ブラウザよりも高速アクセス！
48 関係: 可微分多様体、向き、外積代数、主束、一般線型群、引き戻し、体積要素、余接束、微分同相写像、微分幾何学、微分形式、微分積分学、ハール測度、ポワンカレ計量、ヤコビ行列、ラドン＝ニコディムの定理、リー微分、リーマン多様体、リー群、ルベーグ積分、ルベーグ測度、レトラクト (位相幾何学)、ボレル集合、テンソル、ホッジ双対、ベクトル場、判別式、ケーラー多様体、シンプレクティック多様体、ストークスの定理、円柱座標変換、球面座標系、群作用、絶対連続、直線束、発散 (ベクトル解析)、発散定理、被覆空間、複素多様体、複素平面、計量テンソル、関数 (数学)、Integral、測度論、流体力学、断面 (位相幾何学)、擬リーマン多様体、数学。
可微分多様体
数学において、可微分多様体（かびぶんたようたい、differentiable manifold）、あるいは微分可能多様体（びぶんかのうたようたい）は、局所的に十分線型空間に似ており微積分ができるような多様体である。任意の多様体は、チャート（座標近傍、局所座標）の集まり、アトラス（座標近傍系、局所座標系）、によって記述することができる。各座標近傍は微積分の通常のルールが適用する線型空間の中にあるから、各々のチャートの中で考えるときには微積分学のアイデアを適用できる。チャートが適切に両立可能であれば（すなわち1つのチャートから別のチャートへの変換が微分可能であれば）、1つのチャートでなされた計算は任意の他の微分可能なチャートにおいても有効である。 フォーマルに言えば、可微分多様体は大域的に定義されたを持つ位相多様体である。任意の位相多様体にはアトラスの同相写像と線型空間上の標準的な微分構造を用いて局所的に微分構造を与えることができる。同相写像によって誘導された局所座標系上の大域的な微分構造を誘導するためには、アトラスのチャートの共通部分上での合成が対応する線型空間上の微分可能な関数でなければならない。言い換えると、チャートの定義域が重なっているところでは、各チャートによって定義された座標はアトラスのすべてのチャートによって定義された座標に関して微分可能であることが要求される。様々なチャートによって定義された座標を互いに結びつける写像を変換関数 (transition map/遷移写像/座標変換) と呼ぶ。 微分可能性は文脈によって連続微分可能、k 回微分可能、滑らか、正則といった異なる意味を持つ。さらに、抽象的な空間にそのような可微分構造を誘導できることによって微分可能性の定義を大域的な座標系なしの空間に拡張することができる。微分構造によって大域的に微分可能な接空間、微分可能な関数、微分可能なテンソル場やベクトル場を定義することができる。可微分多様体は物理においても非常に重要である。特別な種類の可微分多様体は古典力学、一般相対論、ヤン・ミルズ理論といった物理理論の基礎をなす。可微分多様体に対して微積分を展開することが可能である。これによって exterior calculus （外微分法/外微分学）のような数学的機構が導かれる。可微分多様体上の微積分の研究は微分幾何学と呼ばれる。.
新しい！!: 体積形式と可微分多様体 · 続きを見る »
向き
数学における実ベクトル空間の向き（むき、orientation) または向き付けとは、基底の順序付き組に対し「正」の向きまたは「負」の向きを指定する規約のことである。3次元ユークリッド空間における2種類の向きはそれぞれ右手系や左手系（あるいは右キラル・左キラル）と呼ばれる。しばしば右手系が正の向きにとられるものの、右手系を負の向きとするような向き付けももちろんありうる。 実ベクトル空間における向きの概念を基礎として、実多様体などの様々な幾何学的対象にも向きを考えることができる。.
外積代数
数学におけるベクトルの外積（がいせき、exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。 外積代数（がいせきだいすう、exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、Grassmann algebra）としても知られ、与えられた体 上のベクトル空間 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。 形式的には、外積代数は あるいは で表され、 を線型部分空間として含む、楔積あるいは外積と呼ばれる で表される乗法を持つ、体 上の単位的結合代数である。楔積は結合的で双線型な乗法 であり、本質的な性質として 上の交代性 を持つものである。これは以下の性質 をも特別の場合として含む。 圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の（ベクトル空間としての）双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。.
主束
数学において、主束（しゅそく、principal bundle）は、枠束を抽象化した概念である。 ここで枠束（frame bundle）とは、ファイバー束であって、任意の一点上のファイバー（繊維）が、あるベクトル空間における並び順の付いた基底全体の集合からなるものである。 主束は、構造群と呼ばれるある与えられた群 G により、ファイバーが G の主等質空間（英：principal homogeneous space）（G が自由かつ推移的に作用する集合のこと。G-トルソ（英：G-torsor）ともいう）になるものとして特徴付けられる。 これは、一般枠束におけるベクトル空間の全基底に対する一般線型群の作用を一般化したものである。 さらに、主 G 束（しゅ G そく、principal G-bundle）とは、ファイバー束であって、全てのファイバーが位相群 G の群の作用により主等質空間になるものをいう。 主 G 束は、群 G が束の構造群にもなるという意味で、G 束である。 主束は、位相幾何学および微分幾何学で重要な応用を有する。 主束は物理においても、ゲージ理論の根本的枠組みの一部を構成するという応用を見出した。 構造群 G を有するすべてのファイバー束は、一意に主 G 束を決定し、この主束により元の束が再構成できるという意味で、主束は、ファイバー束の理論に統一的枠組みを与える。.
一般線型群
数学において、一般線型群（いっぱんせんけいぐん、general linear group）とは線型空間上の自己同型写像のなす群のこと。あるいは基底を固定することで、正則行列のなす群のことを指すこともある。.
新しい！!: 体積形式と一般線型群 · 続きを見る »
引き戻し
引き戻し（ひきもどし）.
体積要素
数学において、体積要素（たいせきようそ、）とは、関数を球面座標系や円柱座標系など様々な座標系において体積について積分する際に現われる概念である。次の式により表現される。 ここで、 は座標であり、任意の集合 の体積を次のように計算できるものとする。 たとえば、球面座標系においては であり、従って である。 体積要素という概念は三次元に留まるものではない。二次元では面積要素（めんせきようそ、）と呼ばれることも多く、面積分を行う際に有用である。座標変換の際、（変数変換公式により）体積要素は座標変換のヤコビ行列の行列式の絶対値だけ変化する。この事実から、体積要素は多様体の一種の測度として定義できることが従う。向き付け可能な可微分多様体においては、典型的には体積要素は体積形式、すなわち最高次の微分形式から導かれる。向き付け不可能な多様体においては、典型的には体積要素は（局所的に定義される）体積要素の絶対値であり、を定義する。.
余接束
数学、特に微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束 (cotangent bundle) は多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。.
微分同相写像
数学において、微分同相写像（びぶんどうそうしゃぞう、diffeomorphism）は滑らかな多様体の同型写像である。それは1つの可微分多様体を別の可微分多様体に写す可逆関数であって、関数と逆関数が両方滑らかであるようなものである。.
新しい！!: 体積形式と微分同相写像 · 続きを見る »
微分幾何学
数学における微分幾何学（びぶんきかがく、ドイツ語: Differentialgeometrie、英語：differential geometry）とは微分を用いた幾何学の研究である。また、可微分多様体上の微分可能な関数を取り扱う数学の分野は微分位相幾何学（びぶんいそうきかがく、ドイツ語: Differentialtopologie、英語: differential topology）とよばれることがある。微分方程式の研究から自然に発生したこれらの分野は互いに密接に関連しており、特に一般相対性理論をはじめとして物理学に多くの応用がある。これらは可微分多様体についての幾何学を構成しているが、力学系の視点からも直接に研究される。.
新しい！!: 体積形式と微分幾何学 · 続きを見る »
微分形式
数学における微分形式（びぶんけいしき、differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。.
微分積分学
微分積分学（びぶんせきぶんがく, ）とは、解析学の基本的な部分を形成する数学の分野の一つである。微分積分学は、局所的な変化を捉える微分と局所的な量の大域的な集積を扱う積分の二本の柱からなり、分野としての範囲を確定するのは難しいが、大体多変数実数値関数の微分と積分に関わる事柄（逆関数定理やベクトル解析も）を含んでいる。 微分は、ある関数のある点での接線、或いは接平面を考える演算である。数学的に別の言い方をすると、基本的には複雑な関数を線型近似して捉えようとする考え方である。従って、微分は線型写像になる。但し、多変数関数の微分を線型写像として捉える考え方は 20世紀に入ってからのものである。微分方程式はこの考え方の自然な延長にある。 対して積分は、幾何学的には、曲線、あるいは曲面と座標軸とに挟まれた領域の面積（体積）を求めることに相当している。ベルンハルト・リーマンは（一変数の）定積分の値を、長方形近似の極限として直接的に定義し、連続関数は積分を有することなどを証明した。彼の定義による積分をリーマン積分と呼んでいる。 微分と積分はまったく別の概念でありながら密接な関連性を持ち、一変数の場合、互いに他の逆演算としての意味を持っている（微分積分学の基本定理）。微分は傾き、積分は面積を表す。.
新しい！!: 体積形式と微分積分学 · 続きを見る »
ハール測度
解析学におけるハール測度（ハールそくど、Haar measure）は、局所コンパクト位相群上で定義される正則不変測度である。ハンガリーの数学者にその名を因む。.
新しい！!: 体積形式とハール測度 · 続きを見る »
ポワンカレ計量
数学におけるポアンカレ計量（ポアンカレけいりょう、Poincaré metric）は、アンリ・ポアンカレにその名を因む、二次元の負曲率一定曲面を記述する計量テンソルである。この計量は、双曲幾何やリーマン面において様々な計算を展開する際に広く用いられる。 二次元の双曲幾何の表現には、互いに同値な三種類がよく用いられる。ひとつは上半平面上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ上半平面模型、もうひとつは単位円板上の双曲空間のモデルを与えるポアンカレ円板模型であり、このふたつは等角写像（共形写像）およびメビウス変換によって与えられる等距写像によって関連付けられる。いまひとつの表現は穴あき円板上のもので、その関係性はq-類似によっても表される。以下これらについて述べる。.
新しい！!: 体積形式とポワンカレ計量 · 続きを見る »
ヤコビ行列
数学、特に多変数微分積分学およびベクトル解析におけるヤコビ行列（やこびぎょうれつ、Jacobian matrix）あるいは単にヤコビアンまたは関数行列（かんすうぎょうれつ、Funktionalmatrix）は、一変数スカラー値関数における接線の傾きおよび一変数ベクトル値函数の勾配の、多変数ベクトル値関数に対する拡張、高次元化である。名称はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに因む。多変数ベクトル値関数 のヤコビ行列は、 の各成分の各軸方向への方向微分を並べてできる行列で \end\quad (f.
新しい！!: 体積形式とヤコビ行列 · 続きを見る »
ラドン＝ニコディムの定理
数学におけるラドン＝ニコディムの定理（ラドン＝ニコディムのていり、）は、測度論の分野における一結果で、ある可測空間 が与えられたとき、 上のある が別の 上の σ-有限測度 に関して絶対連続であるなら、任意の可測部分集合 に対して次を満たす可測函数.
新しい！!: 体積形式とラドン＝ニコディムの定理 · 続きを見る »
リー微分
数学においてリー微分（りーびぶん、Lie derivative）は、多様体 M 上のテンソル場全体の成す多元環上に定義される微分（導分とも）の一種である。ソフス・リーにちなんで名づけられた。M 上のリー微分全体の成すベクトル空間は次で定義されるリー括弧積 について無限次元のリー環を成す。リー微分は M 上の流れ（flow; フロー、activeen な微分同相写像）の無限小生成作用素としてベクトル場によって表される。もう少し別な言い方をすれば、リー群論の方法の直接の類似物ではあるが、M 上の微分同相写像全体の成す群は付随するリー環構造（もちろんそれはリー微分全体のなすリー環のことだが）を持つということができる。.
リーマン多様体
微分幾何学におけるリーマン多様体（リーマンたようたい、Riemannian manifold）とは、可微分多様体 で 上の各点に基本計量テンソル が与えられているものを言う。ベルンハルト・リーマンによって導入された。.
新しい！!: 体積形式とリーマン多様体 · 続きを見る »
リー群
リー群（リーぐん、Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.
ルベーグ積分
数学において、一変数の非負値関数の積分は、最も単純な場合には、その関数のグラフと 軸の間の面積と見なすことができる。ルベーグ積分（ルベーグせきぶん、Lebesgue integral）は、より多くの関数を積分できるように拡張したものである。ルベーグ積分においては、被積分関数は連続である必要はなく、至るところ不連続でもよいし、関数値として無限大をとることがあってもよい。さらに、関数の定義域も拡張され、測度空間と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできる。 数学者は長い間、十分滑らかなグラフを持つ非負値関数、例えば有界閉区間上の連続関数、に対しては、「曲線の下部の面積」を積分と定義できると理解しており、多角形によって領域を近似する手法によってそれを計算した。しかしながら、より不規則な関数を考える必要が、例えば解析学や確率論において極限を考えるときに生じたため、より注意深い近似の手法が適切な積分を定義するために必要なことが明らかとなった。また、局所コンパクト群のような、実数直線よりも一般の空間上で積分をしたいことがある。ルベーグ積分はこの重要な仕事をするために必要な正しい抽象化を与える。例えば、フーリエ級数などの関数列の極限として表される関数に対して、積分と極限操作が可換となるかどうかをリーマン積分で考えると非常に繊細な議論が必要だが、ルベーグ積分では、積分と極限操作の交換が可能であるための簡単な十分条件が分かっている。 ルベーグ積分は実解析と呼ばれる数学の分野に属する確率論や、他の多くの数理科学分野において、重要な役割を果たす。ルベーグ積分という名前は、その積分を導入した数学者アンリ・ルベーグ (Henri Lebesgue, 1875–1941) に由来している。それはまたの中枢部でもある。 ルベーグ積分 (Lebesgue integration) という用語は、カラテオドリに始まる一般の測度に関する関数の積分の一般論を意味することもあるし、ルベーグ測度に関して実数直線の部分集合上定義された関数を積分するという特定の場合を意味することもある。.
新しい！!: 体積形式とルベーグ積分 · 続きを見る »
ルベーグ測度
数学におけるルベーグ測度（ルベーグそくど、Lebesgue measure）は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、選択公理によって の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 の測度を で表す。.
新しい！!: 体積形式とルベーグ測度 · 続きを見る »
レトラクト (位相幾何学)
位相幾何学という数学の分野において，レトラクション (retraction) とは，位相空間から部分空間への，その部分空間の全ての点の位置を保つ連続写像である．変位レトラクション (deformation retraction) は空間を部分空間に「連続的に縮める」という概念を捉える写像である． 絶対近傍レトラクト (absolute neighborhood retract, ANR) は特にタイプの位相空間である．例えば，すべての位相多様体は ANR である．すべての ANR は非常に単純な位相空間，，のホモトピー型を持つ．.
新しい！!: 体積形式とレトラクト (位相幾何学) · 続きを見る »
ボレル集合
数学におけるボレル集合（ボレルしゅうごう、Borel set）は、位相空間の開集合系（あるいは閉集合系）から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。名称はエミール・ボレルに由来する。 位相空間 X に対し、X 上のボレル集合全体の成す族（ボレル集合族）は完全加法族（σ-集合体）を成し、ボレル集合体 あるいはボレル完全加法族 と呼ばれる。X 上のボレル集合体は、全ての開集合を含む最小の完全加法族である（全ての閉集合を含む最小の完全加法族でもある）。 ボレル集合は測度論において重要である。これは任意のボレル集合体上で定義された測度が空間内の開集合（あるいは閉集合）上での値のみから一意に定まることによる。ボレル集合体上で定義された測度はボレル測度と呼ばれる。ボレル集合およびそれに付随するボレル階層は、記述集合論においても基本的な役割を果たす。 文脈によっては、位相空間の（開集合ではなくて）コンパクト集合の生成するものとしてボレル集合を定めることもある。多くの素性の良い 空間、例えば任意の σ-コンパクトハウスドルフ空間などでは、この定義は先の（開集合を用いた）定義と同値になるが、そうでない病的な空間では違ってくる。.
新しい！!: 体積形式とボレル集合 · 続きを見る »
テンソル
テンソル（tensor, Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。しかし、テンソル自身は、特定の座標系によらないで定まる対象である。個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。 例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1のテンソルであり、力や加速度ベクトルの間の異方的な関係などをあらわす線型変換は階数2のテンソルで表される。 物理学や工学においてしばしば「テンソル」と呼ばれているものは、実際には位置や時刻を引数としテンソル量を返す関数である「テンソル場」であることに注意しなければならない。いずれにせよテンソル場の理解のためにはテンソルそのものの概念の理解が不可欠である。.
ホッジ双対
数学において、ホッジスター作用素(ホッジスターさようそ、Hodge star operator)、もしくは、ホッジ双対(ホッジそうつい、Hodge dual)は、(Hodge)により導入された線型写像である。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた内積空間の外積代数の上で定義される -ベクトルのなす空間から-ベクトルのなす空間への線形同型である。 他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上のベクトルバンドルへの作用に拡張することができる。 たとえば余接束の外積代数（すなわち、多様体上の微分形式の空間）に対して、ホッジスター作用素を用いてラプラス＝ド・ラーム作用素を定義し、コンパクトなリーマン多様体上の微分形式のホッジ分解を導くことができる。.
新しい！!: 体積形式とホッジ双対 · 続きを見る »
ベクトル場
ベクトル場（ベクトルば、vector field）とは、数学において、幾何学的な空間の広がりの中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場はユークリッド空間 Rn （またはその開集合）からベクトル空間 Rn への関数として与えられる。（局所的な）座標系のもとでベクトル場を表示するときは座標に対してベクトルを与えるような関数を考えることになるが、座標系を変更したときにこの関数は一定の規則に従って変換を受けることが要請される。 ベクトル場の概念は物理学や工学においても積極的にもちいられ、例えば動いている流体の速さと向きや、磁力や重力などの力の強さと向きなどが空間的に分布している状況を表すために用いられている。 現代数学では多様体論にもとづき、多様体上の接ベクトル束の断面として（接）ベクトル場が定義される。.
新しい！!: 体積形式とベクトル場 · 続きを見る »
判別式
代数学において、多項式の判別式（はんべつしき、discriminant）はその係数たちの関数であり、一般には大文字の 'D' あるいは大文字のギリシャ文字デルタ (Δ) で表記される。それは根の性質についての情報を与えてくれる。例えば、二次多項式 の判別式は である。ここで、実数,, に対して、Δ > 0 であれば、多項式は 2 つの実根を持ち、Δ.
ケーラー多様体
数学、特に微分幾何学において、ケーラー多様体（Kähler manifold）とは、複素構造、リーマン構造、シンプレクティック構造という３つが互いに整合性を持つ多様体である。ケーラー多様体 X 上には、ケーラーポテンシャルが存在し、X の計量に対応するレヴィ・チヴィタ接続が、標準直線束上の接続を引き起こす。 滑らかな射影代数多様体はケーラー多様体の重要な例である。小平埋め込み定理により、正の直線束を持つケーラー多様体は、常に射影空間の中へ双正則に埋め込むことができる。 ケーラー多様体の名前はドイツ人数学者エーリッヒ・ケーラー (Erich Kähler) にちなんでいる。.
新しい！!: 体積形式とケーラー多様体 · 続きを見る »
シンプレクティック多様体
数学におけるシンプレクティック多様体（symplectic manifold）は、シンプレクティック形式と呼ばれる非退化な閉形式である 2-形式を持つ滑らかな多様体である。シンプレクティック多様体の研究分野はシンプレクティック幾何学やシンプレクティックトポロジーと呼ばれる。シンプレクティック多様体は、古典力学の抽象的定式化であるハミルトン力学などにおいて多様体の余接バンドルとして自然に表れるもので、この分野に対して大きな動機付けを与えた。実際、系の取り得るすべての配位が成す集合を多様体としてモデル化すると、この多様体は系の相空間を記述する。 シンプレクティック多様体上の微分可能な実数値関数 H は(energy function)を与えることができ、これをハミルトニアンと呼ぶ。どのようなハミルトニアンに対してもハミルトンベクトル場が対応付けられる。ハミルトンベクトル場の積分曲線はハミルトン方程式の解曲線になる。ハミルトンベクトル場は、シンプレクティック多様体上のフロー（ハミルトンフロー、あるいは、シンプレクティック同相写像と呼ばれる）を定め、リウヴィルの定理によれば、ハミルトンフローは相空間上の体積要素を保存する。.
新しい！!: 体積形式とシンプレクティック多様体 · 続きを見る »
ストークスの定理
トークスの定理（ストークスのていり、Stokes' theorem）は、ベクトル解析の定理のひとつである。3次元ベクトル場の回転を閉曲線を境界とする曲面上で面積分したものが、元のベクトル場を曲面の境界である閉曲線上で線積分したものと一致することを述べるGeorge B. Arfken and Hans J. Weber (2005), chapter.1。定理の名はイギリスの物理学者ジョージ・ガブリエル・ストークスに因むVictor J. Katz (1979)Victor J. Katz (2008), chapter.16。ベクトル解析におけるグリーン・ガウス・ストークスの定理を、より一般的な向きづけられた多様体上に拡張したものも、同様にストークスの定理と呼ばれる。微分積分学の基本定理の、多様体への拡張であるともいえる。.
新しい！!: 体積形式とストークスの定理 · 続きを見る »
円柱座標変換
円柱座標変換（えんちゅうざひょうへんかん）とは、3次元ユークリッド空間 （数ベクトル空間)の、非線形な座標変換の一つである。円柱座標変換の逆写像厳密には、円柱座標系は大域的には逆写像を持たない。ただ、特異点上を除き、その近傍においては、局所的な逆写像を持つ（円柱座標系と円柱座標変換、逆写像定理の項目を参照のこと）。のことを、円柱座標系という。円柱座標系は、極座標系の一種である極座標系は、直交曲線座標系の一種であるから、円柱座標系は直交曲線座標系であり、直交曲線座標系は直交座標系の一種なので、円柱座標系は直交座標系の一種である。。 円柱座標変換は、電子レンズなど、軸対称な系の計算によく用いられる軸対称でない系に対しても適用可能である。また、本稿でも、特に注意をしない場合には軸対称でない系を除外していない。しかし、軸対称でない系に対してはあまり威力のない手法である。。.
新しい！!: 体積形式と円柱座標変換 · 続きを見る »
球面座標系
球面座標系（きゅうめんざひょうけい、）とは、3次元ユークリッド空間に定まる座標系の一つで、一つの動径座標と二つの角度座標で表される極座標系である。第一の角度はある軸（通常は -軸を選ぶ）と動径がなす角度で、第二の角度は、その軸に垂直な平面にある別の軸（通常は -軸を選ぶ）とこの平面への動径の射影がなす角度である。通常は動径座標に記号 を用い、第一の角度座標には を、第二の角度座標には を用いて表される。動径座標は で与えられる。第二の角度座標を で与えられる。ここで は符号関数 である。-軸上 において特異性があり、分母がゼロとなるため が定まらない。さらに原点 においては も定まらない。 球面座標 から直交直線座標 への変換の式を微分すれば が得られて、ヤコビ行列とヤコビ行列式は となる。従って球面座標で表した体積素は となる。また、線素の二乗は となる。交叉項が現れないため、球座標は各点において動径が増減する方向と二つの角度が増減する方向がそれぞれに直交している直交座標系である。.
新しい！!: 体積形式と球面座標系 · 続きを見る »
群作用
数学における群作用（ぐんさよう、group action）は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。.
絶対連続
数学における絶対連続（ぜったいれんぞく、absolute continuity）とは通常の連続性や一様連続性よりも強い条件を課した連続性の概念である。関数と測度とについて、関係しているが見かけ上異なるふたつの絶対連続性の定義がなされる。.
直線束
数学における直線束（ちょくせんそく、line bundle; 線束）は、空間の点から点へ動いていく直線の概念を表すものである。例えば、平面上の曲線は各点において接線を持つが、これらを構造化する方法によって接束が得られる。より厳密に、代数幾何学および微分位相幾何学における直線束は階数 のベクトル束として定義される。 一次元の実直線束（冒頭に述べたようなもの）と一次元の複素直線束は異なる。 正則実行列全体の成す空間の位相は、（正および負の実数をそれぞれ一点に縮めた）にホモトピー同値だが、 正則複素行列の空間のホモトピー型は円周である。 従って、実直線束はホモトピー論的には、二点繊維を持つファイバー束としての二重被覆も同然である。これは可微分多様体上のになる（実際これは、直線束が行列式束（接束の最高次外冪）の特別の場合であることからわかる）。メビウスの帯は円周の二重被覆（偏角を θ ↦ 2θ にする写像）に対応し、これを二点繊維を持つものとして見ることもできるが、このとき単位区間でも実数直線でもデータとしては同値である。 複素直線束の場合には、実はこれはでもあることが分かる。よく知られたものとして、例えば球面から球面へのがある。.
発散 (ベクトル解析)
ベクトル解析における発散（はっさん、divergence）は、各点においてベクトル場のの大きさを符号付きスカラーの形で測るベクトル作用素である。より技術的に言えば、発散が表すのは与えられた点の無限小近傍領域から出る流束の体積密度である。例えば、空気を熱したり冷ましたりするものとして考えると、各点において空気の移動速度を与えるベクトル場を例にとることができる。領域内で空気を熱すれば空気は全方向へ膨張していくから、速度場は領域の外側をさしていることになり、従って速度場の発散はこの領域で正の値をとり、この領域は流入（あるいは湧き出し、湧出、source）域であることが示される。空気を冷まして収縮させるなら、発散の値は負となり、この領域は流出（あるいは沈み込み、排出、sink）域と呼ばれる。.
新しい！!: 体積形式と発散 (ベクトル解析) · 続きを見る »
発散定理
散定理（はっさんていり、divergence theorem）は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。ガウスの定理（Gauss' theorem）とも呼ばれる。1762年にラグランジュによって発見され、その後ガウス（1813年）、グリーン（1825年）、オストログラツキー（1831年）によってそれぞれ独立に再発見された 。オストログラツキーはまたこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。.
被覆空間
数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。 被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する： X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と 基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する（被覆の分類定理）。 from a topological space, C, to a topological space, X, such that each point in X has an open neighbourhood evenly covered by p (as shown in the image); the precise definition is given below.
複素多様体
微分幾何学で複素多様体（ふくそたようたい、complex manifold）とは、多様体上の各点の開近傍が、Cn の中の単位開円板への正則な座標変換を持つ多様体のことを言う。座標変換が正則である場合には、Cn の中で、コーシー・リーマンの方程式の制約を受ける。 複素多様体という言葉は、上の意味で可積分複素多様体として特徴づけることができる。 One must use the open unit disk in Cn as the model space instead of Cn because these are not isomorphic, unlike for real manifolds.
新しい！!: 体積形式と複素多様体 · 続きを見る »
複素平面
複素平面 数学において、数平面（すうへいめん、Zahlenebene）あるいは複素数­平面（ふくそすう­へいめん、Komplexe Zahlenebene, complex plane）は、数直線あるいは実数直線 (real line) を実軸 (real axis) として含む。 が実数であるとき、複素数 を単に実数の対とみなせば、平面の直交座標 の点に対応付けることができる。xy-平面上の y-軸は純虚数の全体に対応し、虚軸 (imaginary axis) と呼ばれる。-平面上の点 に複素数 を対応させるとき、-平面とも言う。 1811年頃にガウスによって導入されたため、ガウス平面 (Gaussian plane) とも呼ばれる。一方、それに先立つ1806年に も同様の手法を用いたため、アルガン図 (Argand Diagram) とも呼ばれている。さらに、それ以前の1797年の の書簡にも登場している。このように複素数の幾何的表示はガウス以前にも知られていたが、今日用いられているような形式で複素平面を論じたのはガウスである。三者の名前をとってガウス・アルガン平面、ガウス・ウェッセル平面などとも言われる。 英語名称 complex plane を「直訳」して複素平面と呼ぶことも少なくないが、ここにいう complex は「複素数上の—」という意味ではなく複素数そのものを意味している（複素数の全体を "the complexes" と呼んだり、" is a complex" などのような用例のあることを想起せよ）。したがって、語義に従った complex plane の直訳は「複素数平面」と考えるべきである（実数全体の成す real line についても同様であり、これは通例「実数直線」と訳され、実直線は多少異なる意味に用いられる）。.
計量テンソル
計量テンソル（けいりょうテンソル、metric tensor）は、リーマン幾何学において、空間内の距離と角度を定義する、階数（）が2のテンソルである。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（）と呼ばれることもある。 ひとたび、ある座標系 が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、 として表記され、各成分は と表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。 点 から までの曲線の長さは、 をパラメータとして、 と定義される。2つの接ベクトル（）U.
新しい！!: 体積形式と計量テンソル · 続きを見る »
関数 (数学)
数学における関数（かんすう、、、、、函数とも）とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。.
新しい！!: 体積形式と関数 (数学) · 続きを見る »
Integral
integral（インテグラル）は、日本の出版社・ジャイブが発行するテーブルトークRPG（TRPG）関係の文庫レーベル。2005年3月の創刊時は「ジャイブTRPGシリーズ」の名称であったが、創刊と同時に開設していたサポート用のポータルサイト「INTEGRAL」と2007年7月にレーベル名を統一した。 リプレイ・サプリメント・TRPGを原作とする小説化作品を中心に刊行しているが、2010年12月よりオリジナル小説の刊行を開始した。.
新しい！!: 体積形式とIntegral · 続きを見る »
測度論
測度論（そくどろん、measure theory ）は、数学の実解析における一分野で、測度とそれに関連する概念（完全加法族、可測関数、積分等）を研究する。 ここで測度（そくど、measure ）とは面積、体積、個数といった「大きさ」に関する概念を精緻化・一般化したものである。 よく知られているように積分は面積と関係があるので、積分（厳密にはルベーグ積分）も測度論を基盤にして定式化・研究できる。 また、測度の概念は確率を数学的に定式化する際にも用いられるため（コルモゴロフの公理）、 確率論や統計学においても測度論は重要である。 たとえば「サイコロの目が偶数になる確率 」は目が 1,..., 6 になるという 6 つの事象の集合の中で、2, 4, 6 という 3 つ分の「大きさ」を持っている為、 測度の概念で記述できる。.
流体力学
流体力学（りゅうたいりきがく、fluid dynamics / fluid mechanics）とは、流体の静止状態や運動状態での性質、また流体中での物体の運動を研究する、力学の一分野。.
断面 (位相幾何学)
位相幾何学の分野におけるファイバー束の断面（だんめん）あるいは切断（せつだん、section）若しくは横断面 (cross-section) とは、底空間をファイバー束の中に実現する写像或いはその像をいう。.
新しい！!: 体積形式と断面 (位相幾何学) · 続きを見る »
擬リーマン多様体
微分幾何学において、擬リーマン多様体 (pseudo-Riemannian manifold)（また、半リーマン多様体 (semi-Riemannian manifold) ともいう）は、リーマン多様体の一般化であり、そこでは計量テンソルが必ずしもでないこともある。代わって、非退化というより弱い条件が、計量テンソルへ導入される。 一般相対論で極めて重要な多様体として、ローレンツ多様体 (Lorentzian manifold) があり、そこでは、一つの次元が他の次元とは反対の符号を持っている。このことは、接ベクトルが時間的、光的、空間的へと分類される。時空は 4次元ローレンツ多様体としてモデル化される。.
新しい！!: 体積形式と擬リーマン多様体 · 続きを見る »
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
