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14 関係: 一意分解環、化学、化学分解、ハーンの分解定理、リー群の分解、ルベーグの分解定理、ヘルムホルツの定理、分解 (ホモロジー代数)、因数分解、素因数分解、物理学、行列の分解、解体、準素分解。
一意分解環
数学における一意分解環（いちいぶんかいかん、unique factorization domain,UFD; 一意分解整域）あるいは素元分解環（そげんぶんかいかん）は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに（特別の例外を除く）各元が素元（あるいは既約元）の積に一意的に書くことができるような可換環のことである。ブルバキの語法にしたがってしばしば分解環 (anneau factriel) とも呼ばれる。 環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。.
化学
化学（かがく、英語：chemistry、羅語：chemia ケーミア）とは、さまざまな物質の構造・性質および物質相互の反応を研究する、自然科学の一部門である。言い換えると、物質が、何から、どのような構造で出来ているか、どんな特徴や性質を持っているか、そして相互作用や反応によってどのように別なものに変化するか、を研究する岩波理化学辞典 (1994) 、p207、【化学】。 すべての--> 日本語では同音異義の「科学」（science）との混同を避けるため、化学を湯桶読みして「ばけがく」と呼ぶこともある。.
化学分解
化学分解（かがくぶんかい、Chemical decomposition）は、化合物が2種以上の簡単な物質に変化する化学反応である。単に分解〈ぶんかい、decomposition〉という場合も多い。反応様式で分解の逆の構成となる化学反応は化学合成（化合）または合成と呼ばれる。 具体的には高温による熱分解や、光や放射線による光分解や放射線分解が代表的な分解である。 水の例を以下に示す。水は、電気分解によって水素分子と酸素分子に分解することができる。 過酸化水素は放置すると水と酸素に分解する。 反応様式で分解と逆反応とが可逆的に起こる状態は解離と呼ばれる。また、化合物が順次低分子量の物質に順次分解してゆく過程は日本語では減成〈げんせい、decomposition〉と呼ばれる。.
ハーンの分解定理
数学におけるハーンの分解定理（ハーンのぶんかいていり、）とは、オーストリアの数学者であるハンス・ハーンの名にちなむ定理で、可測空間 (X,Σ) およびその σ-代数 Σ 上で定義される符号付測度 μ が与えられたとき、次を満たすような二つの可測集合 P および N が Σ 内に存在するということを述べたものである：.
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リー群の分解
数学において、線型代数群（線型リー群や各種行列群）の各種分解（ぶんかい、decompositions）は、行列群やそれに付随する各種の対象に関する構造（それがどのように部分群から構成されるのか）を調べるのに用いられる。 これらの分解は、リー群やリー環の表現論における本質的・技術的な道具であるとともに、それらの群や付随する等質空間の代数トポロジーの研究などにも用いられる。リー群の方法論を用いることが20世紀数学の標準的な手法の一つとなったことにより、現在では多くの現象をこれらの分解に帰着して論じることができる。このような方法論は、リー群、リー環から代数群特に ''p''-進群といった行列群に等しく適用することができるが、これらを統一的な理論として集約することは容易でない。.
ルベーグの分解定理
数学の測度論の分野における ルベーグの分解定理（ルベーグのぶんかいていり、）とは、ある可測空間 (\Omega,\Sigma) 上のすべての二つのな符号付測度 \mu および \nu に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度 \nu_0 および \nu_1 が存在することを述べた定理である。.
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ヘルムホルツの定理
ヘルムホルツの定理（ヘルムホルツのていり、Helmholtz's theorem）とは、ベクトル解析における定理の一つ。ヘルムホルツの定理により、任意のベクトル場を回転なしの場と発散なしの場に分解できることが示される。回転なしの場は元の場の波数空間における縦成分、発散なしの場は元の場の波数空間における横成分に対応し、ベクトル場をこれらの成分に分解することをヘルムホルツ分解 と呼ぶ。定理の名はドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツに因む。 ベクトル解析の応用として、物理学の特に電磁気学や流体力学などでしばしば利用されている。.
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分解 (ホモロジー代数)
数学のホモロジー代数において，分解（ぶんかい，resolution）（あるいは左分解 (left resolution); 双対の余分解 (coresolution) あるいは右分解 (right resolution)）は加群（あるいはより一般に，アーベル圏の対象）の完全列であり，加群あるいはこの圏の対象の構造を特徴づける不変量を定義するために用いられる．通常通り射が右向きのときは，列は（左）分解については左側に無限で，右分解については右側に無限であるとされる．しかしながら，有限分解 (finite resolution) は列の対象の有限個だけが零でない分解である．そのようなものは通常，（左分解について）左端の対象あるいは（右分解について）右端の対象が零対象である有限完全列によって表される． 一般に，列の対象はなんらかの性質 P（例えば自由である）を持つよう制限される．したがって P 分解が語られる．とくに，任意の加群は自由分解，射影分解，平坦分解をもつ．それらはそれぞれ自由加群，射影加群，平坦加群からなる左分解である．同様に任意の加群は単射分解をもつ．これは単射加群からなる右分解である．.
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因数分解
数学における因数分解（いんすうぶんかい、factorization）は（数、多項式、行列といったような、積の定義される）代数的対象を、（それらを掛け合わせると元に戻る）別の対象、つまり因数 (factor) の積に分解することである。たとえば、15 という数は 3 × 5 という因数の積に分解され、多項式 x2 − 4 は (x − 2)(x + 2) という因数の積に分解される。このようにより単純な対象の積になっている。 因数分解の反対は、因数を掛け合わせてもとの展開された対象を得る過程であるところの、展開である。 因数分解の目的はふつう、何らかのものを（自然数ならば素数、多項式ならば既約多項式といったような）「基本的な構成要素」に帰着させることである。1でない自然数が素数の積で表せることは算術の基本定理で、定数でない一変数複素係数多項式が一次式の積で表せることは代数学の基本定理で保障されている。ヴィエタの公式は多項式の根と係数の関係を記述するものである。 巨大整数の素因数分解は困難な問題で、これを一般に短時間に行う方法は知られていない。この複雑性はRSA暗号のような公開鍵暗号によるセキュリティの信頼性の基礎になっている。 行列も（応用に際して利用しやすい）特別な種類の行列の積に分解することができる。よく用いられるのはたとえば、直交行列やユニタリ行列あるいは三角行列などである。ほかに、QR, LQ, QL, RQ, RZ のような分解が知られる。 他の例としては、写像を特定の性質を持つ写像の合成の形に分解することが挙げられる。たとえば、任意の写像は全射と単射の合成と見ることができる。これはによって一般化される。.
素因数分解
素因数分解 (そいんすうぶんかい、prime factorization) とは、ある正の整数を素数の積の形で表すことである。ただし、1 に対する素因数分解は 1 と定義する。 素因数分解には次のような性質がある。.
物理学
物理学（ぶつりがく, ）は、自然科学の一分野である。自然界に見られる現象には、人間の恣意的な解釈に依らない普遍的な法則があると考え、自然界の現象とその性質を、物質とその間に働く相互作用によって理解すること（力学的理解）、および物質をより基本的な要素に還元して理解すること（原子論的理解）を目的とする。化学、生物学、地学などほかの自然科学に比べ数学との親和性が非常に強い。 古代ギリシアの自然学 にその源があり, という言葉も、元々は自然についての一般的な知識の追求を意味しており、天体現象から生物現象までを含む幅広い概念だった。現在の物理現象のみを追求する として自然哲学から独立した意味を持つようになったのは19世紀からである。 物理学の古典的な研究分野は、物体の運動、光と色彩、音響、電気と磁気、熱、波動、天体の諸現象（物理現象）である。.
行列の分解
線型代数学という数学の分野において，行列の分解（ぎょうれつのぶんかい，matrix decomposition, matrix factorization）とは，行列の行列の積への分解である．多くの異なった行列の分解があり，それぞれがある問題のために利用される．.
解体
解体（かいたい）とは、ばらばらにすること。この言葉の使い方によってさまざまな意味を持つ。.
準素分解
数学において，ラスカー・ネーターの定理は，任意のネーター環はラスカー環 (Lasker ring) であること, すなわち，任意のイデアルが有限個の準素イデアル (primary ideal) の共通部分として分解できる（準素分解，primary decomposition）ことを述べている．（準素イデアルは，素イデアルの冪と関連するが，全く同じというわけではない．定理は最初に多項式環と収束冪級数環という特別な場合に対して によって証明され， によって完全に一般的に証明された． ラスカー・ネーターの定理は算術の基本定理の，あるいはより一般の有限生成アーベル群の基本定理の，すべてのネーター環への拡張である．ラスカー・ネーターの定理は，すべての代数的集合は既約成分の有限個の和集合に一意的に分解できると述べることによって，代数幾何学において重要な役割を果たす． 加群への直截な拡張がある：ネーター環上の有限生成加群のすべての部分加群は準素部分加群の有限交叉である．これは環を自身の上の加群したがってイデアルを部分加群と考えて環に対する場合を特別な場合として含んでいる．これはまた主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理の準素分解形を一般化し，体上の多項式環と言う特別な場合に対して，それは代数的集合の（既約）多様体の有限和への分解を一般化する． 標数 0 の体上の多項式環に対する準素分解を計算する最初のアルゴリズムはネーターの学生 によって出版された．分解は非可換ネーター環に対しては一般には成り立たない．ネーターは準素イデアルの交叉ではない右イデアルを持つ非可換ネーターの例を与えた．.
