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41 関係: 埋め込み (数学)、可微分多様体、多様体、孤立点、対角行列、峠、微分可能関数、微分同相写像、微分位相幾何学、ヤコビ行列、ユークリッド空間、ラウル・ボット、トーラス、ヘッセ行列、ピカール・レフシェッツ理論、フレアーホモロジー、ホモロジー (数学)、ホモトピー、ベッチ数、アーサー・ケイリー、エドワード・ウィッテン、オイラー標数、コンパクト空間、シルヴェスターの慣性法則、ジェームズ・クラーク・マクスウェル、サードの定理、円柱 (数学)、円板、勾配 (ベクトル解析)、等位集合、鞍点、計量テンソル、調和関数、近傍 (位相空間論)、関数 (数学)、臨界点 (数学)、接ベクトル空間、汎函数、測地線、滑らかな関数、曲線の特異点。
埋め込み (数学)
数学において、埋め込み（うめこみ、embedding, imbedding）とは、数学的構造間の構造を保つような単射のことである。 It is suggested by, that the word "embedding" is used instead of "imbedding" by "the English", i.e. the British.
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可微分多様体
数学において、可微分多様体（かびぶんたようたい、differentiable manifold）、あるいは微分可能多様体（びぶんかのうたようたい）は、局所的に十分線型空間に似ており微積分ができるような多様体である。任意の多様体は、チャート（座標近傍、局所座標）の集まり、アトラス（座標近傍系、局所座標系）、によって記述することができる。各座標近傍は微積分の通常のルールが適用する線型空間の中にあるから、各々のチャートの中で考えるときには微積分学のアイデアを適用できる。チャートが適切に両立可能であれば（すなわち1つのチャートから別のチャートへの変換が微分可能であれば）、1つのチャートでなされた計算は任意の他の微分可能なチャートにおいても有効である。 フォーマルに言えば、可微分多様体は大域的に定義されたを持つ位相多様体である。任意の位相多様体にはアトラスの同相写像と線型空間上の標準的な微分構造を用いて局所的に微分構造を与えることができる。同相写像によって誘導された局所座標系上の大域的な微分構造を誘導するためには、アトラスのチャートの共通部分上での合成が対応する線型空間上の微分可能な関数でなければならない。言い換えると、チャートの定義域が重なっているところでは、各チャートによって定義された座標はアトラスのすべてのチャートによって定義された座標に関して微分可能であることが要求される。様々なチャートによって定義された座標を互いに結びつける写像を変換関数 (transition map/遷移写像/座標変換) と呼ぶ。 微分可能性は文脈によって連続微分可能、k 回微分可能、滑らか、正則といった異なる意味を持つ。さらに、抽象的な空間にそのような可微分構造を誘導できることによって微分可能性の定義を大域的な座標系なしの空間に拡張することができる。微分構造によって大域的に微分可能な接空間、微分可能な関数、微分可能なテンソル場やベクトル場を定義することができる。可微分多様体は物理においても非常に重要である。特別な種類の可微分多様体は古典力学、一般相対論、ヤン・ミルズ理論といった物理理論の基礎をなす。可微分多様体に対して微積分を展開することが可能である。これによって exterior calculus （外微分法/外微分学）のような数学的機構が導かれる。可微分多様体上の微積分の研究は微分幾何学と呼ばれる。.
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多様体
多様体（たようたい、manifold, Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。.
孤立点
1,2 の孤立点である。 位相空間論において、位相空間 の点 が の部分集合 の孤立点（こりつてん、isolated point）であるとは、 が に属し、かつ、 の近傍であって 以外の の点がひとつも含まれないようなものが存在することをいう。 特に がユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、 が の孤立点であるとは、 を中心とする開球体のうち 以外の の点を含まないものが存在するということを意味する。 別な言葉で言えば、点 が において孤立するための必要十分な条件は、 が の集積点とはならないことである。 孤立点のみから成る集合を離散集合 (discrete set) という。ユークリッド空間における離散部分集合は可算である（これは有理数全体のなす集合 が実数全体のなす集合 において稠密であるという事実に基づけば、ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に一対一に写すという意味になるためである）。一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合 にを距離函数とした距離空間）。離散空間も参照。 孤立点を持たない集合はであるという。孤立点を持たない閉集合をという。 「孤立点の数」というのは位相的性質（）の一種である。すなわち、位相空間 と が互いに同相ならば、それらの持つ孤立点の数は必ず等しい。.
対角行列
数学、特に線型代数学において、対角行列（たいかくぎょうれつ、diagonal matrix）とは、正方行列であって、その対角成分（-要素）以外が零であるような行列のことである。 \end この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば のようにも書かれる。 単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。.
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峠
峠（とうげ）とは、山道を登りつめてそこから下りになる場所。山脈越えの道が通る最も標高が高い地点。なお、峠の片側にのみ大きな高低差があってもう一方の側が平坦に近いものを片峠という。日本での片峠の代表的な事例としては碓氷峠がある。 峠は、中国地方で垰あるいは乢とも書き、「たお」「とう」「たわ」「たわげ」などと呼ぶ地方があり、地名などにも見られる（岡山県久米南町安ケ乢など）。登山用語では乗越（のっこし）、または単に越（こえ、こし）などとも言い、山嶺・尾根道に着目した場合は鞍部（あんぶ）、窓、コル（col）とも言う。 かつて峠はクニ境であり、その先は異郷の地であった。そのため、峠は、これから先の無事を祈り、帰り着いた時の無事を感謝する場所でもあったことから、祠を設けている所が多い。この祠は、異郷の地から悪いものが入り込まないための結界の役割も果たしていたと考えられる。本来の意味から転じて、何らかの物の勢いが最も盛んな時期のことを峠という。.
微分可能関数
数学の一分野である微分積分学において、可微分函数あるいは微分可能関数（びぶんかのうかんすう、）とは、その定義域内の各点において導関数が存在するような関数のことを言う。微分可能関数のグラフには、その定義域の各点において非垂直な接線が存在しなければならない。その結果として、微分可能関数のグラフは比較的なめらかなものとなり、途切れたり折れ曲がったりせず、や、垂直接線を伴う点などは含まれない。 より一般に、ある関数 f の定義域内のある点 x0 に対し、導関数 f′(x0) が存在するとき、f は x0 において微分可能であるといわれる。そのような関数 f はまた、点 x0 の近くでは線型関数によってよく近似されるため、x0 において局所線型（locally linear）とも呼ばれる。.
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微分同相写像
数学において、微分同相写像（びぶんどうそうしゃぞう、diffeomorphism）は滑らかな多様体の同型写像である。それは1つの可微分多様体を別の可微分多様体に写す可逆関数であって、関数と逆関数が両方滑らかであるようなものである。.
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微分位相幾何学
微分位相幾何学もしくは微分トポロジー（英語：differential topology）は、多様体の微分可能構造に注目する幾何学の一分野。微分可能構造という位相のみでは 決まらないものを扱うため純粋な位相幾何学として扱うのは難しい部分もあるが,位相が与えられている多様体の微分可能構造つまり微積分ができる ような構造を調べるということで位相多様体を調べるもので,微分可能構造まで込めた多様体に距離や曲率を定めて 研究を行う微分幾何学に比べ自由度は高いことから位相幾何学であるとされている。解析学や微分幾何学と位相幾何学の学際研究が非常に有益なことは初期から知られており、局所的な性質を扱う微分幾何学と大域的な性質を扱う位相幾何学の対照的な2分野による多様体の研究は双方の発展を促した。古くはフェリックス・クラインやアンリ・ポアンカレまで遡れ、現在微分位相幾何学と呼ばれているものはルネ・トムやジョン・ミルナーといった数学者によって創り出された。.
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ヤコビ行列
数学、特に多変数微分積分学およびベクトル解析におけるヤコビ行列（やこびぎょうれつ、Jacobian matrix）あるいは単にヤコビアンまたは関数行列（かんすうぎょうれつ、Funktionalmatrix）は、一変数スカラー値関数における接線の傾きおよび一変数ベクトル値函数の勾配の、多変数ベクトル値関数に対する拡張、高次元化である。名称はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに因む。多変数ベクトル値関数 のヤコビ行列は、 の各成分の各軸方向への方向微分を並べてできる行列で \end\quad (f.
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ユークリッド空間
数学におけるユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）は、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.
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ラウル・ボット
ラウル・ボット ラエル・ボット（Raoul Bott, 1923年9月24日 - 2005年12月20日）はハンガリーの数学者。.
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トーラス
初等幾何学におけるトーラス（torus, 複数形: tori）、円環面、輪環面は、円周を回転して得られる回転面である。 いくつかの文脈では、二つの単位円周の直積集合 （に適当な構造を入れたもの）を「トーラス」と定義する。特に、位相幾何学における「トーラス」は、直積位相を備えた に同相な図形の総称として用いられ、 の（コンパクト二次元多様体）として特徴づけられる。このようなトーラスは三次元ユークリッド空間 に位相的に埋め込めるが、各生成円をそれぞれ別の平面 に埋め込んで、それら埋め込みを保つような直積空間としての「トーラス」をユークリッド空間に埋め込むことは では不可能で、 で考える必要がある。これは と呼ばれる、四次元空間内の曲面を成す。 混同すべきでない関連の深い図形として、トーラスに囲まれた領域（三次元図形）すなわち「中身の詰まったトーラス」(solid torus) を、トーラス体、輪環体、円環体などと（対してもとのトーラスをトーラス面 (toroid) と）呼ぶこともある。また、中身の詰まったトーラスを単に「トーラス」(toroid) と呼ぶ場合があるので注意が必要である。また、同様に「円環」などと呼ばれる別の図形アニュラス（annulus、環帯）とも混同してはならない。.
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ヘッセ行列
数学におけるヘッセ行列（ヘッセ-ぎょうれつ、Hessian matrix）は、多変数スカラー値関数の二階偏導関数全体が作る正方行列である。実数値関数の極値判定に用いられる。ヘッセ行列は、ジェームス・ジョセフ・シルベスターが、ドイツの数学者ルートヴィヒ・オットー・ヘッセに由来して名づけた。.
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ピカール・レフシェッツ理論
数学において、ピカール・レフシェッツ理論は複素多様体上の位相的性質を、多様体上の正則関数の臨界点を見ることによって調べる理論である。この理論はエミール・ピカールが複素曲面に対して著書 内で導入し、 において高次元へ拡張された。ピカール・レフシェッツ理論は、実多様体の位相的性質を実関数の臨界点によって調べるモース理論の複素版である。 においてピカール・レフシェッツ理論はさらに一般の体上に拡張され、ドリーニュはこの一般化をヴェイユ予想の証明の中で用いた。.
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フレアーホモロジー
数学において、フレアーホモロジー(Floer homology)は、シンプレクティック幾何学や低次元トポロジーの研究に使用される有用なツールである。フレアーホモロジーは、有限次元のモース理論の無限次元の類似として発生した高級な不変量である。アンドレアス・フレアー(Andreas Floer)は、現在はハミルトニアンフレアーホモロジーと呼ばれているフレアーホモロジーの最初のバージョンを導入し、シンプレクティック幾何学のアーノルド予想の証明に使った。フレアーは、これと密接に関連するシンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体の理論を開発した。フレアーは、また、シンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体に密接に関連する理論も開発した。フレアーが第三番目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。 フレアーホモロジーは、無限次元多様体とその上の実数値函数をある興味深い対象へ結び付けることにより定義される。例えば、シンプレクティック幾何学のバージョンでは、フレアーホモロジーは、シンプレクティック作用汎函数をシンプレクティック多様体の自由ループ空間へ結び付ける。、3次元多様体の（(instanton)）バージョンでは、3次元多様体上のSU(2)-接続の空間へ結び付ける。おまかに言うと、フレアーホモロジーは、無限次元多様体の上の自然な函数から計算されるモースホモロジーである。この自然な函数は、シンプレクティックな場合は、シンプレクティック作用を持つシンプレクティック多様体の自由ループ空間であり、3次元多様体の場合は、チャーン-サイモンズ汎函数を持つ 3次元多様体上の SU(2)-接続の空間である。大まかには、フレアーホモロジーは、無限次元多様体上の函数のモースホモロジーである。フレアーチェーン複体は、函数の臨界点(critical point)（もしくは、臨界点のある集まりでもよい）で張られるアーベル群から構成される。チェーン複体の微分は、臨界点と臨界点と（従って、臨界点の集まり）を結ぶ函数の勾配の力線の数を数えることにより定義される。このベクトル空間の線型な自己準同型は、2つの臨界点を結ぶ函数の勾配の力線を数えることで定義される。フレアーホモロジーは、このチェーン複体のホモロジーである。 フレアーのアイデアをうまく適用できる状況では、勾配の力線の方程式が、幾何学的解析的に扱いやすい典型的な方程式である。シンプレクティックフレアーホモロジーに対し、ループ空間の中の経路の勾配の力線の方程式は、注目しているシンプレクティック多様体への円筒形(cylinder)（ループの経路の全空間）からの写像のコーシー・リーマンの方程式（の摂動バージョン）であり、解は(pseudoholomorphic curves)として知られている。従って、(Gromov compactness theorem)は、微分が well-defined で、二乗が 0 となるので、フレアーホモロジーを定義することができることを示した。インスタントンフレアーホモロジーに対し、勾配の力線の方程式はまさに、実直線と交差する 3次元多様体上のヤン・ミルズ方程式である。.
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ホモロジー (数学)
数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) （「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来）は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。 位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱えるものといえるだろう。.
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ホモトピー
数学におけるホモトピー (homotopy)とは、点や線や面などの幾何学的対象、あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した位相幾何学における概念のひとつである。位相幾何学では、2 つの対象 A と X との関係のうち、連続的な変形によって保たれるものを問題とすることが多い。これらの関係はふつう連続写像 A → X を通して定義され、ホモトピーの概念は連続的に変形する連続写像の族によって定式化される。ホモトピー的な種々の不変量は位相幾何学の研究における基本的な道具となる。 考察している幾何学的対象に「穴」が開いていれば、端を固定された曲線はそれを越えて連続的に変形することができない。したがって、ホモトピーによって「穴」の有無や、単純な構成要素に分解したときのそれらの組み合わせ的なつながり具合といった構造を調べることができる。ホモトピーが威力を発揮するのは、空間や写像といった幾何学的な対象に対し群や準同型などという代数的な対象を対応づけることであり、またそのような代数的な対象がしばしばもとの幾何学的な対象よりも単純化されているということにある。 このように、代数的な道具によって空間と写像の位相的性質を調べるという方法をとる幾何学は、代数的位相幾何学と呼ばれる。.
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ベッチ数
代数的位相幾何学において、ベッチ数 (Betti numbers) は、位相空間に対する不変量であり、自然数に値をもつ。 右の図のようなトーラスを考える。このトーラスに切り口が円周になるように切れ込みをいれたとき、その結果二つのピースに分かれない切り方が、穴のまわりにそって一周する方法と、縦に切断する方法の二通りある。このことからトーラスの 1 次ベッチ数は 2 である。直感的な言葉を使うと、ベッチ数は様々な次元の｢穴｣の数である。例えば、円の 1 次ベッチ数は 1であり、一般的なプレツェル(pretzel)の場合は、1 次ベッチ数は穴の数の 2 倍となる。 ベッチ数は、今日、数学のみならず計算機科学やデジタル画像などの分野でも研究されている。 「ベッチ数」ということばは、エンリコ・ベッチ (Enrico Betti) にちなみ、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) により命名された。.
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アーサー・ケイリー
アーサー・ケイリー（、、1821年8月16日 - 1895年1月26日）は、イギリスの数学者、弁護士。行列に関するケイリー・ハミルトンの定理で有名。.
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エドワード・ウィッテン
ドワード・ウィッテン（Edward Witten, 1951年8月26日 - ）は超弦理論においてM理論を提唱した理論物理学者。現在はプリンストン高等研究所教授。 メリーランド州ボルチモア生まれ。父親は一般相対性理論の研究者で元シンシナティ大学教授のルイス・ウィッテン。当初はジャーナリストを志望し、ブランダイス大学時代は歴史学や言語学を専攻。米国雑誌『The Nation』や『THE NEW REPUBLIC』に寄稿する他、1972年の大統領選で大敗したジョージ・マクガヴァンの選挙運動に携わった。 ウィスコンシン大学マディソン校大学院で経済学を専攻するが中退し、1973年にプリンストン大学大学院で応用数学を専攻。後に物理学に移り、デビッド・グロスの下で1976年に博士号を取得した。 その後ハーヴァード大学のフェローなどを経て、1980年から1987年までプリンストン大学物理学科の教授を務めた。1995年に南カリフォルニア大学で開かれたスーパーストリング理論国際会議で、仮説M理論を発表し学会に衝撃を与える。1990年、数学に関する最高権威を有するフィールズ賞を受賞。 ネーサン・サイバーグとは友人で共同研究者。米制作ドキュメンタリー「美しき大宇宙」（原題：The Elegant Universe）に出演している。.
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オイラー標数
イラー標数（オイラーひょうすう、）とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラーが多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。オイラー数と呼ばれることもあるが、オイラー数は別の意味で使われることも多い。.
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コンパクト空間
数学において、コンパクト（compact）は位相空間の性質である。詳細は後述するがコンパクト性の定義それ自身は直観性に乏しいものであり、証明を容易にする為のいわば操作的なものである。しかし距離空間であればより直観的な言葉でいいかえる事ができ、特に有限次元のユークリッド空間においては有界閉集合であることとコンパクト集合であることとは同値になる。したがってコンパクトの概念はユークリッド空間における有界閉集合の概念を一般の位相空間に拡張したものとしてとらえる事ができる。 なお無限次元では有界閉集合はコンパクトとは限らず、例えばヒルベルト空間内の（縁を含んだ）単位球体は有界かつ閉集合であるがコンパクトではない（距離位相を入れた場合）。 ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト（quasi-compact）と呼び、さらにハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間など多くの空間ではハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。.
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シルヴェスターの慣性法則
線型代数学におけるシルヴェスターの慣性法則（シルヴェスターのかんせいほうそく、Sylvester's law of inertia）は実二次形式の係数行列の基底変換で不変なある種の性質を記述する。 具体的に二次形式を定義する対称行列 と が対角行列となるような任意の正則行列 に対して、 の主対角線に並ぶ正の成分の数および負の成分の数は に依らず同じである。 名称は、 においてこの性質を証明したジェームス・ジョセフ・シルベスターに因む。.
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ジェームズ・クラーク・マクスウェル
ェームズ・クラーク・マクスウェル（英:James Clerk Maxwell、1831年6月13日 - 1879年11月5日）は、イギリスの理論物理学者である。姓はマックスウェルと表記されることもある。 マイケル・ファラデーによる電磁場理論をもとに、1864年にマクスウェルの方程式を導いて古典電磁気学を確立した。さらに電磁波の存在を理論的に予想しその伝播速度が光の速度と同じであること、および横波であることを示した。これらの業績から電磁気学の最も偉大な学者の一人とされる。また、土星の環や気体分子運動論・熱力学・統計力学などの研究でも知られている。.
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サードの定理
ードの定理（サードのていり、Sard's theorem）、サードの補題、モース・サードの定理は解析学の定理で、「ユークリッド空間（または多様体）から他のユークリッド空間（または多様体）への滑らかな関数 f について、f の臨界点全体の f による像は、ルベーグ測度が 0 である（つまり、零集合である）」ことを言うものである。ルベーグ測度が 0 であるというのは、そのような点が「ほとんどない」ということである。.
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円柱 (数学)
数学において円柱（えんちゅう、cylinder）とは二次曲面（三次元空間内の曲面）の一種で、デカルト座標によって次の方程式で定義されるものである： この方程式は楕円柱を表し、a.
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円板
閉包である。 各種幾何学における円板（えんばん、disk; disc と綴ることもある）は、平面上で円で囲まれた有界領域である。 円板はその境界となる円周を「すべて含む」または「全く含まない」ことを以ってそれぞれ「閉円板」または「開円板」という。.
勾配 (ベクトル解析)
ベクトル解析におけるスカラー場の勾配（こうばい、gradient; グラディエント）は、各点においてそのスカラー場の変化率が最大となる方向への変化率の値を大きさにもつベクトルを対応させるベクトル場である。簡単に言えば、任意の量の空間における変位を、傾きとして表現（例えば図示）することができるが、そこで勾配はこの傾きの向きや傾きのきつさを表している。 ユークリッド空間上の関数の勾配を、別なユークリッド空間に値を持つ写像に対して一般化したものは、ヤコビ行列で与えられる。さらに一般化して、バナッハ空間から別のバナッハ空間への写像の勾配をフレシェ微分を通じて定義することができる。.
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等位集合
数学における等値集合または等位集合（とういしゅうごう、level set）は、与えられた写像が決められた値を取るような定義域に属する元全体の成す集合を言う。例えば、-変数の実数値函数 に対し、実数値 に対する等位集合は で与えられる。 二変数の場合には、等位集合は曲線を描き、等位（曲）線 (level curve), 等高線 (contour line), 等値線 (iso­line) などと呼ばれる。同様に三変数のときの等位集合は、等位（曲）面 (level surface), 等値面 (iso­surface) と言い、またさらに高次元の場合を等位超曲面 (level hyper­surface) と呼ぶことがある。.
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鞍点
鞍点（あんてん、）は、多変数実関数の変域の中で、ある方向で見れば極大値だが別の方向で見れば極小値となる点である。 鞍部点、峠点とも言う。微分可能な関数については極値を取らない停留点とも言う。.
計量テンソル
計量テンソル（けいりょうテンソル、metric tensor）は、リーマン幾何学において、空間内の距離と角度を定義する、階数（）が2のテンソルである。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（）と呼ばれることもある。 ひとたび、ある座標系 が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、 として表記され、各成分は と表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。 点 から までの曲線の長さは、 をパラメータとして、 と定義される。2つの接ベクトル（）U.
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調和関数
帯上で定義された調和関数 数学における調和関数（ちょうわかんすう、harmonic function）は、ラプラス方程式を満足する二回連続的微分可能な関数のことをいう。 調和関数に関する重要な問題はディリクレ問題である。ディリクレ問題の解決方法にはいくつかあるが、その中でも重要な一般的方法はディリクレの原理である。 20世紀には、、、小平邦彦らが調和積分論の発展の中心的な役割を果たした。.
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近傍 (位相空間論)
平面上の集合 ''V'' が点 ''p'' の近傍であるのは、''p'' を中心とする小さな円板が ''V'' に含まれるときである。 矩形の頂点に対して、その矩形は近傍でない。 数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、neighbourhood, neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。 近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。.
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関数 (数学)
数学における関数（かんすう、、、、、函数とも）とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。.
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臨界点 (数学)
数学において，あるいはの可微分関数の臨界点（りんかいてん，critical point）あるいは（ていりゅうてん，stationary point）とは，微分が 0 あるいは未定義となる定義域内の任意の値である．に対して，臨界点はすべての偏微分が 0 になるような定義域内の値である．関数の臨界点における値は臨界値（りんかいち，critical value）である． この概念の興味は，関数が極値をとる点は臨界点であるという事実にある． この定義は と の間の可微分写像に拡張し，臨界点はこの場合ヤコビ行列の階数が最大でない点である．さらに，可微分多様体の間の可微分写像にも同様に拡張される．この場合，臨界点は とも呼ばれる． 特に， が陰方程式 で定義される平面曲線のとき， 軸に平行な 軸への射影の臨界点は の接線が 軸に平行な点，つまり，\frac(x,y).
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接ベクトル空間
多様体上の接ベクトル空間（せつベクトルくうかん、英語：tangent vector space）あるいは 接空間（英語：tangent space）とは、多様体上の各点で定義されるベクトル空間であり、その点における全ての接ベクトルの集合である。接ベクトル空間は、ユークリッド空間内の曲線や曲面における接ベクトルの一般化ともいえる。.
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汎函数
数学の特に函数解析や変分法における汎函数（はんかんすう、functional）は、ベクトル空間からその係数体あるいは実数値函数の空間への写像のことを指して言う。言い換えると、ベクトルを入力引数とし、スカラーを返す函数である。よくある状況として、考えるベクトル空間が函数の空間のときには函数を入力の引数としてとるので、汎函数のことを「函数の函数」と考えることもある。変分法において汎函数の使用は、ある種の汎函数を最小化する函数を求めることから始まった。物理学への特別に重要な応用として、を最小とする系の状態を探すことがある。.
測地線
測地線（そくちせん、）とは、直線の概念を曲がった空間において一般化したものである。 計量が定義される空間においては、測地線は、2つの離れた点を結ぶ（局所的に）最短な線として定義される。アフィン接続が定義される空間においては、測地線は、曲線のうち、その接ベクトルが曲線に沿って移動しても平行に保たれるような曲線（測地的曲率が常に0）として定義される。測地線の中でその長さが2点間の距離に等しくなるものを最短測地線という。 言葉の由来は、測地学からであり、地球上の2点間の最短ルート（大円の一部）による。この概念は、数学的な空間にも拡張され、例えばグラフ理論ではグラフ上の2つの頂点（vertex）や結節点 () 間の測地線が定義されている。一般相対性理論では、光は曲がった空間での測地線を進むという原理に基づいて構築されている。.
滑らかな関数
数学において、関数の滑らかさ（なめらかさ、smoothness）は、その関数に対して微分可能性を考えることで測られる。より高い階数の導関数を持つ関数ほど滑らかさの度合いが強いと考えられる。.
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曲線の特異点
幾何学において、曲線の特異点（とくいてん、singular point）は曲線がパラメーターの滑らかな埋め込みによって与えられていない点である。特異点の正確な定義は研究している曲線のタイプに依存する。.
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