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ベイズの定理

索引 ベイズの定理

ベイズの定理(ベイズのていり、Bayes' theorem)とは、条件付き確率に関して成り立つ定理で、 なおベイズ統計学においては基礎として利用され、いくつかの未観測要素を含む推論等に応用される。.

37 関係: 単純ベイズ分類器定理尤度関数尤度比検定尤度方程式主観確率人工知能事後確率事前確率マルコフ連鎖モンテカルロ法リチャード・プライストーマス・ベイズピエール=シモン・ラプラスフィルターフィロソフィカル・トランザクションズベイジアンネットワークベイジアンフィルタベイズ確率ベイズ推定イギリススパム (メール)王立協会確率分布確率論観測陰性尤度比陽性尤度比R言語推計統計学条件付き確率決定木最大エントロピー原理最尤推定情報工学1701年1761年1763年

単純ベイズ分類器

単純ベイズ分類器(たんじゅんベイズぶんるいき、Naive Bayes classifier)は、単純な確率的分類器である。.

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定理

定理(ていり、theorem)とは、数理論理学および数学において、証明された真なる命題をいう。 文脈によっては公理も定理に含む。また、数学においては論説における役割等から、補題(ほだい、lemma)あるいは補助定理(ほじょていり、helping theorem)、系(けい、corollary)、命題(めいだい、proposition)などとも呼ばれることがある。ここでの「命題」と冒頭文に言う命題とは意味が異なることに注意。 一般的に定理は、まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている。例えば、次は代数学の基本定理の述べ方の1つである。 ある一定の条件(公理系)下で定理を述べそれを証明すること、というのが数学という分野の中心的な研究の形態である。 数学の多くの分野には、各々「基本定理」という名で呼ばれる中心的な定理が存在している。なお定理という名称と証明という手続きは、数学のみならず、物理や工学においても使用される。.

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尤度関数

尤度関数(ゆうどかんすう、likelihood function)とは統計学において、ある前提条件に従って結果が出現する場合に、逆に観察結果からみて前提条件が「何々であった」と推測する尤もらしさ(もっともらしさ)を表す数値を、「何々」を変数とする関数として捉えたものである。また単に尤度ともいう。 その相対値に意味があり、最尤法、尤度比検定などで用いられる。.

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尤度比検定

尤度比検定(ゆうどひけんてい)とは、尤度比を検定統計量として用いる統計学的検定の総称である。 検定統計量とは検定に用いる統計量(標本データの関数)であり、その値が予め決めた有意水準より小さいならば帰無仮説を棄却する検定を行う。.

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尤度方程式

統計学において、尤度方程式(ゆうどほうていしき、likelihood equation)とは対数尤度関数の極値条件を与える方程式。統計的推定法の一つである最尤法において、尤度関数を最大化する最尤推定値を求める際に用いられる。.

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主観確率

主観確率(しゅかんかくりつ)は、客観確率に対比される概念。この両者は確率の哲学的解釈における二つの主要な選択肢である。主観的確率の考え方は1920年代から1930年代ごろにフランク・ラムゼイやブルーノ・デ・フィネッティらによって導入された。.

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人工知能

250px 人工知能(じんこうちのう、artificial intelligence、AI)とは、「計算機(コンピュータ)による知的な情報処理システムの設計や実現に関する研究分野」を指す。.

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事後確率

事後確率(じごかくりつ、Posterior probability)は条件付確率の一種で、アポステリオリ確率ともいう。 ある証拠(データあるいは情報)を考慮に入れた条件で、ある変数について知られている度合を確率として表現する主観確率の一種である。 対になる用語が事前確率で、これは証拠となるデータがない条件下での不確かな量の条件付確率である。ベイズの定理により、事前確率に尤度関数の出力値を掛けると事後確率が得られる。 なお本項では「変数」という用語を、観測できる確率変数のほかに、観測できない(隠れた)変数、母数あるいは仮説も含めて用いている。たとえば、「土星の質量」を変数xとして、観測結果に基づいた事後確率「xが定数αからβの間にある確率」を求めることができる(主観確率を認めない頻度主義ではこのような言い方は意味がない)。.

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事前確率

事前確率(じぜんかくりつ、Prior probability)とは条件付確率の一種で、証拠がない条件で、ある変数について知られていることを確率として表現するものである。先験確率(せんけんかくりつ)、アプリオリ確率ともいう。 対になる用語が事後確率で、これは証拠を考慮に入れた条件での変数の条件付確率である。事後確率はベイズの定理により、事前確率に尤度関数を掛けて得られる。 事前確率と事後確率は、従来の頻度主義統計学では用いられない、ベイズ主義統計学の用語である。なお本項では「変数」という用語を、観測できる確率変数のほかに、観測できない(隠れた)変数、母数あるいは仮説も含めて用いている。.

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マルコフ連鎖モンテカルロ法

マルコフ連鎖モンテカルロ法(マルコフれんさモンテカルロほう、Markov chain Monte Carlo methods、MCMC)とは、求める確率分布を均衡分布として持つマルコフ連鎖を作成することをもとに、確率分布のサンプリングを行うアルゴリズムの総称である。M-H アルゴリズムやギブスサンプリングなどのランダムウォーク法もこれに含まれる。充分に多くの回数の試行を行った後のマルコフ連鎖の状態は求める目標分布の標本として用いられる。試行の回数を増やすとともにサンプルの品質も向上する。 求められる特性を持つマルコフ連鎖を作成することは通常難しくない。問題は許容できる誤差内で定常分布に収束する試行の回数を決めることである。適切な連鎖なら任意の位置から始めても定常分布に速く達し、これを高速混合(rapid mixing)とよぶ。 典型的なMCMCは常にある程度の初期値の影響が残るため目標分布しか近似することができない。CFTP法()など、より洗練されたMCMCベースのアルゴリズムは完全標本を作成することができるが、より多くの計算と(期待値では有限だが)限界のない実行時間を要する。 このアルゴリズムの最も一般的な応用は多重積分を数値的に計算することである。ランダムに歩き回る粒子の集団を想定し、粒子が点を通過するたびに、その点の被積分関数の値を積分に加算する。粒子は次に積分への貢献が高い所を探して複数の仮の動作をする。このような方法はランダムウォーク法とよばれ、これは乱数的なシミュレーションつまりモンテカルロ法の一種である。従来のモンテカルロ法で用いられる被積分関数のランダムな標本が独立であるのに対して、MCMCで用いられる標本は相関がある。被積分関数を均衡分布に持つようなマルコフ連鎖を作成する必要があるが、多くの場合において容易に行うことができる。 多重積分はベイズ統計学、計算物理学、計算生物学などにしばしば現れるため、そのような分野でMCMC法も広く使われている。例としては や を参照のこと。.

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リチャード・プライス

リチャード・プライス(Richard Price).

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トーマス・ベイズ

トーマス・ベイズ(Thomas Bayes、1702年 - 1761年4月17日)はイギリスの長老派の牧師・数学者である。ベイズの定理の特殊な場合についての証明が死後発表されたことで知られる。.

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ピエール=シモン・ラプラス

ピエール=シモン・ラプラス(Pierre-Simon Laplace, 1749年3月23日 - 1827年3月5日)は、フランスの数学者、物理学者、天文学者。「天体力学概論」(traité intitulé Mécanique Céleste)と「確率論の解析理論」という名著を残した。 1789年にロンドン王立協会フェローに選出された。.

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フィルター

フィルター(フィルタ、filter)とは、与えられた物の特定成分を取り除く(あるいは弱める)作用をする機能をもつものである。またその作用をフィルタリングと呼ぶ。.

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フィロソフィカル・トランザクションズ

『フィロソフィカル・トランザクションズ』(The Philosophical Transactions of the Royal Society)は王立協会の発行する学術論文誌。『哲学紀要』などと訳されることもある。創刊は1665年3月6日で英語圏では最古、世界的にもフランスの『ジュルナル・デ・サヴァン』(fr:Journal des sçavans)についで古い学術雑誌であり、現在でも刊行されている最長寿の科学雑誌でもある。フィロソフィカルを名乗るが、現在でいう狭義の哲学を指すわけではなく、古い意味における自然哲学、現在でいう科学を意味している。.

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ベイジアンネットワーク

ベイジアンネットワーク(Bayesian network)は、因果関係を確率により記述するグラフィカルモデルの1つで、複雑な因果関係の推論を有向非巡回グラフ構造により表すとともに、個々の変数の関係を条件つき確率で表す確率推論のモデルである。ネットワークとは重み付けグラフのこと。 ジューディア・パールが1985年に命名した。ジューディア・パールはこの研究の功績によりチューリング賞を受賞した。 人工知能の分野では、ベイジアンネットワークを確率推論アルゴリズムとして1980年頃から研究が進められ、既に長い研究と実用化の歴史がある。.

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ベイジアンフィルタ

ベイジアンフィルタ (Bayesian Filter) は単純ベイズ分類器を応用し、対象となるデータを解析・学習し分類する為のフィルタ。学習量が増えるとフィルタの分類精度が上昇するという特徴をもつ。個々の判定を間違えた場合には、ユーザが正しい内容に判定し直すことで再学習を行う。 現状ではスパムメール(いわゆる迷惑メール)を振り分ける機能を持つソフトウェア(フィルタリングソフト)で、スパムフィルターでのスパム判定に利用されることが多い。最近ではWeblogのトラックバック用フィルタ(トラックバックスパム対策)にも利用されるようになるなど、その利用範囲は徐々に広がりつつある。.

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ベイズ確率

ベイズ確率(ベイズかくりつ)とは、ベイズ主義による「確率」の考え方(およびその値)を指す。 これら(およびベイズ統計学やベイズ推定)の「ベイズ(的)」の名は、元々はトーマス・ベイズおよび彼が示したベイズの定理に由来する。\,\thetaの点推定を求めることは、ベイズ確率(分布関数)を求めた後に、決められた汎関数:\,p(\theta)\rightarrow\hatの値を計算することと見做される(すなわち平均値や中央値など)。.

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ベイズ推定

ベイズ推定(ベイズすいてい、Bayesian inference)とは、ベイズ確率の考え方に基づき、観測事象(観測された事実)から、推定したい事柄(それの起因である原因事象)を、確率的な意味で推論することを指す。 ベイズの定理が基本的な方法論として用いられ、名前の由来となっている。統計学に応用されてベイズ統計学の代表的な方法となっている。 ベイズ推定においては、パラメータ\,\thetaの点推定を求めることは、ベイズ確率(分布関数)を求めた後に、決められた汎関数:\,p(\theta)\rightarrow\hatの値(平均値もしくは中央値など)を派生的に計算することと見做される。.

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イギリス

レートブリテン及び北アイルランド連合王国(グレートブリテンおよびきたアイルランドれんごうおうこく、United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland)、通称の一例としてイギリス、あるいは英国(えいこく)は、ヨーロッパ大陸の北西岸に位置するグレートブリテン島・アイルランド島北東部・その他多くの島々から成る同君連合型の主権国家である。イングランド、ウェールズ、スコットランド、北アイルランドの4つの国で構成されている。 また、イギリスの擬人化にジョン・ブル、ブリタニアがある。.

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スパム (メール)

パム (spam) とは受信者の意向を無視して、無差別かつ大量に一括してばらまかれる、各種ネットメディアにおけるメッセージのこと。 当初は、電子メール(SMSを含む)サービス開始と共に電子メールにおけるスパムが席巻した。近年は各種SNSに同様な迷惑行為もある(#広義のスパム参照)。 「迷惑メール」という語もあるが、その内容が迷惑であろうが、仮に有用であろうが「受信者や媒体の意向を無視して、無差別かつ大量に一括してばらまく」のがスパム行為であって別の語である。 語の由来については、スパム#迷惑行為とスパムを参照。.

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王立協会

イヤル・ソサイエティ(Royal Society)は、現存する最も古い科学学会。1660年に国王チャールズ2世の勅許を得て設立された。正式名称は"The President, Council, and Fellows of the Royal Society of London for Improving Natural Knowledge"(自然知識を促進するためのロンドン王立協会)。日本語訳ではロンドン王立協会(-おうりつきょうかい)、王立学会(おうりつがっかい)など。 この会は任意団体ではあるが、イギリスの事実上の学士院(アカデミー)としてイギリスにおける科学者の団体の頂点にあたる。また、科学審議会(Science Council)の一翼をになうことによって、イギリスの科学の運営および行政にも大いに影響をもっている。1782年創立の王立アイルランドアカデミーと密接な関係があり、1783年創立のエジンバラ王立協会とは関係が薄い。.

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確率分布

率分布(かくりつぶんぷ, probability distribution)は、確率変数の各々の値に対して、その起こりやすさを記述するものである。日本工業規格では、「確率変数がある値となる確率,又はある集合に属する確率を与える関数」と定義している。.

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確率論

率論(かくりつろん、,, )とは、偶然現象に対して数学的な模型(モデル)を与え、解析する数学の一分野である。 もともとサイコロ賭博といった賭博の研究として始まった。現在でも保険や投資などの分野で基礎論として使われる。 なお、確率の計算を問題とする分野を指して「確率論」と呼ぶ用例もあるが、本稿では取り扱わない。.

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観測

観測(かんそく)とは、.

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陰性尤度比

記載なし。

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陽性尤度比

陽性尤度比(ようせいゆうどひ)とは、ある検査において、有病者が無病者よりも何倍陽性になりやすいか、を示す値。真陽性/偽陽性で与えられる。陽性の患者が真陽性である確率(陽性適中率)とは違うので注意。.

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R言語

R言語(あーるげんご)はオープンソース・フリーソフトウェアの統計解析向けのプログラミング言語及びその開発実行環境である。 R言語はニュージーランドのオークランド大学のRoss IhakaとRobert Clifford Gentlemanにより作られた。現在ではR Development Core Team によりメンテナンスと拡張がなされている。 R言語のソースコードは主にC言語、FORTRAN、そしてRによって開発された。 なお、R言語の仕様を実装した処理系の呼称名はプロジェクトを支援するフリーソフトウェア財団によれば『GNU R』である が、他の実装形態が存在しないために日本語での慣用的呼称に倣って、当記事では、仕様・実装を纏めて適宜にR言語や単にR等と呼ぶ。.

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推計統計学

推計統計学(すいけいとうけいがく、inferential statistics)とは、無作為抽出された部分集団(抽出集団、標本集団)から抽出元全体(母集団)の特徴、性質を推定する統計学の分野を言う。推測統計学または推計学とも呼ばれる。.

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条件付き確率

条件付き確率(じょうけんつきかくりつ、conditional probability)は、ある が起こるという条件下での別の事象 の確率のことをいう。条件付き確率は または のように表される。条件付き確率 はしばしば「 が起こったときの の(条件付き)確率」「条件 の下での の確率」などと表現される。なお英文においては通例、 または と表現される。.

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決定木

決定木(けっていぎ、decision tree)は、(リスクマネジメントなどの)決定理論の分野において、 決定を行う為のグラフであり、計画を立案して目標に到達するために用いられる。 決定木は、意志決定を助けることを目的として作られる。 決定木は木構造の特別な形である。.

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最大エントロピー原理

最大エントロピー原理(さいだいエントロピーげんり、Principle of maximum entropy)は、認識確率分布を一意に定めるために利用可能な情報を分析する手法である。この原理を最初に提唱したのは E.T. Jaynes である。彼は1957年に統計力学のギブズ分布を持ち込んだ熱力学()を提唱した際に、この原理も提唱したものである。彼は、熱力学やエントロピーは、情報理論や推定の汎用ツールの応用例と見るべきだと示唆した。他のベイズ的手法と同様、最大エントロピー原理でも事前確率を明示的に利用する。これは古典的統計学における推定手法の代替である。.

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最尤推定

最尤推定(さいゆうすいてい、maximum likelihood estimation、略してMLEともいう)や最尤法(さいゆうほう、method of maximum likelihood)とは、統計学において、与えられたデータからそれが従う確率分布の母数を点推定する方法である。この方法はロナルド・フィッシャーが1912年から1922年にかけて開発した。 生物学に於いて、塩基やアミノ酸配列のような分子データの置換に関する確率モデルに基づいて系統樹を作成する際に、一番尤もらしくデータを説明する樹形を選択するための有力な方法としても利用される。.

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情報工学

情報工学(じょうほうこうがく)は情報分野についての工学である。語感としては、情報科学という語がもっぱらおおまかに「科学」という語が指す範囲を中心としているのに対し、「工学」的な分野に重心があるが、内実としてはどれもたいして変わらないことが多い(たとえば、大学の学部学科名などに関しては、個々の大学の個性による違いのほうが、名前による違いより大きい)。日本で、大学の工学部などにコンピュータ科学ないし情報関係の学科を設置する際に、「工学」部という語との整合のためだけに便利に使われた、という面が大きい(情報工学科の記事を参照)。 なお英語の information engineering はソフトウェア工学における一手法であり、日本語の「情報工学」とは対応しない。また似た言葉に情報学がある。.

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1701年

18世紀最初の年である。.

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1761年

記載なし。

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1763年

記載なし。

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