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55 関係: 力学系、単位円、単連結空間、定数係数、安定多様体、不動点、強制振動、位相空間 (物理学)、保存系、ポアンカレ・ベンディクソンの定理、ポアンカレ写像、メトロノーム、リエナールの定理、レスラー方程式、ローレンツ方程式、ヒルベルトの23の問題、フロー (数学)、フロケ理論、ファン・デル・ポール振動子、ニュートンの記法、ホップ分岐、初等関数、分岐 (力学系)、周期倍分岐、アンリ・ポアンカレ、アトラクター、エネルギー、エドワード・ローレンツ、オットー・レスラー、ジョルダン曲線、サドルノード分岐、符号 (数学)、線形力学系、真空管、無限、発振回路、非線形振動子、非線形性、象限、距離函数、近傍 (位相空間論)、蔵本モデル、自励系、自励振動、集合、恒常性、極座標系、極限集合、有界、摂動、...、散逸構造、数理モデル、拍動、時系列、時間微分。 インデックスを展開 (5 もっと) »
力学系
力学系（りきがくけい、英語：dynamical system）とは、一定の規則に従って時間の経過とともに状態が変化するシステム（系）、あるいはそのシステムを記述するための数学的なモデルのことである。一般には状態の変化に影響を与える数個の要素を変数として取り出し、要素間の相互作用を微分方程式または差分方程式として記述することによってモデル化される。 力学系では、システムの状態を実数の集合によって定義している。各々の状態の違いは、その状態を代表する変数の差のみによって表現される。システムの状態の変化は関数によって与えられ、現在の状態から将来の状態を一意に決定することができる。この関数は、状態の発展規則と呼ばれる。 力学系の例としては、振り子の振動や自然界に存在する生物の個体数の変動、惑星の軌道などが挙げられるが、この世界の現象すべてを力学系と見なすこともできる。システムの振る舞いは、対象とする現象や記述のレベルによって多種多様である。;力学系の具体例.
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単位円
数学において単位円（たんいえん、unit circle）とは、半径が 1 の円のことである。解析幾何学（いわゆる“座標幾何”）では特に原点（すなわち x 軸と y 軸の交点） O(0, 0) を中心とするものをいう。これは、原点からの距離が 1 であるような点の全体が描く軌跡のことと言っても同じことである。 単位円はしばしば S1 で表される（これは n 次元の球面 (sphere) という概念の n.
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単連結空間
連結であるが、穴のまわりを1周するループを考えればわかるように単連結ではない。穴を全てふさげば単連結となる。 位相幾何学における単連結空間（たんれんけつくうかん、simply connected space）とは、任意のループを連続的に1点に収縮できるような弧状連結空間のことである。.
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定数係数
数学の分野において定数係数（ていすうけいすう、）という語は、微分作用素や差分作用素に対して、それらが定数函数の他に独立変数を持つ函数を含まないことを示すために用いられる。言い換えると、変数係数（variable coefficients）を持つようなより広い作用素のクラスから、そのような特定の作用素を区別するために用いられる。そのような定数係数の作用素は、いくつかの観点から、最も扱いやすいものとして知られている。それらの例として、ポテンシャル論のラプラシアンや、数理物理学に現れる他の多くの作用素が挙げられる。 常微分方程式の場合、 という記法を利用することで、一般の定数係数の微分作用素 が定められる。ここで p は複素数を係数とする任意の多項式である。与えられた函数 g(x) に対する方程式 の解は、レオンハルト・オイラーによって 18 世紀にはすでに得られていた。 偏微分方程式に対して、定数係数の作用素は幾何的にによって特徴づけられ、代数的には偏微分の多項式として特徴づけられる。 の定理によれば、それらはすべて基本解を持つことが知られている。 Category:微分積分学 Category:数学に関する記事.
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安定多様体
力学系において、安定多様体（あんていたようたい、Stable manifold）または安定集合（あんていしゅうごう、Stable set）とは、ある固定点に収束する点全体の集合。 相空間 X と関数 f t により力学系が定義されているとする。 p をこの系での固定点とする。 このとき、p の安定多様体または安定集合とは、 である。 また、 p の不安定多様体または不安定集合とは、 である。 ここで、f^はf の逆写像、つまり、 f\circ f^.
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不動点
不動点を三つ持つ関数 数学において写像の不動点（ふどうてん）あるいは固定点（こていてん、fixed point, fixpoint）とは、その写像によって自分自身に写される点のことである。.
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強制振動
強制振動（きょうせいしんどう、英語：forced oscillation, forced vibration）とは、時間的に変動する外力・外場の影響を受けることによって、強制的に引き起こされる振動のことである。運動に対する抵抗を有するエネルギー散逸系において、振動の減衰を補うべく、外部から時間的に変動する外力・外場が与えられることによって、振動が継続される系である。ここでいう時間的に変動する外力・外場は必ずしも周期的である必要はなく地震波のような波形も含まれる。周期的でない波形でもフーリエ級数展開により、近似的に正弦波・余弦波の和として表現可能なので、線形系であればそれぞれの成分に対する応答の和として全体の振動応答が求められる。 正弦波または余弦波として加振波形を表すとき、線形系ではその振動数が系の固有振動数に近いとき、もしくは一致するとき、大きな振動が発生する。この現象を共振または共鳴と呼ぶ。しかし非線形系ではその名の通り入力と出力が線形関係（比例関係）にないので、より複雑な挙動となる。 強制振動が問題となるのはその応答（出力）が大きくなる場合であり、その意味では、現実に共振や共鳴が発生しその原因を究明する過程で強制振動が議論されることも多い。また構造物などの設計では可能な限り、使用条件において共振や共鳴が発生しないよう考慮するのが普通である。ただし発振回路のように高エネルギーの特定振動数波形を得る目的でこの特性を用いることもある。 なお、構造系の係数（機械的構造物であれば質量やばね剛性など）が時間的に変動する場合も振動が発生するが、これらは広義には強制振動とも考えられるが、通常は係数励振振動として別に扱われる。.
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位相空間 (物理学)
物理学における位相空間（いそうくうかん、phase space）とは、力学系の位置と運動量を座標（直交軸）とする空間のことである。数学における位相空間（）と区別するために、相空間と呼ぶ流儀もある。 ハミルトン形式においては位置と運動量が力学変数となり、力学変数の関数として表される物理量は位相空間上の関数となる。 1個の質点の運動の状態は、その位置と運動量を指定することで定まる。-次元空間における運動では、位置と運動量がそれぞれ 成分あり、合わせて 成分となる。これらを座標とする 次元の空間が位相空間である。1個の質点の運動の状態は位相空間上の1個の点として表現され、これは状態点と呼ばれる。運動方程式に従って位置と運動量は時間変化し、時間の経過とともに状態点は1本の軌跡を描く。 -次元空間を運動する 個の質点系の運動の状態は 次元位相空間上の 個の状態点の分布として表現され、時間とともにその分布が変化する。 質点系は上記の分布による表現だけではなく、 個の質点の各々の位置と運動量のすべてを座標とする -次元の位相空間を考えることができる。質点系の運動の状態はこの -次元空間上の1個の状態点として表現され、時間の経過とともに1本の軌跡を描く。.
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保存系
力学系が保存系であるとは、保存量（または、第一積分）が存在することを意味している。.
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ポアンカレ・ベンディクソンの定理
数学におけるポアンカレ・ベンディクソンの定理とは、平面上の連続力学系における軌道の大域的構造（閉軌道の存在）に関する定理である。.
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ポアンカレ写像
数学の、特に力学系の理論における第一回帰写像（first recurrence map）あるいはポアンカレ写像（ポアンカレしゃぞう、）とは、ある連続力学系のの周期軌道と、系のフローを横断するポアンカレ切断面と呼ばれる低次元の部分空間との共通部分のことを言う。アンリ・ポアンカレの名にちなむ。より正確に、空間のある切断面の中に初期点を持つ周期軌道がその面を離れ、再びその面に戻ってきたときの点を調べる。するとその初期点から第二の点への写像を作ることが出来、それが第一回帰写像と呼ばれる。ポアンカレ切断面の横断性は、その部分空間上を出発する周期軌道のフローは再びそれを通過し、平行にはならないことを意味する。 ポアンカレ写像は、元の連続力学系よりも次元が 1 小さい状態空間を持つ離散力学系と解釈することも出来る。それは元の系の周期軌道および準周期軌道の多くの性質を保存し、低次元の状態空間を持つため、元の系を解析する上でしばしば用いられる。しかし実際には、ポアンカレ写像を構成する一般の方法はないので、常に利用可能という訳ではない。 ポアンカレ写像は、その空間のリカレンスプロットとは異なり、時間ではなく、ある点をいつプロットするかを決定するものである。例えば、地球が近日点にあるときの月の位置は再帰プロットである。一方、地球の軌道と垂直に交わる平面を通過し、太陽と近日点にある地球を通過するときの月の位置はポアンカレ写像である。 ポアンカレ写像は、によって銀河の中の星の動きを研究するために用いられた。実際、ある平面上に射影される星の経路は、もつれ混沌としたものであったが、その構造をポアンカレ写像はより明確に表すものであった。.
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メトロノーム
メトロノームの写真 メトロノーム（Metronom、metronome）は、一定の間隔で音を刻み、楽器を演奏あるいは練習する際にテンポを合わせるために使う音楽用具である。.
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リエナールの定理
力学系において、リエナールの定理 (Liénard's theorem) とはリミットサイクルの存在を示す定理。.
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レスラー方程式
レスラー方程式（レスラーほうていしき、Rössler equation）とは、3次元の連続時間力学系の一種。次のような自励系の3変数連立常微分方程式で示される。 \begin \frac.
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ローレンツ方程式
ーレンツ方程式 (ローレンツほうていしき)は、カオス的ふるまいを示す非線型方程式の一つである。次に式を示す。 x, y, zの3つの変数についての方程式で、システムのふるまいは、3つの定数p, r, bにより決まる。 大気変動モデルを研究していたマサチューセッツ工科大学の気象学者、エドワード・N・ローレンツ (Edward N. Lorenz) が、論文「決定論的非周期な流れ（ Deterministic Nonperiodic Flow）」 (1963) の中で提示した。図では、この論文でローレンツが与えた p.
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ヒルベルトの23の問題
ヒルベルトの23の問題（ヒルベルトの23のもんだい、）は、ドイツ人の数学者であるダフィット・ヒルベルトによりまとめられた、当時未解決だった23の数学問題である。ヒルベルト問題 とも呼ばれる。 1900年8月8日に、パリで開催されていた第2回国際数学者会議 (ICM) のヒルベルトの公演で、23題の内10題（問題1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22）が公表され、残りは後に出版されたヒルベルトの著作で発表された。.
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フロー (数学)
数学においてフロー（）は、流体における粒子の動きの概念を定式化したものである。工学や物理学を含む自然科学の分野に普遍的に現れるものとなっている。またその概念は、常微分方程式の研究において基本的なものとなっている。直感的に、フローはある点の時間についての連続的な動きを表すものと見なすことが出来る。より正式に、フローはある集合上の実数に関する群作用である。 、すなわちベクトル場によって決定されるフローの概念は、微分位相幾何学やリーマン幾何学、リー群の分野に現れる。ベクトルフローの具体例として、測地フローやハミルトンフロー、リッチフロー、、が挙げられる。フローはまた、確率変数や確率過程のシステムに対して定義されることもあり、力学系の研究に現れる。それらの内で最も有名なものは、ベルヌーイフローであるかも知れない。.
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フロケ理論
数学のフロケ理論（フロケりろん、）とは、次の形の線型微分方程式の解のクラスに関する常微分方程式理論の一分野である。 ここで \displaystyle A(t) は区分的連続な周期 T の周期関数である。 フロケ理論における主定理であるフロケの定理（Floquet's theorem）は、 によるもので、この共通の線型系の各基本解行列に対するを与えるものである。それはまた、\displaystyle Q(t+2T).
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ファン・デル・ポール振動子
ファン・デル・ポール振動子とは、非線形の減衰を受けた非保存系の振動子である。支配方程式は、ファン・デル・ポール方程式と呼ばれる次の式である。 x は座標で、時間 t の関数となっている。μは非線形の減衰の強さを表すパラメーターである。 リエナールの定理から、リミットサイクルの存在を示すことができる。.
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ニュートンの記法
ニュートンの記法（にゅーとんのきほう、Newton's notation）は、数学における微分の記法のひとつである。 この記法はアイザック・ニュートンが （流率・流動率） と呼称した時間に対する変化率を表すために導入したもので、関数名の上部に微分の階数と同数のドット符号を記す。 ニュートンの記法は主として古典力学あるいは機械工学で用いられ、次のように定義される。 ドット記号の個数により微分回数を表すため、あまり高階の微分には有用ではない。しかし古典力学あるいは他の工学分野の対象においては高階導関数はあまり出現せず、例えば位置の一階微分である速度、二階微分である加速度などとしての利用が大半である（例外として躍度がある）。 ニュートンの記法は、時間に限らずあらゆる変数の微分に対して用いられてきたが、現在では、物理学などにおいては専ら時間微分に対してのみ用いられている。これはニュートンの記法が微分する変数を明示しないためである。ライプニッツの記法などでは、どの独立変数に対する微分かを明示しているため、混同の恐れがある限りにおいて、ニュートンの記法は用いない。 ニュートンの記法は、ラグランジュ力学において、一般化座標 と組になる一般化速度 を表わすために広く用いられている。 積分についてはニュートンは標準的記法は考案しなかったが、広く認知・定着したのはライプニッツの積分の記法である。.
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ホップ分岐
力学系においてホップ分岐（ホップぶんき、）とは、系の安定性の変化により周期解が生じる分岐の一種である。 より正確には、線形近似に対する複素共役な二つの固有値が複素平面の虚軸を横切る際に、ある力学系の固定点が安定性を失う局所的な分岐のことをいう。 ある程度一般的な力学系に対しては、固定点から小さい振幅のリミットサイクルが分岐する。 アンリ・ポアンカレ、およびの名にちなみ、ポアンカレ・アンドロノフ・ホップ分岐と呼ばれることもある。.
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初等関数
初等関数（しょとうかんすう、）とは、実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを有限回繰り返して得られる関数のことである。ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない。初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という。双曲線関数やその逆関数も初等関数である。 初等関数の導関数はつねに初等関数になるが、初等関数の不定積分や初等関数を用いた微分方程式の解なども一般に初等関数にはならない。例えば、次の二つの不定積分 f(x).
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分岐 (力学系)
分岐（bifurcation）は、力学系においてパラメータの小さな変化により、系の質的または位相(topology)的な変化を意味する。分岐は微分方程式で表現される連続的な時間や、反復写像によりあらわされる離散的時間で起こる。 分岐の例として、ロジスティック写像がある。ロジスティック写像は、最初に一本の線からスタートし、パラメータを変化させていくと、ある点で二本に分岐し、さらにそれらがまた分岐し…を繰り返すことにより、カオス的振る舞いを見せる。.
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周期倍分岐
力学系において周期倍分岐（しゅうきばいぶんき、period-doubling bifurcation）とは分岐の一種である。 この分岐では、パラメータが変化していきある値に達すると、安定な不動点が不安定化し、その両側に安定な2周期点が発生する。.
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アンリ・ポアンカレ
ュール＝アンリ・ポアンカレ（、1854年4月29日 – 1912年7月17日）はナンシー生まれのフランスの数学者。数学、数理物理学、天体力学などの重要な基本原理を確立し、功績を残した。フランス第三共和制大統領・レーモン・ポアンカレはアンリの従弟（いとこ）。.
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アトラクター
トレンジアトラクターを可視化した例 アトラクター（英: attractor）は、ある力学系がそこに向かって時間発展をする集合のことである。 その力学系において、アトラクターに十分近い点から運動するとき、そのアトラクターに十分近いままであり続ける。アトラクターの形状は点や曲線、多様体、さらにフラクタル構造を持った複雑な集合であるストレンジアトラクターなどをとりうる。 カオスな力学系に対してアトラクターを描写することは、現在においてもカオス理論における一つの研究課題である。 アトラクターに含まれる軌道は、そのアトラクターの内部にとどまり続けること以外に制限はなく、周期的であったり、カオス的であったりする。.
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エネルギー
ネルギー（、）とは、.
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エドワード・ローレンツ
ドワード・ノートン・ローレンツ（Edward Norton Lorenz、1917年5月23日 - 2008年4月16日）はマサチューセッツ工科大学の気象学者。 彼は1960年に、初期変数を色々変えて初歩的なコンピュータシミュレーションによる気象モデルを観察していたところ、気象パターンが初期値のごく僅かな違いにより大きく発散することに気づいた。これには次のようなエピソードが残されている。計算結果の検証のため同一のデータを初期値として複数回のシミュレーションを行うべきを、二度目の入力の際に手間を惜しみ、初期値の僅かな違いは最終的な計算結果に与える影響もまた小さいだろうと考えて、小数のある桁以降の入力を省いたところ、結果が大きく異なった。この繊細な初期状態依存性はバタフライ効果と後に呼ばれるようになった。また、これによりコンピュータによる気象の正確な長期予報が不可能であることが明らかになった。 ローレンツは根底にある数学的性質について探求を続け、結果を「Deterministic Nonperiodic Flow （決定論的な非周期の流れ）」として1963年に気象学の学会誌に発表した。この論文のなかで、方程式による比較的単純な系が無限に複雑なパターンに行き着く、と記述している。これがローレンツ・アトラクタである。.
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オットー・レスラー
ットー・レスラー（Otto Eberhard Rössler、1940年 - ）は、ドイツの生物学者である。カオス理論のレスラーアトラクター、および内在物理学で知られる。.
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ジョルダン曲線
ョルダン曲線（ジョルダンきょくせん、Jordan curve）とは、自身と交わらない閉じた曲線のことである。単純閉曲線または単一閉曲線ともいう。.
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サドルノード分岐
ドルノード分岐 (saddle-node bifurcation) は、分岐の一つ。余次元は1。フォールド分岐 (fold bifurcation) や、ブルースカイ分岐 (blue sky bifurcation) とも呼ばれる。 この分岐では、安定な不動点と不安定な不動点が合わさり、不動点が消滅する。 正準系は、 である。.
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符号 (数学)
数学における符号（ふごう、sign）は、任意の非零実数は正または負であるという性質に始まる。ふつうは0自身は符号を持たないが、ときにが意味を為す文脈もあり、また「 の符号は である」とすることが有効な場合もある。実数の符号の場合を敷衍して、数学や物理学などで「符号の変更」("change of sign") あるいは「符号反転」(negation) が、反数を対応付ける、あるいは−1-倍する操作として、実数以外の量に（それが正負零に分かれると限らないものでさえ）も用いられる。また、数学的対象が持つ正負の二項対立とよく似た側面、例えば置換の偶奇性などに対しても「符号」という言葉が用いられる。.
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線形力学系
線形力学系（せんけいりきがくけい、linear dynamical system）とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。.
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真空管
5球スーパーラジオに使われる代表的な真空管（mT管） 左から6BE6、6BA6、6AV6、6AR5、5MK9 ここでは真空管（しんくうかん、vacuum tube、vacuum valve）電子管あるいは熱電子管などと呼ばれるものについて解説する。.
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無限
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。 直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。このことから、しばしば哲学、論理学や自然科学などの一部の分野において考察の対象として無限という概念が取り上げられ、そして深い考察が得られている。 本項では、数学などの学問分野において、無限がどのように捉えられ、どのように扱われるのかを記述する。.
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発振回路
振回路（はっしんかいろ、electronic oscillator）は、持続した交流を作る電気回路である。その原理により、帰還型（きかんがた）と弛張型（しちょうがた）に分類できる。電波の放射や、ディジタル回路におけるクロックパルス（コンピュータ（またはデジタル回路）が動作する時に、タイミングを取る（同期を取る）ための周期的な信号）の発生が代表的な用途であるが、それ以外にも、電子回路の動作の基準となる重要な回路である。.
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非線形振動子
非線形振動子（ひせんけいしんどうし）は、初期値に比例しない振動を発生するものである。一般に微分方程式の形で表現されている。また初期値に比例する振動子(調和振動子など)は線形振動子と呼ぶ。.
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非線形性
非線形性（ひせんけいせい、Non-linearity）あるいは非線形（ひせんけい、Non-linear）は、線形ではないものを指すための用語。.
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象限
数学の幾何学において、象限（しょうげん、）あるいは超八分儀（）とは、平面における四分儀（）あるいは三次元における八分儀などのようなもので、-次元ユークリッド空間において定義される。 一般に、-次元象限は 個の相互直交である。半空間の符号を置換することで、-次元空間には 個の象限が存在する。 より具体的に、 内の閉象限（）は、各デカルト座標系を非負あるいは非正に制限することで定義される部分集合である。そのような部分集合は、次の不等式の系として定義される： ここで各 εi は +1 か −1 のいずれかである。 同様に、 内の開象限（）は、狭義の不等式 の系として定義される。ここで各 εi は +1 か −1 のいずれかである。 次元によって、次のように呼ばれる：.
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距離函数
距離函数（きょりかんすう、distance function）、距離計量（きょりけいりょう）あるいは単に距離（きょり、distance）、計量（けいりょう、metric）は、集合の二点間の距離を定義する函数である。距離が定義されている集合を距離空間（きょりくうかん、metric space）と呼ぶ。距離はその集合上の位相（距離位相）を誘導するが、必ずしもすべての位相空間が距離位相によって生成されるわけではない。ある位相空間の位相を距離によって記述することができるとき、その位相空間は距離化可能 (metrizable) であるという。.
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近傍 (位相空間論)
平面上の集合 ''V'' が点 ''p'' の近傍であるのは、''p'' を中心とする小さな円板が ''V'' に含まれるときである。 矩形の頂点に対して、その矩形は近傍でない。 数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、neighbourhood, neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。 近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。.
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蔵本モデル
蔵本モデルは蔵本由紀によって提案された同期現象を記述する数学モデルである。特に、相互作用のある非線形振動子集団の振る舞いを記述するモデルである。このモデルは化学的、生物学的な非線形振動子系の振る舞いを示唆するものであり、幅広い応用が見られる。 このモデルの前提として、完全に独立（またはほぼ独立）した振動子に弱い相互作用がはたらくこと、そしてこの相互作用は二つの振動子間の位相差の正弦関数として与えられる、という仮定がある。 \omega_i, and each is coupled equally to all other oscillators.
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自励系
数学において、自励系（じれいけい）とは、微分方程式系で の形で表すことができる系である。ここで x はベクトル、t は時間を表すことが一般的である。このとき、自励系は時間に依存しない、定常的な系をあらわす。 自励系ではそれぞれの解軌道が交わらない。例としては、線形力学系がある。.
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自励振動
自励振動（じれいしんどう、self-excited vibration、self-induced vibration）とは、ある系に非振動的な入力のみが加わる場合でも、その系自体の特性により系内部で非振動入力が振動に変換されて引き起こされる振動現象のことである。 実際に起きた事故として有名なものに、タコマナローズ橋の崩落事故がある。.
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集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。.
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恒常性
恒常性（こうじょうせい）ないしはホメオスタシス（ὅμοιοστάσις、homeostasis）とは、生物および鉱物において、その内部環境を一定の状態に保ちつづけようとする傾向のことである。.
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極座標系
極座標系（きょくざひょうけい、polar coordinates system）とは、n 次元ユークリッド空間 R 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ, …, θ からなる座標系のことである。点 S(0, 0, x, …,x) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。.
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極限集合
数学、特に力学系の研究に於ける極限集合（きょくげんしゅうごう、 ）は、位相空間に於ける軌跡の集積点集合である。.
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有界
上が有界集合、下が非有界集合を模式的に表したもの。ただし、下のほうは枠を超えて右方へ延々と続くものとする。 数学において集合が有界（ゆうかい、bounded）である、または有界集合（ゆうかいしゅうごう、bounded set）であるとは、ある種の「差渡しの大きさ」に関する有限性をそれが持つときにいう。有界でない集合は非有界（ひゆうかい、unbounded）であるという。 単純閉曲線はそれを境界として平面 '''R'''2 を有界（内側）および非有界（外側）な二つの領域に分ける。.
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摂動
摂動（せつどう、 perturbation）とは、一般に力学系において、主要な力の寄与（主要項）による運動が、他の副次的な力の寄与（摂動項）によって乱される現象である。摂動という語は元来、古典力学において、ある天体の運動が他の天体から受ける引力によって乱れることを指していたが、その類推から量子力学において、粒子の運動が複数粒子の間に相互作用が働くことによって乱れることも指すようになった。なお、転じて摂動現象をもたらす副次的な力のことを摂動と呼ぶ場合がある。.
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散逸構造
散逸構造（さんいつこうぞう、dissipative structure）とは、熱力学的に平衡でない状態にある開放系構造を指す。すなわち、エネルギーが散逸していく流れの中に自己組織化のもと発生する、定常的な構造である。イリヤ・プリゴジンが提唱し、ノーベル賞を受賞した。定常開放系、非平衡開放系とも言う。 散逸構造は、岩石のようにそれ自体で安定した自らの構造を保っているような構造とは異なり、例えば潮という運動エネルギーが流れ込むことによって生じる内海の渦潮のように、一定の入力のあるときにだけその構造が維持され続けるようなものを指す。 味噌汁が冷えていくときや、太陽の表面で起こっているベナール対流の中に生成される自己組織化されたパターンを持ったベナール・セルの模様なども、散逸構造の一例である。またプラズマの中に自然に生まれる構造や、宇宙の大規模構造に見られる超空洞が連鎖したパンケーキ状の空洞のパターンも、散逸構造生成の結果である。 散逸構造系は開放系であるため、エントロピーは一定範囲に保たれ、系の内部と外部の間でエネルギーのやり取りもある。生命現象は定常開放系としてシステムが理解可能であり、注目されている。 従来の熱力学は主に平衡熱力学を扱うものが中心であったが、定常熱力学が新たに注目を集めている。.
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数理モデル
数理モデル（すうりモデル、mathematical model）とは、通常は、時間変化する現象の計測可能な主要な指標の動きを模倣する、微分方程式などの「数学の言葉で記述した系」のことを言う。モデルは「模型」と訳され「数理模型」と呼ばれることもある。元の現象を表現される複雑な現実とすれば、モデル（模型）はそれの特別な一面を簡略化した形で表現した「言語」（いまの場合は数学）で、より人間に理解しやすいものとして構築される。構築されたモデルが、元の現象を適切に記述しているか否かは、数学の外の問題で、原理的には論理的には真偽は判定不可能である。人間の直観によって判定するしかない。どこまで精緻にモデル化を行ったとしても、得た観察を近似する論理的な説明に過ぎない。 数理モデルは、対象とする現象や、定式化の抽象度などによって様々なものがある。.
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拍動
ムネイル 拍動（はくどう、pulse）とは、内臓の周期的な収縮、弛緩が繰り返された場合に起こる運動である。 心臓の拍動（心拍）は、心臓の筋肉が定期的に収縮することによっておこるので、これにより血液が送りだされる。この拍動する回数を心拍数といい、動脈の拍動は脈拍ともいわれ、心臓の拍動によって動脈内の血液の圧力が変動することから生じている。 体表から触知可能な動脈は浅側頭動脈、顔面動脈、総頚動脈、上腕動脈、橈骨動脈、大腿動脈、膝窩動脈、後脛骨動脈、足背動脈などがある。 緊張した場合にも生じる心臓の動きもある意味、拍動である。振戦によっても生じてくる。 病理学的には拍動の回数が多いと病気の一歩手前といった診断が下されることもある。.
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時系列
時系列（じけいれつ、Time Series）とは、ある現象の時間的な変化を、連続的に（または一定間隔をおいて不連続に）観測して得られた値の系列（一連の値）のこと。.
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時間微分
時間微分（じかんびぶん、time derivative, derivative with respect to time）とは、引数に時間を持つ関数もしくは汎関数の時間に関する導関数、または時間に関する微分そのものを指す。ある関数の時間微分は、元の関数の時間的な変化の割合を表すので、速度の名を冠することが多い。例えば物体の運動速度や、化学反応における反応速度などは、それぞれ位置の時間微分と物質量の時間微分を指す。 時間微分は、その対象の時間的な変化の度合いを調べる目的のほかに、元の関数の性質を調べる上で、その導関数の扱いが容易である場合に用いられる。あるいは、一般の微分方程式と同様に、未知の関数に対する時間発展を時間に関する微分方程式によって与える際に現れる。 数学や物理学などにおいては、ある種の変換に対する対称性や不変性がしばしば興味の対象となる。特に時間変化に対する不変性は重要な意味を持ち、時間微分が恒等的に 0 であるような量は保存量と呼ばれる。このとき元の量は時間的変化に対して不変である。ネーターの定理に示唆されるように、保存量やそれを与える保存則は、系が備える基本的な性質の反映であると考えられるので、自然科学の分野において基礎となるモデルを考える上で重要である。.
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