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23 関係: 基本アーベル群、ねじれ群、単射、完全系列、平坦、位数 (群論)、ハメル次元、テンソル積、ベクトル空間、アーベル群、商体、線型独立、環上の加群、直和、直既約加群、自由アーベル群、捩れ (代数学)、捩れ部分群、濃度 (数学)、有理数、有限生成アーベル群、数学、整域。
基本アーベル群
群論における基本アーベル群（きほんアーベルぐん、elementary abelian group; 初等アーベル群）または基本アーベル -群 (elementary abelian -group) は任意の非自明な元が位数 であるような群（とくに有限群）を言う。この は素数でなければならず、任意の基本アーベル群は特別な p-群となる。 の場合、すなわち基本アーベル -群のことをブール群 (Boolean group) と呼ぶ場合がある。 任意の基本アーベル -群は p-元体上の有限次元ベクトル空間の構造を持ち、逆にそのようなベクトル空間は基本アーベル群となる。有限生成アーベル群の構造定理により、あるいは任意のベクトル空間が基底を持つという事実から、任意の有限基本アーベル群は （ はこの群の階数と呼ばれる非負整数）の形になることがわかる。ここに、 は位数 の巡回群（あるいは を法とする整数の加法群）であり、上付き添字の は -重直積を表す。一般に（有限とは限らない）基本アーベル -群は位数 の巡回群の適当な個数の直和となる（因子が有限個の場合には直積と直和は同じものであるが、無限の場合にはそうでないことに注意） 以下有限群の場合について述べる。.
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ねじれ群
群論における捩れ群（ねじれぐん、torsion group）または周期群（しゅうきぐん、periodic group）はその各元が有限位数を持つ群を言う。 任意の有限群は周期的である。なお、周期群と巡回群とは違うものである。; 定義: ねじれ群 に対して、そのすべての元の位数の最小公倍数を（存在すれば） の冪数 (exponent) と呼ぶ。 任意の有限群は冪数を持ち、それは の位数 の約数である。 有限群とねじれ群の間の関係性を扱うは、 が有限生成群とだけ仮定する場合には、古典的な問題である。それは冪数を特定することが有限性を導くかを問うもの（そして一般には答えは「否」）である。 無限ねじれ群の例として、有限体上の多項式環の加法群や、有理数の加法群を整数の加法群で割った商およびそれらの直和因子、プリューファー群などが挙げられる。他にも、二面体群すべての合併などもそうである。以上の例は有限生成でなく、また任意の有限生成ねじれ線型群は有限群になる。有限生成無限周期群の陽な例は、 がと共同で構成した（を参照）。あるいはまた と がオートマトンを用いて構成した。.
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単射
数学において、単射あるいは単写（たんしゃ、injective function, injection）とは、その値域に属する元はすべてその定義域の元の像として唯一通りに表されるような写像のことをいう。一対一（いったいいち、）の写像ともいう。似ているが一対一対応は全単射の意味で使われるので注意が必要である。.
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完全系列
ホモロジー代数における完全系列（かんぜんけいれつ、exact sequence）あるいは完全列（かんぜんれつ）とは、環上の加群や群などの系列で各射の像空間が次の射の核空間と正確に合致するという意味で完全であるものをいう。.
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平坦
平坦.
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位数 (群論)
数学の分野である群論において、m.
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ハメル次元
数学における、ベクトル空間の次元（じげん、dimension）とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数）である。 他の種類の次元との区別のため、ハメル次元または代数次元と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は（選択公理を仮定すれば）基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 F 上のベクトル空間 V の次元を dimF(V) あるいは で表す（文脈から基礎とする体 F が明らかならば単に dim(V) と書く）。 ベクトル空間 V が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。.
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テンソル積
数学におけるテンソル積（テンソルせき、tensor product）は、線型代数学で多重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最もな双線型乗法である。 共通の体 上の二つの ベクトル空間 のテンソル積 （基礎の体 が明らかな時には とも書く）はふたたびベクトル空間を成す。ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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アーベル群
数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、abelian group）または可換群（かかんぐん、commutative group）は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。 アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。 一般に可換群はに比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。.
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商体
数学における整域の分数体（ぶんすうたい、field of fractions）あるいは商体（しょうたい、field of quotients）とは、与えられた整域に対してそれを部分環として含む最小の体である。整域 R の商体の元は a ≠ 0 および b なる整域 R の元によって分数 b/a の形に表される。環 R の商体が K であることを K.
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線型独立
線型代数学において、ベクトルの集合が線型独立 (せんけいどくりつ、linearly independent) または一次独立であるとは、線型従属（一次従属）でないこと、つまり集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの表示が自明なものに限ることをいう（#定義）。.
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環上の加群
抽象代数学における環上の加群（かぐん、module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。 任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。 加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。.
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直和
数学における直和（ちょくわ、）は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て同じ種類の対象を新たに作り出す操作の一種で、歴史的経緯から対象によってやや異なる意味で用いられるが、大雑把には集合論的、代数学的、圏論的用法に大別できる。またいずれの用法においても、直和を取る対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合（内部直和、構造的直和）と、そのようなものを仮定しない場合（外部直和、構成的直和）を区別することができる（場合によってはそれらの記述は見かけ上大きく異なる）が、それらの間に自然な同型があるため理論上区別して扱わないこともある。そのような自然同型は、しばしば圏論的直和（あるいは双積）の普遍性によって捉えることができる。 直和を表すのに用いられる記号には \oplus, \coprod などがある。.
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直既約加群
抽象代数学において、加群が直既約（ちょくきやく、indecomposable）であるとは、その加群が0でなく、2つの0でない部分加群の直和として書けないということである。直既約でない加群は直可約（ちょくかやく、decomposable）と言う。 直既約は単純（既約）よりも弱い概念である。加群 M が単純であるとは「真の部分加群 の形の加群（ を含む、このとき になる）は直既約である。すべての有限生成 -加群はこれらの直和である。これが単純であることは （または ）であることと同値であることに注意せよ。例えば、位数4の巡回群 は直既約であるが単純でない。この群は位数 の部分群 しか非自明な部分群を持たないが、これは直和因子でない。 整数環 上の加群はアーベル群である。有限生成アーベル群が直既約であることとそれが か素数 と正整数 について.
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自由アーベル群
抽象代数学において、自由アーベル群 (free abelian group) あるいは自由 Z-加群 (free Z-module) とは基底をもったアーベル群のことを言う。.
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捩れ (代数学)
抽象代数学において、捩れ（ねじれ、torsion）は、群の場合は、有限位数の元を言い、また環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。.
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捩れ部分群
アーベル群の理論において、アーベル群 A の捩れ部分群（ねじれぶぶんぐん、torsion subgroup） AT は A の部分群であって有限の位数をもつすべての元からなるものである。アーベル群 A が捩れ (torsion) 群（あるいは'''周期的''' (periodic) 群であるとは、A のすべての元の位数が有限であることで、torsion-free であるとは、単位元を除く A のすべての元の位数が無限であることである。 AT が加法で閉じていることの証明は加法の可換性によっている（例の節を見よ）。 A がアーベル群であれば、捩れ部分群 T は A の fully characteristic subgroup であり、剰余群 A/T は torsion-free である。すべての群をその捩れ部分群に送りすべての準同型をその捩れ部分群への制限に送る、アーベル群の圏から捩れ群の圏への共変関手が存在する。すべての群をその捩れ部分群による商に送りすべての準同型をその明らかな誘導写像（well-defined であることは容易に確かめられる）に送る、アーベル群の圏から torsion-free な群の圏への共変関手も存在する。 A が有限生成アーベル群であれば、その捩れ部分群 T と torsion-free な部分群の直和として書くことができる（しかしこれはすべての非有限生成アーベル群に対して正しくない）。A の捩れ部分群 S と torsion-free な部分群の直和としての任意の分解において、S は T と等しくなければならない（しかし torsion-free 部分群は一意的には定まらない）。これは有限生成アーベル群の分類において重要なステップである。.
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濃度 (数学)
数学、とくに集合論において、濃度（のうど）あるいは基数（きすう）（cardinal number, cardinality, power）とは、集合の「元の個数」という概念を拡張したものである。有限集合については、濃度は「元の個数」の同意語に過ぎない。。。.
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有理数
有理数（ゆうりすう、rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b.
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有限生成アーベル群
抽象代数学において、アーベル群 (G,+) が有限生成 (finitely generated) であるとは、G の有限個の元 x1,...,xs が存在して、G のすべての元 x が n1,...,ns を整数として の形に書けるということである。この場合、集合 を G の生成系、生成集合 (generating set) あるいは x1,..., xs は G を 生成する (generate) という。 明らかに、すべての有限アーベル群は有限生成である。有限生成アーベル群はわりと単純な構造をもっており、完全に分類することができて、以下で説明される。.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
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整域
抽象代数学における整域（せいいき、integral domain）は、零因子を持たない可換環であって、自明環 でないものをいう。整域の概念は整数全体の成す環の一般化になっており、整除可能性を調べるのに自然な設定を与える。環の定義に乗法単位元を含めない場合であっても、単に可換環あるいは整域と言ったときには乗法単位元を持つと仮定することが少なくない。即ち、整域とは単位的可換域のことをいう。 上記の如く「整域」を定めるのが広く採用されているけれども、いくらかの揺れもある。特に、非可換な整域を許すことが時としてある。しかし、「整域」(integral domain) という語を可換の場合のために用い、非可換の場合には「域」(domain) を用いることにすると約束するのがたいていの場合には有効である（奇妙な話ではあるが、この文脈では形容辞「整」の中に「可換」の意も含まれるということになる）。別な文献では（ラングが顕著だが）整環 (entire ring) を用いるものがある「整環」という用語は、代数体の整環 (order) などに対しても用いられる。。 いくつか特定の種類の整域のクラスについては、以下のような包含関係が成立する。 零因子の非存在（零積法則）は、整域において非零元による乗法の簡約律が満足されることを意味する。つまり、a ≠ 0 のとき、等式 から が結論できる。.
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ねじれなしランク、ねじれなし階数、アーベル群の階数、捩れなしランク、捩れなし階数。
