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圏 (数学)

索引 圏 (数学)

数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏(けん、category)は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる 二つの圏が等しい(相等)とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり(それよりも緩いでさえ強すぎる)、圏同値がしばしば考慮される(二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる)。 圏論が初めて現れるのは Eilenberg–Mac Lane, "General Theory of Natural Equivalences" (1945) と題された論文である。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの がある。.

97 関係: 加群の圏半群単位的環単調写像収縮写像反対圏反射関係可換体同型写像同値関係多元環多様体の圏始対象と終対象小さい圏の圏射 (圏論)一様空間一様連続幾何学交換法則二項関係二項演算代数的位相幾何学代数的構造位相空間位相空間の圏作用余核圏 (数学)圏同値圏論マグマの圏モノイドモノイド圏モノイド閉圏モニック射トポスデカルト閉圏ファイバー束分配多元環アレクサンドル・グロタンディークアーベル圏アーベル群アーベル群の圏エピ射ガロア理論クラスクラス (集合論)グラフ理論コホモロジー...ソーンダース・マックレーンサミュエル・アイレンベルグ写像写像の合成全順序前加法圏前順序集合の圏等式箙 (数学)線型写像群 (数学)群の圏群環群準同型結合多元環結合法則終域組合せ (数学)環 (数学)環の圏環上の加群環準同型相同性順序集合順序数記号の濫用距離空間距離空間の圏部分圏関係 (数学)関係の合成関係の圏関手関手圏自然変換自然数零射集合集合の圏集合の被覆連続写像推移関係核 (圏論)擬環数学数学的構造1945年 インデックスを展開 (47 もっと) »

加群の圏

数学の一分野である圏論において加群の圏(かぐんのけん、category of modules)Mod は、すべての加群を対象としすべての加群準同型を射とする圏である。.

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半群

数学における半群(はんぐん、semigroup)は集合 S とその上の結合的二項演算とをあわせて考えた代数的構造である。言い換えれば、半群とは演算が結合的なマグマのことをいう。半群の名は、既存の群の概念に由来するものである。半群は、各元が必ずしも逆元を持たないこと(さらに、単位元すら持たないかもしれないこと)が、群と異なる。 半群の演算はほとんど乗法的に書かれる(順序対 (x, y) に対して演算を施した結果を x • y などで、あるいは単に xy で表す)。 半群についてきちんとした形での研究が行われるようになるのは20世紀の初めごろからである。半群は、「無記憶」系 ("memoryless" system) すなわち各反復時点でゼロから開始される時間依存系 (time-dependent system) の抽象代数的な定式化の基盤であるので、数学の各種分野において重要な概念である。応用数学においては、半群はの基本モデルである。また偏微分方程式論では、半群は空間発展的かつ時間非依存な任意の方程式に対応している。有限半群論は1950年代以降、有限半群と有限オートマトンとの間の自然な関連性から、理論計算機科学の分野で特に重要となった。確率論では半群はマルコフ過程に関連付けられている 。.

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単位的環

数学、特に環論における単位的環(たんいてきかん、unital/unitary ring)、単位環(たんいかん、unit ring)あるいは単位元持つ環 (ring with unit/unity/identity) は、乗法単位元を持つ環のことを言う。.

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単調写像

単調写像(たんちょうしゃぞう、monotonic function, monotone function)または単調関数は、単調性、すなわち順序集合の間の写像が順序を保つような性質を持つ写像のことである。具体的な例としては以下の単調増加関数および単調減少関数がある。 単調増加(たんちょうぞうか、monotonically increasing)とは、狭義には実数の値を持つ関数 が、 の増加につれて常に関数値 も増加することをいい、このような性質を持つ関数を単調増加関数(たんちょうぞうかかんすう、monotonically increasing function)と呼ぶ。同様に、引数 の増加につれて関数値 が常に減少することを単調減少(たんちょうげんしょう、monotonically decreasing)といい、そのような性質を持つ関数を単調減少関数(たんちょうげんしょうかんすう、monotonically decreasing function)と呼ぶ。従って、連続な単調増加関数 を縦軸、その引数 を横軸にとったグラフ上の曲線は常に右上りで、右下がりになっている部分がない。逆に単調減少関数の場合には、常に右下がりであり右上がりの部分がない。 ある関数が単調増加または単調減少する性質をまとめて単調性(たんちょうせい、monotonicity)と呼ぶ。.

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収縮写像

収縮写像(英: Contraction mapping)とは、距離空間 (M,d) における M からM への関数 f であり、M における全ての x と y について以下の条件を満たす0 の実数が存在する: より一般化に、収縮写像の考え方は2つの距離空間の間の写像と定義することもできる。つまり、2つの距離空間 (M,d) と (N,g) があるとき、f:M\rightarrow N という写像が考えられ、M のあらゆる x と y について g(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y) となるような定数 k が存在する。このような写像をリプシッツ関数という。 そのような k の最小値を f のリプシッツ定数(Lipschitz constant)という。上記条件が 0 で満足される場合、その写像は「非拡大的(non-expansive)」である。 全ての収縮写像はリプシッツ連続であり、一様連続である。 収縮写像には高々1つの不動点が存在する。バナッハの不動点定理によれば、空でない完備距離空間における収縮写像には唯一の不動点があり、M 内の任意の x について反復関数列 x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))),...

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反対圏

圏論という数学の分野において,与えられた圏 の反対圏(はんたいけん,opposite category),逆圏(ぎゃくけん)あるいは双対圏(そうついけん,dual category) は射を逆にする,つまり,各射の始域と終域を交換することによって作られる.逆にする操作を2回やるともとの圏になるので,逆圏の逆圏はもとの圏自身である.記号で書けば,(C^)^.

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反射関係

反射関係(はんしゃかんけい、reflexive relation)は、数学における二項関係の一種。二項関係には反射性 (reflexivity) のものと非反射性 (irreflexivity) のものがある。なお、ここでの(二項)関係は X × X という形式であり、集合 X からそれ自身への関係である。.

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可換体

抽象代数学において、可換体(かかんたい、corps commutatif)あるいは単に体(たい、field)本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。(ガロワ理論を含む)体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は(ゼロ除算を除いて)除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.

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同型写像

数学において,同型写像(isomorphismfrom the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape")あるいは単に同型とは,は準同型写像あるいは射であって,逆射を持つものである逆関数ではない..2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは,それらの間に同型写像が存在することをいう.自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である.同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある.したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい. 群や環を含むほとんどの代数的構造に対して,準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である. 位相幾何学において,射とは連続写像のことであるが,同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる.解析学において,射は可微分関数であり,同型写像は微分同相とも呼ばれる. 標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなである.2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは,それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう.例えば,有限次元ベクトル空間 から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である.一方, は双対空間に同型であるが,一般には標準的にではない. 同型写像は圏論を用いて形式化される.ある圏の射 が同型射であるとは,両側逆射を持つことをいう,すなわち,その圏における別の射 があって, かつ となる,ただし と はそれぞれ と の恒等射である..

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同値関係

数学において、同値関係(どうちかんけい、equivalence relation)は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割(類別)する。 同値関係にあることを表す記法は文献によって様々に用いられるけれども、与えられた集合上の同値関係 に関して二元 が同値であることを "" や "" で表すのがもっともよく用いられる記法である。 に関して同値であることを明示する場合には、"" や "" あるいは "" などと書かれる。.

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多元環

数学において、多元環(たげんかん、algebra)とは可換環上の加群としての構造を持ち、その構造と両立しているような積を持つ代数的構造のことである。algebra を直訳して代数(だいすう)と呼ぶことも多い。また、ブルバキの数学原論では(結合的なものを)線型環(せんけいかん)と呼んでいる。 双対概念である余代数(双対多元環)も参照。.

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多様体の圏

数学の一分野である圏論において -級多様体の圏(たようたいのけん、category of manifolds) は、すべての -級可微分多様体を対象とし、すべての -級可微分写像(-回連続的微分可能写像を射とする圏である。二つの -級写像の合成はやはり -級となるから、確かにこれで圏が得られている。 しばしば特定の圏 に属する対象をモデルに持つ多様体( における多様体対象)のみを考えたいという場合が生じる。そのような限定された意味の多様体の成す圏は のように書き表す。同様に特定の空間 の上で定められる多様体の成す圏を と書く。 滑らかな多様体の圏 やの圏 も同様に考えられる。.

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始対象と終対象

数学の抽象的な分野である圏論において、圏 の始対象(したいしょう、initial object, coterminal object)とは、 の任意の対象 に対してちょうど一つの射 が存在するような の対象 のことを指す。圏 の終対象(しゅうたいしょう、final object, terminal object)とは、始対象の双対概念であり、 の任意の対象 に対してちょうど一つの射 が存在するような の対象 のことを指す。 始対象でも終対象でもあるような対象は零対象(れいたいしょう、ゼロたいしょう、zero object, null object)と呼ばれる。点付き圏 とは零対象を持つ圏を言う。.

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小さい圏の圏

数学の特に圏論における(小さい)圏の圏(ちいさいけんのけん、category of small categories) は、すべての小さい圏を対象とし、圏の間の函手を射とする圏である。実際には、 は自然変換を (2-射) とする (2-圏) を成すものと見なせる。 の始対象は対象も射も持たない空圏 であり、終対象はただ一つの対象とただ一つの射(唯一の対象上の恒等射)のみからなる圏 (自明圏あるいは終圏という)である。 小さい圏の圏 それ自身は大きい圏であり、それゆえ自身を対象として含むことはない。ラッセルの逆理(の圏版)を避けるには「すべての(小さいとは限らない)圏の圏」はあってはならないが、「すべての圏の擬圏」(quasi­category of categories) CATを考えることはできる(擬圏は大きい圏を対象にできるという意味で圏ではないとすれば、圏の擬圏は自身を対象に含まない)。.

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射 (圏論)

数学の多くの分野において、型射あるいは射(しゃ、morphism; モルフィズム)は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる(準同型)。この意味での射の概念は現代的な数学のあらゆる場所で繰り返し生じてくる。例えば集合論における射は写像であり、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像、… といったようなものなどがそうである。 圏論における射はこのような概念を広く推し進め、しかしより抽象的に扱うものである。考える数学的対象は集合である必要はないし、それらの間の関係性である射は写像よりももっと一般の何ものかでありうる。 射の、そして射がその上で定義される構造(対象)を調べることは圏論の中核を成す。射に関する用語法の多くは、その直観的背景でもある(対象が単に付加構造を備えた集合で、射がその構造を保つ写像であるような圏)に由来するものとなっている。また圏論において、圏を図式と呼ばれる有向グラフによって見る立場から、射は有向辺あるいは矢印 (arrow) と呼ばれることもある。.

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層(そう).

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一様空間

一様空間(いちようくうかん、uniform space)は数学の一分野である位相空間論の概念で、一様連続性、一様収束性、完備性、一様被覆といった性質の定式化が可能になる条件を抽象する事で得られたものである。 一様空間は距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念であり、距離空間は自然に一様空間とみなせ、一様空間は自然に位相空間とみなせる。また擬距離空間や位相群なども一様空間とみなせる。 一様空間は距離空間と位相群を一般化する概念であるので、解析学における議論の多くの基盤を与えるものとなっている。 一様構造と位相構造の概念的な違いは、一様空間においては点の近さや相対的な近さといったようなある種の概念が定式化できるというようなことにある。つまり、「点 x の点 a への近さは、点 y の点 bへの近さよりも近い」といったような考察は一様空間において意味を成すのである。対する一般の位相空間では、部分集合 A, B が与えられれば、「点 x が集合 A にどれほどでも近い(x が A の閉包に属する)」とか「集合 A は集合 B よりも小さい近傍である」といったようなことは言える。しかし点の近さの概念や相対的な近さといったようなものは、位相構造のみでは記述することができない。.

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一様連続

一様連続(いちようれんぞく、uniformly continuous)は数学における関数に対する概念で、通常の連続性の概念を強めたものである。大雑把に言って、関数の連続性とは引数 x の変化が小さいと関数値 f(x) の変化も小さい事を指すが、このとき f(x) の変化の度合いが x の変化の度合いにのみ依存し、x の値自身にはよらなければ f は一様連続であるという。 すなわち一様連続性とは、f の定義域において x と y が十分近いことを要求するだけで( x の値によらず)、f(x) と f(y) が近い値をとることを保証していることを言う。 定義より一様連続な関数は連続であるが、逆は一般には成り立たない。 しかし定義域が有界閉区間であれば、その区間上連続な関数は一様連続である事が知られている(ハイネ・カントールの定理)。 一様連続性の定義はユークリッド空間や、それを一般化した概念である距離空間において定義される。 さらに一般に一様空間上でも定義可能である。.

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幾何学

最先端の物理学でも用いられるカラビ-ヤウ多様体の一種。現代幾何学では図も書けないような抽象的な分野も存在する。 幾何学(きかがく、)は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である広辞苑第六版「幾何学」より。イエズス会マテオ・リッチによる geometria の中国語訳である。以前は geometria の冒頭の geo- を音訳したものであるという説が広く流布していたが、近年の研究により否定されている。 もともと測量の必要上からエジプトで生まれたものだが、人間に認識できる図形に関する様々な性質を研究する数学の分野としてとくに古代ギリシャにて独自に発達しブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。、これらのおもな成果は紀元前300年ごろユークリッドによってユークリッド原論にまとめられた。その後中世以降のヨーロッパにてユークリッド幾何学を発端とする様々な幾何学が登場することとなる。 幾何学というとユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学が一般には馴染みが深いであろうが、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している。 現代の日本の教育では、体系的な初等幾何学はほぼ根絶されかけたが、近年、中・高の数学教育で線型幾何/代数幾何を用いない立体を含む、本格的な綜合幾何は見直されつつある。.

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交換法則

交換法則(こうかんほうそく、Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則(かかんそく)や交換律(こうかんりつ)ともいう。.

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二項関係

数学において、二項関係(にこうかんけい、binary relation)あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 の部分集合を、集合 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 に対して、 と との間の二項関係とは、直積 の部分集合のことをいう。 二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 と整数全体の成す集合 の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 は、 の倍数である任意の整数 に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 が関係を持つ整数には などが含まれるが や は含まれない。同様に素数 が関係する整数として などが挙げられるが、 や はそうではない。 二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。 二項関係はn-項関係 (各 -番目の成分が関係の -番目の始集合 からとられているようなn-組からなる集合)で とした特別の場合である。 ある種の公理的集合論では(集合の一般化としての)類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念(に限った話ではないが)のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。.

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二項演算

数学において、二項演算(にこうえんざん、binary operation)は、数の四則演算(加減乗除)などの 「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念である。二項算法(にこうさんぽう)、結合などともいう。.

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代数的位相幾何学

代数的位相幾何学(だいすうてきいそうきかがく、英語:algebraic topology、代数的トポロジー)は代数的手法を用いる位相幾何学の分野のことをいう。 古典的な位相幾何学は、図形として取り扱い易い多面体を扱っていたが、1900年前後のポワンカレの一連の研究を契機として20世紀に発展した。 ポワンカレは 1895年に出版した "Analysis Situs" の中で、ホモトピーおよびホモロジーの概念を導入した。これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている。 多様体、基本群、ホモトピー、ホモロジー、コホモロジー、ファイバー束などの、位相空間の不変量として代数系を対応させ、位相的性質を代数的性質に移して研究する..

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代数的構造

数学において代数的構造(だいすうてきこうぞう、algebraic structure)とは、集合に定まっている算法(演算ともいう)や作用によって決まる構造のことである。代数的構造の概念は、数学全体を少数の概念のみを用いて見通しよく記述するためにブルバキによって導入された。 また、代数的構造を持つ集合は代数系(だいすうけい、algebraic system)であるといわれる。すなわち、代数系というのは、集合 A とそこでの算法(演算の規則)の族 R の組 (A, R) のことを指す。逆に、具体的なさまざまな代数系から、それらが共通してもつ原理的な性質を抽出して抽象化・公理化したものが、代数的構造と呼ばれるのである。 なお、分野(あるいは人)によっては代数系そのもの、あるいは代数系のもつ算法族のことを代数的構造とよぶこともあるようである。 後者は、代数系の代数構造とも呼ばれる。 現代では、代数学とは代数系を研究する学問のことであると捉えられている。.

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位相空間

数学における位相空間(いそうくうかん, topological space)とは、集合にある種の情報(位相、topology)を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.

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位相空間の圏

数学の一分野である圏論における位相空間の圏(いそうくうかんのけん、category of topological spaces) あるいは \mathcal\!\!op は、位相空間を対象とし、連続写像を射とする圏を言う。ただし、しばしば対象や射を特定のものに制限したり適当なものに取り換えたりするので注意が必要である(例えば、対象はしばしばと仮定する)。これが圏を成すことは、二つの連続写像の合成がふたたび連続となることによる。圏 およびを圏論の手法を用いて研究する分野を圏論的位相空間論 (categorical topology) と言う。 注意: 記号 を位相多様体と連続写像の圏の意味で用いる文献があるので注意が必要である。必要ならば や などと書けば混乱は避けられる。.

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作用

作用(さよう)は、一般にはある物が他の物に及ぼす何らかの影響・効果のこと。物理学や数学で用いられる。分野によって、いくつかの異なる意味で用いられている。.

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余核

数学において、ベクトル空間の線型写像 f: X → Y の余核 (よかく、cokernel) は f の終域 の f の像による商空間 Y/im(f) である。余核の次元は f の余次元 (corank) と呼ばれる。 余核はの双対であるので、その名前がついている。核は定義域の部分対象であるのに対し(それは定義域に写す)、余核は終域のである(それは終域から写す)。 直感的には、解きたい方程式 f(x).

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圏 (数学)

数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏(けん、category)は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる 二つの圏が等しい(相等)とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり(それよりも緩いでさえ強すぎる)、圏同値がしばしば考慮される(二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる)。 圏論が初めて現れるのは Eilenberg–Mac Lane, "General Theory of Natural Equivalences" (1945) と題された論文である。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの がある。.

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圏同値

数学、とりわけ圏論において、圏同値(けんどうち、equivalence of categories)とはふたつの圏が「本質的には同じである」という関係のことをいう。 多くの分野で圏同値の例がある。 圏同値を示すことで、対象になっている数学的な構造の間に強い相関関係があることがわかる。 場合によっては、その構造は表面的には無関係に見えるので、圏同値は有用である; つまりある定理を異なる数学的構造の定理に「翻訳」できることがある。 もしある圏が別の圏の双対圏と圏同値ならば、ふたつの圏は双対同値と言い、圏双対について論じることができる。 圏同値は圏の間の「可逆な」関手から成る。 しかしながら代数的な設定の下における同型とは異なり、関手とその「逆関手」の合成が恒等写像である必要はない。 その代わりに各対象が合成の像と自然同型であればよい。 そのため、このことはふたつの関手が「同型を除いて逆関手」であると言われたりする。 実際にという概念もあり、こちらは本当に関手が逆関手であることを要求するが、圏同値の概念に比べると実用性を欠く。.

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圏論

圏論(けんろん、category theory)は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。 考えている種類の「構造」を持った対象とその構造を反映するような対象間の射の集まりからなる圏が基本的な考察の対象になる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。.

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マグマの圏

数学の一分野、圏論におけるマグマの圏(マグマのけん、category of magmas) は、すべてのマグマ(一つの二項演算を備えた集合)を対象とし、(普遍代数学の意味での)演算の準同型(演算を保つ写像)を射とする圏を言う。 マグマの圏 は圏論的直積を持つから、直積を持つ任意の圏におけると同様に、(圏の内部演算に関する)マグマ対象 (magma object) の概念が意味を持つ。 包含函手 が、集合を自明なマグマ(二項演算は射影 で与える)と見て与えられる。 重要な性質の一つは、単射な自己射が(ちょうど、その自己射の成す定値列の余極限として)マグマ拡大の自己同型射に拡張できることである。 単集合 が の零対象で、かつ がであるから、 は点付きかつである。.

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モノイド

数学、とくに抽象代数学における単系(たんけい、monoid; モノイド)はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群(単位的半群)であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。 モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。 モノイドの歴史や、モノイドに一般的な性質を付加した議論などは半群の項に譲る。.

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モノイド圏

数学におけるモノイド圏(モノイドけん、monoidal category; モノイド的圏、モノイダル圏)あるいはテンソル圏(テンソルけん、tensor category)は、(自然同型の違いを除いて結合的な と、 について(再び自然同型の違いを除いて)左および右単位元となる対象 を備えた圏 である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証した(一貫性条件、整合条件)に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。 ベクトル空間、アーベル群、-加群、-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。 圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏を定義する際にも使われる。 モノイド圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においてトポロジカル秩序相の数学的な基盤を与え、は場の量子論やひも理論に応用をもつ。.

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モノイド閉圏

数学の特に圏論におけるモノイド閉圏(モノイドへいけん、closed monoidal category; 閉モノイド圏)とは、モノイド積(テンソル積)およびその右随伴として定まる「冪」(通常の冪対象とは異なる)を対象として持つ圏である。言い換えれば、冪対象の類似物を持ったモノイド圏である。モノイド積が通常の積であるときは(「冪」が本物の冪対象となり、)デカルト閉圏と呼ばれる。 古典的な例は、集合の圏 で、モノイド積は集合の直積、「冪」は与えられた対象間の写像全体の集合(配置集合)によって与えられる。他の例は、有限次元ベクトル空間を対象、線型写像を射とする圏 で、このときモノイド積は通常のテンソル積、「冪」はベクトル空間の間の線型写像全体の成すベクトル空間と取ればよい。 なお、この「冪」は「内部Hom函手」とも呼ばれる。対称モノイド閉圏のはである。.

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モニック射

数学の圏論において、モニック射あるいはモノ射、単射 (monomorphism, monic morphism) とは、左簡約可能な射のことである。つまり、射 がモニックであるとは、任意の射 に対して、 が成り立つということである。 これは集合間の写像の意味での単射の抽象化であり、射が写像であり集合論的単射であれば圏論的単射であるが、逆は必ずしも成り立たない。しかしながら、集合の圏や群の圏、環上の加群の圏などでは、圏論の意味での単射は集合論の意味での単射と一致する。.

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トポス

トポス(τόπος)とは、ギリシア語で「場所」を意味する語であり、以下の用法がある。.

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デカルト閉圏

圏論において、カテゴリーがデカルト閉(デカルトへい、cartesian closed)であるとは、大雑把に言えば任意の二つの対象の直積上で定義される射が直積因子の一方で定義される射と自然に同一視できることである。デカルト閉な圏はラムダ計算の自然な設定ができるという点で数理論理学およびプログラミングの理論において特に重要である。デカルト閉圏の概念はモノイド圏に一般化される(モノイド閉圏を参照)。.

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ファイバー束

ファイバー束(ファイバーそく、fiber bundle, fibre bundle)とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である。.

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分配多元環

数学における分配多元環(ぶんぱいたげんかん、distributive algebra)または非結合多元環(ひけつごうたげんかん、non-associative algebra)は、体(または可換環)K 上の線型空間(あるいは一般に加群)A であって、さらにその上のK-双線型写像 A × A → A が存在して A 上に乗法演算(中置的二項演算)を定めるものを言う。いま、乗法の結合性については全く仮定しないので、乗法を行う順番については丸括弧などを用いて指定することが非常に重要になる。例えば (ab)(cd) や (a(bc))d あるいは a(b(cd)) などは異なる値を取り得る。 ここで、結合性を仮定しないことを以って「非結合的」という言い方をするけれども、それは結合律が成立しないことを意味するものではない。言ってみれば、「非結合的」という修飾辞は「必ずしも結合的でない」という意味であって、これは非可換環が「必ずしも可換でない」という意味で「非可換」を冠しているのとまさに同じである。 A の元を左または右から掛けるという操作は、A の K-線型変換 を引き起こす(La および Ra をそれぞれ a による左移動および右移動作用と呼ぶ)。分配多元環 A の包絡環 (enveloping algebra) とは、A の自己準同型環の部分環で、A の左移動および右移動によって生成されるものを言う。この包絡環は、A が結合的でない場合でも、必ず結合的になる。この意味で、包絡環は「A を含む最小の結合多元環」である。 多元環が単型あるいは単位的 (unital, unitary) であるとは、それが乗法単位元(Ix.

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アレクサンドル・グロタンディーク

アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck, 1928年3月28日 - 2014年11月13日)は主にフランスで活躍した、ドイツ出身のユダヤ系フランス人の数学者である。 日本の数学界では彼は「グロタンディク」、「グロタンディック」、「グロタンディエク」、「グロタンディエック」、「グロテンディーク」、「グローテーンディーク」などと表記されているGrothendieck という名は、オランダ起源です。オランダにはこの名と類似の名(en dyck など)はよくあるものです。それは『大きな堤防』の意味です。私は(オランダ語よみやフランス語よみでなく)ドイツ語の発音―グロテンディーク―にしたがっています。。.

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アーベル圏

アーベル圏(アーベルけん、Abelian category)とはアレクサンドル・グロタンディークによって考案された、ホモロジー代数が展開できるよういくつかの公理を満たす圏である。元来、層係数のコホモロジー理論(層コホモロジー)と定数係数のコホモロジー理論は、定義および構成方法がまったくといっていいほど異なるにもかかわらず、理論の構造は酷似していた。そのため両者を統一的な観点から記述するために考案された。しかしながら知られているすべてのコホモロジー理論がアーベル圏上で展開できるわけではない。.

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アーベル群

数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群(アーベルぐん、abelian group)または可換群(かかんぐん、commutative group)は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。 アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群(加法群)としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法(例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す)が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。 一般に可換群はに比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。.

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アーベル群の圏

数学の一分野である圏論におけるアーベル群の圏(あーべるぐんのけん、category of abelian groups) は、アーベル群を対象とし群準同型を射とする圏である。アーベル群の圏はアーベル圏の原型であり、実際に任意の小さいアーベル圏は に埋め込める。.

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エピ射

数学の圏論において、エピ射あるいは全射 (epimorphism, epic morphism) とは、右簡約可能な射のことである。つまり、射 がエピであるとは、任意の射 に対して、 が成り立つということである。 これは集合間の写像の意味での全射の抽象化であり、射が写像であり集合論的全射であれば圏論的全射であるが、逆は必ずしも成り立たない。例えば可換環の圏における整数環から有理数体への包含写像 が反例となる。しかしながら、集合の圏や群の圏、環上の加群の圏などでは、圏論の意味での全射は集合論の意味での全射と一致する。.

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ガロア理論

ア理論(ガロアりろん、Galois theory)は、代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論。1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた。 ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。.

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クラス

ラ.

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クラス (集合論)

集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類(るい、class)は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツエルメロ=フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論(たとえば、ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論 (NBG))では、「クラス」の概念は公理化されている(NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される)。 (どのような定式化を選んだとしても)「全ての集合の集まり」はクラスである。(ZF では厳密な言い方ではないが)このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス(つまり集合)は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。 集合論以外の文脈では「クラス」を「集合」の同義語として使うこともある。この用法はクラスと集合が現代的な集合論の用語法に基づく区別をされていなかった時代からある。19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念をさしていた。この意味でのクラスは「級」という訳語を当てることがある(たとえば滑らかさのクラスの C1-級など)。.

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グラフ理論

ラフ理論(グラフりろん、graph theory)は、ノード(節点・頂点)の集合とエッジ(枝・辺)の集合で構成されるグラフに関する数学の理論である。グラフ (データ構造) などの応用がある。.

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コホモロジー

数学、とくにホモロジー論と代数トポロジーにおいて、コホモロジー (cohomology) はコチェイン複体から定義されるアーベル群の列を意味する一般的な用語である。つまり、コホモロジーはコチェイン、コサイクル、そしてコバウンダリの抽象的な研究として定義される。コホモロジーは、を、ホモロジーがもっているよりも洗練された代数的構造をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる。コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる。より抽象的でない言葉で言えば、基本的な意味でのコチェインは'量'をホモロジー論のチェインに割り当てる。 位相幾何学におけるその起源から、このアイデアは20世紀後半の数学において主要な手法となった。チェインについての位相的不変関係としてのホモロジーの最初の考えから、ホモロジーとコホモロジーの理論の応用の範囲は幾何学と抽象代数学に渡って拡がった。用語によって、多くの応用においてコホモロジー、反変理論、がホモロジーよりも自然であるという事実が隠されがちである。基本的なレベルではこれは幾何学的な状況において関数とを扱う。空間 X と Y、そして Y 上のある種の関数 F が与えられたとすると、任意の写像 f: X → Y に対して、f との合成は X 上の関数 F o f を引き起こす。コホモロジー群はまたしばしば自然な積、カップ積をもっており、環の構造を与える。この特徴のために、コホモロジーはホモロジーよりも強い不変量である。ホモロジーでは区別できないある種の代数的対象を区別できるのである。.

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ソーンダース・マックレーン

ーンダース・マックレーン ソーンダース・マックレーン(Saunders Mac Lane, 1909年8月4日 - 2005年4月14日)はアメリカの数学者。 コネチカット州タフトヴィル生まれ。ゲッティンゲン大学にてパウル・ベルナイスに師事し、1934年に博士号を取得。1947年シカゴ大学教授に就任し、1982年同大学名誉教授。また、アメリカ数学協会会長(1951年-1952年)、アメリカ数学会会長(1973年-1974年)を歴任した。2005年、サンフランシスコにて没。 サミュエル・アイレンベルグと共に圏論を創設したことで知られる。自ら著した“Categories for the Working Mathematician”(日本語訳タイトル『圏論の基礎』)は圏論に関する基礎的なテキストとなっている。.

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サミュエル・アイレンベルグ

サミュエル・アイレンベルグ(Samuel Eilenberg, 1913年9月30日 - 1998年1月30日)はポーランドのワルシャワ出身の数学者である。ワルシャワ大学で博士号取得、長年コロンビア大学数学科教授を務めた。数学者集団ブルバキのメンバーでもあった。 代数的位相幾何学、ホモロジー代数に大きな業績を残した。 1986年にウルフ賞数学部門受賞。 Category:ポーランドの数学者 Category:位相幾何学者 Category:ウルフ賞数学部門受賞者 Category:グッゲンハイム・フェロー 130930 Category:ブルバキ Category:コロンビア大学の教員 Category:ワルシャワ出身の人物 Category:1913年生 Category:1998年没 Category:数学に関する記事.

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写像

写像(しゃぞう、mapping, map)とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数(関数)、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。 ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と(一価の)「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる(多価函数参照)。文献によっては「数の集合(大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合)を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。.

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写像の合成

数学において写像あるいは函数の合成(ごうせい、composition)とは、ある写像を施した結果に再び別の写像を施すことである。 たとえば、時刻 t における飛行機の高度を h(t) とし、高度 x における酸素濃度を c(x) で表せば、この二つの函数の合成函数 (c ∘ h)(t).

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全順序

数学における線型順序(せんけいじゅんじょ、linear order)、全順序(ぜんじゅんじょ、total order)または単純順序(たんじゅんじゅんじょ、simple order)は、推移的、反対称かつ完全な二項関係を言う。集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。 即ち、集合 X が関係 ≤ によって全順序付けられるとき、X の任意の元 a, b, c に対して、以下の条件 が満足される。 反対称性によって a < b でも b < a でもあるような不確定な状態は排除される。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係でであることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である。また完全性から反射性 (a ≤ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は(完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で)全順序よりも弱い条件である。与えられた半順序を拡張して全順序をえることは、半順序のと呼ばれる。.

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前加法圏

数学、特に圏論において、前加法圏とは可換群のなすモノイド圏で豊穣化した圏のことである。言い換えると、圏Cが前加法的であるとは、Cの各hom集合 Hom(A,B) が可換群の構造を持ち、さらに射の合成について双線形であることをいう。 可換群の圏 を Ab と書く記法に由来して、前加法圏を「Ab-圏」と呼ぶこともある。著者によっては前加法圏を加法圏と呼ぶこともあるが、ある特別な前加法圏(以下の#特別な場合を参照)のことを加法圏と呼ぶのが最近の傾向である。.

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前順序集合の圏

数学の一分野、圏論における前順序集合の圏(ぜんじゅんじょしゅうごうのけん、category of preordered sets) は、すべてのを対象とし、単調写像を射とする圏である。二つの単調写像の合成はふたたび単調であり、また恒等写像は単調であるから、これは確かに圏を成していることがわかる。.

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等式

等式(とうしき、equation)とは、二つの対象の等価性・相等関係 (equality) を表す数式のことである。.

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箙 (数学)

数学、特に結合代数の表現論において箙(えびら)あるいはクイバー(quiver)とは、多重辺とループを許す有向グラフのことである。によって1972年に導入された。代数的閉体上の任意の有限次元代数は、ある箙から定まる道代数の商代数と森田同値になる (Gabriel)。.

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線型写像

数学の特に線型代数学における線型変換(せんけいへんかん、linear transformation、一次変換)あるいは線型写像(せんけいしゃぞう、linear mapping)は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の(零写像でない)線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは(体上の加群としての)ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像(自己準同型)の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、(特に無限次元空間上の)線型写像のことを「線型作用素」(せんけいさようそ、linear operator)と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」(いちじけいしき、linear form, one-form; 線型形式; 1-形式)とも呼ばれる一次の微分形式(一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form)を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。.

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群 (数学)

数学における群(ぐん、group)とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.

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群の圏

数学の一分野である圏論における群の圏(ぐんのけん、category of groups) は、群すべてからなる類を対象の類とし、群準同型を射とする圏である。作り方からこれはを成す。代数学における群論は、この圏の研究であるとみなすこともできる。.

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群環

代数学において、与えられた群および環に対する群環(ぐんかん、group ring)は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群を生成系とする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環(代数)の構造を持ち、群多元環(ぐんたげんかん、group algebra; 群代数)(あるいは短く群環これは少々紛らわしいが、任意の群環は係数環の中心上の群多元環となるから、その文脈で何を係数環としているかが明らかならば混乱の虞は無いであろう。)と呼ばれる。 群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため位相群の群環の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論は群ホップ代数を見よ。.

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群準同型

数学、特に群論における群の準同型写像(じゅんどうけいしゃぞう、group homomorphism)は群の構造を保つ写像である。準同型写像を単に準同型とも呼ぶ。.

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結合多元環

数学における(結合)線型環あるいは結合的代数または結合多元環(けつごうたげんかん、associative algebra)は、結合的な環であって、かつそれと両立するような、何らかの体上の線型空間(若しくはもっと一般の可換環上の加群)の構造を備えたものである。即ち、線型環 A は(結合律や分配律を含む)幾つかの公理を満足する二項演算(内部演算)としての加法と乗法を備え、同時に乗法と両立するスカラー(体 K や環 R の元)による乗法(外部演算)を備える。 分野によっては、線型環が乗法単位元 1 を持つと仮定することが典型的である場合もある。このような余分の仮定を満たすことを明らかにする場合には、そのような線型環を単型線型環(単位的(結合)多元環)と呼ぶ。.

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結合法則

数学、殊に代数学における結合法則(けつごうほうそく、associative law) 、結合則、結合律あるいは演算の結合性(けつごうせい、associativity)は二項演算に対して考えられる性質の一つ。ひとつの数式にその演算の演算子が2個以上並んでいる時、その演算子について、左右どちらの側が優先されるかに関わらず結果が同じになるような演算は結合的 (associative) である。.

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終域

数学において写像の終域(しゅういき、codomain; 余域)あるいは終集合(しゅうしゅうごう、target set)は、写像を と表すときの集合 、すなわち写像 の出力する値がその中に属するべきという制約を定める集合をいう。終域の代わりに「値域」という語を用いる場合もあるが、値域は写像の像(出力される値すべてからなる集合、 で言えば )の意味で用いることが多いので注意すべきである。.

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組合せ (数学)

数学において、組合せ(くみあわせ、combination, choose)とは、相異なる(あるいは区別可能な)いくつかの要素の集まりからいくつかの要素を(重複無く)選び出す方法である。あるいは選び出した要素をその“並べる順番の違いを区別せずに”並べたもののことである。組合せは組合せ論と呼ばれる数学の分野で研究される。卑近な例でいえば、デッキ(山札)から決まった数のカード(手札)を引くことや、ロトくじなどがその例である。.

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環 (数学)

数学における環(かん、ring)は、台集合に「加法」(和)および「乗法」(積)と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである(これは乗法が可換だから可換環の例でもある)。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す(乗法単位元の存在を要求しない)こともある。定義に関する注意節を参照。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。 環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは(整数環や多項式環などの)よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。 また、環論は基本的な物理法則(の根底にある特殊相対性)や物質化学における対称現象の理解にも寄与する。 環の概念は、1880年代のデデキントに始まる、フェルマーの最終定理に対する証明の試みの中で形成されていった。他分野(主に数論)からの寄与もあって、環の概念は一般化されていき、1920年代のうちにエミー・ネーター、ヴォルフガング・クルルらによって確立される。活発に研究が行われている数学の分野としての現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する(イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど)。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える(前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する)。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環(斜体)が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。.

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環の圏

数学の特に圏論における(単位的・結合)環の圏(かんのけん、category of rings) は、すべての(単位元持つ)環を対象とし、すべての(単位元を保つ)環準同型を射とする圏である。他の多くの例と同じく、環の圏は大きい(すなわち、すべての環の成す類は集合でない真の類である)。.

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環上の加群

抽象代数学における環上の加群(かぐん、module)とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数(スカラー)を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは(ベクトル空間がそうであるように)加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。 任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。 加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。.

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環準同型

論や抽象代数学において、環準同型(ring homomorphism)は2つの環の間の構造を保つ関数である。 きちんと書くと、R と S が環であれば、環準同型は以下を満たす関数 である。.

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相同性

同性(そうどうせい)、ホモロジー (homology).

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順序集合

数学において順序集合(じゅんじょしゅうごう、ordered set)とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元, に順序関係が定まっている(「比較可能」である)必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合(はんじゅんじょしゅうごう、partially ordered set, poset)ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 という。(「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。) 全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。 一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、(2つ以上元を含む)集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 において と はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。 実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A<B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる(兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等)ので、この順序集合は全順序ではない。.

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順序数

数学でいう順序数(じゅんじょすう、ordinal number)とは、整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数を拡張させた概念である。.

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記号の濫用

数学において、記号の濫用(きごうのらんよう、abuse of notation, abus de notation)とは、形式的には正しくないが表記を簡単にしたり正しい直観を示唆するような表記を(間違いのもととなったり混乱を引き起こすようなことがなさそうなときに)用いることである。記号の濫用は記号の誤用とは異なる。誤用は避けなければならない。 関連する概念に用語の濫用(abuse of language, abuse of terminology, abus de langage)がある。これは記号ではなく用語が(形式的には)誤って使われることを指す。記号以外の濫用とほぼ同義である。例えば群 の表現とは正確には から GL(''V'') (ただし はベクトル空間)への群準同型のことであるが、よく表現空間 のことを「 の表現」という。用語の濫用は異なるが自然に同型な対象を同一視する際によく行われる。例えば、定数関数とその値や、直交座標系の入った 次元ユークリッド空間と である。.

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距離空間

距離空間(きょりくうかん、metric space)とは、距離関数(きょりかんすう)と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。 古代より、平面や空間、地上の 2 点間の離れ具合を表す尺度である距離は測量や科学、数学において重要な役割を果たしてきた。1906年にモーリス・フレシェは、様々な集合の上で定義された関数の一様連続性の概念を統一的に研究した論文 において、ユークリッド空間から距離の概念を抽出して用い、距離空間の理論を築いた。 平面 R2 の上の 2 点 P1.

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距離空間の圏

数学の一分野としての圏論において距離空間の圏(きょりくうかんのけん、category of metric spaces) は、すべての距離空間を対象とし、すべての(計量写像, short map)を射とする圏である。二つの非拡大写像の合成は再び非拡大であるから、確かにこれは圏を定めている。この圏を初めて考察したのは である。 ここに、射として連続写像をとらないのは、構造としての距離函数との整合を考えてのことである。非拡大写像は任意の二点間の距離を増加させない連続写像である。.

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部分圏

数学において,圏 の部分圏(ぶぶんけん,subcategory)とは,圏 であって対象が の対象で射が の射で同じ恒等射と射の合成をもつものである.直観的には, の部分圏は から対象と射をいくつか「取り除いて」得られる圏である..

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関係 (数学)

集合 X1, …, Xk 上の関係 L とは、それらの直積の部分集合 L ⊆ X1 × … × Xk である。 関係は集合の個数 k により分類される。 集合 X1, …, Xk は定義域と呼ばれる。すべての Xj が同じ集合 X のとき、L を X 上の k 項関係と呼ぶ。.

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関係の合成

数学における二項関係の合成(ごうせい、composition)は、与えられた二つの関係 R, S から新たな関係 S ∘ R を作り出す操作である。この最もよく知られた特別の場合が写像の合成である。.

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関係の圏

数学の一分野である圏論において関係の圏(かんけいのけん、category of relations) は、すべての集合を対象とし、すべての二項関係を射とする圏である。 この圏における射 が 間の関係であるというのは、 であることを意味する。 二つの関係, の合成は で与えられる。.

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関手

圏論における関手(かんしゅ、functor)は、圏から圏への構造と両立する対応付けである。関手によって一つの数学体系から別の体系への組織的な対応が定式化される。関手は「圏の圏」における射と考えることもできる。 関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。20世紀はじめのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。ここでは(基本群のような)代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。その後アレクサンドル・グロタンディークらによる代数幾何学の変革の中でさまざまな数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。.

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関手圏

圏論という数学の分野において、与えられた2つの圏の間の関手たちは関手圏(かんしゅけん、functor category)と呼ばれる圏をなす。その対象は関手であり、射は関手の間の自然変換である。関手圏は主に2つの理由によって興味が持たれる:.

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自然変換

数学の一分野である圏論において、自然変換(しぜんへんかん、natural transformation)は、ある函手をその圏に関する内部構造(即ち射の合成)を保ちながら別の函手に変形する方法を与えるものである。したがって直観的には、自然変換というのは「函手間の射」のことであると考えうる。このことは実際に、函手圏と呼ばれるものを定義することにより厳密に定式化することができる。圏論において自然変換の概念は、圏と函手に次いで最も基本的な概念であり、それ故に圏論を用いる議論の大部分に現れる。.

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自然数

自然数(しぜんすう、natural number)とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる(詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照)。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数(例えば 3 や 18)を指して自然数ということもある。.

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零射

数学の一分野圏論における零射(れいしゃ、ゼロしゃ、zero morphism)は特別な種類の射で、零対象への射と零対象からの射の性質を併せ持つ。.

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集合

数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系(「相互に連立する」方程式の集合)、集合族(「一定の規則に基づく」集合の集合)、加法族(「加法的な性質を持つ」集合族)など。.

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集合の圏

数学の一分野である圏論において、集合の圏(しゅうごうのけん、category of sets)Set (あるいは \mathcal などとも書く) は、その対象の成す類が集合全体の成す類であるような圏である。ただし、対象の間の射の類は、集合 に対して を任意の写像とするとき、 の形に書ける三つ組全体の成す集合によって与えられる。.

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集合の被覆

数学において被覆(ひふく、cover)とは、ある集合がその集合の部分集合の族で覆われるとき、その部分集合の族のことをいう。.

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連続写像

位相空間論において函数や写像が連続(れんぞく、continuous)であるというのは、ある特定の意味で位相空間の間の位相的構造を保つある種の準同型となっていることを意味し、それ自体が位相空間論における興味の対象ともなる。数学の他の領域における各種の連続性の定義も、位相空間論における連続性の定義から導出することができる。連続性は、空間の位相が同相(位相同型)であることの基礎となる概念であり、特に全単射な連続写像が同相写像であるための必要十分条件は、その逆写像もまた連続となることである。 連続でない写像あるいは函数は、不連続であると言う。 連続性と近しい関係にある概念として、一様連続性、同程度連続性、作用素の有界性などがある。 位相空間の間の写像の連続性の概念は、それが距離空間の間の連続函数の場合のような明確な「距離」の概念を一般には持たない分、より抽象的である。位相空間というのは、集合 とその上の位相(あるいは開集合系)と呼ばれる の部分集合族で(距離空間における開球体全体の成す族の持つ性質を一般化するように)合併と交叉に関する特定の条件を満足するものを組にしたもので、位相空間においても与えられた点の近傍について考えることができる。位相に属する各集合は の(その位相に関する)開部分集合と呼ばれる。.

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推移関係

推移関係(すいいかんけい、Transitive relation)は、数学における二項関係の一種。集合 X の二項関係 R が推移的であるとは、Xの任意の元 a、b、c について、a と b に R が成り立ち、b と c に R が成り立つとき、a と c にも R が成り立つことをいう。推移的関係とも。 一階述語論理でこれを表すと、次のようになる。.

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核 (圏論)

圏論と他の数学分野へのその応用において,核(かく,kernel)は群準同型の核や加群準同型の核や他の代数系の核の一般化である.直観的には,射 の核は の前に合成して 0 になる「最も一般的な」射 である. や差核(二項のイコライザとも)も「核」と呼ばれることがあるので注意.関連はあるものの,同じというわけではなく,この記事では議論されない..

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擬環

抽象代数学において必ずしも単位元を持たない環 (rng) あるいは擬環(ぎかん、pseudo-ring)、非単位的環(ひたんいてきかん、non-unital ring)は、乗法単位元の存在以外の環の公理をすべて満たすような代数的構造を言う。英語では少しおどけて、「単位元」(identity, これをしばしば 1 で表す)の無い「環」 (ring) だからということで、「rng」と呼称することもある。 環の公理に乗法単位元の存在を含めない文献もあり、この文脈では本項に云う概念は単に「環」と呼称される。また、修飾辞「非単位的」は「必ずしも単位的でない」という意味で用いられるが、本項ではその意味では専ら「擬環」を(あるいは直接的に「必ずしも」を付けて)用い、単独の「単位的」・「非単位的」を単位元の有無を強調する意味でのみ用いる(つまり、非単位的であるといった場合には実際に単位元を持たない)。.

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数学

数学(すうがく、μαθηματικά, mathematica, math)は、量(数)、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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数学的構造

数学における構造(こうぞう、mathematical structure)とは、ブルバキによって全数学を統一的に少数の概念によって記述するために導入された概念である。集合に、あるいは圏の対象に構造を決めることで、その構造に対する準同型が構造を保つ写像として定義される。数学の扱う対象は、基本的には全て構造として表すことができる。.

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1945年

この年に第二次世界大戦が終結したため、世界史の大きな転換点となった年である。.

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