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12 関係: 多様体、実数、主曲率、リーマン幾何学、リーマン曲率テンソル、リッチテンソル、アトラス (多様体)、アフィン接続、ガウス曲率、クリストッフェル記号、計量テンソル、跡 (線型代数学)。
多様体
多様体（たようたい、manifold, Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。.
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実数
数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.
主曲率
微分幾何学において、曲面上の与えられた点での 2つの主曲率(principal curvatures)は、その点での(Gauss map)の微分の 2つの固有値である。それらは、曲面がその点で別々な方向へどれくらい曲がっているかを測る。.
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リーマン幾何学
リーマン幾何学（リーマンきかがく、Riemannian geometry）とは、リーマン計量や擬リーマン計量と呼ばれる距離の概念を一般化した構造を持つ図形を研究する微分幾何学の分野である。このような図形はリーマン多様体、擬リーマン多様体とよばれる。ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンに因んでこの名前がついている。1850年代に確立された。 楕円・放物・双曲の各幾何学は、リーマン幾何学では、曲率がそれぞれ正、0、負の一定値をとる空間（それぞれ球面、ユークリッド空間、双曲空間）上の幾何学と考えられる。なお、楕円幾何学のことをリーマン幾何と呼ぶことがあるが、本稿で述べるリーマン幾何学はそれとは異なるものである。 アルベルト・アインシュタインは、重力、即ち、一様ではなく湾曲した時空を記述するのに擬リーマン多様体の枠組みが有効であることを見いだし、リーマン幾何学を数学的核心とした一般相対性理論を構築した。 3.
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リーマン曲率テンソル
リーマン幾何学においてリーマン曲率テンソル（リーマンきょくりつテンソル、Riemann curvature tensor）あるいはリーマン-クリストッフェルのテンソル（Riemann–Christoffel tensor）とは、リーマン多様体の曲率を表す4階のテンソルを言う。名称は、ベルンハルト・リーマンおよびエルウィン・ブルーノ・クリストッフェルに因む。 リーマン-クリストッフェルのテンソル（リーマン曲率テンソル）は重力の現代的理論である一般相対性理論における数学的な道具の中心となるものである。.
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リッチテンソル
微分幾何学において、リッチ曲率テンソル とは、歪んだリーマン多様体上の測地球の体積がユークリッド空間上の球体からどれだけずれるかを表す量である。に因んでその名がある。あるリーマン計量が与えられたとき、その記述する幾何が通常の 次元ユークリッド空間からどれだけ違うか表わす尺度として使うことができる。リッチテンソルはどんな擬リーマン多様体に対しても、リーマン曲率テンソルのトレースとして定義される。計量それ自体と同様、リッチテンソルは多様体の接空間上の対称双線型形式である。 相対性理論では、リッチテンソルは時空の曲率(Rμvと表す)の一部であり、レイチャウデューリ方程式を通じて物質が時間とともにどれだけ収縮もしくは拡散するかの程度に関連する。アインシュタイン方程式を通じて、宇宙に含まれる物質の量にも関連する。微分幾何学では、あるリーマン多様体上のリッチテンソルの下界により、一様な曲率をもつと比較した場合の（も参照）大域的幾何学および位相幾何学的な情報を得ることができる。リッチテンソルが真空のアインシュタイン方程式を満たすとき、その多様体はアインシュタイン多様体であるといい、特に研究されている (cf.)。これと関係して、リッチフロー方程式はある計量がアインシュタイン計量へ発展するさまを記述する。この方法により、ポアンカレ予想が最終的に解決することとなった。.
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アトラス (多様体)
数学の特に微分位相幾何学におけるアトラス (atlas; 地図帳) あるいは座標近傍系（ざひょうきんぼうけい、co­ordinate neighbourhood system）は多様体を記述するために必要である。アトラスはチャート (chart; 地図) あるいは座標近傍 (co­ordinate neighbourhood) と呼ばれる元の族であり、各チャートは簡単に言えば多様体の各点の周りの適当な領域に座標を入れて考えられるようにするものである。例えば地表を多様体と見なせば、アトラスとその各チャートは日常的な意味で言う地図帳と各地図と考えられる。一般には、アトラスは多様体の厳密な定義の一部として含まれ、あるいは多様体と関連深いベクトル束などのファイバー束においても同様である。.
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アフィン接続
数学の一分野である微分幾何学において、アフィン接続(affine connection)は、滑らかな多様体を幾何学的対象としている。そこでは、近くの接空間どうしを接続し、あたかも固定されたベクトル空間に値を持つ多様体上の函数であるかのように、接ベクトル場を微分とみなす。アフィン接続の考え方は、19世紀の幾何学とテンソル解析に起源を持つ。エリ・カルタン(Élie Cartan)（という一般理論の一部として）とヘルマン・ワイル(Hermann Weyl)（一般相対論の基礎付けの一部として）により研究された1920年代に、アフィン接続は完全に開発された。用語は、カルタンによるもので、ある変換によりユークリッド空間 Rn の中で接空間どうしを同一視することに起源を持つ。アフィン接続を選択すると、無限小では多様体を滑らかではないがアフィン空間のようにユークリッド空間を見ることができるというアイデアである。 滑らかな多様体上には無限個のアフィン接続が存在する。さらに多様体がリーマン計量を持つと、アフィン接続を自然に選択することができ、この接続をレヴィ・チヴィタ接続と呼ぶ。アフィン接続を選択することは、（接）ベクトル場を規定することと同値であり、合理的な性質（線型性やライプニッツ則）を満たす。このことは、接バンドル上の共変微分や（線型）接続として、アフィン接続が妥当な定義であることを意味する。アフィン接続の選択は、曲線に沿って変換する接ベクトルを意味するの考え方と同値でもある。このことはまた、上の平行性を持つ変換を定義する。標構バンドル上の無限小平行移動は、アフィン接続、アフィン群の、あるいは、標構バンドル上の接続の別の記述であることをも意味する。 アフィン接続の主な不変量は、捩れと曲率である。捩れはどのようにして、ベクトル場のリーブラケットがアフィン接続から再現可能かを測る。アフィン接続は、多様体の（アフィン）測地線を定義することに使われる。ここで使われる直線の幾何学である測地線は、通常のユークリッド幾何学からは非常に異なるにもかかわらず、ユークリッド空間の直線の一般化となっている。直線と測地線との違いは、測地線が接続の曲率の中に全ての情報をカプセル化していることである。 n by translation: the idea is that a choice of affine connection makes a manifold look infinitesimally like Euclidean space not just smoothly, but as an affine space.
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ガウス曲率
微分幾何学において、曲面上のある点でのガウス曲率(Gauss curvature、あるいは、Gaussian curvature)は、与えられた点での主曲率、κ1 と κ2 の積である。神聖ローマ帝国（当時）のカール・フリードリヒ・ガウスにより1827年に発表された。 ガウス曲率は、空間への等長的に埋め込む(embedded)方法へ依存するのではなく、曲面上での距離にのみ依存する曲率を、それ自身から測る曲率である。ガウス曲率の命名は、カール・フリードリッヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)に因み、彼の著作である 驚異の定理（）の記載内容である。 記号で書き出すと、ガウス曲率 Κ は、 と定義される。ここに κ1 と κ2 は主曲率である。 1 and κ2, of the given point.
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クリストッフェル記号
リーマン幾何学において、クリストッフェル記号（クリストッフェルきごう、Christoffel symbols）またはクリストッフェルの三添字記号（クリストッフェルのさんそえじきごう、Christoffel three index symbols）とは、測地線の微分方程式を表すにあたってブルーノ・クリストッフェル (1829–1900) によって導入された記号を言う。 クリストッフェル記号には第一種記号 \left と第二種記号 \left\ の二種類があるが、基本的には第二種記号のことを意味する。.
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計量テンソル
計量テンソル（けいりょうテンソル、metric tensor）は、リーマン幾何学において、空間内の距離と角度を定義する、階数（）が2のテンソルである。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の2次関数を選ぶことができる場合、その多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（）と呼ばれることもある。 ひとたび、ある座標系 が選ばれると、計量テンソルは行列形式で定義される。通常、 として表記され、各成分は と表される。以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法を用いる。 点 から までの曲線の長さは、 をパラメータとして、 と定義される。2つの接ベクトル（）U.
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跡 (線型代数学)
数学、特に線型代数学における行列の跡（せき、trace; トレース、Spur; シュプール）あるいは対角和（たいかくわ）は行列の主対角成分の総和である。それは基底変換に関して不変であり、また固有値の総和（固有値和）に等しい。即ち、行列の跡は行列の相似を除いて定まり、したがって一般に行列に対応する線型写像の跡として定義することができる。 行列の跡は、正方行列に対してのみ定義されることに注意せよ。この語は（この同じ数学的対象を意味する）ドイツ語のSpurからの翻訳借用である。.
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