラスPとクラスNPが等しくないという予想である。P対NP問題（PたいNPもんだい、）と呼ばれることもある。 理論計算機科学と現代数学上の未解決問題の中でも最も重要な問題の一つであり、2000年にクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つとして、この問題に対して100万ドルの懸賞金がかけられた。.
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SBクリエイティブ
SBクリエイティブ株式会社（SB Creative Corp.）は、ソフトバンクグループ傘下で、デジタルコンテンツ事業、出版事業を行う日本の企業。IT関連書籍やライトノベルなどの出版、Webメディアの運営、ハーレクインコミックなどの電子書籍配信、デジタルサイネージ事業を手掛ける。.
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推移関係
推移関係（すいいかんけい、Transitive relation）は、数学における二項関係の一種。集合 X の二項関係 R が推移的であるとは、Xの任意の元 a、b、c について、a と b に R が成り立ち、b と c に R が成り立つとき、a と c にも R が成り立つことをいう。推移的関係とも。 一階述語論理でこれを表すと、次のようになる。.
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推論規則
推論規則（すいろんきそく、rule of inference, inference rule, transformation rule）とは、論理式から他の論理式を導く推論の規則である。 記号、公理、代入規則、推論規則によって理論を形式化したものを公理系という。 公理は記号だけで記述されるが、推論規則や代入規則はこれらの記号について述べているメタ言語で記述される。 恒真式 （トートロジー）から推論規則を導くと妥当性のある推論になる。.
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恒等式
恒等式（こうとうしき、identity）は、恒真な等式、すなわち等号 (.
東亜日報
東亜日報（とうあにっぽう、朝鮮語読み：トンアイルボ）は、大韓民国の日刊新聞（朝刊）である。日本統治時代の1920年4月1日に創刊。本社をソウル特別市鍾路区に置く。発行部数は2,068,647部（韓国ABC協会への申告部数、2003年10月-12月）。朝鮮日報、中央日報とともに韓国の三大紙と称され、中央日報と発行部数第2位の座を競っている。.
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根と係数の関係
根と係数の関係（こんとけいすうのかんけい）は、多項式の根と係数との間に成立する関係式を表した不変式論の定理である。.
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極限
数学においては、数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限（きょくげん、limit）がしばしば考察される。数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。収束しない場合は、発散するという。 極限を表す記号として、次のような lim (英語：limit, リミット、ラテン語：limes)という記号が一般的に用いられる。.
楕円曲線
数学における楕円曲線（だえんきょくせん、elliptic curve）とは種数 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 を持つ種数 の代数曲線を言う。 楕円曲線上の点に対し、積に関して、先述の点 を単位元とする（必ず可換な）群をなすように、積を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。 楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる。より正確には、射影平面上、楕円曲線はヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形 により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である（有理変換によってそのような曲線に変換される）。そしてこの形にあらわされているとき、 は実は射影平面の「無限遠点」である。 また、の標数が でも でもないとき、楕円曲線は、アフィン平面上次の形の式により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である。 非特異であるとは、グラフが尖点を持ったり、自分自身と交叉したりはしないということである。この形の方程式もヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形という。係数体の標数が や のとき、上の式は全ての非特異を表せるほど一般ではない（詳細な定義は以下を参照）。 が重根を持たない三次多項式として、 とすると、種数 の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。が次数 でとすると、これも種数 の平面曲線となるが、しかし、単位元を自然に選び出すことができない。さらに一般的には、単位元として働く有理点を少なくとも一つ持つような種数 の代数曲線を楕円曲線と呼ぶ。例えば、三次元射影空間へ埋め込まれた二つの二次曲面の交叉は楕円曲線である。 楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線はトーラスのへの埋め込みに対応することを示すことができる。トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。 楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。例えば、アンドリュー・ワイルズにより（リチャード・テイラーの支援を得て）証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている（モジュラー性定理とフェルマーの最終定理への応用を参照）。また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。 楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。「楕円」ということばの由来については楕円積分、楕円関数を参照。 このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。.
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標本空間
率論における標本空間（ひょうほんくうかん、sample space）は (experiment, random trial) に付随して決まり、試行の取りうるすべての (outcome, result) からなる集合を言う。標本空間はふつう集合の記法に則り、取りうる順序付けられた結果はその集合の元として書き並べられる。標本空間を表すのに、S (Sample) や U (Universe) のような頭文字をとったり、 のような全体集合を表すのによく用いられる文字が使われる。 例えば、コイントスの試行では標本空間は典型的には であり、コインを二回投げる場合にはその標本空間は とするが、順番に関係なく二枚投げるならば標本空間は である。 六面ダイスを投げて上の面にある目の数を結果とする試行では、標本空間は とする。 きちんと定義された標本空間は、確率モデルを与える確率空間の三つの基本要素の一つであり、ほかの二つは可能なすべてのを表す完全加法族と各事象に割り当てられた確率を表す確率測度と呼ばれる線型汎函数である。.
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次元
次元（じげん）は、空間の広がりをあらわす一つの指標である。座標が導入された空間ではその自由度を変数の組の大きさとして表現することができることから、要素の数・自由度として捉えることができ、数学や計算機において要素の配列の長さを指して次元ということもある。自然科学においては、物理量の自由度として考えられる要素の度合いを言い、物理的単位の種類を記述するのに用いられる。 直感的に言えば、ある空間内で特定の場所や物を唯一指ししめすのに、どれだけの変数があれば十分か、ということである。たとえば、地球は3次元的な物体であるが、表面だけを考えれば、緯度・経度で位置が指定できるので2次元空間であるとも言える。しかし、人との待ち合わせのときには建物の階数や時間を指定する必要があるため、この観点からは我々は4次元空間に生きているとも言える。 超立方体正八胞体は四次元図形の例である。数学と無縁な人は「正八胞体は四つの次元を持つ」というような「次元」という言葉の使い方をしてしまうこともあるが、専門用語としての通常の使い方は「正八胞体は次元（として） 4 を持つ」とか「正八胞体の次元は 4 である」といった表現になる（図形の次元はひとつの数値であって、いくつもあるようなものではない）。 また、転じて次元は世界の構造を意味することがある。.
正の数と負の数
正の数（せいのすう、positive number）とは、0より大きい実数である。負の数（ふのすう、negative number）とは、0より小さい実数である。.
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正多角形
正多角形（せいたかっけい、せいたかくけい、regular polygon）とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形である。 正多角形は線対称の図形であり、正n角形に対称軸はn本ある。また、正偶数角形は点対称の図形でもある。 辺の数が同じ正多角形どうしは全て互いに相似である。.
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正則行列
正則行列（せいそくぎょうれつ、regular matrix）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix）とは行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のこと、言い換えると逆行列が存在する行列のことである。 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群はあるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。.
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正規部分群
数学、とくに抽象代数学における正規部分群（せいきぶぶんぐん、normal subgroup）は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。正規部分群は、与えられた群から剰余群を構成するのに用いることができる。 正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。.
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正規拡大
抽象代数学において、体の代数拡大 L/K は、L が K の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（normal）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。.
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母関数
数学において、母関数（ぼかんすう、generating function; 生成関数）は、（自然数で添字付けられた）数列 に関する情報を内包した係数を持つ、形式的冪級数である。母関数は、一般線型回帰問題の解決のためにド・モアブルによって1730年に初めて用いられた。複数の自然数で添字付けられる数の配列（多重数列）の情報を取り込んだ多変数冪級数を同様に考えることもできる。 母関数には、通常型母関数、指数型母関数、ランベルト級数、ベル級数、ディリクレ級数 など様々なものがある。これらについては定義と例を後述する。原理的にはあらゆる列についてそれぞれの種類の母関数が存在する（ただし、ランベルト級数とディリクレ型は添字を 1 から始めることが必要）が、扱い易さについてはそれぞれの種類で相当異なるかもしれない。どの母関数が最も有効かは、その列の性質と解くべき問題の詳細に依存する。 母関数を、形式的冪級数に対する演算・操作を用いるなどして（級数の形ではなく）の式で表すこともよく行われる。このような母関数の表示は、母関数の不定元を x とすれば、四則演算、母関数のx に関する微分、他の母関数へ代入すること、などを行った結果として得られる。これらの操作は関数に対しても定義されるものであるし、結果として得られる式もやはり x の関数であるかのように見える。実際、母関数を x の（十分小さい）具体的な値で評価することのできる関数として解釈することができる場合も少なくない（このとき、母関数の冪級数表示は、母関数の閉じた形の式のテイラー級数と解釈される）のであり、それがこの式が「母関数」と呼ばれる所以でもある。しかし、形式的冪級数は x に何らかの数値を代入したときに収束するかどうかは問題にしないのであって、母関数についてそのような関数としての解釈が可能であるということは必ずしも要求されるものではないし、同様に x の関数として意味を持つ式がいずれも形式的冪級数に対して意味を持つわけではない。 慣例的に母「関数」と呼ばれてはいるが、始域から終域への写像という関数の厳密な意味に照らして言えば母関数は関数ではなく、今日的には生成級数（母級数）と呼ぶこともしばしばである。.
漸化式
数学における漸化式（ぜんかしき、recurrence relation; 再帰関係式）は、各項がそれ以前の項の函数として定まるという意味で数列を再帰的に定める等式である。 ある種の漸化式はしばしば差分方程式 (difference equation) と呼ばれる。また、「差分方程式」という言葉を単に「漸化式」と同義なものとして扱うことも多い。 漸化式の例として、ロジスティック写像 が挙げられる。このような単純な形の漸化式が、しばしば非常に複雑な（カオス的な）挙動を示すことがあり、このような現象についての研究は非線型解析学などと呼ばれる分野を形成している。 漸化式を解くとは、 添字 n に関する非再帰的な函数として、一般項を表すの式を得ることをいう。.
期待値
率論において、期待値（きたいち、expected value）または平均は、確率変数の実現値を, 確率の重みで平均した値である。 例えば、ギャンブルでは、掛け金に対して戻ってくる「見込み」の金額をあらわしたものである。ただし、期待値ぴったりに掛け金が戻ることを意味するのではなく、各試行で期待値に等しい掛け金が戻るわけでもない。.
朝鮮語
朝鮮語（ちょうせんご）または韓国語（かんこくご）は、主に朝鮮民族が使う言語で、朝鮮半島の大韓民国（韓国）、朝鮮民主主義人民共和国（北朝鮮）および中華人民共和国吉林省延辺朝鮮族自治州・長白朝鮮族自治県の公用語。 韓国での政府呼称は「韓国語」、北朝鮮での政府呼称は「朝鮮語」である。日本において「韓国語」は、専ら韓国の言語を指す呼称として用いられ、南北を区別しない呼称としては、言語学・音韻論など学術的にも、標準表記として「朝鮮語」が用いられるので、ここでは言語名を全て朝鮮語に統一して記述する。.
木 (数学)
数学、特にグラフ理論の分野における木（き、tree）とは、連結で閉路を持たない(無向)グラフである。有向グラフについての木（有向木）についても論じられるが、当記事では専ら無向木を扱う。 閉路を持たない（連結であるとは限らない）無向グラフを森（もり、forest）という。木は明らかに森である。 なお、閉路を持たない有向グラフは有向非巡回グラフである。有向木は有向非巡回グラフでもあるが、有向非巡回グラフは必ずしも有向木とは限らない。 コンピュータ上での木の扱いについては、木構造 (データ構造) を参照。 画像:Tree-sample1.png.
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月刊コミックアライブ
『月刊コミックアライブ』（げっかんコミックアライブ）は、KADOKAWA・メディアファクトリーブランド発行の漫画雑誌。2006年6月27日創刊。毎月27日発売。同社の『コミックフラッパー』よりも低めの年齢層を対象にしており、オリジナル作品のほかMF文庫Jで刊行されているライトノベルの漫画化作品が多く掲載されている。2012年以降は富士見ファンタジア文庫や角川スニーカー文庫の作品も掲載されるようになった。 本誌オリジナルの作品では『まりあ†ほりっく』（遠藤海成）、『のんのんびより』（あっと）などがテレビアニメ化がされている。.
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有理点
数論において有理点（ゆうりてん、rational point）とは、各座標の値が全て有理数であるような空間の点を言う。 例えば、点 (3, −67/4) は 3 も −67/4 も有理数であるため、2次元空間内の有理点である。有理点の特別な場合は、(integer point)、つまり、その座標が全て整数の点である。例えば、(1, −5, 0) は 3次元空間内の整数点である。より一般的に K を任意の体とするとき、K-有理点は点の各々の座標が体 K に属するような点と定義される。K-有理点に対応する特別な場合は K-整数点、すなわち各座標が（数体） K 内の代数的整数の環の元である場合である。.
有理数
有理数（ゆうりすう、rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b.
有限体
有限体（ゆうげんたい、英語：finite field）とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域（ガロアいき、Galois field）などとも呼ぶ。 有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理と呼ばれる以下の定理 が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の有限性から導かれるということである。.
最大公約数
40と15に関する次の要素が埋め込まれた図: 積(600)、 商と剰余(40÷15.
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最小多項式 (線型代数学)
線型代数学において、体 F 係数の 行列 の F 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、minimal polynomial）とは、F-係数のモニック多項式 p(x) であって、p(A) が零行列となるようなものの中で次数最小のものを言う。q(A).
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最小公倍数
40と15に関する次の要素が埋め込まれた図: 積(600)、 商と剰余(40÷15.
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春日旬
春日 旬（かすが しゅん）は、日本の漫画家。男性。2010年より2013年まで結城浩の小説『数学ガール』のコミカライズを担当。.
方程式
14''x'' + 15.
日坂水柯
日坂 水柯（ひさか みか、6月 - ）は、日本の漫画家。岡山県出身。血液型A型。 過去に「谷村ゆず」「木村ま南」というペンネームを使用していた。同人誌で発表した作品を、白泉社より単行本化。.
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日本数学会
一般社団法人 日本数学会（いっぱんしゃだんほうじんにほんすうがっかい、The Mathematical Society of Japan、略称: MSJ）は、1877年（明治10年）に設立された東京数学会社を起源とする1946年（昭和21年）に設立された学会である。数学の研究に関する交流の場であり、数学を一般社会へ普及することを図る。また、関係諸方面と協力して学術文化の向上発展に寄与することを目的とする。会員約 5,000 名を擁する組織である。日本国内および国際的に、数学の進歩・発展のために力をつくしている。.
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擬似コード
擬似コード （ぎじコード、pseudocode）とは、アルゴリズムなどを、架空の非常に高水準なプログラミング言語（擬似言語）で記述したものである。Pascal、Fortran、C言語などの既存のプログラミング言語の構文と、自然言語に近い表現を組み合わせて記述することが多い。.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
数学的帰納法
数学的帰納法（すうがくてききのうほう、mathematical induction）は自然数に関する命題 が全ての自然数 に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である自然数の定義は を含む流儀とそうでない流儀があるが、ここでは後者を採用した。。.
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数列
数学において数列（すうれつ、numerical sequence）とは、数が列になったもの (sequence of numbers) を言う。 ある数はそれ単独で興味深い性質や深い意味を持っているかもしれない。単独ではそれほど面白くはない数たちもまとめて考えると興味深い性質を持つかもしれない。数列を考える意識は後者に属する。数列とは例えば正の奇数を小さい順に並べた のような数の“並び”である。並べる数に制限を加えて、たとえば自然数のみを並べるならば、これを自然数列と略称する。整数、有理数、実数などのほかの数体系を用いる場合も同様の略称を用いる。各々の数の“置かれるべき場所”は数列の項 (こう、term) と呼ばれる。数の並びが数列と呼ばれるためには、数列の各項を“順番に並べる”こと、つまりそれぞれの数が何番目の項に配置されているのかを一意に示すように番号付けができなければならない。したがって、“最も簡単”な数列は自然数を小さい順に並べた数列 ということになる（これは自然数が順序数であることによる）。 考える数列に端が存在する場合がある。数列の端に存在する項は、その数列の最初の項、または最後の項であると考えることができる。数列の最初の項をその数列の初項（しょこう、first term）といい、最後の項を数列の末項（まっこう、last term）と呼ぶ。 数列に対して必ずしも初項と末項を定めることはできない。たとえば「すべての自然数」を表わす数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（むげんすうれつ、infinite sequence）と呼ばれ、末項を持つ数列は有限数列（ゆうげんすうれつ、finite sequence）と呼ばれる。 初項を表わす添字は自由に与えることができ、議論や計算を簡単にするように選ばれるが、慣習的に 0 または 1 が与えられることも多い。たとえば有限数列の初項の添字を 1 から始めた場合、末項は項数に等しい添字 が与えられるため、記述が簡単になる。 特別な数列には、項の並びに規則性のあるものがある。代表的なものは、等差数列や等比数列あるいはフィボナッチ数列のように漸化式で定義される数列である。.
数論
数論（すうろん、number theory）とは数、特に整数およびそれから派生する数の体系（代数体、局所体など）の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。;初等整数論;代数的整数論;解析的整数論;数論幾何学 フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。 ガウスは次のような言葉を残している。.
整数の合同
ウスの『Disquisitiones Arithmeticae（整数論）』のタイトルページ。 整数の合同（ごうどう、congruence）は、数学において二つの整数の間に定められる関係である。初めてこれを構造として研究したのはドイツの数学者ガウスで、1801年に発表された著書『Disquisitiones Arithmeticae』でも扱われている。今日では整数の合同は、数論や一般代数学あるいは暗号理論などに広く用いられる。 整数の合同に基づく数学の分野は合同算術 (modular arithmetic) と呼ばれる。これは整数そのものを直接的に扱うのではなく、何らかの整数（法と呼ばれる、以下本項では で表す）で割った剰余を代表元として扱う算術である。合同算術の歴史や道具立てあるいはその応用については合同算術の項を参照。また、より包括的で堅苦しくない説明は剰余類環 の項へ譲る。.
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0.999...
無限に 9 の続く無限小数 数学における循環十進小数 （ の前の 9 の個数は多少増減させて のようにも書く。あるいは他にも,, など多様な表記がある）は、実数として数の「イチ」であると示すことができる。言葉を変えれば、記号 "0.999⋯" と "1" は同じ数を表している。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階のが相応に考慮された、多様な定式化がある例えば、最初の節に挙げる「代数的証明」は「ただしい」証明だが、その証明の正当性は後の節に記す解析学的手法である極限の概念によって保証される。同様にそれら解析学的証明を「ただしい」証明たらしめているのは実数の特質に他ならない。しかし普通は、実数の公理にまでいちいち遡らずにいくつかの性質を「認めて」、そこで切り上げるのである。もちろん実数の代替となる体系において、実数と異なる性質に基づけば、それら「証明」はそのどこかが崩され、「まちがった」証明となり得る。。 任意の でない有限小数（を末尾に無限個の 0 を付けて無限小数と見たもの）は、それと値が等しい、末尾に無限個の 9 が連なる双子の表示（例えば と）を持つ。ふつうは有限小数表示が好まれることで、それが一意的な表示であるとの誤解に繋がり易い。同じ現象は、任意の別の底に関する位取り記数法や、あるいは同様の実数の表示法でも発生する。 と の等価性は、実数の体系（これは解析学ではもっとも一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある。そのような体系の大半は、標準的な解釈のもとで式 の値は に等しくなるが、一部の体系においては記号 "" に別の解釈を与えて よりも無限小だけ小さいようにすることができる。 等式 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。.
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10月27日
10月27日（じゅうがつにじゅうしちにち）はグレゴリオ暦で年始から300日目（閏年では301日目）にあたり、年末まであと65日ある。.
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1の冪根
1の冪根（いちのべきこん、root of unity）、または1の累乗根（いちのるいじょうこん）は、数学において、冪乗して 1 になる（冪単である）ような数のことである。すなわち、ある自然数 n が存在して となる z のことである。通常は複素数の範囲で考えるが、場合によっては ''p'' 進数のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。 自然数 n に対し、m (\zeta_n.
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2007年
この項目では、国際的な視点に基づいた2007年について記載する。.
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2008年
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2009年
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2010年
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2011年
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2012年
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2013年
この項目では、国際的な視点に基づいた2013年について記載する。.
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2018年
この項目では、国際的な視点に基づいた2018年について記載する。.
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4月5日
4月5日（しがついつか）は、グレゴリオ暦で年始から95日目（閏年では96日目）にあたり、年末まであと270日ある。誕生花はカイドウ、コデマリ。.
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9月27日
9月27日（くがつにじゅうななにち、くがつにじゅうしちにち）は、グレゴリオ暦で年始から270日目（閏年では271日目）にあたり、年末まであと95日である。.
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9月4日
9月4日（くがつよっか）は、グレゴリオ暦で年始から247日目（閏年では248日目）にあたり、年末まであと118日ある。.
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