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33 関係: 多項係数、床関数と天井関数、互いに素、五角数、マーカス・デュ・ソートイ、ハンス・ラーデマッヘル、モジュラー形式、モジュラー群、レオンハルト・オイラー、トム・アポストル、テプリッツ行列、ファレイ数列、フォードの円、ダルムシュタット工科大学、イリノイ大学シカゴ校、ウィスコンシン大学マディソン校、オックスフォード大学出版局、オイラーの五角数定理、ケン・オノ、ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン、再帰、CPAN、等比数列、米国科学アカデミー紀要、素数、発散級数、違いを除いて、行列式、自然数の分割、Qポッホハマー記号、母関数、数論。
多項係数
数学における多項係数（たこうけいすう、Multinomial coefficient）は二項係数の一般化である。.
床関数と天井関数
床関数（ゆかかんすう、floor function）と天井関数（てんじょうかんすう、ceiling function）は、実数に対しそれぞれそれ以下の最大あるいはそれ以上の最小の整数を対応付ける関数である。 “floor”や“ceiling”といった名称やその他の記法は、1962年にケネス・アイバーソンによって導入された。.
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互いに素
二つの整数 が互いに素（たがいにそ、coprime, co-prime, relatively prime, mutually prime）であるとは、 を共に割り切る正の整数が のみであることをいう。このことは の最大公約数 が であることと同値である。 が互いに素であることを、記号で と表すこともある。 例えば と を共に割り切る正の整数は に限られるから、これらは互いに素である。一方で と は共に で割り切れるから、これらは互いに素でない。 互いに素であることの判定は素因数分解を用いて行うこともできるが、二つの整数のうち少なくとも一方が巨大である場合など一般には困難である。素因数分解によって公約数を調べる方法よりも、ユークリッドの互除法によって最大公約数を調べる方法のほうが遥かに高速である。 正の整数 と互いに素となる（ から の間の）整数の個数は、オイラー関数 によって与えられる。 三つの整数 が互いに素であるとは、 が成り立つことをいう。また、、、 がすべて に等しいとき、 は対ごとに素（pairwise coprime）またはどの二つも互いに素であるという。一般に、互いに素であるからといって対ごとに素であるとは限らない（例：）。一般の 個の整数についても同様に定義される。.
五角数
五角数（ごかくすう、pentagonal number）とは、多角数の一種で、正五角形の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。五角数は無数にあり、そのなかでは 1 が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5 (.
マーカス・デュ・ソートイ
マーカス・デュ・ソートイ（ Marcus P.F. du Sautoy, 1965年8月26日 - ）は、イギリスの数学者、群論学者、数学啓蒙家、作家。 ロンドン生まれ。オックスフォード大学数学研究所教授。ニュー・カレッジのフェロー。.
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ハンス・ラーデマッヘル
ハンス・アドルフ・ラーデマッヘル（Hans Adolph Rademacher, 1892年4月3日、プロイセン王国ヴァンツベク生、1969年2月7日、アメリカ合衆国ペンシルバニア州ハヴァフォード没）はドイツ出身のアメリカ人の数学者。数論と解析学の研究で知られる。ハンス・ラーデマッハー、あるいはハンス・ラデマッハなどとも呼ばれる。.
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モジュラー形式
モジュラー形式は、モジュラー群という大きな群についての対称性をもつ上半平面上の複素解析的函数である。歴史的には数論で興味をもたれる対象であり、現代においても主要な研究対象である一方で、代数トポロジーや弦理論などの他分野にも現れる。 モジュラー函数（modular function）: ここでいうモジュラー函数以外にも、「モジュラー函数」という術語はいくつか別の意味で用いられることがあるので注意が必要である。例えば、ハール測度の理論に現れる群の共軛作用から定まる函数 Δ(g) もモジュラー函数と呼ばれることがあるが、別な概念である。は重さ 0 、つまりモジュラー群の作用に関して不変であるモジュラー形式のことを言う。そしてそれゆえに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の函数として理解することができる。また、「モジュラー函数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点で f(z) が正則性を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー函数は無限遠点では有理型である。 モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、従って現在では、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。.
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モジュラー群
数学においてモジュラー群(modular group)とは、数論、幾何学、代数学や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換群や行列群により表されるものである。.
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レオンハルト・オイラー
レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年4月15日 - 1783年9月18日）は、18世紀の数学者・天文学者（天体物理学者）。 18世紀の数学の中心となり、続く19世紀の厳密化・抽象化時代の礎を築いた 日本数学会編『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「オイラー」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541 。スイスのバーゼルに生まれ、現在のロシアのサンクトペテルブルクにて死去した。.
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トム・アポストル
トム・アポストル（Tom Apostol、1923年8月20日 - 2016年5月8日）は、アメリカ合衆国の数学者。専門は解析的整数論。 ユタ州ヘルパーに生まれ、ワシントン大学で数学を学び理学士号と修士号を取得後、カリフォルニア大学バークレー校で数学で博士号を獲得。カリフォルニア大学バークレー校、マサチューセッツ工科大学、カリフォルニア工科大学に勤めた。学部生、大学院生を対象とした重要な教科書を多く著した。.
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テプリッツ行列
テプリッツ行列（テプリッツぎょうれつ、Toeplitz Matrix）は、左から右の各下降対角線に沿って要素が一定であるような行列である。対角一定行列（たいかくいっていぎょうれつ、Diagonal-Constant Matrix）とも。名前の由来は数学者 Otto Toeplitz。テプリッツ行列は次のような行列である。 \begin a & b & c & d & e \\ f & a & b & c & d \\ g & f & a & b & c \\ h & g & f & a & b \\ j & h & g & f & a \end 任意の n×n 行列 A が次のような形式であれば、それをテプリッツ行列と呼ぶ。 A.
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ファレイ数列
数学で、ファレイ数列（ファレイすうれつ, Farey sequence) とは、既約分数を順に並べた一群の数列であり、以下に述べるような初等整数論における興味深い性質を持つ。 正確にいえば、 定義によっては 0, 1 は数列から省かれる場合もある。 なお、英語では と呼ばれることも多いが、（級数）の定義からいえば厳密には誤りである。.
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フォードの円
数学において、フォードの円（Ford circle）とは、中心が (p/q,1/(2q^2)) 、半径が 1/(2q^2) の円である。ただし、 p/q は既約分数であり、すなわち p および q は互いに素な整数。それぞれのフォードの円は水平軸 y.
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ダルムシュタット工科大学
ダルムシュタット工科大学（ドイツ語：Technische Universität Darmstadt）は、ドイツのヘッセン州ダルムシュタットにある大学。略称はTUダルムシュタット。.
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イリノイ大学シカゴ校
UICは15の学部があり、約28000人が学んでいる。 UICのスポーツはNCAAホライズン・リーグに加盟しており、体育館であるUICパビリオンはUICの試合だけでなく、コンサートやボクシング、プロレスなどの一般利用も行っている。.
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ウィスコンシン大学マディソン校
ウィスコンシン大学マディソン校はウィスコンシン大学システムの中核校（本校）であり、20以上の学部を擁する総合大学である。一般的に「ウィスコンシン大学」という場合、マディソン校（本校）を指す。米国の州立大学の中では難関校として知られ、特に、工学、化学、物理学、社会学、政治学、経済学などの分野においては、Gorman Report などの専門調査機関における評価が高い。 同大学は、「パブリック・アイビー」と呼ばれ、ウィスコンシン州屈指の研究機関として高く評価されている。博士課程まで進む学生が多く、大学パフォーマンス評価センター（Center for Measuring University Performance）の2006年調査によれば、博士授与者（Ph.D.）の人数は全米6位である。卒業生、教員、研究者には、ノーベル賞受賞者21名を擁する。 体育会は全米大学体育協会（NCAA）1部リーグ（Division I）の「ビッグ・テン・カンファレンス」に加盟しており、数多くのスポーツ分野で全米チャンピオンになっている。.
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オックスフォード大学出版局
Walton Streetのオックスフォード大学出版局 オックスフォード大学出版局（オックスフォードだいがくしゅっぱんきょく、英語：Oxford University Press、略称OUP）は、イングランドのオックスフォード大学の出版局を兼ねる出版社である。OUPは世界最大の大学出版局であり、アメリカの全ての大学出版局とケンブリッジ大学出版局の合計以上の規模を誇る。OUPはケンブリッジ大学出版局とともに、イギリスの特権出版社(en:privileged presses イギリスで祈祷書・欽定訳聖書の出版権を持つ出版社)の一つである。インド・パキスタン・カナダ・オーストラリア・ニュージーランド・マレーシア・シンガポール・ナイジェリア・南アフリカ共和国など、世界中に支部を持っている。OUP USAは1896年ごろに設立され、1987年に法人化された非公開有限(en:private limited company)の子会社で、OUP初の国際ベンチャーである。1905年設立のカナダ支部は2番目。OUP全体は選挙によって選ばれた、出版局代表団(Delegates of the Press)と呼ばれる代表者たちによって運営される。出版局代表団はすべてオックスフォード大学のメンバーである。現在、OUPが用いる出版社名は二つある。第一に参考書・教育書・学術書などの大部分はOxford University Press(オックスフォード大学出版局)名義、「名声のある(prestige)」学術書はClarendon Press(クラレンドンプレス)名義である。主要な支部のほとんどは、OUP本部の書籍の発行・販売だけでなく、その地域の出版社として機能している。 OUPは1972年にアメリカの法人税を控除され、1978年にイギリスでも控除された。OUPは、慈善事業団体としてほとんどの国で所得税・法人税を控除されているが、出版物に対し、売上税その他の商取引に関する税金を払う場合もある。OUPは現在、黒字の30%(毎年最低12万ポンドの確約つき)をオックスフォード大学に送っている。OUPは出版数として世界最大の大学出版局で、毎年4500冊以上の新刊を出版し、従業員数は約4000人。OUPはオックスフォード英語辞典、、Oxford World's Classics、Oxford Dictionary of National Biographyなどの参考書・専門書・学術書を出版している。これらの重要書籍の多くが、Oxford Reference Onlineというパッケージとして電子公開されており、イギリスの公立図書館の利用者カードの所有者には無料で提供されている。 哲学者のアンドリュー・マルコムが、著書Making Namesに関する1985年の出版契約不履行について提訴した裁判で、1990年OUPはイギリス控訴院にて敗訴した。1998年、OUPは人気の高かったOxford Poetsシリーズを打ち切った。2001年、OUPはイギリスの法律系出版社Blackstoneを取得した。2003年、OUPはMacmillan PublishersからGrove Dictionary of Music and Musicians(グローヴ音楽事典)・Grove Dictionary of Art(グローヴ芸術事典)を取得した。2006年、OUPはイギリスの出版社Richmond Law & Taxを取得した。 OUPで出版された本のISBNは0-19で始まる。つまりOUPは数少ないISBN識別番号2桁の出版社のひとつなのである。(ISBN番号は13桁と決まっており、桁が少ないほど多くの図書を登録できるようになっている。).
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オイラーの五角数定理
数学において、オイラーの五角数定理（Euler's pentagonal number theorem）は次式が恒等式であることを主張する定理である。 これはヤコビの三重積公式の特殊な場合であり、右辺に五角数が表れる。五角数定理から分割関数の漸化式が導かれる。また、五角数定理は、整数を互いに異なる自然数に分割する方法のうち、偶数個に分割する方法の数と奇数個に分割する方法の数との関係を示すものでもある。整数nの互いに異なる偶数個の自然数への分割を集合\mathcal^0(n)で表し、互いに異なる奇数個の自然数への分割を集合\mathcal^1(n)と表すと が成立する。例えば、整数12を偶数個の互いに異なる自然数に分割する方法は であり、奇数個の互いに異なる自然数に分割する方法は であるから、左辺は7-8.
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ケン・オノ
ン・オノ（Ken Ono、1968年3月20日 - ）は日系アメリカ人の数学者。数論、特に自然数の分割、モジュラー形式が専門。また、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンの研究を行う。現在エモリー大学教授。.
ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ
ッドフレイ・ハロルド・ハーディ（Godfrey Harold Hardy, 1877年2月7日 - 1947年12月1日）は、イギリスの数学者。.
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シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
ュリニヴァーサ・アイヤンガー・ラマヌジャン（Srinivasa Aiyangar Ramanujan、1887年12月22日 - 1920年4月26日）はインドの数学者。極めて直感的、天才的な閃きにより「インドの魔術師」の異名を取った。.
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再帰
再帰（さいき）は、あるものについて記述する際に、記述しているものそれ自身への参照が、その記述中にあらわれることをいう。定義において、再帰があらわれているものを再帰的定義という。 主に英語のrecursionとその派生語の訳にあてられる。他にrecurrenceの訳（回帰#物理学及び再帰性を参照のこと）や、reflexiveの訳として「再帰」が使われることがある。数学的帰納法との原理的な共通性から、recursionの訳として数学では「帰納」を使うことがある。.
CPAN
CPAN（シーパン、Comprehensive Perl Archive Network）とは、Perlのライブラリ・モジュールやその他のPerlで書かれたソフトウェアを集めた巨大なアーカイブで、世界中のサーバにその内容がミラーリングされている。再利用性・汎用性の高いモジュールが登録されており、Perlプログラマができるだけ車輪の再発明をせずに済むための支援環境となっている。登録モジュールの検索システムも提供されているため、Perlプログラマは望む機能を持ったモジュールを容易に入手することができる。 CPANには大小さまざまなモジュールが登録されており、それらの依存関係もデータベース化されている。目的のモジュールと同時に、それに依存するほかのモジュールを芋づる式にダウンロードし、インストールすることが可能である。Unix系OSおよびWindowsで利用できるCPANシェルという専用のソフトウェアが存在する。このシェルはユーザの手持ちのライブラリの管理、CPANミラーへの問い合わせ、モジュールのダウンロードを行うものであり、ユーザは少ないコマンド操作によってモジュールの検索・導入を行うことができる。.
等比数列
等比数列（とうひすうれつ、または幾何数列（きかすうれつ）、geometric progression, geometric sequence）は、数列で、隣り合う二項の比が項番号によらず一定であるようなものである。その比のことを公比（こうひ、common ratio）という。例えば 4,12,36,108,… という数列 (an) は初項が 4 であり公比が 3 の等比数列である。公比 r は r.
米国科学アカデミー紀要
『米国科学アカデミー紀要』（英語：Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America、略称：PNAS または Proc.
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素数
素数（そすう、prime number）とは、 より大きい自然数で、正の約数が と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が である自然数と言い換えることもできる。 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。 一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される（そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる）。このため、有理整数環 \mathbb Z での素数は有理素数（ゆうりそすう、rational prime）と呼ばれることもある。 最小の素数は である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる。 素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のユークリッドの著書『原論』で既に証明されていた。 自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。 分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。2018年1月現在で知られている最大の素数は、2017年12月に発見された、それまでに分かっている中で50番目のメルセンヌ素数 であり、十進法で表記したときの桁数は2324万9425桁に及ぶ。.
発散級数
数学において発散級数（はっさんきゅうすう、divergent series）とは、収束しない級数である、つまり、部分和の成す無限列が有限な極限を持たない級数である。 級数が収束するならば、級数の各項の成す数列は必ず 0 に収束する。したがって、0 に収束しないような数列を項に持つ級数はいずれも発散する。しかし、級数の収束性はそれよりも強い条件で、級数の項が 0 に収束するからといって必ずしもその級数自身は収束しない。最も簡単な反例として、調和級数 が挙げられる。調和級数の発散性は、中世の数学者ニコル・オレームによって示された。 数学の特別な文脈では、部分和の列が発散するようなある種の列について、その和として意味のある値を割り当てることができる。総和法 (summability method, summation method) とは、級数の部分和の列全体の成す集合から「和の値」の集合への部分写像である。例えば、チェザロ総和法ではグランディの発散級数 に 1/2 を値として割り当てる。チェザロ総和法は平均化法 (averaging method) の一種で、部分和の列の算術平均をとることに基づいている。他の方法としては、関連する級数の解析接続として和を定める方法などがある。物理学では、非常に多種多様な総和法が用いられる（詳細はの項を参照）。.
違いを除いて
数学の文脈における「—（の違い）を除いて…」 (… "up to" &mdash) という語句は、「— に関する差異を無視する」ことを意味する専門用語である。この言い回しの意味するところは、「適当な目的のもとでは、あるひとつの同値類に属する元全体を、何か単一の実体を表すものとみなせる」ということである。"—" の部分には、何らかの性質や、同じ同値類に属する元(つまり一方は他方に同値となるような元)の間の変換の過程を記述する内容が入る。 たとえば不定積分を計算するとき、その結果は「定数項の違いを除いて」 f(x) であるというように言うことができる。その意味は、f(x) 以外に不定積分 g(x) があったとしても g(x).
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行列式
数学における行列式（ぎょうれつしき、）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。.
自然数の分割
数学の各分野、特に数論および組合せ論 において、正の整数 n の分割（ぶんかつ、partition）あるいは整分割 (integer partition) とは、与えられた正整数 n を正整数の和として表す方法をいう。ただし、和の因子（summand; 被加数）の順番のみが異なる分割は同じ分割とみなされる（順序をも考慮する場合は、順序つき分割または、分割ではなく合成あるいは結合 (composition) と呼ばれる概念となる）。 例えば 4 の異なる分割は次の五通りである。 このとき、順序を考慮した合成 1 + 3 は分割としては 3 + 1 と同じであり、同様に合成としては異なる 1 + 2 + 1 および 1 + 1 + 2 は分割としては 2 + 1 + 1 と同じである。 分割の各因子は部分または成分 (part) などとも呼ばれる。また、各正整数 n に対して n の分割の総数を与える函数を p(n) であらわし、n の分割数 (partition function) と呼ぶ。これによれば上記は p(4).
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Qポッホハマー記号
数学において、qポッホハマー記号(q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である。 &(a;q)_\infty.
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母関数
数学において、母関数（ぼかんすう、generating function; 生成関数）は、（自然数で添字付けられた）数列 に関する情報を内包した係数を持つ、形式的冪級数である。母関数は、一般線型回帰問題の解決のためにド・モアブルによって1730年に初めて用いられた。複数の自然数で添字付けられる数の配列（多重数列）の情報を取り込んだ多変数冪級数を同様に考えることもできる。 母関数には、通常型母関数、指数型母関数、ランベルト級数、ベル級数、ディリクレ級数 など様々なものがある。これらについては定義と例を後述する。原理的にはあらゆる列についてそれぞれの種類の母関数が存在する（ただし、ランベルト級数とディリクレ型は添字を 1 から始めることが必要）が、扱い易さについてはそれぞれの種類で相当異なるかもしれない。どの母関数が最も有効かは、その列の性質と解くべき問題の詳細に依存する。 母関数を、形式的冪級数に対する演算・操作を用いるなどして（級数の形ではなく）の式で表すこともよく行われる。このような母関数の表示は、母関数の不定元を x とすれば、四則演算、母関数のx に関する微分、他の母関数へ代入すること、などを行った結果として得られる。これらの操作は関数に対しても定義されるものであるし、結果として得られる式もやはり x の関数であるかのように見える。実際、母関数を x の（十分小さい）具体的な値で評価することのできる関数として解釈することができる場合も少なくない（このとき、母関数の冪級数表示は、母関数の閉じた形の式のテイラー級数と解釈される）のであり、それがこの式が「母関数」と呼ばれる所以でもある。しかし、形式的冪級数は x に何らかの数値を代入したときに収束するかどうかは問題にしないのであって、母関数についてそのような関数としての解釈が可能であるということは必ずしも要求されるものではないし、同様に x の関数として意味を持つ式がいずれも形式的冪級数に対して意味を持つわけではない。 慣例的に母「関数」と呼ばれてはいるが、始域から終域への写像という関数の厳密な意味に照らして言えば母関数は関数ではなく、今日的には生成級数（母級数）と呼ぶこともしばしばである。.
数論
数論（すうろん、number theory）とは数、特に整数およびそれから派生する数の体系（代数体、局所体など）の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。;初等整数論;代数的整数論;解析的整数論;数論幾何学 フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。 ガウスは次のような言葉を残している。.
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分割関数。
