19 関係: 半群、単集合、交換子、交換団、交換法則、アーベル群、内部自己同型、商群、共役類、群 (数学)、群の中心、群同型、群作用、群論、群準同型、部分群、部分集合、自己同型、正規部分群。
半群
数学における半群(はんぐん、semigroup)は集合 S とその上の結合的二項演算とをあわせて考えた代数的構造である。言い換えれば、半群とは演算が結合的なマグマのことをいう。半群の名は、既存の群の概念に由来するものである。半群は、各元が必ずしも逆元を持たないこと(さらに、単位元すら持たないかもしれないこと)が、群と異なる。 半群の演算はほとんど乗法的に書かれる(順序対 (x, y) に対して演算を施した結果を x • y などで、あるいは単に xy で表す)。 半群についてきちんとした形での研究が行われるようになるのは20世紀の初めごろからである。半群は、「無記憶」系 ("memoryless" system) すなわち各反復時点でゼロから開始される時間依存系 (time-dependent system) の抽象代数的な定式化の基盤であるので、数学の各種分野において重要な概念である。応用数学においては、半群はの基本モデルである。また偏微分方程式論では、半群は空間発展的かつ時間非依存な任意の方程式に対応している。有限半群論は1950年代以降、有限半群と有限オートマトンとの間の自然な関連性から、理論計算機科学の分野で特に重要となった。確率論では半群はマルコフ過程に関連付けられている 。.
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単集合
数学における単集合(たんしゅうごう、singleton; 単元集合、単項集合、一元集合)あるいは単位集合()は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。 例えば、 という集合は単集合である。.
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交換子
数学における交換子(こうかんし、commutator)は、二項演算がどの程度可換性からかけ離れているかを測る指標の役割を果たすものである。考えている代数構造により定義が異なる。物理学、特に量子力学における交換子の役割については、交換関係 (量子力学)の項を参照。.
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交換団
数学の代数学の分野において、ある(多元環あるいは群などのような)半群 A の部分集合 S の交換団(こうかんだん、)とは、S のすべての元と可換であるような A の元からなる部分集合、すなわち のことを言う。S′ は部分半群を構成する。これは群論における中心化群の概念を一般化するものである。 が環であるとき、 の部分集合 の交換団は部分環を成し、 の可換子環とも呼ばれる。.
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交換法則
交換法則(こうかんほうそく、Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則(かかんそく)や交換律(こうかんりつ)ともいう。.
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アーベル群
数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群(アーベルぐん、abelian group)または可換群(かかんぐん、commutative group)は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。 アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群(加法群)としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法(例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す)が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。 一般に可換群はに比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。.
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内部自己同型
抽象代数学において、内部自己同型写像 (inner automorphism) は、ある操作をして、次に別の操作をして、次に最初の操作の逆をするような写像である。記号では、f^ \circ g \circ f (X) のように書ける。最初の行動と後に続くその逆の行動は、全体として得る結果を変えることもあれば(「傘をさして、雨の中を歩いて、傘をとじる」というのは単に「雨の中を歩く」のとは異なる結果になる)、変えないこともある(「左手の手袋を外し、右手の手袋を外し、左手の手袋をつける」のは「右手の手袋のみを外す」のと同じ結果になる)。 より正確には、群 の内部自己同型写像 は、 の任意の元 に対し によって定義される写像である。ここで a は G の与えられた固定された元であり、群の元の作用は右に起こると考える(なのでこれを読むとすれば「a かける x かける a−1」ということになる)。 元 を一つ固定して考えるとき、元 を の による共軛 (conjugate) (あるいは は によって と共軛である)と言い、 から を得る操作 を の による共役変換 (conjugation) または相似変換 (similarity transformation) と呼ぶ(共役類も参照)。また適当な によって の形に書けるような元を総称して の共軛元 (conjugate element) と呼ぶ。 1 つの元による共役が別の 1 つの元を変えない場合(上の「手袋」の場合)と共役によって新しい元が得られる場合(「傘」の場合)を区別することはしばしば興味の対象となる。 事実、 と言うことと と言うことは同値である。したがって、恒等写像でない内部自己同型の存在と個数は、群における交換法則の成り立たなさを測るようなものである。.
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商群
数学において,商群(しょうぐん,quotient group, factor group)あるいは剰余群,因子群とは,群構造を保つ同値関係を用いて,大きい群から似た元を集めて得られる群である.例えば,n を法とした加法の巡回群は,整数から,差が の倍数の元を同一視し,そのような各類(合同類と呼ばれる)に1つの実体として作用する群構造を定義することによって得られる.群論と呼ばれる数学の分野の一部である. 群の商において,単位元の同値類はつねにもとの群の正規部分群であり,他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである.得られる商は と書かれる,ただし はもとの群で は正規部分群である.(これは「(ジーモッドエヌ)」と読まれる."mod" は modulo の略である.) 商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する.第一同型定理は任意の群 の準同型による像はつねに のある商と同型であると述べている.具体的には,準同型 による の像は と同型である,ただし は の核 を表す. 商群の双対概念は部分群であり,これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である.任意の正規部分群 は,大きい群から部分群 の元の間の差異を除去して得られる,対応する商群を持つ.圏論では,商群は商対象の例であり,これは部分対象の双対である.商対象の他の例は,商環,商線型空間,商位相空間,商集合を参照..
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共役類
数学、とくに群論において、任意の群は共役類(きょうやくるい、conjugacy class)に分割できる。同じ共役類の元は多くの性質を共有し、非アーベル群の共役類の研究はそれらの構造のたくさんの重要な特徴を明らかにする。.
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群 (数学)
数学における群(ぐん、group)とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.
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群の中心
代数学における群 の核心または中心(ちゅうしん、center)この記法の Z はドイツ語で中心という意味の Zentrum に由来する。英語の center から のような記法が使われることも在るが、中心化群などと紛らわしい。 は の全ての元と可換となるような元全体の成す集合 である。 の中心は の部分群であり、定義からアーベル群(可換群)である。部分群としては、常に正規であり、特性的であるが必ずしも完全特性的 (fully characteristic) ではない。剰余群 は の内部自己同型群に同型である。 群 がアーベル群となることと となることとは同値である。これと正反対に、 が自明(つまり単位元のみからなる)ならば群 は中心を持たない (centerless) という。 中心に属する元はしばしば中心的 (central) であるといわれる。.
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群同型
抽象代数学において、群同型(写像) (group isomorphism) は 2 つの群の間の関数であって与えられた群演算と両立する方法で群の元の間の一対一対応ができるものである。2 つの群の間に同型写像が存在すれば、群は同型 (isomorphic) と呼ばれる。群論の見地からは、同型な群は同じ性質を持っており、区別する必要はない。.
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群作用
数学における群作用(ぐんさよう、group action)は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。.
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群論
群論(ぐんろん、group theory)とは、群を研究する学問。 群の概念は抽象代数学における中心的な概念。 環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。 群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。 線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。 特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。 結晶や、水素原子などの構造の多くは、対称性の群(symmetry group)で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。 1960年代~80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀の数学の最も重要な業績の一つ。.
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群準同型
数学、特に群論における群の準同型写像(じゅんどうけいしゃぞう、group homomorphism)は群の構造を保つ写像である。準同型写像を単に準同型とも呼ぶ。.
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部分群
二項演算 * に関して群 G が与えられたとする。 G の部分集合である H が G の部分群であるということは、 H が演算 * に関して群になるということである。より正確に表現すると、 H が G の部分群であるということは、群の演算 * を H×H (Hの直積)に制限したときに、 H における群の演算になっているということである。この関係は通常、 H ≤ G という記号で表現し、「 H は G の部分群である」と読む。 G の真部分群とは、部分群 H が G の真部分集合である(つまり H≠G である)ことである。任意の群 G に対し、G 自身と単位元のみからなる集合 は常に G の部分群である。 H が G の部分群であるとき、 G は H の拡大群であると表現する場合がある。 G が任意の半群であるときも、G の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 G は順序対 (G, &lowast) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、G を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造(あるいはもっとほかの構造)を定めるということを強調するためである。 以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 a ∗ b を単に ab と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。.
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部分集合
集合 A が集合 B の部分集合(ぶぶんしゅうごう、subset; 下位集合)であるとは、A が B の一部(あるいは全部)の要素だけからなることである。A が B の一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。.
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自己同型
数学において自己同型(automorphism)とは、数学的対象から自分自身への同型射のことを言う。ある解釈においては、構造を保ちながら対象をそれ自身へと写像する方法のことで、その対象の対称性を表わしていると言える。対象の全ての自己同型の集合は群を成し、自己同型群(automorphism group)と呼ばれる。大まかにいえば、自己同型は、対象の対称群である。.
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正規部分群
数学、とくに抽象代数学における正規部分群(せいきぶぶんぐん、normal subgroup)は、群の任意の元による内部自己同型のもとで不変な部分群である。正規部分群は、与えられた群から剰余群を構成するのに用いることができる。 正規部分群の重要性は、エヴァリスト・ガロアによって最初に明らかにされた。.
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