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アフィン写像

索引 アフィン写像

幾何学におけるアフィン写像(アフィンしゃぞう、affine map)はベクトル空間(厳密にはアフィン空間)の間で定義される、平行移動を伴う線型写像である。アフィン (affine) はラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する。 始域と終域が同じであるようなアフィン写像はアフィン変換(アフィンへんかん、affine transformation)と呼ばれる。アフィン写像はアフィン空間の構造を保つ。.

37 関係: 半直積可逆元変換 (数学)射影作用素不動点一般線型群平坦加群平行四辺形平行移動幾何学位置ユークリッド空間ベクトル空間アフィン空間アフィン群アフィン結合クロス積コンピュータビジョンコンピュータグラフィックススケール因子剛体等長写像線型写像線型結合線型独立線型部分空間群 (数学)直交行列鏡映面積行列の相似退化 (数学)Wolframデモンストレーションプロジェクト排他的論理和準同型有限体拡大行列

半直積

群論において、群の半直積(はんちょくせき、semidirect product)とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。 群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。.

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可逆元

数学、とくに代数学における可逆元(かぎゃくげん、invertible element)または単元(たんげん、unit)とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。.

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変換 (数学)

数学的意味での変換(へんかん、transformation)とは、点を他の点に移したり、式を他の式に変えたり、座標を取り替えたりすること。.

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射影作用素

変換 ''P'' は直線 ''m'' の上への直交射影 線型代数学および函数解析学における射影作用素あるいは単に射影(しゃえい、projection)とは、いわゆる射影(投影)を一般化した概念である。有限次元ベクトル空間 V の場合は、V 上の線型変換 P: V → V であって、冪等律 P2.

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不動点

不動点を三つ持つ関数 数学において写像の不動点(ふどうてん)あるいは固定点(こていてん、fixed point, fixpoint)とは、その写像によって自分自身に写される点のことである。.

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一般線型群

数学において、一般線型群(いっぱんせんけいぐん、general linear group)とは線型空間上の自己同型写像のなす群のこと。あるいは基底を固定することで、正則行列のなす群のことを指すこともある。.

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平坦加群

数学において、平坦加群(へいたんかぐん、flat module)とは、テンソル積をとる関手 が完全となる加群 のことである。 ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン=ピエール・セールによって導入された。.

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平行四辺形

平行四辺形(へいこうしへんけい、英: parallelogram)とは、2組の対辺がそれぞれ平行である四角形のことである。 平行四辺形は、台形の一種である。また、特殊な平行四辺形に長方形,菱形がある。.

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平行移動

ユークリッド幾何学における平行移動(へいこういどう、translation)は全ての 点を決まった方向に一定の距離だけ動かす写像である。 物理学における平行移動は並進運動 (translational motion) と呼ばれる。.

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幾何学

最先端の物理学でも用いられるカラビ-ヤウ多様体の一種。現代幾何学では図も書けないような抽象的な分野も存在する。 幾何学(きかがく、)は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である広辞苑第六版「幾何学」より。イエズス会マテオ・リッチによる geometria の中国語訳である。以前は geometria の冒頭の geo- を音訳したものであるという説が広く流布していたが、近年の研究により否定されている。 もともと測量の必要上からエジプトで生まれたものだが、人間に認識できる図形に関する様々な性質を研究する数学の分野としてとくに古代ギリシャにて独自に発達しブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。、これらのおもな成果は紀元前300年ごろユークリッドによってユークリッド原論にまとめられた。その後中世以降のヨーロッパにてユークリッド幾何学を発端とする様々な幾何学が登場することとなる。 幾何学というとユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学が一般には馴染みが深いであろうが、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している。 現代の日本の教育では、体系的な初等幾何学はほぼ根絶されかけたが、近年、中・高の数学教育で線型幾何/代数幾何を用いない立体を含む、本格的な綜合幾何は見直されつつある。.

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位置

位置(いち、position)とは、物体が空間の中のどこにあるかを表す量である。 原点 O から物体の位置 P へのベクトル(位置ベクトル (position vector))で表される。通常は x, r, s で表され、O から P までの各軸に沿った直線距離に対応する。 「位置ベクトル」という用語は、主に微分幾何学、力学、時にはベクトル解析の分野で使用される。 2次元または3次元空間で使用されることが多いが、任意の次元数のユークリッド空間に容易に一般化することができるKeller, F. J, Gettys, W. E. et al.

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ユークリッド空間

数学におけるユークリッド空間(ユークリッドくうかん、Euclidean space)は、エウクレイデス(ユークリッド)が研究したような幾何学(ユークリッド幾何学)の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や(三次元)ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、(標準的なモデルを与えるものという意味で)しばしば とかかれるが、(余分な構造を想起させない)ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.

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ベクトル空間

数学、特に線型代数学におけるベクトル空間(ベクトルくうかん、vector space)、または、線型空間(せんけいくうかん、linear space)は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積(「スケール変換」)を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件(後述)を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である(同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す)。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元(大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの)によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は(直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような)古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.

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アフィン空間

数学において、アフィン空間(あふぃんくうかん、affine space, アファイン空間とも)または擬似空間(ぎじくうかん)とは、幾何ベクトルの存在の場であり、ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量の概念を取り除いたアフィン構造を抽象化した幾何学的構造である。(代数的な)ベクトル空間からどの点が原点であるかを忘れたものと考えることもできる。 1次元のアフィン空間はアフィン直線、2次元のアフィン空間はと呼ばれる。.

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アフィン群

数学において、アフィン群(アフィン-ぐん、affine group)あるいは一般アフィン群(いっぱん-アフィン-ぐん、general affine group)は、体 K 上のアフィン空間からそれ自身への正則アフィン変換の全体の成す群である。アフィン変換群とも。 アフィン群は K が実または複素(あるいは四元)数体であるとき、リー群を成す。.

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アフィン結合

数学において、アフィン結合(アフィンけつごう、affine combination)は、ベクトル空間における線型結合の特別の場合であって、主に(ユークリッド空間などの)アフィン空間に対して用いられ、したがってこの概念はユークリッド幾何学において重要となる。 ある列ベクトル B に対して A を作用させる時、得られる結果は A の各行の成分を係数とする B のアフィン結合からなる列ベクトルである。.

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クロス積

ベクトル積()とは、ベクトル解析において、3次元の向き付けられた内積空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。2つのベクトル a、b のベクトル積は a×b や で表される。演算の記号からクロス積()と呼ばれることもある。2つのベクトルからスカラーを与える二項演算である内積に対して外積(がいせき)とも呼ばれるが、英語では直積を意味するので注意を要する。ベクトル積を拡張した外積代数があり、ベクトル積はその3次元における特殊な場合である。.

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コンピュータビジョン

ンピュータビジョン()は大雑把に言って、「ロボットの目」を作る研究分野である。 この分野はコンピュータが実世界の情報を取得する全ての過程を扱うため、画像センシングのためのハードウェアから情報を認識するための人工知能的理論まで幅広く研究されている。また、ではコンピュータグラフィックスとコンピュータビジョンの融合が注目を集めている。 研究対象を大別すると、.

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コンピュータグラフィックス

ンピュータグラフィックス(computer graphics、略称: CG)とは、コンピュータを用いて作成される画像である。日本では、和製英語の「コンピュータグラフィック」も使われる。.

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スケール因子

ール因子(スケールいんし、scale factor)あるいはスケールファクタとは、対象となるもののスケール、すなわち尺度を表す量である。ある対象の大きさを拡大したり縮小したりする操作はスケール変換と呼ばれるが、スケール因子とはあるスケール変換によって変換される対象の大小を表し、基準となるスケールに対する比によって表わされるものである。 スケールという考え方は幾何学的な描像に由来するが、スケール因子は分野を問わず様々な場面で用いられる。例えば経済学におけるコブ=ダグラス型生産関数は同次関数であり、引数にかかるスケール因子の振る舞いが重要となる。物理学においても、熱力学ポテンシャルが持つ示量性などは重要であり、例えばギブズ・デュエムの式はギブズの自由エネルギーの示量性、つまり一次同次性から得られる。また、物理学の特に基礎理論では、法則の普遍性や系の対称性が重要視され、ある現象を記述する基本的な方程式などが、特別な変換に対して対称性を持つこと、つまり変換の前後で形が変わらないことは、その現象の背景にある仕組みを知る手掛かりとして利用されている。スケール変換に対する普遍性もその中の大きなトピックの一つであり、そこから得られる結果として、ケプラーの法則やブラウン運動する粒子(あるいはより一般に、ランダムウォークする歩行者)の拡散速度に関する結論などが挙げられる。.

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剛体

剛体(ごうたい、)とは、力の作用の下で変形しない物体のことである。 物体を質点の集まり(質点系)と考えたとき、質点の相対位置が変化しない系として表すことができる。 剛体は物体を理想化したモデルであり、現実の物体には完全な意味での剛体は存在せず、どんな物体でも力を加えられれば少なからず変形する。 しかし、大きな力を加えなければ、多くの固体や結晶体は変形を無視することができて剛体として扱うことができる。 剛体は、変形を考えないことから、その運動のみが扱われる。剛体の運動を扱う動力学は剛体の力学()と呼ばれる。大きさを無視した質点の力学とは異なり、大きさをもつ剛体の力学は姿勢の変化(転向)が考えられる。 こまの回転運動などは剛体の力学で扱われるテーマの一つである。 なお、物体の変形を考える理論として、弾性体や塑性体の理論がある。 また、気体や液体は比較的自由に変形され、これを研究するのが流体力学である。 これらの変形を考える分野は連続体力学と呼ばれる。 剛体の動力学は、剛体の質量が重心に集中したものとしたときの並進運動に関するニュートンの運動方程式と、重心のまわりの回転に関するオイラーの運動方程式で記述できる。.

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等長写像

数学、とくに幾何学において等長写像(とうちょうしゃぞう)または等距離写像(とうきょりしゃぞう)とは、"長さ" を変えない(距離を保つ、distance preserving)写像のことである。全単射であるものに限って等長写像 (isometry) という場合もある。.

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線型写像

数学の特に線型代数学における線型変換(せんけいへんかん、linear transformation、一次変換)あるいは線型写像(せんけいしゃぞう、linear mapping)は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の(零写像でない)線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは(体上の加群としての)ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像(自己準同型)の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、(特に無限次元空間上の)線型写像のことを「線型作用素」(せんけいさようそ、linear operator)と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」(いちじけいしき、linear form, one-form; 線型形式; 1-形式)とも呼ばれる一次の微分形式(一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form)を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。.

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線型結合

線型結合(せんけいけつごう、)は、線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えば、ベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。 いくつかのベクトルを組み合わせると他のベクトルを作ることができる。例えば、2次元数ベクトルを例にとれば、ベクトル v.

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線型独立

線型代数学において、ベクトルの集合が線型独立 (せんけいどくりつ、linearly independent) または一次独立であるとは、線型従属(一次従属)でないこと、つまり集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの表示が自明なものに限ることをいう(#定義)。.

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線型部分空間

数学、とくに線型代数学において、線型部分空間(せんけいぶぶんくうかん、linear subspace)または部分ベクトル空間(ぶぶんベクトルくうかん、vector subspace)とは、ベクトル空間の部分集合で、それ自身が元の空間の演算により線型空間になっているもののことである。 ベクトル空間のある部分集合が、それ自身ある演算に関してベクトル空間の構造を持っていたとしても、その演算がもとの空間の演算でないならば部分線型空間とは呼ばない、ということに注意されたい。また、文脈により紛れの恐れのない場合には、線型部分空間のことを単に部分空間と呼ぶことがある。.

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群 (数学)

数学における群(ぐん、group)とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.

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直交行列

交行列(ちょっこうぎょうれつ, )とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまりn × n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、MTM.

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鏡映

数学における鏡映(きょうえい、reflection)あるいは鏡映変換とはユークリッド空間の超平面を固定点集合にもつ等長変換である。その名の通り、3次元空間内では、ある図形に鏡映変換を施したものは、平面鏡に映ったその図形の位置及び見え方と一致する。(この場合、鏡の位置が固定点集合となる) 例えば2次元ユークリッド空間では鏡映の固定点集合は直線であり、固定点集合を鏡映の軸という。逆に、与えられた直線を軸とする鏡映が定まり、直線による折り返しなどとも呼ばれる。同様に、3次元空間では与えられた平面による鏡映が定まる。 鏡映によって変わらない図形を鏡映対称(2次元図形の場合、特に線対称とも呼ぶ)である、あるいは鏡映対称性を持つなどという。特に軸が垂直な場合は左右対称とも言われる。例えばアルファベットの A や H などは垂直な軸に関して鏡映対称である。3次元の物体や現象(特に分子)が鏡映対称であって、合同ではないことを掌性と呼ぶ。 長さや角度は鏡映によって変わらないが、向きが変わる。また、同じ鏡映を2回続けて行うと恒等変換になるので鏡映は対合の一種である。.

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面積

面積(めんせき)とは、平面内の、あるいは曲面内の図形の大きさ、広さ、の量である。立体物の表面の面積の合計を特に表面積(ひょうめんせき)と呼ぶ。.

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行列の相似

線型代数学において、ふたつの n 次正方行列 A, B が相似(そうじ、similar)であるとは、n 次正則行列 P で となるようなものが存在するときに言う。互いに相似な行列は同じ線型写像を異なる基底に関して表現するもので、さきほどの P はそれらの基底の間の基底変換 (change of basis) を与える行列である。上記のような変換はしばしば、変換行列 P に関する相似変換 (similarity transformation) と呼ばれる。線型代数群の文脈では、行列の相似性は(群の元としての)共軛性として言及されることも多い。.

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退化 (数学)

数学において退化(たいか)しているという言葉は、ある種類の対象の性質が変わり、他の(ふつうはより単純な)種類の対象になっている場合に用いられる。.

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Wolframデモンストレーションプロジェクト

Wolframデモンストレーションプロジェクト(Wolfram Demonstrations Project)は、計算を使った探求をできるだけ多くの人々に体験してもえるようにすることを目標とした、ウルフラム・リサーチが主催するプロジェクトのウェブサイトである。このサイトでは、デモンストレーションと呼ばれるオープンソースの小さなインタラクティブプログラムが集められ、系統的に掲載されている。このデモンストレーションは、さまざまな分野のアイディアを視覚的かつインタラクティブに表現することを意図して作られている。このサイトの公開当初、デモンストレーションの数は1300件であったが、その後1万件以上にまで増加した。このサイトは2008年にParents' Choice Awardを受賞している。.

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排他的論理和

ベン図による排他的論理和P \veebar Q 排他的論理和(はいたてきろんりわ、)とは、ブール論理や古典論理、ビット演算などにおいて、2つの入力のどちらか片方が真でもう片方が偽の時には結果が真となり、両方とも真あるいは両方とも偽の時は偽となる演算(論理演算)である。XOR、EOR、EX-OR(エクスオア、エックスオア、エクソア)などと略称される。.

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準同型

準同型(じゅんどうけい、homomorphic)とは、複数の対象(おもに代数系)に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像(じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) を持つことを意味する。構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型(どうけい、isomorphic)および同型写像(どうけいしゃぞう、isomorphism)という術語を用いる。しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。.

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有限体

有限体(ゆうげんたい、英語:finite field)とは、代数学において、有限個の元からなる体、すなわち四則演算が定義され閉じている有限集合のことである。主に計算機関連の分野においては、発見者であるエヴァリスト・ガロアにちなんでガロア体あるいはガロア域(ガロアいき、Galois field)などとも呼ぶ。 有限体においては、体の定義における乗法の可換性についての条件の有無は問題にはならない。実際、ウェダーバーンの小定理と呼ばれる以下の定理 が成り立つことが知られている。別な言い方をすれば、有限体において乗法の可換性は、体の有限性から導かれるということである。.

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拡大行列

数学の線型代数学の分野における拡大行列(かくだいぎょうれつ、)とは、二つの与えられた行列の列を組み合わせることで得られる行列で、それら各行列に対し同じ行基本変形を施すことを目的として構成される。 与えられた行列 A と B として A.

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