14 関係: 合同、平面充填、位相同型、ハウスドルフ次元、メンガーのスポンジ、ランダムウォーク、ルベーグ測度、ヴァツワフ・シェルピニスキ、ブラウン運動、フラクタル、カントール集合、シェルピンスキーのギャスケット、再帰、正方形。
合同
合同(ごうどう).
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットと合同 · 続きを見る »
平面充填
平面充填(へいめんじゅうてん)とは、平面内を有限種類の平面図形(タイル)で隙間なく敷き詰める操作である。敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という。 平面敷き詰め、タイル貼り、タイリング (tiling) 、テセレーション (tessellation) ともいう。ただし「平面」を明言しない場合は、曲面充填や、場合によっては2次元以外の空間の充填を含む。広義のテセレーション等については、空間充填を参照。平面充填は広義の空間充填の一種で、2次元ユークリッド空間の充填である。 多面体は多角形による球面充填(曲面充填の一種)と考えることができる。そのため、多角形による平面充填は多面体と共通点が多く、便宜上多面体に含めて論じられることもある。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットと平面充填 · 続きを見る »
位相同型
位相同型 (いそうどうけい、homeomorphic)、あるいは同相(どうそう)とは、2つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」な双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップの表面も同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は位相幾何学的に全く同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球面とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。(直観的には、連続的な変形によって穴の個数が変化することはないということである。) ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットと位相同型 · 続きを見る »
ハウスドルフ次元
点のハウスドルフ次元は0であり、直線のハウスドルフ次元は1、正方形のハウスドルフ次元は2、そして立方体のハウスドルフ次元は3である。コッホ曲線のようなフラクタル図形のハウスドルフ次元は、非整数になりうる。 フラクタル幾何学におけるハウスドルフ次元(ハウスドルフじげん、Hausdroff dimension)は、1918年に数学者フェリックス・ハウスドルフが導入した、が有限な値をとり消えていないという条件に適合する次元の概念の非整数値をとる一般化である。すなわち、きちんとした数学的定式化のもと、点のハウスドルフ次元は 、線分のハウスドルフ次元は 、正方形のハウスドルフ次元は 、立方体のハウスドルフ次元は である。つまり、旧来の幾何学で扱われるような、滑らかあるいは有限個の頂点を持つ点集合として定義される図形のハウスドルフ次元は、その位相的な次元に一致する整数である。しかし同じ定式化のもとで、フラクタルを含めたやや単純さの少ない図形に対してもハウスドルフ次元を計算することが許されるが、その次元は非整数値を取りうる。大幅な技術的進展がによりもたらされて高度に不規則な集合に対する次元の計算が可能となったことから、この次元の概念はハウスドルフ–ベシコヴィッチ次元としても広く知られている。 初等幾何学で用いられる通常のジョルダン測度(あるいはルベーグ測度)に関して、例えば正方形が二次元であるということは、その三次元より高次のジョルダン測度(つまり、体積および高次元体積)が であり、二次元ジョルダン測度(面積)が正の値を持つ(さらに一次元および零次元のジョルダン測度は形式的に となる)ということを本質的に表している。-次元実内積空間 の -次元ジョルダン測度は、部分集合 に対して、 の球体による充填近似が定める内測度と、球体被覆による近似の定める外測度の一致するとき、その一致する値として定義されるのであった(あるいはルベーグ測度は外測度のみを利用して構成される)が、(定数因子の違いを除けば)-次元ジョルダン測度は一次元ジョルダン測度(長さ)の 個の直積と本質的に同じであり、-次元球(あるいは立方体)の -次元体積は本質的に半径の -乗である。ハウスドルフ次元は、これらの事実を抽象化して、台となる空間を一般の距離空間とし、部分集合の一次元ハウスドルフ測度を距離球体被覆による近似の下限として定まる外測度、また非整数値の に対する -次元距離球体のハウスドルフ測度を一次元測度の -乗(の適当な定数倍)となるように定める。ジョルダン測度の場合と同じく、部分集合 の -次元ハウスドルフ測度は次元 が大きければほとんどすべてに対して零であり、零でなくなるようなギリギリ小さい値として のハウスドルフ次元を定めるのである。 ハウスドルフ次元は、ボックスカウンティング次元()のより単純だがふつうは同値な後継である。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットとハウスドルフ次元 · 続きを見る »
メンガーのスポンジ
メンガーのスポンジとは自己相似なフラクタル図形の一種であり、立方体に穴をあけたものである。そのフラクタル次元(ハウスドルフ次元、相似次元)は \frac(.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットとメンガーのスポンジ · 続きを見る »
ランダムウォーク
ランダムウォーク(random walk)は、次に現れる位置が確率的に無作為(ランダム)に決定される運動である。日本語の別名は乱歩(らんぽ)、酔歩(すいほ)である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。 ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス等の具体的モデル化に盛んに応用される。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットとランダムウォーク · 続きを見る »
ルベーグ測度
数学におけるルベーグ測度(ルベーグそくど、Lebesgue measure)は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質(加法性)がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、選択公理によって の部分集合でルベーグ測度を与えることができない(無理に与えると加法性が成り立たない)ものが存在することを証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 の測度を で表す。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットとルベーグ測度 · 続きを見る »
ヴァツワフ・シェルピニスキ
ェルピンスキの記念メダル ヴァツワフ・シェルピンスキ(Wacław Franciszek Sierpiński、シェルピンスキー、1882年3月14日 - 1969年10月21日)とは、ワルシャワで生没したポーランドの数学者である。彼は集合論(選択公理や連続体仮説に関する研究)や数論、関数論、位相幾何学に対する多大な貢献をしたことで知られている。彼は、700部を越す論文と、50冊の本を出版した(そのうちの 2 つ、『一般位相数学入門』Introduction to General Topology,1934 と 『一般位相数学』General Topology,1952は、カナダの数学者 セシリア・クリューガーによって英訳されている)。 3 つの有名なフラクタルが、彼の名にちなんでいる(シェルピンスキーの三角形、シェルピンスキーのカーペット、シェルピンスキー曲線)。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットとヴァツワフ・シェルピニスキ · 続きを見る »
ブラウン運動
ブラウン運動(ブラウンうんどう、Brownian motion)とは、液体のような溶媒中媒質としては気体、固体もあり得る。に浮遊する微粒子(例:コロイド)が、不規則(ランダム)に運動する現象である。1827年、ロバート・ブラウンが、水の浸透圧で破裂した花粉から水中に流出し浮遊した微粒子を、顕微鏡下で観察中に発見し、論文「植物の花粉に含まれている微粒子について」で発表した。 この現象は長い間原因が不明のままであったが、1905年、アインシュタインにより、熱運動する媒質の分子の不規則な衝突によって引き起こされているという論文が発表された。この論文により当時不確かだった原子および分子の存在が、実験的に証明出来る可能性が示された。後にこれは実験的に検証され、原子や分子が確かに実在することが確認された。同じころ、グラスゴーの物理学者が1905年にアインシュタインと同じ式に到達し、ポーランドの物理学者も1906年に彼自身によるブラウン運動の理論を発表した。 数学のモデルとしては、フランス人のルイ・バシュリエは、株価変動の確率モデルとして1900年パリ大学に「投機の理論」と題する博士論文を提出した。今に言う、ランダムウォークのモデルで、ブラウン運動がそうである、という重要な論文であるが、当時のフランスの有力数学者たちに理解されず、出版は大幅に遅れた。 ブラウン運動と言う言葉はかなり広い意味で使用されることもあり、類似した現象として、電気回路における熱雑音(ランジュバン方程式)や、希薄な気体中に置かれた、微小な鏡の不規則な振動(気体分子による)などもブラウン運動の範疇として説明される。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットとブラウン運動 · 続きを見る »
フラクタル
フラクタル(, fractal)は、フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念である。ラテン語 fractus から。 図形の部分と全体が自己相似になっているものなどをいう。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットとフラクタル · 続きを見る »
カントール集合
ントール集合(カントールしゅうごう、Cantor set)は、フラクタルの1種で、閉区間 に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者により発見され、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された。 カントールの三進集合とも呼ばれ、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される。フラクタル概念の生みの親であるブノワ・マンデルブロは、位相次元が 0 の図形をダスト(塵)と呼び、カントール集合のことはカントール・ダストやカントールのフラクタルダストと呼んでいた。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットとカントール集合 · 続きを見る »
シェルピンスキーのギャスケット
ェルピンスキーのギャスケット 作図例 シェルピンスキーのギャスケット(Sierpinski gasket、uszczelka Sierpińskiego)はフラクタル図形の1種であり、自己相似的な無数の三角形からなる図形である。ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキにちなんで名づけられた。シェルピンスキーのガスケット、シェルピンスキーの三角形(trójkąt Sierpińskiego、Sierpinski triangle)、シェルピンスキーのざる(Sierpinski sieve)とも呼ばれる。 シェルピンスキーのギャスケットはフラクタル図形であるため、正確に作図することは不可能だが、以下の手順を繰り返すことで、近似的な図形を作図できる。なお、繰り返し回数を増やすことにより、望む処まで近似のレベルを高められる。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットとシェルピンスキーのギャスケット · 続きを見る »
再帰
再帰(さいき)は、あるものについて記述する際に、記述しているものそれ自身への参照が、その記述中にあらわれることをいう。定義において、再帰があらわれているものを再帰的定義という。 主に英語のrecursionとその派生語の訳にあてられる。他にrecurrenceの訳(回帰#物理学及び再帰性を参照のこと)や、reflexiveの訳として「再帰」が使われることがある。数学的帰納法との原理的な共通性から、recursionの訳として数学では「帰納」を使うことがある。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットと再帰 · 続きを見る »
正方形
正方形(せいほうけい、英: square)または正四角形は、平面上の幾何学において、4つの辺の長さが全て等しく、4つの角の角度が全て等しい四角形のことであり、正多角形の1種である。正方形は、長方形、菱形、凧形、平行四辺形、台形の特殊な形だと考えることもできる。なお1m2の面積は、一辺1mの正方形の面積と定義される。1cm2、1km2なども同様である。.
新しい!!: シェルピンスキーのカーペットと正方形 · 続きを見る »