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26 関係: ほとんど (数学)、単調収束定理、単調写像、可算集合、実解析、上限、不定積分、一様収束、一様連続、広義積分、微分積分学の基本定理、区間 (数学)、区間の分割、リーマン積分、ルベーグ積分、ルベーグ測度、ディリクレの関数、ベルンハルト・リーマン、ジョルダン測度、順序集合、関数 (数学)、測度論、指示関数、有向点族、数学、数値積分。
ほとんど (数学)
数学において、ほとんど (almost) という語は、ある厳密な意味で用いられる専門用語のひとつである。主に「測度 0 の集合を除いて」という意味であるが、それ単体で用いることはあまりなく、「ほとんど至るところで(almost everywhere)」「ほとんど全ての(almost all)」などの決まり文句でひとつの意味を形成する。.
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単調収束定理
数学の分野において単調収束定理（たんちょうしゅうそくていり、）と呼ばれる定理はいくつか存在する。ここでは代表的な例を紹介する。.
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単調写像
単調写像（たんちょうしゃぞう、monotonic function, monotone function）または単調関数は、単調性、すなわち順序集合の間の写像が順序を保つような性質を持つ写像のことである。具体的な例としては以下の単調増加関数および単調減少関数がある。 単調増加（たんちょうぞうか、monotonically increasing）とは、狭義には実数の値を持つ関数 が、 の増加につれて常に関数値 も増加することをいい、このような性質を持つ関数を単調増加関数（たんちょうぞうかかんすう、monotonically increasing function）と呼ぶ。同様に、引数 の増加につれて関数値 が常に減少することを単調減少（たんちょうげんしょう、monotonically decreasing）といい、そのような性質を持つ関数を単調減少関数（たんちょうげんしょうかんすう、monotonically decreasing function）と呼ぶ。従って、連続な単調増加関数 を縦軸、その引数 を横軸にとったグラフ上の曲線は常に右上りで、右下がりになっている部分がない。逆に単調減少関数の場合には、常に右下がりであり右上がりの部分がない。 ある関数が単調増加または単調減少する性質をまとめて単調性（たんちょうせい、monotonicity）と呼ぶ。.
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可算集合
可算集合（かさんしゅうごう、countable set 又は denumerable set）もしくは可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。 有限集合も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を可算無限集合と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて高々可算の集合と呼ぶ。可算でない無限集合を非可算集合という。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、カントールによって初めて示された。.
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実解析
数学において実解析（じつかいせき、Real analysis）あるいは実関数論（じつかんすうろん、theory of functions of a real variable）は（ユークリッド空間(の部分集合)上または(抽象的な)集合上の関数）について研究する解析学の一分野である。現代の実解析では、関数として一般に複素数値関数や複素数値写像あるいは複素数値関数に値をとる写像も含む。 実解析は、元々は実１変数実数値関数あるいは実多変数実数値およびベクトルに対する初等的な微分積分を意味していた。しかし現代の実解析は、積分論のいちぶとして測度論とルベーグ積分、関数空間((超)関数の成す線型位相空間)の理論、関数不等式、特異積分作用素などを扱う。関数解析におけるバナッハ空間の理論や作用素論・調和解析のフーリエ解析などの初歩的または部分的な理論も含むとされている。 関数空間の例には、L^p空間・数列空間・ソボレフ空間・緩増加超関数の空間・ベゾフ空間・トリーベル-リゾルキン空間・実解析版ハーディー空間・実補間空間がある。関数不等式の例には、作用素の実補間または複素補間による作用素または関数の有界性の調整・関数方程式について、初期値または非斉次項(非線型項)と未知関数の、有界性や可積分性または可微分性の関係を表すL^p-L^q評価と時空分散評価および時空消散評価・時間の経過に対する、関数の可微分性または可積分性を保存する意味を持つエネルギー(不)等式などの(解の存在を前提とした)評価式(アプリオリ評価)・別々の作用素を施された関数のノルムの関係、などがある。特異積分作用素には、「積分と微分を同時にする」リース変換や、流体力学と発展方程式の理論で現れるヒルベルト変換がある。 超関数とフーリエ変換は、実解析に入るのか関数解析に入るのか数学者の間でも扱いが分かれている。さらに今ではユークリッド空間だけではなく抽象的な集合(群または位相空間あるいは関数空間など)で定義された複素数値の写像(複素数値測度、複素数値線型汎関数)も取り扱う。そして特異積分作用素を扱う理論は「関数解析」における作用素論ではなく「実解析」として扱われている。複素解析の実解析への応用は(留数定理による実関数の積分の計算が)有名だが、実解析の複素解析への応用(その計算にルベーグの収束定理を適用することによる簡易化；フーリエ変換による複素解析版ハーディー空間とL^p関数の関係など)もある。現代数学では「実解析」の範囲は明確ではなく「複素解析」とは対をなす分野ではなくなっている。 また、実解析による偏微分微分方程式の解法は、主に関数空間と関数不等式およびフーリエ変換や特異積分作用素によるもので、解が具体的に表示できることも多いが計算が多くなる場面も多い。関数解析の作用素により論理を重ねる方法(例えば、リースの表現定理・変分法・半群理論・リース-シャウダーの理論・スペクトル分解などを使う解の存在証明)とは異なるが、高等的には両者を巧みに合わせて(関連しながら)解かれている。.
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上限
上限(じょうげん).
不定積分
関数の不定積分という用語には次に挙げる四種類の意味で用いられる場合がある。 (逆微分) 0) 微分の逆操作を意味する：すなわち、与えられた関数が連続関数であるとき、微分するとその関数に一致するような新たな関数（原始関数）を求める操作のこと、およびその原始関数の全体(集合)を 逆微分としての不定積分（antiderivative）と言う。 (積分論) 1) 一変数関数 に対して、定義域内の任意の閉区間 上の定積分が に一致する関数 を関数 の 不定積分 (indefinite integral) と言う。 (積分論) 2) 一変数関数の定義域内の定数 から変数 までの（端点が定数でない）積分で与えられる関数を関数 の を基点とする不定積分 (indefinite integral with base point) と言う。 (積分論) 3) ルベーグ積分論において定義域内の可測集合を変数とし、変数としての集合上での積分を値とする集合関数を関数 の 集合関数としての不定積分 (indefinite integral as a set-function) と言う。 海外の数学サイトでは wikipedia を含めて主として上記の (逆微分) 0) を記述している場合が多いが、岩波書店の数学辞典や積分論の現代的な専門書では上記の (積分論) での不定積分が記述されている。ただしこれらはそれぞれ無関係ではなく、後述するように、例えば (積分論) 1) は (積分論) 3) を数直線上で考えたものであって (逆微分) 0) と同等となるべきものであり、(積分論) 2) は本質的には (積分論) 1) や (積分論) 3) の一部分と見なすことができる。また (積分論) 2) から (逆微分) 0) を得ることもできるが、この対応は一般には全射でも単射でもない。これ以後、この項目で考える積分は、特に指定がない限り、リーマン積分であるものとする。 また後述するように、(積分論) の意味の不定積分を連続でない関数へ一般化すると、不定積分は通常の意味での原始関数となるとは限らなくなり、(初等数学) と一致しなくなるのだが、連続関数に対してはほぼ一致する概念であるため、しばしば混同して用いられる。.
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一様収束
数学の分野である解析学において、一様収束（いちようしゅうそく、uniform convergence）は、各点収束よりも強いの概念である。関数列 が極限関数 f に一様収束する (converge uniformly) とは、fn(x) の f(x) への収束のはやさが x に依らないということである。 関数 fn の連続性やリーマン可積分性といったいくつかの性質は、収束が一様であれば極限 f に引き継がれるが、収束が一様でない場合はそうとは限らないから、一様収束の概念は重要である。 与えられた区間上の関数への一様収束は一様ノルムのことばによって定義できる。 The term uniform convergence was probably first used by Christoph Gudermann, in an 1838 paper on elliptic functions, where he employed the phrase "convergence in a uniform way" when the "mode of convergence" of a series \textstyle is independent of the variables \phi and \psi.
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一様連続
一様連続（いちようれんぞく、uniformly continuous）は数学における関数に対する概念で、通常の連続性の概念を強めたものである。大雑把に言って、関数の連続性とは引数 x の変化が小さいと関数値 f(x) の変化も小さい事を指すが、このとき f(x) の変化の度合いが x の変化の度合いにのみ依存し、x の値自身にはよらなければ f は一様連続であるという。 すなわち一様連続性とは、f の定義域において x と y が十分近いことを要求するだけで（ x の値によらず）、f(x) と f(y) が近い値をとることを保証していることを言う。 定義より一様連続な関数は連続であるが、逆は一般には成り立たない。 しかし定義域が有界閉区間であれば、その区間上連続な関数は一様連続である事が知られている（ハイネ・カントールの定理）。 一様連続性の定義はユークリッド空間や、それを一般化した概念である距離空間において定義される。 さらに一般に一様空間上でも定義可能である。.
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広義積分
解析学において、広義積分（こうぎせきぶん、improper integral）とは何らかの定積分の積分区間を動かしたときの極限である。積分区間の端点（片方または両方）は何らかの実数か正または負の無限大に近づく。.
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微分積分学の基本定理
微分積分学の基本定理（びぶんせきぶんがくのきほんていり、fundamental theorem of calculus）とは、「微分と積分が互いに逆の操作・演算である」 ということを主張する解析学の定理である。微分積分法の基本定理ともいう。ここで「積分」は、リーマン積分のことを指す。 この事実こそ、発見者のニュートンやライプニッツらを微分積分学の創始者たらしめている重要な定理である。 この定理は主に一変数の連続関数など素性の良い関数に対するものである。これを多変数（高次元）の場合に拡張する方法は一つではないが、ベクトル解析におけるストークスの定理はその一例として挙げられるだろう。また、どの程度病的な関数について定理が成り立つのかというのも意味のある疑問であるといえる。 現在では微分積分学の初期に学ぶ基本的な定理であるが、この定理が実際に発見されたのは比較的最近（17世紀）である。この定理が発見されるまでは、微分法（曲線の接線の概念）と積分法（面積・体積などの求積）はなんの関連性も無い全く別の計算だと考えられていた。.
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区間 (数学)
数学における（実）区間（じつくかん、(real) interval）は、実数からなる集合で、その集合内の任意の二点に対しその二点の間にあるすべての数がその集合に属するという性質を持つものである。例えば、 を満たす数 全体の成す集合は、 と, およびその間の数すべてを含区間である。他の著しい例として、実数全体の成す集合, 負の実数全体の成す集合および空集合などが挙げられる。 実区間は積分および測度論において、「大きさ」「測度」「長さ」などと呼ばれる量を容易に定義できるもっとも単純な集合として重要な役割がある。測度の概念は実数からなるより複雑な集合に対して拡張され、ボレル測度やルベーグ測度といったような概念までにつながっていく。 不確定性や数学的近似および算術的丸めがあっても勝手な公式に対する保証された一定範囲を自動的に与える一般の法としてのを考えるにあたって、区間はその中核概念を成す。 勝手な全順序集合、例えば整数の集合や有理数の集合上でも、区間の概念は定義することができる。.
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区間の分割
数学において実数直線上の区間 の分割（ぶんかつ、partition）とは、実数からなる の形の有限点列 を言う。即ち、有界閉区間 の分割は、（区間 に属する実数からなる）狭義単調増加列であって、 の小さいほうの端点から大きいほうの端点へ到達する。 このとき、各点 を区間 の分割 に属する分点と言い、 の形の各区間を分割 に属する小区間 (sub-interval) などと呼ぶ。 区間の分割 に対し、例えば \end は明らかに区間 の集合としての分割を与える。.
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リーマン積分
数学の実解析の分野において、リーマン積分（リーマンせきぶん、Riemann integral）とは、区間上の関数の積分の最初の厳密な定式化であり、ベルンハルト・リーマンによって創始された。多くの関数や実際的な応用に対しては、リーマン積分は微分積分学の基本定理による計算や数値積分による近似計算が可能である。 リーマン積分は の有界集合上の関数に対して定義されるが、積分範囲にある種の極限を考えることにより、広義リーマン積分が定義される。広義リーマン積分との対比で、通常のリーマン積分を狭義リーマン積分とも呼ぶ。 リーマン積分は積分の多くの性質を示すのに有効であるが、積分と極限との交換に関係する性質を示すには理論的困難を伴うなど、いくつかの技術的欠点がある。この為こうした欠点を補うべくリーマン–スティルチェス積分やルベーグ積分など積分概念の別の定式化方法も提案されている。.
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ルベーグ積分
数学において、一変数の非負値関数の積分は、最も単純な場合には、その関数のグラフと 軸の間の面積と見なすことができる。ルベーグ積分（ルベーグせきぶん、Lebesgue integral）は、より多くの関数を積分できるように拡張したものである。ルベーグ積分においては、被積分関数は連続である必要はなく、至るところ不連続でもよいし、関数値として無限大をとることがあってもよい。さらに、関数の定義域も拡張され、測度空間と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできる。 数学者は長い間、十分滑らかなグラフを持つ非負値関数、例えば有界閉区間上の連続関数、に対しては、「曲線の下部の面積」を積分と定義できると理解しており、多角形によって領域を近似する手法によってそれを計算した。しかしながら、より不規則な関数を考える必要が、例えば解析学や確率論において極限を考えるときに生じたため、より注意深い近似の手法が適切な積分を定義するために必要なことが明らかとなった。また、局所コンパクト群のような、実数直線よりも一般の空間上で積分をしたいことがある。ルベーグ積分はこの重要な仕事をするために必要な正しい抽象化を与える。例えば、フーリエ級数などの関数列の極限として表される関数に対して、積分と極限操作が可換となるかどうかをリーマン積分で考えると非常に繊細な議論が必要だが、ルベーグ積分では、積分と極限操作の交換が可能であるための簡単な十分条件が分かっている。 ルベーグ積分は実解析と呼ばれる数学の分野に属する確率論や、他の多くの数理科学分野において、重要な役割を果たす。ルベーグ積分という名前は、その積分を導入した数学者アンリ・ルベーグ (Henri Lebesgue, 1875–1941) に由来している。それはまたの中枢部でもある。 ルベーグ積分 (Lebesgue integration) という用語は、カラテオドリに始まる一般の測度に関する関数の積分の一般論を意味することもあるし、ルベーグ測度に関して実数直線の部分集合上定義された関数を積分するという特定の場合を意味することもある。.
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ルベーグ測度
数学におけるルベーグ測度（ルベーグそくど、Lebesgue measure）は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、選択公理によって の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 の測度を で表す。.
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ディリクレの関数
ディリクレの関数（ディリクレの-かんすう）とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。 f(x).
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ベルンハルト・リーマン
ルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン（Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826年9月17日 - 1866年7月20日）は、ドイツの数学者。解析学、幾何学、数論の分野で業績を上げた。アーベル関数に関する研究によって当時の数学者から高く評価されたが、先駆的な彼の研究は十分に理解されず、20世紀になって彼のそれぞれの研究分野で再評価されるようになった。19世紀を代表する数学者の一人である。 彼の名前が残っている数学用語に、リーマン積分、コーシー＝リーマンの方程式、リーマンのゼータ関数、リーマン多様体、リーマン球面、リーマン面、リーマン＝ロッホの定理、リーマン予想などがある。.
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ジョルダン測度
数学におけるペアノ–ジョルダン測度 (Peano–Jordan measure) あるいはジョルダン測度 (Jordan content; ジョルダン容積) は、長さ・面積・体積といった「大きさ」（ある種の「容積」）の概念を任意の有限次元において考えるもの（いわば有限次元超体積、高次元体積）である。 またジョルダン測度の定義は、そのような容積が（折れ線や三角形・台形や球体のような図形がそうであるように）より複雑な図形に対しても厳密に定まるために満たされるべき、適当な条件（可測条件）を明らかにするものである。しかし、与えられた集合が（古典的な意味での「容積」としての）ジョルダン測度を持つには、それが極めてな性質を持つ必要がある（それでも実用上現れる集合の多くはそれを満足する）ことがわかっており、したがってそのような集合はある意味では限定的である（それゆえ、ジョルダン測度をより大きな集合のクラスに対して拡張したルベーグ測度を用いるのが現在ではより一般的である）。 歴史的に言えば、ジョルダン測度が最初に現れるのは19世紀の終わりにかけてであり、歴史的経緯で「ジョルダン測度」(Jordan measure) の語はすでに浸透した用法となってはいるが、現代的な定義で言えば真の測度 (measure) ではない（ジョルダン可測な集合全体は完全加法族をなさない）ことに注意が必要である。例えば、一点集合 は何れもジョルダン測度零であるが、そのような集合の可算和になる はジョルダン可測でない。文献によっては Jordan content（ジョルダン容積、有限加法的ジョルダン測度）の語（有限加法的測度の項も参照のこと）を用いるものがあるのは、そのような事情による。 ペアノ–ジョルダン測度の名称はその創始者としてのフランス人数学者カミーユ・ジョルダンおよびイタリア人数学者ジゼッペ・ペアノに由来する。 線型汎函数としての「ジョルダン測度に関する（ルベーグ式の）積分」は（ルベーグ測度に関する（ルベーグ式の）積分がルベーグ積分であるというのと同じ意味で）リーマン積分である。.
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順序集合
数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、ordered set）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元, に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。） 全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。 一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 において と はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。 実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A＜B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる（兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等）ので、この順序集合は全順序ではない。.
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関数 (数学)
数学における関数（かんすう、、、、、函数とも）とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。.
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測度論
測度論（そくどろん、measure theory ）は、数学の実解析における一分野で、測度とそれに関連する概念（完全加法族、可測関数、積分等）を研究する。 ここで測度（そくど、measure ）とは面積、体積、個数といった「大きさ」に関する概念を精緻化・一般化したものである。 よく知られているように積分は面積と関係があるので、積分（厳密にはルベーグ積分）も測度論を基盤にして定式化・研究できる。 また、測度の概念は確率を数学的に定式化する際にも用いられるため（コルモゴロフの公理）、 確率論や統計学においても測度論は重要である。 たとえば「サイコロの目が偶数になる確率 」は目が 1,..., 6 になるという 6 つの事象の集合の中で、2, 4, 6 という 3 つ分の「大きさ」を持っている為、 測度の概念で記述できる。.
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指示関数
数学において指示関数（しじかんすう、indicator function）、集合の定義関数、特性関数（とくせいかんすう、characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。.
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有向点族
有向点族（ゆうこうてんぞく、directed family of points）とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。 点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である（可算または非可算な）有向集合の元で添え字付けられている。 有向点族の概念の利点として以下の２つがある：.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
数値積分
数値積分（すうちせきぶん）とは、狭義には与えられる関数の定積分の値を、解析的にではなく数値的に求めることであり、広義には与えられる導関数から原関数を求めること、また微分方程式を数値的に解くことを含む。数値解析の一つである。 以下では、狭義の数値積分（一変数の関数の定積分の値を求める方法）について述べる。.
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