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21 関係: 基底 (線型代数学)、合成代数、多元体、多元環、多元数、実数、対合、交代代数、交換法則、代数のテンソル積、ベクトル空間、分解型複素数、分配法則、ケーリー＝ディクソンの構成法、八元数、四元数、線型結合、結合法則、零因子、Well-defined、抽象代数学。
基底 (線型代数学)
線型代数学における基底（きてい、basis）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。もう少し緩やかな言い方をすれば、基底は（基底ベクトルに決まった順番が与えられたものとして）「座標系」を定めるようなベクトルの集合である。硬い表現で言うならば、基底とは線型独立な生成系のことである。 ベクトル空間に基底が与えられれば、その空間の元は必ず基底ベクトルの線型結合としてただ一通りに表すことができる。全てのベクトル空間は必ず基底を持つ（ただし、無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である）。また、一つのベクトル空間が有するどの基底も、必ず同じ決まった個数（濃度）のベクトルからなる。この決まった数を、そのベクトル空間の次元と呼ぶ。.
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合成代数
数学における体 上の合成代数（ごうせいだいすう、composition algebra）は、 上の（必ずしも結合的でない）単位的多元環 で、条件 N(xy).
多元体
数学の抽象代数学において、体上の斜体、多元体（たげんたい）または可除多元環（かじょたげんかん、division algebra）は、大まかには、体上の多元環で除法が自由にできるものをいう。.
多元環
数学において、多元環（たげんかん、algebra）とは可換環上の加群としての構造を持ち、その構造と両立しているような積を持つ代数的構造のことである。algebra を直訳して代数（だいすう）と呼ぶことも多い。また、ブルバキの数学原論では（結合的なものを）線型環（せんけいかん）と呼んでいる。 双対概念である余代数（双対多元環）も参照。.
多元数
数学における多元数（たげんすう、hyper­complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。.
実数
数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.
対合
対合（たいごう、ついごう、involution）は、自分自身をその逆として持つ写像である。 これは空間上の変換であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質 を持つものと言ってもよい。ただし、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。またこれは変換群に属する位数 2 の元 を指すと言っても同じことであり、それを理由に一般の群（抽象群）においても位数 2 の元を対合と呼ぶことがある。.
交代代数
非可換環論における交代環（こうたいかん、alternative ring）あるいは交代多元環（こうたいたげんかん、alternative algebra; 交代代数）は、必ずしも結合的でない乗法を持つ体上の多元環（分配多元環）であって、特に任意の元 に対し.
交換法則
交換法則（こうかんほうそく、Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則（かかんそく）や交換律（こうかんりつ）ともいう。.
代数のテンソル積
数学において、二つの R-代数（多元環）のテンソル積には再び -代数の構造を入れることができ、代数のテンソル積 (tensor product of algebras) あるいはテンソル積多元環と呼ばれる対象が得られる。任意の環は -代数と見ることができるから、 と取った特別の場合として環のテンソル積 (tensor product of rings) が定まる。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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分解型複素数
線型代数学における分解型複素数（ぶんかいがたふくそすう、split-complex number; 分裂複素数）とは、二つの実数 x, y と j2.
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分配法則
集合 S に対して、積 × と和 + が定義されている時に、.
ケーリー＝ディクソンの構成法
数学におけるケーリー＝ディクソンの構成法（ケーリー・ディクソンのこうせいほう）は、アーサー・ケイリーとレオナード・E・ディクソンにちなんで名づけられた、実数全体の成す体上の多元環の系列を与える方法で、各段階の多元環は直前のものの二倍の次元を持つ。この方法で与えられる各段階の多元環はケーリー＝ディクソン代数として知られる。これらは複素数を拡張するから、超複素数系となっている。 これらの代数はすべて対合（または共役）を持ち、ある元とその共役元との積（場合によってはその平方根）はノルムと呼ばれる。 最初の数段階では、次の代数へ進むごとに、特徴的な代数的性質をひとつひとつ失っていく。 より一般的には、ケーリー＝ディクソンの構成法とは、任意の対合つき代数系をとって倍の次元の対合つき代数系にすることである。.
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八元数
数学における八元数（はちげんすう、octonions; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の 𝕆）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性である冪結合律は満足する。 より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。 八元数は、ハミルトンの四元数の発見に刺激を受けたジョン・グレイヴスによって1843年に発見され、グレイヴスはこれを octaves と呼んだ。それとは独立にケイリーも八元数を発見しており、八元数のことをケイリー数、その全体をケイリー代数と呼ぶことがある。.
四元数
数学における四元数（しげんすう、quaternion（クォターニオン））は複素数を拡張した数体系である。四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、三次元空間の力学に応用された。四元数の特徴は、二つの四元数の積が非可換となることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。 一般に、四元数は の形に表される。ここで、 a, b, c, d は実数であり、i, j, k は基本的な「四元数の単位」である。 四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいてでも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。 現代数学的な言い方をすれば、四元数の全体は実数体上四次元の結合的ノルム多元体を成し、またそれゆえに非可換整域となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H（あるいは黒板太文字でユニコードの Double-Struck Capital H, U+210D, ）と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数の分類に従って というクリフォード代数として定義することもできる。この代数 は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば は実数の全体 を真の部分環として含む有限次元可除環の二種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数の全体 ）だからである。 従って、単位四元数は三次元球面 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 を与える。これは に同型、あるいはまた の普遍被覆に同型である。.
線型結合
線型結合（せんけいけつごう、）は、線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えば、ベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。 いくつかのベクトルを組み合わせると他のベクトルを作ることができる。例えば、2次元数ベクトルを例にとれば、ベクトル v.
結合法則
数学、殊に代数学における結合法則（けつごうほうそく、associative law) 、結合則、結合律あるいは演算の結合性（けつごうせい、associativity）は二項演算に対して考えられる性質の一つ。ひとつの数式にその演算の演算子が2個以上並んでいる時、その演算子について、左右どちらの側が優先されるかに関わらず結果が同じになるような演算は結合的 (associative) である。.
零因子
抽象代数学において、環 R の元 a は、ax.
Well-defined
数学における は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。また、ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も論理的な矛盾なく上手くいくということ（定義の整合性）が確認されているということを言い表す言葉である。文脈により、「うまく定義されている」「矛盾なく定まった」「定義可能である」などと表現されることもある。 でないことは、 であることとは異なる。 は「状態」を表す形容詞であるが、日本語の定訳はなく慣例的に形容詞と動詞の複合語に訳されるか、そのまま形容動詞的に「 である」といった形で用いる。名詞形 などもあり、これを 性と記すことはできるが日本語訳としてこなれたものは特には存在しない（文脈によっては「定義可能性」などで代用可能である）。.
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抽象代数学
抽象代数学 (ちゅうしょうだいすうがく、abstract algebra) とは、群、環、体、加群、ベクトル空間や線型環のように公理的に定義される代数的構造に関する数学の研究の総称である。.
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