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39 関係: 偶関数と奇関数、場の量子論、多重積分、外接円、対称行列、対角化、対角行列、不定積分、平方完成、広義積分、微分積分学、微分法、リッシュのアルゴリズム、フビニの定理、初等関数、ウォリス積分、オイラー積分、カール・フリードリヒ・ガウス、ガンマ関数、ガウス関数、コーシーの主値、シメオン・ドニ・ポアソン、ソビエト大百科事典、冪級数、内接円、確率分布、積分法、置換 (数学)、絶対収束、直交座標系、直交行列、階乗、行列の定値性、解析関数、誤差関数、転置行列、極座標系、正則行列、正規分布。
偶関数と奇関数
数学において、偶関数（ぐうかんすう、even function）および奇関数（きかんすう、odd function）は、変数の符号を反転させる変換に関してそれぞれ、特定の対称性を満足する関数である。これらは解析学の多くの分野、殊に冪級数やフーリエ級数に関する理論において重要である。名称は、この性質を満足する冪函数の冪指数の（整数としての）偶奇に由来する（すなわち、函数 は が偶数のとき偶函数であり、 が奇数のとき奇函数である）。 この、函数の偶奇性 (parity of function) の概念は、始域および終域がともに加法逆元（マイナス元）を持つような場合であれば常に意味を成す。加法逆元を持つような代数系には、例えば任意のアーベル群、（必ずしも可換でない）環や体、あるいはベクトル空間などが挙げられるから、従って例えば実変数実数値の函数やベクトル変数複素数値の函数といったようなものに対して、その偶奇性を定めることができる。 以下では特に断らない限り、それら函数のグラフの対称性を詳らかにするために、実変数実数値函数に関して述べる。 y 軸対称 奇関数の例：正弦関数は原点対称 正弦関数と余弦関数 偶関数の例：絶対値関数 偶関数の例：双曲線余弦関数 奇関数の例：双曲線正弦関数 1.
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場の量子論
場の量子論（ばのりょうしろん、英：Quantum Field Theory）は、量子化された場（素粒子物理ではこれが素粒子そのものに対応する）の性質を扱う理論である。.
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多重積分
数学の微分積分学周辺分野における重積分（じゅうせきぶん、multiple integral; 多重積分）は、一変数の実函数に対する定積分を多変数函数に対して拡張したものである。n-変数函数の重積分は n-重積分とも呼ばれ、二変数および三変数函数に対する重積分は、それぞれ特に二重積分 (double integral) および三重積分 (triple integral) と呼ばれる。.
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外接円
初等幾何学における多角形の外接円（がいせつえん、circumscribed circle, circumcircle）は、その多角形の全ての頂点を通る円を言う。外接円の中心を外心 (circumcenter) と言い、その半径を外接半径 (circumradius) と言う。 外接円を持つ多角形は、円内接多角形 (cyclic polygon; 輪状多角形) あるいは、そのすべての頂点が同一円周上にある（つまり、である）ことにより共円多角形 (concyclic polygon)などと呼ばれる。任意の正や任意の等脚台形、任意の三角形、任意の長方形は共円多角形の例となる。 よく似た概念の一つに (minimum bounding circle) があり、これはその多角形を完全に含む最小の円を言う。（勝手な多角形のすべての頂点が同一円周上にある必要はないのだから）必ずしも任意の多角形に外接円が存在するとは限らないが、任意の多角形は最小包含円をただ一つ持つ（それを線形時間で構成するアルゴリズムがある）。多角形が外接円を持つ場合であっても、外接円と最小包含円が一致するとは限らない。例えば鈍角三角形の最小包含円は最長辺を直径とする円で、これは最長辺の対角の頂点を通らない。.
対称行列
線型代数学における対称行列（たいしょうぎょうれつ、symmetric matrix）は、自身の転置行列と一致するような正方行列を言う。記号で書けば、行列 A は を満たすとき対称であるという。相等しい行列の型（次元、サイズ）は相等しいから、この式を満たすのは正方行列に限られる。 定義により、対称行列の成分は主対角線に関して対称である。即ち、成分に関して行列 は任意の添字 に関して を満たす。例えば、次の 行列 1 & 7 & 3\\ 7 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6 \end は対称である。任意の正方対角行列は、その非対角成分が であるから、対称である。同様に、歪対称行列（ なる行列）の各対角成分は、自身と符号を変えたものと等しいから、すべて でなければならない。 線型代数学において、実対称行列は実内積空間上の自己随伴作用素を表す。これと、複素内積空間の場合に対応する概念は、複素数を成分に持つエルミート行列（自身の共役転置行列と一致するような複素行列）である。故に、複素数体上の線型代数学においては、対称行列という言葉は行列が実数に成分をとる場合に限って使うことがしばしばある。対称行列は様々な応用の場面に現れ、典型的な数値線型代数ソフトウェアではこれらに特別な便宜をさいている。.
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対角化
対角化（たいかくか、diagonalization）とは、正方行列を適当な線形変換によりもとの行列と相似な対角行列に変形することを言う。あるいは、ベクトル空間の線形写像に対し、空間の基底を取り替え、その作用が常にある方向（固有空間）へのスカラー倍（固有値）として現れるようにすること。対角化により変換において本質的には無駄な計算を省くことで計算量を大幅に減らすことが出来る。.
対角行列
数学、特に線型代数学において、対角行列（たいかくぎょうれつ、diagonal matrix）とは、正方行列であって、その対角成分（-要素）以外が零であるような行列のことである。 \end この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば のようにも書かれる。 単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。.
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不定積分
関数の不定積分という用語には次に挙げる四種類の意味で用いられる場合がある。 (逆微分) 0) 微分の逆操作を意味する：すなわち、与えられた関数が連続関数であるとき、微分するとその関数に一致するような新たな関数（原始関数）を求める操作のこと、およびその原始関数の全体(集合)を 逆微分としての不定積分（antiderivative）と言う。 (積分論) 1) 一変数関数 に対して、定義域内の任意の閉区間 上の定積分が に一致する関数 を関数 の 不定積分 (indefinite integral) と言う。 (積分論) 2) 一変数関数の定義域内の定数 から変数 までの（端点が定数でない）積分で与えられる関数を関数 の を基点とする不定積分 (indefinite integral with base point) と言う。 (積分論) 3) ルベーグ積分論において定義域内の可測集合を変数とし、変数としての集合上での積分を値とする集合関数を関数 の 集合関数としての不定積分 (indefinite integral as a set-function) と言う。 海外の数学サイトでは wikipedia を含めて主として上記の (逆微分) 0) を記述している場合が多いが、岩波書店の数学辞典や積分論の現代的な専門書では上記の (積分論) での不定積分が記述されている。ただしこれらはそれぞれ無関係ではなく、後述するように、例えば (積分論) 1) は (積分論) 3) を数直線上で考えたものであって (逆微分) 0) と同等となるべきものであり、(積分論) 2) は本質的には (積分論) 1) や (積分論) 3) の一部分と見なすことができる。また (積分論) 2) から (逆微分) 0) を得ることもできるが、この対応は一般には全射でも単射でもない。これ以後、この項目で考える積分は、特に指定がない限り、リーマン積分であるものとする。 また後述するように、(積分論) の意味の不定積分を連続でない関数へ一般化すると、不定積分は通常の意味での原始関数となるとは限らなくなり、(初等数学) と一致しなくなるのだが、連続関数に対してはほぼ一致する概念であるため、しばしば混同して用いられる。.
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平方完成
初等代数学における平方完成（へいほうかんせい、completing the square）は ax^2 + bx + c の形の二次式を適当な定数 を用いて a(x - h)^2 + k の形にすることを言う。 平方完成は.
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広義積分
解析学において、広義積分（こうぎせきぶん、improper integral）とは何らかの定積分の積分区間を動かしたときの極限である。積分区間の端点（片方または両方）は何らかの実数か正または負の無限大に近づく。.
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微分積分学
微分積分学（びぶんせきぶんがく, ）とは、解析学の基本的な部分を形成する数学の分野の一つである。微分積分学は、局所的な変化を捉える微分と局所的な量の大域的な集積を扱う積分の二本の柱からなり、分野としての範囲を確定するのは難しいが、大体多変数実数値関数の微分と積分に関わる事柄（逆関数定理やベクトル解析も）を含んでいる。 微分は、ある関数のある点での接線、或いは接平面を考える演算である。数学的に別の言い方をすると、基本的には複雑な関数を線型近似して捉えようとする考え方である。従って、微分は線型写像になる。但し、多変数関数の微分を線型写像として捉える考え方は 20世紀に入ってからのものである。微分方程式はこの考え方の自然な延長にある。 対して積分は、幾何学的には、曲線、あるいは曲面と座標軸とに挟まれた領域の面積（体積）を求めることに相当している。ベルンハルト・リーマンは（一変数の）定積分の値を、長方形近似の極限として直接的に定義し、連続関数は積分を有することなどを証明した。彼の定義による積分をリーマン積分と呼んでいる。 微分と積分はまったく別の概念でありながら密接な関連性を持ち、一変数の場合、互いに他の逆演算としての意味を持っている（微分積分学の基本定理）。微分は傾き、積分は面積を表す。.
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微分法
数学における微分法（びぶんほう、differential calculus; 微分学）は微分積分学の分科で、量の変化に注目して研究を行う。微分法は積分法と並び、微分積分学を二分する歴史的な分野である。 微分法における第一の研究対象は函数の微分（微分商、微分係数）、および無限小などの関連概念やその応用である。函数の選択された入力における微分商は入力値の近傍での函数の変化率を記述するものである。微分商を求める過程もまた、微分 (differentiation) と呼ばれる。幾何学的にはグラフ上の一点における微分係数は、それが存在してその点において定義されるならば、その点における函数のグラフの接線の傾きである。一変数の実数値函数に対しては、一点における函数の微分は一般にその点における函数の最適線型近似を定める。 微分法と積分法を繋ぐのが微分積分学の基本定理であり、これは積分が微分の逆を行う過程であることを述べるものである。 微分は量を扱うほとんど全ての分野に応用を持つ。たとえば物理学において、動く物体の変位の時間に関する導函数はその物体の速度であり、速度の時間に関する導函数は加速度である。物体の運動量の導函数はその物体に及ぼされた力に等しい（この微分に関する言及を整理すればニュートンの第二法則に結び付けられる有名な方程式 が導かれる）。化学反応の反応速度も導函数である。オペレーションズ・リサーチにおいて導函数は物資転送や工場設計の最適な応報の決定に用いられる。 導函数は函数の最大値・最小値を求めるのに頻繁に用いられる。導函数を含む方程式は微分方程式と呼ばれ、自然現象の記述において基本的である。微分およびその一般化は数学の多くの分野に現れ、例えば複素解析、函数解析学、微分幾何学、測度論および抽象代数学などを挙げることができる。.
リッシュのアルゴリズム
数学におけるリッシュのアルゴリズム（Risch Algorithm、リッシュの算法）とは不定積分を行う（すなわち、ある式の原始関数を求める）アルゴリズムであり、数学者ロバート・H・リッシュに因む。その鍵は不定積分の問題を微分代数の問題へと変換することである。代数学の一分野である微分代数においては、抽象的な微分操作の下での関数の振る舞いが考察される。このことは、不定積分を困難にしている指数関数、対数関数およびべき乗をブラックボックスとして扱う上で都合が良い。 リッシュは1968年にこのアルゴリズムを開発したが、それを決定手順と呼んでいた。このアルゴリズムは与えられた関数がその不定積分を初等関数の範囲に持つかどうかを決定するものだからである。そうして存在するのであれば、それを具体的に与える。 1976年には高速だが一般性の低いリッシュ＝ノーマンのアルゴリズムが開発されている。.
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フビニの定理
数学においてフビニの定理（フビニのていり、）とは、 によって導入された、逐次積分による二重積分の計算が可能となるための条件に関する一結果である。すなわち、次のような計算が可能となる。 この結果、は逐次積分において変えることが可能となる。フビニの定理は、ある二変数函数が可積分であれば、上記のような二回の繰り返しの積分は等しいことを意味する。 によって導入されたトネリの定理（Tonelli's theorem）も同様のものであるが、その定理が適用される函数は可積分ではなくとも非負であればよい。.
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初等関数
初等関数（しょとうかんすう、）とは、実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを有限回繰り返して得られる関数のことである。ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない。初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という。双曲線関数やその逆関数も初等関数である。 初等関数の導関数はつねに初等関数になるが、初等関数の不定積分や初等関数を用いた微分方程式の解なども一般に初等関数にはならない。例えば、次の二つの不定積分 f(x).
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ウォリス積分
数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。.
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オイラー積分
数学において、オイラー積分（オイラーせきぶん, Euler integral, Eulerian integral）とは、数学者オイラー、ルジャンドルによって研究された積分。第一種オイラー積分と第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数とガンマ関数に相当する。 オイラー積分の名はルジャンドルによって与えられた。.
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カール・フリードリヒ・ガウス
Disquisitiones Arithmeticae のタイトルページ ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス（; Johann Carl Friedrich Gauß, Carolus Fridericus Gauss, 1777年4月30日 - 1855年2月23日）は、ドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼の研究は広範囲に及んでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。数学の各分野、さらには電磁気など物理学にも、彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。19世紀最大の数学者の一人である。.
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ガンマ関数
1.
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ガウス関数
ウス関数（ガウスかんすう、Gaussian function）は、 の形の初等関数である。なお、2c2 のかわりに c2 とするなど、表し方にはいくつかの変種がある。 ガウシアン関数、あるいは単にガウシアンとも呼ばれる。 図のような釣鐘型の関数である。.
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コーシーの主値
数学において、コーシーの主値（Cauchy principal value）とは、ある種の広義積分に対して定められる値のことである。.
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シメオン・ドニ・ポアソン
メオン・ドニ・ポアソン（Siméon Denis Poisson、1781年6月21日 - 1840年4月25日）は、ポアソン分布・ポアソン方程式などで知られるフランスの数学者、地理学者、物理学者。.
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ソビエト大百科事典
『ソビエト大百科事典』（Большая советская энциклопедия (БСЭ)、ラテン文字転写の例: Bolshaya sovetskaya entsiklopediya）はソ連で編纂された百科事典である。ロシア語で書かれた書籍のうち、最も大きく、また広範囲の項目を扱っている。.
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冪級数
数学において、（一変数の）冪級数（べききゅうすう、power series）あるいは整級数（せいきゅうすう、série entière）とは の形の無限級数である。ここで は 番目の項の係数を表し、 は定数である。この級数は通常ある知られた関数のテイラー級数として生じる。 多くの状況において （級数の中心 (center)）は である。例えばマクローリン級数を考えるときがそうである。そのような場合には、冪級数は簡単な形 \sum_^\infty a_n x^n.
内接円
初等幾何学において、与えられた多角形の内接円（ないせつえん、incircle）は、その多角形に内接 (inscribe) する—この場合はその多角形の内部にあり全ての辺に接する—円を言う。内接円の中心を内心 (incenter) という。 全ての多角形に内接円が存在するわけではないが、全ての三角形と正多角形には内接円が存在する。内接円が存在する場合、その多角形の内部にある最大面積の円になる。.
確率分布
率分布（かくりつぶんぷ, probability distribution）は、確率変数の各々の値に対して、その起こりやすさを記述するものである。日本工業規格では、「確率変数がある値となる確率，又はある集合に属する確率を与える関数」と定義している。.
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積分法
積分法（せきぶんほう、integral calculus）は、微分法と共に微分積分学で対を成す主要な分野である。 実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される実変数 x の関数 f の定積分 (独: bestimmte Integral, 英: definite integral, 仏: intégrale définie) は、略式的に言えば f のグラフと x-軸、および x.
置換 (数学)
数学における置換（ちかん、permutation）の概念は、いくつか僅かに異なった意味で用いられるが、いずれも対象や値を「並べ替える」ことに関するものである。有り体に言えば、対象からなる集合の置換というのは、それらの対象に適当な順番を与えて並べることを言う。例えば、集合 の置換は、 の全部で六種類ある順序組である。単語のアナグラムは、単語を構成する文字列に対する置換として定められる。そういった意味での置換の研究は、一般には組合せ論に属する話題である。 相異なる n 個の対象の置換の総数は 通りであり、これは "n!" と書いて n の階乗と呼ばれる。 置換の概念は、多かれ少なかれ（あるいは陰に陽に）、数学のほとんどすべての領域に現れる。たとえばある有限集合上に異なる順序付けが考えられる場合に、単にそれらの順番を無視したいとか、無視した時にどれほどの配置が同一視されるかを知る必要があるなどの理由で、置換が行われることも多い。同様の理由で、置換は計算機科学におけるソートアルゴリズムの研究において生じる。 代数学、特に群論において、集合 S 上の置換は S から自身への全単射（つまり写像 で S の各元が像としてちょうど一つずつ現れるもの）として定義される。これは各元 s を対応する f(s) と入れ替えるという意味での S の並び替え (rearrangement) と関連する。このような置換の全体は対称群と呼ばれる群を成す。重要なことは、置換の合成が定義できること、つまり二つの並び替えを続けて行うと、それは全体として別の並べ替えになっているということである。S 上の置換は、S の元（あるいはそれを特定の記号によって置き換えたもの）を対象として、それらに対象の並び替えとして作用する。 初等組合せ論において、「」はともに n 元集合から k 個の元を取り出す方法として可能なものを数え上げる問題に関するもので、取り出す順番を勘案するのが k-順列、順番を無視するのが k-組合せである。k.
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絶対収束
数学において、級数が絶対収束（ぜったいしゅうそく、converge absolutely）するとは、その各項の絶対値を取って得られる級数の和が有限の値になるときにいう。きちんと述べれば、実または複素数の級数 は となるとき、絶対収束すると言う。 絶対収束が無限級数の研究において重要であるのは、それが有限和の場合に成立する（が必ずしも全ての収束級数が持つわけではない）性質を持つようにするためにきわめて強力な条件であるとともに、それ自身が一般的な内容を議論するのに（その強い制約条件にもかかわらず）十分広範な級数のクラスを定めるからである。.
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直交座標系
数学における直交座標系（ちょっこうざひょうけい、, ）とは、互いに直交している座標軸を指定することによって定まる座標系のことである。平面上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる二つの実数の組によって点の位置が指定される。同様にして空間上の直交座標系では三つの実数の組によって座標が与えられる。 1637年に発表された『方法序説』において平面上の座標の概念を確立したルネ・デカルトの名を採ってデカルト座標系 (Cartesian coordinate system) とも呼ぶ。.
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直交行列
交行列（ちょっこうぎょうれつ, ）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまりn × n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、MTM.
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階乗
数学において非負整数 の階乗（かいじょう、factorial） は、1 から までのすべての整数の積である。例えば、 である。空積の規約のもと と定義する。 階乗は数学の様々な場面に出現するが、特に組合せ論、代数学、解析学などが著しい。階乗の最も基本的な出自は 個の相異なる対象を一列に並べる方法（対象の置換）の総数が 通りであるという事実である。この事実は少なくとも12世紀にはインドの学者によって知られていた。は1677年にへの応用として階乗を記述した。再帰的な手法による記述の後、Stedman は（独自の言葉を用いて）階乗に関しての記述を与えている: 感嘆符(!)を用いた、この "" という表記は1808年にによって発明された。 階乗の定義は、最も重要な性質を残したまま、非整数を引数とする函数に拡張することができる。そうすれば解析学における著しい手法などの進んだ数学を利用できるようになる。.
行列の定値性
線型代数学における行列の定値性（ていちせい、definiteness）は、その行列に付随する二次形式が一定の符号を持つか否か (二次形式の定値性) と密接な関係を持つ概念だが、付随する二次形式を経ることなくその行列自身の持つ性質によって特徴づけることもできる。 この概念は対称行列およびエルミート行列に対して定義するのが通例であるが、そうではない行列を含むように「定値性」の概念を一般化して適用する文献もある。.
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解析関数
複素変数 z の複素数値関数 f(z) が1点 z.
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誤差関数
誤差関数（ごさかんすう、error function）は、数学におけるシグモイド形状の特殊関数（非初等関数）の一種で、確率論、統計学、物質科学、偏微分方程式などで使われる。ガウスの誤差関数とも。定義は以下の通り。 相補誤差関数 (complementary error function) は erfc と表記され、誤差関数を使って以下のように定義される。 スケーリング相補誤差関数(scaled complementary error function)W.
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転置行列
転置行列（てんちぎょうれつ、transpose, transposed matrix）とは 行 列の行列 に対して の 要素と 要素を入れ替えた 行 列の行列、つまり対角線で成分を折り返した行列のことである。転置行列は などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置（てんち、transpose）といい、「 を転置する」などと表現する。.
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極座標系
極座標系（きょくざひょうけい、polar coordinates system）とは、n 次元ユークリッド空間 R 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ, …, θ からなる座標系のことである。点 S(0, 0, x, …,x) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。.
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正則行列
正則行列（せいそくぎょうれつ、regular matrix）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix）とは行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のこと、言い換えると逆行列が存在する行列のことである。 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群はあるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。.
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正規分布
率論や統計学で用いられる正規分布（せいきぶんぷ、normal distribution）またはガウス分布（Gaussian distribution）は、平均値の付近に集積するようなデータの分布を表した連続的な変数に関する確率分布である。中心極限定理により、独立な多数の因子の和として表される確率変数は正規分布に従う。このことにより正規分布は統計学や自然科学、社会科学の様々な場面で複雑な現象を簡単に表すモデルとして用いられている。たとえば実験における測定の誤差は正規分布に従って分布すると仮定され、不確かさの評価が計算されている。 また、正規分布の確率密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている。 確率変数 が1次元正規分布に従う場合、X \sim N(\mu, \sigma^) 、確率変数 が 次元正規分布に従う場合、X \sim N_n(\mu, \mathit) などと表記される。.
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