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29 関係: 単位元、可換体、可換環、同型写像、同値、同値類、同値関係、多項式環、交換法則、形式的冪級数、圏論、ローラン級数、分数、ガウス整数、全商環、剰余環、環の局所化、環準同型、随伴関手、関手、零因子、零環、有理関数、有理数、擬環、数学、整域、整数、普遍性。
単位元
数学、とくに抽象代数学において、単位元（たんいげん, ）あるいは中立元（ちゅうりつげん, ）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。.
可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロワ理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は（ゼロ除算を除いて）除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.
可換環
数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。 いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。.
同型写像
数学において，同型写像（isomorphismfrom the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape"）あるいは単に同型とは，は準同型写像あるいは射であって，逆射を持つものである逆関数ではない．．2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは，それらの間に同型写像が存在することをいう．自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である．同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある．したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい． 群や環を含むほとんどの代数的構造に対して，準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である． 位相幾何学において，射とは連続写像のことであるが，同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる．解析学において，射は可微分関数であり，同型写像は微分同相とも呼ばれる． 標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなである．2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは，それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう．例えば，有限次元ベクトル空間 から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である．一方， は双対空間に同型であるが，一般には標準的にではない． 同型写像は圏論を用いて形式化される．ある圏の射 が同型射であるとは，両側逆射を持つことをいう，すなわち，その圏における別の射 があって， かつ となる，ただし と はそれぞれ と の恒等射である．.
同値
同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、.
同値類
数学において，ある集合 の元が（同値関係として定式化される）同値の概念を持つとき，集合 を同値類（どうちるい，equivalence class）たちに自然に分割できる．これらの同値類は，元 と が同じ同値類に属するのは と が同値であるとき，かつそのときに限るものとして構成される． フォーマルには，集合 と 上の同値関係 が与えられたとき，元 の における同値類は， に同値な元全体の集合 である．「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．この分割，同値類たちの集合，を の による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び， と表記する． 集合 が（群演算や位相のような）構造を持ち，同値関係 がこの構造と適切に両立するように定義されているとき，商集合はしばしばもとの集合から類似の構造を引き継ぐ．例としては，線型代数学における商空間，位相空間論における商空間，，等質空間，商環，，など．.
同値関係
数学において、同値関係（どうちかんけい、equivalence relation）は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）する。 同値関係にあることを表す記法は文献によって様々に用いられるけれども、与えられた集合上の同値関係 に関して二元 が同値であることを "" や "" で表すのがもっともよく用いられる記法である。 に関して同値であることを明示する場合には、"" や "" あるいは "" などと書かれる。.
多項式環
数学、殊に抽象代数学における多項式環（たこうしきかん、polynomial ring）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルトの基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。セール予想のような多くの重要な予想が、他の環の研究に影響をもち群環や形式冪級数環のようなほかの環の定義にさえ影響を及ぼしている。.
交換法則
交換法則（こうかんほうそく、Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則（かかんそく）や交換律（こうかんりつ）ともいう。.
形式的冪級数
数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（ を不定元として） は（多項式ではない）冪級数である。.
圏論
圏論（けんろん、category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。 考えている種類の「構造」を持った対象とその構造を反映するような対象間の射の集まりからなる圏が基本的な考察の対象になる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。.
ローラン級数
ーラン級数（ローランきゅうすう、Laurent series）とは負冪の項も含む形での冪級数としての関数の表示のことである。テイラー級数展開できない複素関数を表示する場合に利用される。ローラン級数の名は、最初の発表が1843年にピエール・アルフォンス・ローランによってなされたことに由来する。ローラン級数の概念自体はそれより先の1841年にカール・ワイエルシュトラスによって発見されていたが公表されなかった。 特定の点 ''c'' および閉曲線 γ に関して定義されたローラン級数。 積分路である γ は赤で塗ったアニュラスの内側に載っており、アニュラスの内側で ''f''(''z'') は正則である.
分数
分数（ぶんすう、fraction）とは 2 つの数の比を用いた数の表現方法のひとつである。.
ガウス整数
ウス整数とは、ガウス平面では格子点に当たる。 ガウス整数（ガウスせいすう、Gaussian integer）とは、実部と虚部が共に整数である複素数のことである。すなわち、（, は整数）の形の数のことである。ここで は虚数単位を表す。ガウス整数という名称は、カール・フリードリヒ・ガウスが導入したことに因む。ガウス自身はガウス整数のことを複素整数（Komplexe Ganze Zahl）と呼んだが、今日ではこの呼称は一般的ではない。 通常の整数は、 の場合なので、ガウス整数の一種である。区別のために、通常の整数は有理整数と呼ばれることもある。 数学的には一つ一つのガウス整数を考えるよりも、集合として全体の構造を考える方が自然である。ガウス整数全体の集合を と表し、これをガウス整数環と呼ぶ。すなわち、 である（ は有理整数環、すなわち有理整数全体の集合を表す）。その名が示すように、ガウス整数環は加法と乗法について閉じており、環としての構造を持つ。複素数体 C の部分環であるから、整域でもある。 を有理数体、すなわち有理数全体の集合とするとき、 をガウス数体という。ガウス整数環はガウス数体の整数環である。ガウス数体は、典型的な代数体であるところの円分体や二次体の一種であるので、ガウス整数環は代数的整数論における最も基本的な対象の一つである。.
全商環
数学における全商環（ぜんしょうかん、total quotient ring）あるいは全分数の環 (total ring of fractionsMatsumura (1989), p. 21) は、整域に対する商体の構成を、零因子をもつ可換環に対して一般化するものである。この構成は、可換環に対して、その非零因子の「逆元」を付け加えて、より大きな環を作り出す操作になっている。零因子を可逆化することはできないa が R の零元と異なる零因子で、a が R の全商環 Q の中で単元となると仮定すると、R の零元でない元 b で ab.
剰余環
数学の一分野、環論における商環（しょうかん、quotient ring）、剰余環（じょうよかん、factor ring）あるいは剰余類環（じょうよるいかん、residue class ring）とは、群論における剰余群や線型代数学における商線型空間に類似した環の構成法およびその構成物である。すなわち、はじめに環 R とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環 R/I と呼ばれる新しい環が、I の全ての元が零元に潰れる（I による違いを「無視」するともいえる）ことで得られる。 注意: 剰余環は商環とも呼ばれるけれども、整域に対する商体（分数の体）と呼ばれる構成とは異なるし、全商環（商の環、これは環の局所化の一種）とも異なる。.
環の局所化
抽象代数学における環の局所化（きょくしょか、localization）あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient)ここでいう「分数環」や「商環」は、「分数体」や「商体」と同様の語法であって、剰余環の別名としての「商環」(quotient ring) とは異なる。商体や全商環は本項にいう意味での商環の特別な場合になっている（例節を参照）。 は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 とその部分集合 が与えられたとき、環 と から への環準同型を構成して、 の準同型像が における単元（可逆元）のみからなるようにする。さらに、 が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである）。環 の部分集合 による局所化は で表され、あるいは が素イデアル \mathfrak の補集合であるときには R_ で表される。 のことを と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。 局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。.
環準同型
論や抽象代数学において、環準同型（ring homomorphism）は2つの環の間の構造を保つ関数である。 きちんと書くと、R と S が環であれば、環準同型は以下を満たす関数 である。.
随伴関手
数学の特に圏論における随伴（ずいはん、adjunction）は、二つの関手の間に考えることができる（ある種の双対的な）関係をいう。随伴の概念は数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにする。 最も簡潔な対称的定義において、圏 と の間の随伴とは、二つの関手 の対であって、全単射の族 が変数 に関して自然（あるいは函手的）となるものを言う。このとき、関手 を左随伴函手と呼び、他方 を右随伴函手と呼ぶ。また、「 は の左随伴である」 (同じことだが、「 は の右随伴である」)という関係を と書く。 以下では、この定義や他の定義を詳細化する。.
関手
圏論における関手（かんしゅ、functor）は、圏から圏への構造と両立する対応付けである。関手によって一つの数学体系から別の体系への組織的な対応が定式化される。関手は「圏の圏」における射と考えることもできる。 関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。20世紀はじめのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。ここでは（基本群のような）代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。その後アレクサンドル・グロタンディークらによる代数幾何学の変革の中でさまざまな数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。.
零因子
抽象代数学において、環 R の元 a は、ax.
零環
数学の分野である環論において、零環（the zero ring）または自明環 (trivial ring) は1つの元からなる（同型を除いて）唯一の環である。（あまり一般的ではないが、“零環 (zero ring)”という用語は任意の rng of square zero, すなわちすべての x と y に対して であるような rng を指すために使われることもある。この記事では1つの元からなる環の意味で使う。） 環の圏において、零環は終対象である。始対象は有理整数環 Z である。.
有理関数
数学における有理関数（ゆうりかんすう、rational function）は、二つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として書ける関数の総称である。抽象代数学においては変数と不定元とを区別するので、後者の場合を有理式と呼ぶ。.
有理数
有理数（ゆうりすう、rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b.
擬環
抽象代数学において必ずしも単位元を持たない環 (rng) あるいは擬環（ぎかん、pseudo-ring）、非単位的環（ひたんいてきかん、non-unital ring）は、乗法単位元の存在以外の環の公理をすべて満たすような代数的構造を言う。英語では少しおどけて、「単位元」（identity, これをしばしば 1 で表す）の無い「環」 (ring) だからということで、「rng」と呼称することもある。 環の公理に乗法単位元の存在を含めない文献もあり、この文脈では本項に云う概念は単に「環」と呼称される。また、修飾辞「非単位的」は「必ずしも単位的でない」という意味で用いられるが、本項ではその意味では専ら「擬環」を（あるいは直接的に「必ずしも」を付けて）用い、単独の「単位的」・「非単位的」を単位元の有無を強調する意味でのみ用いる（つまり、非単位的であるといった場合には実際に単位元を持たない）。.
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
整域
抽象代数学における整域（せいいき、integral domain）は、零因子を持たない可換環であって、自明環 でないものをいう。整域の概念は整数全体の成す環の一般化になっており、整除可能性を調べるのに自然な設定を与える。環の定義に乗法単位元を含めない場合であっても、単に可換環あるいは整域と言ったときには乗法単位元を持つと仮定することが少なくない。即ち、整域とは単位的可換域のことをいう。 上記の如く「整域」を定めるのが広く採用されているけれども、いくらかの揺れもある。特に、非可換な整域を許すことが時としてある。しかし、「整域」(integral domain) という語を可換の場合のために用い、非可換の場合には「域」(domain) を用いることにすると約束するのがたいていの場合には有効である（奇妙な話ではあるが、この文脈では形容辞「整」の中に「可換」の意も含まれるということになる）。別な文献では（ラングが顕著だが）整環 (entire ring) を用いるものがある「整環」という用語は、代数体の整環 (order) などに対しても用いられる。。 いくつか特定の種類の整域のクラスについては、以下のような包含関係が成立する。 零因子の非存在（零積法則）は、整域において非零元による乗法の簡約律が満足されることを意味する。つまり、a ≠ 0 のとき、等式 から が結論できる。.
整数
数学における整数（せいすう、integer, whole number, Ganze Zahl, nombre entier, número entero）は、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, 4, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, −4, …) の総称である。 整数は数直線上の格子点として視覚化される 整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の \mathbb Z で表す。これはドイツ語 Zahlen（「数」の意・複数形）に由来する。 抽象代数学、特に代数的整数論では、しばしば「代数体の整数環」の元という意味で代数的整数あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が代数体の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「有理数の中で整なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を有理整数 (rational integer) と呼ぶことがある接頭辞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。。.
普遍性
数学の様々な分野において、ある特定の状況下にて一意に射を定めるような抽象的性質が、特定の構成を定義、あるいは特徴づけたりする事がしばしばある。このような性質を普遍性（universal property）と呼ぶ。普遍性は圏論を用いて抽象的に論考される。 結果として、我々は普遍性の一般的な扱い方を得ることになる。例えば、群の直積や直和、自由群、積位相, ストーン－チェックのコンパクト化, テンソル積, 逆極限 と 順極限, 核と余核, 引き戻し, 押し出し および イコライザ、など。.
