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67 関係: 基準系、原点、原点 (数学)、単位ベクトル、向き、射影空間、不動点、三次元球面、平面、平行移動、交換法則、座標、ユークリッド空間、ユニタリ群、ユニタリ行列、リー群、ローレンツ変換、ローレンツ群、ベクトル空間、初等幾何学、アフィン空間、オイラーの公式、オイラー角、ケンブリッジ大学出版局、ケーリー＝ディクソンの構成法、シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア、ジョイスティック、ジンバル、スピノール、スピン角運動量、剛体、回転、回転群、回転行列、回映操作、四元数、空間ベクトル、等長写像、線型代数学、線型写像、群の表現、群作用、無理回転、特殊ユニタリ群、特殊相対性理論、直交、直交行列、直交性、直線、鏡映、...、蝶番、行列、行列の乗法、行列式、複素平面、複素数、角度、量子力学、自由度、自転、正規直交基底、歳差、渦、指数関数、数値的安定性、時空、時計回り・反時計回り。 インデックスを展開 (17 もっと) »
基準系
基準系（きじゅんけい）、基準座標系（きじゅんざひょうけい）、または参照系（さんしょうけい、frame of reference, reference frame ）は、物理学において、系の内部の対象の位置、方位、およびその他の性質の測定を行う基準となる座標系または座標軸の集合、またはの運動の状態に結びつけられた観測基準系 を言う。.
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原点
原点（げんてん、, origo）は、物事のはじまりや基（もと）、基準、根拠となるところ。人の人生、企業などの歴史を振り返る際に、出発点という意味で比喩でも用いられる。.
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原点 (数学)
初等数学における原点（げんてん、origin）は、その周りの幾何に言及するための固定された点として用いられる、ユークリッド空間の特別な点で、ふつう で表される。.
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単位ベクトル
単位ベクトル（たんい-ベクトル、unit vector）とは、長さ（ノルム）が 1 のベクトルの事である。 二つのベクトル, があって、 が単位ベクトル（ |\mathbf|.
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向き
数学における実ベクトル空間の向き（むき、orientation) または向き付けとは、基底の順序付き組に対し「正」の向きまたは「負」の向きを指定する規約のことである。3次元ユークリッド空間における2種類の向きはそれぞれ右手系や左手系（あるいは右キラル・左キラル）と呼ばれる。しばしば右手系が正の向きにとられるものの、右手系を負の向きとするような向き付けももちろんありうる。 実ベクトル空間における向きの概念を基礎として、実多様体などの様々な幾何学的対象にも向きを考えることができる。.
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射影空間
射影空間（しゃえいくうかん、projective space） とは、その次元が n であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。非ユークリッド幾何学のひとつである射影幾何学がその概念の端緒であるが、射影空間は位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学など幾何学のあらゆる分野にわたって非常に重要な概念である。.
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不動点
不動点を三つ持つ関数 数学において写像の不動点（ふどうてん）あるいは固定点（こていてん、fixed point, fixpoint）とは、その写像によって自分自身に写される点のことである。.
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三次元球面
数学における三次元（超）球面（さんじげんきゅうめん、3-sphere; 3-球面）あるいはグローム (glome) は、通常の球面の高次元版である超球面の特別の場合である。四次元ユークリッド空間内の三次元球面は、固定された一点を「中心」として等距離にある点全体の成す点集合として定義することができる。通常の球面（つまり、二次元球面）が三次元の立体である球体の境界を成すのと同様、三次元球面は四次元の立体である四次元球体の境界となる三次元の幾何学的対象である。三次元球面は、三次元多様体の一つの例を与える。.
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平面
平面（へいめん、plane）とは、平らな表面のことである広辞苑 第五版、p.2395「平面」。平らな面。 一般的には曲面や立体などと対比されつつ理解されている。.
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平行移動
ユークリッド幾何学における平行移動（へいこういどう、translation）は全ての 点を決まった方向に一定の距離だけ動かす写像である。 物理学における平行移動は並進運動 (translational motion) と呼ばれる。.
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交換法則
交換法則（こうかんほうそく、Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則（かかんそく）や交換律（こうかんりつ）ともいう。.
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座標
幾何学において、座標（ざひょう）とは、点の位置を指定するために与えられる数の組 (coordinates)、あるいはその各数 (coordinate) のことであり、その組から点の位置を定める方法を与えるものが座標系（ざひょうけい、coordinate system）である。座標系と座標が与えられれば、点はただ一つに定まる。 座標は点により定まる関数の組であって、一つの空間に複数の座標系が重複して定義されていることがある。例えば、多様体は各点の近くでユークリッド空間と同様の座標系が貼り付けられているが、ほとんどの場合、一つの座標系の座標だけを考えていたのでは全ての点を特定することができない。このような場合は、たくさんの座標系を貼り付けて、重なる部分での読み替えの方法を記した地図帳（アトラス、atlas）を用意することもある。 地球上の位置を表す地理座標や、天体に対して天球上の位置を表す天球座標がある。.
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ユークリッド空間
数学におけるユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）は、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.
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ユニタリ群
n 次のユニタリ群(ユニタリぐん、unitary group) U(n) とは、n 次ユニタリ行列のなす群のことである。演算は行列の積で与えられる。 ユニタリ群は一般線型群の部分群である。.
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ユニタリ行列
ユニタリ行列（～ぎょうれつ、英:Unitary matrix）は、次を満たす複素正方行列 として定義される。 ここで、 は単位行列、 は行列 の随伴行列。 なお、実数で構成される行列の随伴は単に転置であるため実ユニタリ行列は直交行列に等しく、直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。.
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リー群
リー群（リーぐん、Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.
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ローレンツ変換
ーレンツ変換（ローレンツへんかん、Lorentz transformation）は、2 つの慣性系の間の座標（時間座標と空間座標）を結びつける線形変換で、電磁気学と古典力学間の矛盾を回避するために、アイルランドのジョセフ・ラーモア（1897年）とオランダのヘンドリック・ローレンツ（1899年、1904年）により提案された。 アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論（1905年）を構築したときには、慣性系間に許される変換公式として、理論の基礎を形成した。特殊相対性理論では全ての慣性系は同等なので、物理法則はローレンツ変換に対して不変な形、すなわち同じ変換性をもつ量の間のテンソル方程式として与えられなければならない。このことをローレンツ不変性(共変性)をもつという。 幾何学的には、ミンコフスキー空間における 2 点間の世界間隔を不変に保つような、原点を中心にした回転変換を表す（ミンコフスキー空間でみたローレンツ変換節参照）。.
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ローレンツ群
ヘンドリック・アントーン・ローレンツ (1853–1928) 物理学および数学において、ローレンツ群 (Lorentz group) は、（重力を除いた）全ての古典的な設定における物理現象を説明する基礎となる、ミンコフスキー時空上の全てのローレンツ変換が成す群である。ローレンツ群の名前はオランダ人物理学者ヘンドリック・ローレンツに因む。 ローレンツ変換の下では、次の法則および等式が不変に保たれる。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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初等幾何学
初等幾何学（しょとうきかがく、elementary geometry矢野健太郎編、東京理科大学数学教育研究所第2版 編集『』、共立出版、2010年、「初等幾何学」より。ISBN 978-4-320-01931-7）は、二次元（点や直線や円など）・三次元（錘体や球など）の図形をユークリッド幾何学的に扱う数学、幾何学の分野である。.
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アフィン空間
数学において、アフィン空間（あふぃんくうかん、affine space, アファイン空間とも）または擬似空間（ぎじくうかん）とは、幾何ベクトルの存在の場であり、ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量の概念を取り除いたアフィン構造を抽象化した幾何学的構造である。（代数的な）ベクトル空間からどの点が原点であるかを忘れたものと考えることもできる。 1次元のアフィン空間はアフィン直線、2次元のアフィン空間はと呼ばれる。.
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オイラーの公式
数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、Euler's formula）は、指数関数と三角関数の間に成り立つ以下の関係をいう。 ここで は指数関数、 は虚数単位、 はそれぞれ余弦関数および正弦関数である指数関数 は累乗を拡張したもので、複素数 について という関係が成り立つ。 は自然対数の底あるいはネイピア数と呼ばれる。虚数単位 は を満たす複素数である。余弦関数 および正弦関数 は三角関数の一種である。正弦関数 は、直角三角形の斜辺とその三角形の変数 に対応する角度を持つ鋭角の対辺（正弦）の長さの比を表す。余弦関数 はもう一方の鋭角（余角）の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円（半径の長さを 1 とする円）の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す 座標はそれぞれ に等しい（ は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、 軸のなす角の大きさに対応する）。文献によっては、指数関数は、（指数）から3字取って と表される。また虚数単位には でなく を用いることがある。。任意の複素数 に対して成り立つ等式であるが、特に が実数である場合が重要でありよく使われる。 が実数のとき、 は複素数 がなす複素平面上の偏角（角度 の単位はラジアン）に対応する。 公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes) とされる。コーツは1714年に を発見したが、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。 1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった。 この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。 オイラーの公式は、変数 が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 に対応する余弦関数 と正弦関数 に等しいことを表す。このとき、偏角 をパラメータとする曲線 は、複素平面上の単位円をなす。 特に、 のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、 となる。この関係はオイラーの等式 と呼ばれる三角関数の周期性（従って複素指数関数の周期性）により、オイラーの等式が成り立つのは に限らない。すなわち、任意の整数 について は を満たす。。 が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。 オイラーの公式は、三角関数 が双曲線関数 に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などの扱いを簡単にすることなどに利用される。.
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オイラー角
イラー角とは、三次元ユークリッド空間中の2つの直交座標系の関係を表現する方法の一つである。 レオンハルト・オイラーにより考案された。 剛体に固定された座標系を考えることで、剛体の姿勢を表すことができる。 オイラー角は3つの角度の組で表される。 一方の座標系を (x,y,z) で表し、他方を (X,Y,Z) で表す。簡単のために、2つの座標系は原点を共有するものと考える。.
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ケンブリッジ大学出版局
ンブリッジ大学出版局（Cambridge University Press）は、ケンブリッジ大学の出版事業を手がける出版社である。1534年、ヘンリー8世により特許状が発せられたのを起こりとする世界最古の出版社、かつ世界第2の規模の大学出版局であり、聖書や学術誌の出版も手掛けている。 「出版活動を通して、大学の理念である全世界における学問、知識、研究の促進を推し進めること」を使命として掲げている。これは、ケンブリッジ大学規約中の「Statute J」に規定されている。そして、「公益のため継続的に出版活動を行い、ケンブリッジという名前の評価を高めること」を目的としている。 ケンブリッジ大学出版局は、学術、教育分野の書籍の出版を行なっており、ヨーロッパ、中東、アフリカ、アメリカ、アジア太平洋といった地域で事業を展開している。世界中に50以上の事業所を持ち、2000人近くの従業員を抱え、4万以上のタイトルの書籍を発行している。その種類は、専門書、教科書、研究論文、参考書、 300近くに及ぶ学術誌、聖書、祈祷書、英語教育教材、教育ソフト、電子出版など、多岐にわたる。.
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ケーリー＝ディクソンの構成法
数学におけるケーリー＝ディクソンの構成法（ケーリー・ディクソンのこうせいほう）は、アーサー・ケイリーとレオナード・E・ディクソンにちなんで名づけられた、実数全体の成す体上の多元環の系列を与える方法で、各段階の多元環は直前のものの二倍の次元を持つ。この方法で与えられる各段階の多元環はケーリー＝ディクソン代数として知られる。これらは複素数を拡張するから、超複素数系となっている。 これらの代数はすべて対合（または共役）を持ち、ある元とその共役元との積（場合によってはその平方根）はノルムと呼ばれる。 最初の数段階では、次の代数へ進むごとに、特徴的な代数的性質をひとつひとつ失っていく。 より一般的には、ケーリー＝ディクソンの構成法とは、任意の対合つき代数系をとって倍の次元の対合つき代数系にすることである。.
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シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア
ュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア（Springer Science+Business Media, Springer）は、科学（Science）、技術（Technology、工学など）、医学（Medicine）、すなわちSTM関連の書籍、電子書籍、査読済みジャーナルを出版するグローバル企業である。シュプリンガーはまた、"SpringerLink"（「シュプリンガー・リンク」） 、"SpringerProtocols"（「」） 、"SpringerImages"（「シュプリンガー・イメージ」） 、"SpringerMaterials"（「シュプリンガー・マテリアル」） などいくつかの科学データベース・サービスのホスティングも行っている。 出版物には、参考図書（Reference works、レ（リ）ファレンス・ワークス）、教科書、モノグラフ（Monograph）、（Proceedings）、叢書など多数が含まれる。また、シュプリンガー・リンクには45,000以上のタイトルが自然科学など13の主題・テーマで集められており、それらは電子書籍として利用可能である。シュプリンガーはSTM分野の書籍に関しては世界最大の出版規模を持ち、ジャーナルでは世界第2位である（第1位はエルゼビア）。 多数のインプリントや、20ヶ国に約55の発行所（パブリッシング・ハウス）、5,000人以上の従業員を抱え、毎年約2,000のジャーナル、7,000以上の新書（これにはSTM分野だけではなく、B2B分野のものも含まれる）を発刊している。シュプリンガーはベルリン、ハイデルベルク、ドルトレヒト、ニューヨークに主要オフィスを構える。近年成長著しいアジア市場のために、アジア地域本部を香港に置いており、2005年8月からは北京に代表部を設置している 。 2015年5月、シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディアとマクミラン・サイエンス・アンド・エデュケーションの大半の事業の合併が、欧州連合や米国司法省などの主要な公正競争監視機関により承認された。新会社の名称は「シュプリンガー・ネイチャー（Springer Nature）」。.
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ジョイスティック
一体型ジョイスティックの構造。'''1.レバー:''' 航空機の操縦桿などの操作に用いる。'''2.台座:''' ジョイスティックを支持する。'''3.トリガボタン:'''機銃やミサイルなどといった武器の発射などに用いる。'''4.エクストラボタン:''' ゲームで頻繁に使う機能を割り当てることができる（割り当ての可否はゲームソフトによる）。'''5.連射ボタン:''' 連射のオン・オフを切り替える。'''6.スロットル:''' エンジンの推力を調節することなどに用いる。'''7.ハットスイッチ:''' 視点の操作や切り替えなどに用いる。'''8.吸盤:''' ジョイスティックが動かないよう固定する。 分離型ジョイスティックの例 ジョイスティック（Joystick）は、コンピュータへの入力機器のうち、レバーによる方向入力が行えるものの総称。やや大型の本体を机上に置くか吸盤などで固定し、レバー部分だけを手で握って操作するものが多い。.
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ジンバル
2軸（自由度2）のジンバルの図解 ジンバル（）は、1つの軸を中心として物体を回転させる回転台の一種である。軸が直交するようにジンバルを設置すると、内側のジンバルに載せられたロータの向きを常に一定に保つことができる。例えば船舶や航空機に搭載された、ジャイロスコープ、羅針盤、焜炉、ドリンクホルダーなどが一般にジンバルを使って地平線に対して常に垂直を向くようになっている。.
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スピノール
数学および物理学におけるスピノル（spinor; スピノール、スピナー）は、特に直交群の理論に於いて空間ベクトルの概念を拡張する目的で導入された複素ベクトル空間の元である。これらが必要とされるのは、与えられた次元における回転群の全体構造を見るためには余分の次元を必要とするからである。 もっと形式的に、スピノルは与えられた二次形式付きベクトル空間から、代数的なあるいは量子化の手続きを用いることで構成される幾何学的な対象として定義することもできる。与えられた二次形式は、スピノルのいくつかことなる型を記述するかも知れない。与えられた型のスピノル全体の成す集合は、それ自身回転群の作用を持つ線型空間であるが、作用の符号について曖昧さがある。それゆえに、スピノル全体の空間は回転群のを導く。符号の曖昧さは、スピノル全体の空間を、スピン群 Spin(n) のある線型表現と見なすことによって除くこともできる。この形式的な観点では、スピノルについての多くの本質的で代数的な性質が（空間幾何での話に比べて）よりはっきり見て取れるが、もとの空間幾何との繋がりはわかりにくい。他にも、複素係数の使用が最小限に押さえられる。 一般のスピノルは、1913年にエリ・カルタンによって発見された。後に、スピノルは、電子や他のフェルミ粒子の内在する角運動量、即ちスピン角運動量の性質を研究するために、量子力学に適用された。今日、スピノルは物理学の様々な分野で用いられている。古典的に、が非相対論的な電子のスピンを記述するのに用いられた。ディラック方程式では、相対論的な電子の量子状態を数学的に記述する際に、ディラック・スピノルが必須となる。場の量子論では、相対論的な多粒子系の状態は、スピノルで記述される。 数学、殊に微分幾何学およびにおいて、スピノルが発見されて以来、代数的位相幾何学・微分位相幾何学、斜交幾何学、ゲージ理論、複素代数幾何、指数定理、および特殊ホロノミー などに対して幅広い応用がなされている。.
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スピン角運動量
ピン角運動量（スピンかくうんどうりょう、spin angular momentum）は、量子力学上の概念で、粒子が持つ固有の角運動量である。単にスピンとも呼ばれる。粒子の角運動量には、スピン以外にも粒子の回転運動に由来する角運動量である軌道角運動量が存在し、スピンと軌道角運動量の和を全角運動量と呼ぶ。ここでいう「粒子」は電子やクォークなどの素粒子であっても、ハドロンや原子核や原子など複数の素粒子から構成される複合粒子であってもよい。 「スピン」という名称はこの概念が粒子の「自転」のようなものだと捉えられたという歴史的理由によるものであるが、現在ではこのような解釈は正しいとは考えられていない。なぜなら、スピンは古典極限 において消滅する為、スピンの概念に対し、「自転」をはじめとした古典的な解釈を付け加えるのは全くの無意味だからであるランダウ＝リフシッツ小教程。 量子力学の他の物理量と同様、スピン角運動量は演算子を用いて定義される。この演算子(スピン角運動量演算子)は、スピンの回転軸の方向に対応して定義され、 軸、 軸、 軸方向のスピン演算子をそれぞれ\hat_x,\hat_y,\hat_z と書き表す。これらの演算子の固有値（＝これら演算子に対応するオブザーバブルを観測したときに得られる値）は整数もしくは半整数である値 を用いて、 と書き表せる。値 は、粒子のみに依存して決まり、スピン演算子の軸の方向には依存せずに決まる事が知られている。この を粒子のスピン量子数という。 スピン量子数が半整数 になる粒子をフェルミオン、整数 になる粒子をボゾンといい、両者の物理的性質は大きく異る(詳細はそれぞれの項目を参照)。2016年現在知られている範囲において、.
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剛体
剛体（ごうたい、）とは、力の作用の下で変形しない物体のことである。 物体を質点の集まり（質点系）と考えたとき、質点の相対位置が変化しない系として表すことができる。 剛体は物体を理想化したモデルであり、現実の物体には完全な意味での剛体は存在せず、どんな物体でも力を加えられれば少なからず変形する。 しかし、大きな力を加えなければ、多くの固体や結晶体は変形を無視することができて剛体として扱うことができる。 剛体は、変形を考えないことから、その運動のみが扱われる。剛体の運動を扱う動力学は剛体の力学（）と呼ばれる。大きさを無視した質点の力学とは異なり、大きさをもつ剛体の力学は姿勢の変化（転向）が考えられる。 こまの回転運動などは剛体の力学で扱われるテーマの一つである。 なお、物体の変形を考える理論として、弾性体や塑性体の理論がある。 また、気体や液体は比較的自由に変形され、これを研究するのが流体力学である。 これらの変形を考える分野は連続体力学と呼ばれる。 剛体の動力学は、剛体の質量が重心に集中したものとしたときの並進運動に関するニュートンの運動方程式と、重心のまわりの回転に関するオイラーの運動方程式で記述できる。.
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回転
回転（廻転、かいてん、rotation）は、大きさを持たない点または大きさを持つ物体が、ある点を中心としてあるいは直線を軸として、あるいは別の物体の周りを回る運動。この点を回転中心、この直線を回転軸という。回転中心や回転軸が回転する物体の内部にある場合を特に自転というときもある。まさに運動している状態を指す場合も、運動の始状態から終状態への変化や移動を指す場合もある。前者の意味を強調したい場合は回転運動ということもある。 転じて、資金などの供給・サービス業の客の出入りなどをこう称する場合がある。.
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回転群
（n 次の）回転群（かいてんぐん、rotation group）あるいは特殊直交群（とくしゅちょっこうぐん、special orthogonal group）とは、n行n列の直交行列であって、行列式が1のもの全体が行列の乗法に関してなす群をいう。SO(n) と書く。 SO(n) はコンパクトリー群であり、n.
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回転行列
線型代数において、回転行列（かいてんぎょうれつ、rotation matrix）とは、ユークリッド空間内における原点中心の回転変換の表現行列のことである。 二次元や三次元では、幾何学、物理学、コンピュータグラフィックスの分野での計算に非常によく使われている。大半の応用で扱うのは2次元や3次元の回転だが、一般の次元でも回転行列を定義することができる。 n 次元空間における回転行列は、実数を成分とする正方行列であって、行列式が 1 の n 次直交行列として特徴づけられる： n 次元の回転行列の全体は特殊直交群（あるいは回転群）と呼ばれる群をなす。.
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回映操作
回映操作（かいえいそうさ、）とは、ある軸についての回転操作とその軸に垂直な平面についての鏡映操作の積である。この時の回転軸を回映軸という。回映操作では、回映軸と鏡映面の交点が不動点となる。 回映操作は、ある軸についての回転操作とその軸上の1点についての反転操作の積と本質的に同等であるので、回反操作（かいはんそうさ、英: rotoinversion, rotary inversion）とも呼ばれる。この時の回転軸は回反軸という。回反操作では、反転中心が不動点となる。 回映操作を構成する回転操作と鏡映操作は可換である。即ち、鏡映操作と回転操作の積は回転操作と鏡映操作の積と全く同一の変換を与える。同様に、回反操作の構成要素も可換である。 回映操作及び回反操作は、3次元空間における等長写像である。.
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四元数
数学における四元数（しげんすう、quaternion（クォターニオン））は複素数を拡張した数体系である。四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、三次元空間の力学に応用された。四元数の特徴は、二つの四元数の積が非可換となることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。 一般に、四元数は の形に表される。ここで、 a, b, c, d は実数であり、i, j, k は基本的な「四元数の単位」である。 四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいてでも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。 現代数学的な言い方をすれば、四元数の全体は実数体上四次元の結合的ノルム多元体を成し、またそれゆえに非可換整域となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H（あるいは黒板太文字でユニコードの Double-Struck Capital H, U+210D, ）と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数の分類に従って というクリフォード代数として定義することもできる。この代数 は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば は実数の全体 を真の部分環として含む有限次元可除環の二種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数の全体 ）だからである。 従って、単位四元数は三次元球面 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 を与える。これは に同型、あるいはまた の普遍被覆に同型である。.
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空間ベクトル
間ベクトル（くうかんベクトル、Vektor, vector, vector, 「運搬者、運ぶもの」より）は、大きさと向きを持った量である。ベクタ、ベクターともいう。漢字では有向量と表記される。ベクトルで表される量をベクトル量と呼ぶ。 例えば、速度や加速度、力はベクトルである。平面上や空間内の矢印（有向線分）として幾何学的にイメージされる。ベクトルという用語はハミルトンによってスカラーなどの用語とともに導入された。スカラーはベクトルとは対比の意味を持つ。 この記事では、ユークリッド空間内の幾何ベクトル、とくに 3次元のものについて扱い、部分的に一般化・抽象化された場合について言及する。本項目で特に断り無く空間と呼ぶときは、3次元実ユークリッド空間のことを指す。.
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等長写像
数学、とくに幾何学において等長写像（とうちょうしゃぞう）または等距離写像（とうきょりしゃぞう）とは、"長さ" を変えない（距離を保つ、distance preserving）写像のことである。全単射であるものに限って等長写像 (isometry) という場合もある。.
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線型代数学
線型代数学（せんけいだいすうがく、linear algebra）とは、線型空間と線型変換を中心とした理論を研究する代数学の一分野である。現代数学において基礎的な役割を果たし、幅広い分野に応用されている。また、これは特に行列・行列式・連立一次方程式に関する理論を含む。線形などの用字・表記の揺れについては線型性を参照。 日本の大学においては、多くの理系学部学科で解析学（微分積分学）とともに初学年から履修する。なお、高校教育においては平成27年度からの新課程では行列の分野が除外されている。.
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線型写像
数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、linear operator）と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、linear form, one-form; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる一次の微分形式（一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。.
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群の表現
数学において、群の表現（ぐんのひょうげん、group representation）とは、抽象的な群 の元 に対して具体的な線形空間 の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像 のことである。線型空間 の基底を取ることにより、 をより具体的な正則行列として表すことができる。.
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群作用
数学における群作用（ぐんさよう、group action）は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。.
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無理回転
力学系の数学理論において、無理回転（むりかいてん、）とは、次の写像のことを言う： 但し θ は無理数である。円を R/Z、あるいは境界が貼り合わされる区間 と見なすと、この写像は全回転に対する割合 θ（すなわち、2πθ ラジアンのある角）による円の回転を表すことになる。θ は無理数であるので、この回転は円周群において無限の位数を持ち、写像 Tθ は周期軌道を持たない。 上の代わりに、無理回転は乗法を用いて次の写像のように表すことも出来る： これら加法と乗法の記法の間にある関係は、群同型 である。 は等長であることを示すことも出来る。 が有理数であるか無理数であるかに応じて、円周の回転には明確な区別が存在する。有理回転は、\theta.
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特殊ユニタリ群
次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、special unitary group） とは、行列式が1の 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。 特殊ユニタリ群 はユニタリ群 の部分群であり、さらに一般線型群 の部分群である。 特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。.
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特殊相対性理論
特殊相対性理論（とくしゅそうたいせいりろん、Spezielle Relativitätstheorie、Special relativity）とは、慣性運動する観測者が電磁気学的現象および力学的現象をどのように観測するかを記述する、物理学上の理論である。アルベルト・アインシュタインが1905年に発表した論文に端を発する。特殊相対論と呼ばれる事もある。.
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直交
初等幾何学における直交（ちょっこう、orthogonal）は「垂直に交わる」こと、すなわちユークリッド空間内の交わる二つの直線や平面のなす角が直角であることを意味する。 このことは、直線と曲線または曲線同士、あるいは平面と曲面または曲面同士、もしくは曲線と曲面などの場合にも、交点において曲線の接線（または法線）あるいは曲面の接平面（または法線）などを考えることにより拡張できる。すなわち接線同士（または法線同士）の直交を以って二つの曲線の直交を定義するのである。注意すべきこととして、これら対象の直交性をベクトルによって定めるならば、（ベクトルは平行移動不変であるから）直交するそれらの対象は必ずしも「交わらない」。また非標準的な内積に関する直交性を考えるならば、直交するふたつのベクトルは必ずしも直角を成さない。 解析学や線型代数学に属する各分野を含め、直交性の概念は数学において広範に一般化して用いられる。.
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直交行列
交行列（ちょっこうぎょうれつ, ）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまりn × n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、MTM.
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直交性
交性とは、.
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直線
線の正確な表示（直線は太さを持たない図形である為、厳密に正しく表示した場合、視覚では確認不能となる） 線分 直線（ちょくせん、line）とは、太さを持たない幾何学的な対象である曲線の一種で、どこまでもまっすぐ無限に伸びて端点を持たない。まっすぐな線には直線の他に、有限の長さと両端を持つ線分（せんぶん、line segment、segment）と、一つの端点を始点として無限にまっすぐ伸びた半直線（はんちょくせん、ray、half-line）がある。.
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鏡映
数学における鏡映（きょうえい、reflection）あるいは鏡映変換とはユークリッド空間の超平面を固定点集合にもつ等長変換である。その名の通り、3次元空間内では、ある図形に鏡映変換を施したものは、平面鏡に映ったその図形の位置及び見え方と一致する。（この場合、鏡の位置が固定点集合となる） 例えば2次元ユークリッド空間では鏡映の固定点集合は直線であり、固定点集合を鏡映の軸という。逆に、与えられた直線を軸とする鏡映が定まり、直線による折り返しなどとも呼ばれる。同様に、3次元空間では与えられた平面による鏡映が定まる。 鏡映によって変わらない図形を鏡映対称（2次元図形の場合、特に線対称とも呼ぶ）である、あるいは鏡映対称性を持つなどという。特に軸が垂直な場合は左右対称とも言われる。例えばアルファベットの A や H などは垂直な軸に関して鏡映対称である。3次元の物体や現象（特に分子）が鏡映対称であって、合同ではないことを掌性と呼ぶ。 長さや角度は鏡映によって変わらないが、向きが変わる。また、同じ鏡映を2回続けて行うと恒等変換になるので鏡映は対合の一種である。.
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蝶番
蝶番（ちょうつがい、hinge）とは、開き戸・開き蓋などの開く建具を支え開閉できるようにする部品である。建築業界では丁番の表記、「ちょうばん」の読み方が主流である。英語のhingeからヒンジの呼称も使用される。.
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行列
数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、matrix）は、数や記号や式などを行と列に沿って矩形状に配列したものである。行の数と列の数が同じ行列はが成分ごとの計算によって与えられる。行列の積の計算はもっと複雑で、2 つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。 行列の応用として顕著なものは一次変換の表現である。一次変換は のような一次関数の一般化で、例えば三次元空間におけるベクトルの回転などは一次変換であり、 が回転行列で が空間の点の位置を表す列ベクトル（1 列しかない行列）のとき、積 は回転後の点の位置を表す列ベクトルになる。また 2 つの行列の積は、2 つの一次変換の合成を表現するものとなる。行列の別な応用としては、連立一次方程式の解法におけるものである。行列が正方行列であるならば、そのいくつかの性質は、行列式を計算することによって演繹することができる。例えば、正方行列が正則であるための必要十分条件は、その行列式の値が非零となることである。固有値や固有ベクトルは一次変換の幾何学に対する洞察を与える。行列の応用は科学的な分野の大半に及び、特に物理学において行列は、電気回路、光学、量子力学などの研究に利用される。コンピュータ・グラフィックスでは三次元画像の二次元スクリーンへの投影や realistic-seeming motion を作るのに行列が用いられる。は、古典的な解析学における微分や指数関数の概念を高次元へ一般化するものである。 主要な数値解析の分野は、行列計算の効果的なアルゴリズムの開発を扱っており、主題は何百年にもわたって今日では研究領域も広がっている。行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を単純化するもので、アルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計が効率的に処理される。惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。関数のテイラー級数に対して作用する微分の表現行列は、無限次行列の簡単な例である。.
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行列の乗法
数学において、行列の対から別の行列を作り出す二項演算としての行列の乗法は、実数や複素数などの数が初等的な四則演算でいうところの乗法を持つことと対照的に、そのような「数の配列」の間の乗法として必ずしも一意的な演算を指しうるものではない。そのような意味では、一般に「行列の乗法」は幾つかの異なる二項演算を総称するものと考えることができる。行列の乗法の持つ重要な特徴には、与えられた行列の行および列の数（行列の型やサイズあるいは次元と呼ばれるもの）が関係して、得られる行列の成分がどのように特定されるかが述べられるということが挙げられる。 例えば、ベクトルの場合と同様に、任意の行列に対してスカラーを掛けるという操作が、その行列の全ての成分に同じ数を掛けるという方法で与えられる。また、の場合と同様に、同じサイズの行列に対して成分ごとの乗法を入れることによって定まる行列の積はアダマール積と呼ばれる。それ以外にも、二つの行列のクロネッカー積は区分行列として得られる。 このようにさまざまな乗法が定義できるという事情の中にあっても、しかし最も重要な行列の乗法は連立一次方程式やベクトルの一次変換に関するもので、応用数学や工学へも広く応用がある。これは通例、行列の積（ぎょうれつのせき、matrix product）と呼ばれるもので、 が 行列で、 が 行列ならば、それらの行列の積 が 行列として与えられ、その成分は の各行の 個の成分がそれぞれ順番に の各列の 個の成分と掛け合わされる形で与えられる（後述）。 この通常の積は可換ではないが、結合的かつ行列の加法に対して分配的である。この行列の積に関する単位元（数において を掛けることに相当するもの）は単位行列であり、正方行列は逆行列（数における逆数に相当）を持ち得る。行列の積に関して行列式は乗法的である。一次変換や行列群あるいは群の表現などの理論を考える上において行列の積は重要な演算となる。 行列のサイズが大きくなれば、二つあるいはそれ以上の行列の積の計算を定義に従って行うには、非常に膨大な時間が掛かるようになってしまうため、効果的に行列の積を計算できるアルゴリズムが考えられてきた。.
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行列式
数学における行列式（ぎょうれつしき、）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。.
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複素平面
複素平面 数学において、数平面（すうへいめん、Zahlenebene）あるいは複素数­平面（ふくそすう­へいめん、Komplexe Zahlenebene, complex plane）は、数直線あるいは実数直線 (real line) を実軸 (real axis) として含む。 が実数であるとき、複素数 を単に実数の対とみなせば、平面の直交座標 の点に対応付けることができる。xy-平面上の y-軸は純虚数の全体に対応し、虚軸 (imaginary axis) と呼ばれる。-平面上の点 に複素数 を対応させるとき、-平面とも言う。 1811年頃にガウスによって導入されたため、ガウス平面 (Gaussian plane) とも呼ばれる。一方、それに先立つ1806年に も同様の手法を用いたため、アルガン図 (Argand Diagram) とも呼ばれている。さらに、それ以前の1797年の の書簡にも登場している。このように複素数の幾何的表示はガウス以前にも知られていたが、今日用いられているような形式で複素平面を論じたのはガウスである。三者の名前をとってガウス・アルガン平面、ガウス・ウェッセル平面などとも言われる。 英語名称 complex plane を「直訳」して複素平面と呼ぶことも少なくないが、ここにいう complex は「複素数上の—」という意味ではなく複素数そのものを意味している（複素数の全体を "the complexes" と呼んだり、" is a complex" などのような用例のあることを想起せよ）。したがって、語義に従った complex plane の直訳は「複素数平面」と考えるべきである（実数全体の成す real line についても同様であり、これは通例「実数直線」と訳され、実直線は多少異なる意味に用いられる）。.
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複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
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角度
角度（かくど、measure of angle, angle）とは、角（かく、angle）の大きさを表す量・測度のことである。なお、一般の角の大きさは、単位の角の大きさの実数倍で表しうる。角およびその角度を表す記号としては ∠ がある。これは角記号（かくきごう、angle symbol）と呼ばれる。 単に角という場合、多くは平面上の図形に対して定義された平面角（へいめんかく、plane angle）を指し、さらに狭義にはある点から伸びる2つの半直線（はんちょくせん、ray）によりできる図形を指す。平面角の角度は、同じ端点を持つ2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。2つの半直線が共有する端点は角の頂点（かくのちょうてん、vertex of angle）と呼ばれ、頂点を挟む半直線は角の辺（かくのへん、side of angle）と呼ばれる。また、直線以外の曲線や面などの図形がなす角の角度も、何らかの2つの直線のなす角の角度として定義される。より広義には、角は線や面が2つ交わって、その交点や交線の周りにできる図形を指す。線や面が2つ交わって角を作ることを角をなすという。ここでいう面は通常の2次元の面に限らず、一般には超平面である。 角が現れる基本的な図形としては、たとえば三角形や四角形のような多角形（たかくけい、polygon）がある。特に三角形は平面図形における最も基本的な図形であり、すべての多角形は三角形の組み合わせによって表現することができる。また、他にも単純な性質を多く持っているため、様々な場面で応用される。有名なものは余弦定理（よげんていり、law of cosines）や、三角形の辺の比を通じて定義される三角関数（さんかくかんすう、trigonometric function）などがある。余弦定理と三角関数は、三角形の角と辺の間に成り立つ関係を示したもので、これらの関係を利用して、三角形の辺の長さからある角の大きさを求めたり、大きさが既知の角から辺の長さや長さの比を求めることができる。このことはしばしば三角形の合同条件（さんかっけいのごうどうじょうけん、congruence condition of triangles）としても言及される。 物理学など自然科学においては、量の次元が重要な役割を果たす。例えば、辺の長さや弧の長さは物理量として「長さ」の次元を持っているが、国際量体系において、角度は辺の長さの比などを通じて定義される無次元量であるとしている。角度が無次元であることは、直ちに角度が単位を持たないことを意味しない。例えば角度を表す単位としてはラジアン（らじあん、radian）や度（ど、degree）が有名である。ラジアンと度の換算は以下の式によって示される。 また、ラジアンで表された数値は単位なしの数として扱うことができる。 角度に関連する物理学の概念として、位相（いそう、phase）がある。位相は波のような周期的な運動を記述するパラメーターであり、その幾何学的な表現が角度に対応している。位相も角度と同様にラジアンが単位に用いられる。 立体的な角として立体角（りったいかく、solid angle）も定義されているが、これは上記の定義には当てはまらない。その大きさは単に立体角と呼ばれることが多く、角度と呼ばれることはほとんどない。 以下、本項目においては平面角を扱う。.
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量子力学
量子力学（りょうしりきがく、quantum mechanics）は、一般相対性理論と同じく現代物理学の根幹を成す理論として知られ、主として分子や原子、あるいはそれを構成する電子など、微視的な物理現象を記述する力学である。 量子力学自身は前述のミクロな系における力学を記述する理論だが、取り扱う系をそうしたミクロな系の集まりとして解析することによって、ニュートン力学に代表される古典論では説明が困難であった巨視的な現象についても記述することができる。たとえば量子統計力学はそのような応用例の一つである。従って、生物や宇宙のようなあらゆる自然現象もその記述の対象となり得る。 代表的な量子力学の理論として、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始された、シュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスクアル・ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある。ただしこの二つは数学的に等価である。 基礎科学として重要で、現代の様々な科学や技術に必須な分野である。 たとえば科学分野について、太陽表面の黒点が磁石になっている現象は、量子力学によって初めて解明された。 技術分野について、半導体を利用する電子機器の設計など、微細な領域に関するテクノロジーのほとんどは量子力学を基礎として成り立っている。そのため量子力学の適用範囲の広さと現代生活への影響の大きさは非常に大きなものとなっている。一例として、パソコンや携帯電話、レーザーの発振器などは量子力学の応用で開発されている。工学において、電子工学や超伝導は量子力学を基礎として展開している。.
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自由度
自由度（じゆうど、degree of freedom）とは、一般に、変数のうち独立に選べるものの数、すなわち、全変数の数から、それら相互間に成り立つ関係式（束縛条件、拘束条件）の数を引いたものである。数学的に言えば、多様体の次元である。「自由度1」、「1自由度」などと表現する。 自由度は、力学、機構学、統計学などで使用され、意味は上記の定義に準じるが、それぞれの具体的に示唆する処は異なる。.
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自転
自転（じてん、rotation）とは、物体がその内部の点または軸のまわりを回転すること、およびその状態である。 天体の自転運動を表す言葉として用いられることが多い。力学における剛体の自転は、単に回転と呼ぶことの方が多く、オイラーの運動方程式により記述できる。英語で自転を意味する spin に由来するスピンという言葉も同義語であるが、物体の自転の意味でのスピンは自然科学以外の分野で用いられることが多い。例えばフィギュアスケートにおけるスピンや自動車がスリップして起きるスピンがある。量子力学や素粒子物理学におけるスピンも語源は自転に由来するが、物体の自転とは異なる概念と考えられている。.
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正規直交基底
数学において、特に線型代数学において、有限次元内積空間 V の正規直交基底（せいきちょっこうきてい、orthonormal basis）とは、正規直交系を成すような V の基底をいう。例えば、ユークリッド空間 Rn の標準基底は、ベクトルの点乗積を内積としての正規直交基底である。また、標準基底の回転や鏡映（一般に任意の直交変換）による像もまた正規直交基底であり、なおかつ Rn の任意の正規直交基底はこの方法で得られる。 一般の内積空間 V に対して、その正規直交基底は V 上の正規化された直交座標系を定めるのに利用できる。そのような座標系のもとでは内積をベクトルの点乗積と同一視することができるから、正規直交基底の存在については（一般の有限次元内積空間を調べるのではなくて）点乗積を伴う Rn の場合を調べれば十分である。従って任意の有限次元内積空間は正規直交基底を持つが、実際にこれを得るには任意の基底にグラム・シュミットの正規直交化法を用いればよい。 函数解析学では、正規直交基底の概念を一般の（必ずしも有限次元でない）内積空間（前ヒルベルト空間）に対しても定義することができる。前ヒルベルト空間 H が与えられたとき、H の正規直交基底とは、H の正規直交系であって、H を位相的に生成するものをいう。即ち、H の各ベクトルが、基底に属するベクトルの''無限''線型結合として一意に表される。この場合の正規直交基底を、H のヒルベルト基底と呼ぶこともある。この意味での正規直交基底は、無限線型結合を用いることから、一般にはベクトル空間としての基底（ハメル基底）でないことに注意すべきである。よりはっきり述べれば、正規直交基底によって張られる部分空間（正規直交基底に属するベクトルの有限線型結合全体）は全空間 H において稠密ではあるが、全空間 H に一致するとは限らない。.
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歳差
歳差（さいさ、precession）または歳差運動（さいさうんどう）とは、自転している物体の回転軸が、円をえがくように振れる現象である。歳差運動の別称として首振り運動、みそすり運動、すりこぎ運動などの表現が用いられる場合がある。.
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渦
渦 水流が岩（石）にぶつかり発生している渦 航空機の作る渦（カラースモークで着色） 宇宙から見た台風 NASA/ESA） 渦（うず）とは、流体やそれに類する物体が回転して発生する螺旋状のパターンのこと。渦巻き（うずまき）などとも言う。.
指数関数
実解析における指数関数（しすうかんすう、exponential function）は、冪における指数 を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 と呼ばれることもある。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（や指数関数的減衰の項を参照）。 一般に、 かつ なる定数 に関して、（主に実数の上を亙る）変数 を へ送る関数は、「a を'''底'''とする指数函数」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする冪関数とは対照的である。 しばしば、より狭義の関数を意図して単に「指数関数」と呼ぶこともある。そのような標準的な (the) 指数関数（あるいはより明示的に「自然指数関数」）はネイピア数 を底とする関数 である。これを のようにも書く。この関数は、導関数が自分自身に一致するなど、他の指数関数と比べて著しい性質を持つ。底 を他の底 に取り換えるには自然対数 を用いて、等式 を適用すればよいから、以下本項では主に自然指数関数について記述し、多くの場合「指数関数」は自然指数関数の意味で用いる。.
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数値的安定性
数値的安定性（すうちてきあんていせい、numerical stability）は、数値解析におけるアルゴリズムの望ましい属性の1つ。「安定性」の正確な定義は文脈に依存するが、基本的にはアルゴリズムの正確性に関連する。 ある計算を実施する方法がいくつか存在することがあり、それらは理想的な実数や複素数では代数学的に等価だが、デジタルコンピュータで実行すると結果に差異が生じる。ある計算方法は途中で生じる誤差を弱めるし、別の計算方法は誤差を拡大させる。誤差を拡大させない計算方法は「数値的に安定」であるという。数値解析では、堅牢なアルゴリズム、すなわち数値的安定性のよいアルゴリズムを選択することが重要である。.
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時空
時空（じくう、spacetime）は、時間と空間を合わせて表現する物理学の用語、または、時間と空間を同時に、場合によっては相互に関連したものとして扱う概念である。時空間（）とも。.
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時計回り・反時計回り
時計回り（clockwise) と反時計回り（counterclockwise） 時計回り（とけいまわり、clockwise）、反時計回り（はんとけいまわり、anticlockwise,counterclockwise）とは、時計の針の動きを基準として、平面内の回転の向きや、周回経路を移動・回る方向を区別する呼び方を言う。その平面をどちらの半空間側から観察しているかに基づく表現である。 名古屋市営地下鉄名城線では「右回り（'''clockwise'''）」「左回り（'''counterclockwise'''）」という表現を進行方向の案内に使用している。 日本では、時計回りを右回り（みぎまわり）、反時計回りを左回り（ひだりまわり）とも言う。また自動車や列車においては、日本では原則左側通行のため、時計回りを外回り、反時計回りを内回りと呼ぶこともある。.
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