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保存系

索引 保存系

力学系が保存系であるとは、保存量(または、第一積分)が存在することを意味している。.

8 関係: 力学的エネルギー力学系定数関数位相空間 (物理学)保存則ポアソン括弧系 (自然科学)関数 (数学)

力学的エネルギー

力学的エネルギー(りきがくてきエネルギー、mechanical energy)とは、運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和のことを指す。 保存力の場での質点の運動では力学的エネルギー(運動エネルギーと位置エネルギー(ポテンシャル)の和)が一定となる。これを、力学的エネルギー保存の法則(力学的エネルギー保存則)と言う。 これを式で書くと次のようになる。ただし、運動エネルギーを K、ポテンシャルを U、力学的エネルギーを E とする。 一般にこれが保存するとき(即ち、保存力のみが仕事をし、非保存力が仕事をしないとき)によく使われる概念である。エネルギーが保存する場合、エネルギーの総和は初期条件で決まる。運動エネルギー K は、 なので、 となり、ポテンシャルの範囲が決まってしまう。ポテンシャルは位置に依存する量なので、これは運動の領域が決まることになる。ポテンシャルの概形が分かれば運動の様子がある程度推測できる。例えば、調和振動のポテンシャルは、 である。(x0 は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x2 の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。 十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。 力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー(摩擦などを通してやりとりされる)や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している(→エネルギー保存の法則)。.

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力学系

力学系(りきがくけい、英語:dynamical system)とは、一定の規則に従って時間の経過とともに状態が変化するシステム(系)、あるいはそのシステムを記述するための数学的なモデルのことである。一般には状態の変化に影響を与える数個の要素を変数として取り出し、要素間の相互作用を微分方程式または差分方程式として記述することによってモデル化される。 力学系では、システムの状態を実数の集合によって定義している。各々の状態の違いは、その状態を代表する変数の差のみによって表現される。システムの状態の変化は関数によって与えられ、現在の状態から将来の状態を一意に決定することができる。この関数は、状態の発展規則と呼ばれる。 力学系の例としては、振り子の振動や自然界に存在する生物の個体数の変動、惑星の軌道などが挙げられるが、この世界の現象すべてを力学系と見なすこともできる。システムの振る舞いは、対象とする現象や記述のレベルによって多種多様である。;力学系の具体例.

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定数関数

数学の分野における定数関数(ていすうかんすう、; 定値写像)とは、それがとりうる値が変数の変動によって変わらない定数値の関数(写像)のことを言う。例えば、関数 f(x).

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位相空間 (物理学)

物理学における位相空間(いそうくうかん、phase space)とは、力学系の位置と運動量を座標(直交軸)とする空間のことである。数学における位相空間()と区別するために、相空間と呼ぶ流儀もある。 ハミルトン形式においては位置と運動量が力学変数となり、力学変数の関数として表される物理量は位相空間上の関数となる。 1個の質点の運動の状態は、その位置と運動量を指定することで定まる。-次元空間における運動では、位置と運動量がそれぞれ 成分あり、合わせて 成分となる。これらを座標とする 次元の空間が位相空間である。1個の質点の運動の状態は位相空間上の1個の点として表現され、これは状態点と呼ばれる。運動方程式に従って位置と運動量は時間変化し、時間の経過とともに状態点は1本の軌跡を描く。 -次元空間を運動する 個の質点系の運動の状態は 次元位相空間上の 個の状態点の分布として表現され、時間とともにその分布が変化する。 質点系は上記の分布による表現だけではなく、 個の質点の各々の位置と運動量のすべてを座標とする -次元の位相空間を考えることができる。質点系の運動の状態はこの -次元空間上の1個の状態点として表現され、時間の経過とともに1本の軌跡を描く。.

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保存則

保存則(ほぞんそく、conservation law)とは、物理的変化あるいは化学的変化の前後で物理量(あるいは物理量の結合)の値が変わらない、という法則出典:『ブリタニカ国際大百科事典』「保存則」。言い方を変えると、。保存則が成り立つ系のことを保存系と呼ぶ。 最も基本的な保存則としては、運動量保存則、角運動量保存則、エネルギー保存則、質量保存則、電荷保存則などがある。 ネーターの定理により、系が持つある一つの保存則は系の持つ一つの対称性に対応することが示されている。 なお、保存則の破れ(例外)が発見されることで、新しい物理理論が構築されるきっかけとなることがある。.

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ポアソン括弧

ポアソン括弧(ぽあそんかっこ、)とは、ハミルトン形式の解析力学における重要概念の一つ。.

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系 (自然科学)

自然科学における系(けい、)とは、宇宙(世界、ユニバース、)の一部のうち、考察の対象として注目している部分である。分野や考察の内容に応じて力学系、生態系、太陽系、実験系などというように用いられる。システムの記事も参照。 宇宙のうち、系ではない考察の対象としない部分はという。これは外界が系に比べて非常に大きく、外界が系に影響を及ぼして系の状態の変化を引き起こすことがあっても、系が外界に及ぼす影響は無視できるとする仮定の下に考察の対象から外される。外界の状態は、常に一定であるとしたり、単純な変化をしたりと、考察の前提として仮定される。また、観測者は外界にいるものとして通常は考察の対象とされない。 物理学では、系を古典論で記述するとき、その系を古典系と呼ぶ。一方で系を量子論で記述するとき、その系を量子系とよぶ。.

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関数 (数学)

数学における関数(かんすう、、、、、函数とも)とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。.

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