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50 関係: 合同ゼータ関数、小山信也、与えられた数より小さい素数の個数について、一様分布、互いに素、バーゼル問題、メリン変換、メビウス関数、リーマンのクシー関数、リーマンの素数公式、リーマン予想、レオンハルト・オイラー、テイラー展開、デデキントゼータ関数、ディリクレのL関数、ディリクレ級数、フルヴィッツのゼータ函数、フェルマーの最終定理、ベルンハルト・リーマン、ベルヌーイ数、分配法則、アペリーの定理、アペリーの定数、オイラーの定数、オイラーのφ関数、オイラー積、ガンマ関数、ギリシア文字、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン、スティルチェス定数、セルバーグゼータ函数、ゼータ函数正規化、確率、等比数列、素数、素数定理、約数関数、総乗、複素数、解析的整数論、解析接続、調和級数、黒川信重、関数 (数学)、零点、逆数、正則関数、有理型関数、明示公式、整関数。
合同ゼータ関数
数学において、 個の元をもつ有限体 上で定義された非特異射影代数多様体 の合同ゼータ関数 (congruent zeta function) （または局所ゼータ関数 (local zeta function)）とは、 を の 次拡大体 上の の（有理）点の数（定義方程式の解の個数）としたとき、 で定義される。変数変換 を行うと、これは の形式的冪級数として \mathit (V,u).
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小山信也
小山 信也（こやま しんや、1962年5月7日 - ）は日本の数学者。新潟県新潟市生まれ。東京大学理学部数学科卒業。東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻修士課程修了。理学博士。東洋大学理工学部教授。専門は数学、整数論、ゼータ関数論、数論的量子カオス、量子エルゴード性など。.
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与えられた数より小さい素数の個数について
『ベルリン学士院月報』（1859年11月号）に掲載された論文。 『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて、ドイツ語の原題: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか8ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある。 本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。 この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は （特に ）と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで と書く慣習がある と書く慣習はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 を用いて記述したことから以後定着した。.
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一様分布
一様分布（いちようぶんぷ）は、離散型あるいは連続型の確率分布である。 サイコロを振ったときの、それぞれの目の出る確率など、すべての事象の起こる確率が等しい現象のモデルである。 生態学の場合、一様分布とは個体間がほぼ等距離の分布を指す。分布様式を参照。.
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互いに素
二つの整数 が互いに素（たがいにそ、coprime, co-prime, relatively prime, mutually prime）であるとは、 を共に割り切る正の整数が のみであることをいう。このことは の最大公約数 が であることと同値である。 が互いに素であることを、記号で と表すこともある。 例えば と を共に割り切る正の整数は に限られるから、これらは互いに素である。一方で と は共に で割り切れるから、これらは互いに素でない。 互いに素であることの判定は素因数分解を用いて行うこともできるが、二つの整数のうち少なくとも一方が巨大である場合など一般には困難である。素因数分解によって公約数を調べる方法よりも、ユークリッドの互除法によって最大公約数を調べる方法のほうが遥かに高速である。 正の整数 と互いに素となる（ から の間の）整数の個数は、オイラー関数 によって与えられる。 三つの整数 が互いに素であるとは、 が成り立つことをいう。また、、、 がすべて に等しいとき、 は対ごとに素（pairwise coprime）またはどの二つも互いに素であるという。一般に、互いに素であるからといって対ごとに素であるとは限らない（例：）。一般の 個の整数についても同様に定義される。.
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バーゼル問題
バーゼル問題（バーゼルもんだい、Basel problem）は、級数の問題の一つで、平方数の逆数全ての和はいくつかという問題である。1644年に によって提起され、1735年にレオンハルト・オイラーによって解かれた。バーゼルはオイラーの故郷であり、この問題を解くのに失敗したベルヌーイ一家の故郷でもある。.
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メリン変換
数学におけるメリン変換（メリンへんかん、）とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。 この変換の名はフィンランドの数学者の名にちなむ。.
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メビウス関数
メビウス関数（メビウスかんすう）は、数論や組合せ論における重要な関数である。メビウスの輪で有名なドイツの数学者アウグスト・フェルディナント・メビウス (August Ferdinand Möbius) が1831年に紹介したことから、この名が付けられた。.
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リーマンのクシー関数
数学において、リーマンのクシー関数 はリーマンのゼータ関数の変形で、とりわけ単純な関数等式をもつように定義される。関数はベルンハルト・リーマンに敬意を表して名づけられている。.
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リーマンの素数公式
リーマンの素数公式（Riemann's prime number formula、あるいは明示公式、explicit formula）とは、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンが1859年に自身の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」において発表した、素数の個数関数 π(x) をゼータ関数の非自明な零点を用いて表示する公式である。素数公式のリーマン自身の証明は同論文の他のいくつかの結果同様不完全だったが、フォン・マンゴルドによって1895年に厳密に証明された。.
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リーマン予想
1.
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レオンハルト・オイラー
レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年4月15日 - 1783年9月18日）は、18世紀の数学者・天文学者（天体物理学者）。 18世紀の数学の中心となり、続く19世紀の厳密化・抽象化時代の礎を築いた 日本数学会編『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「オイラー」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541 。スイスのバーゼルに生まれ、現在のロシアのサンクトペテルブルクにて死去した。.
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テイラー展開
数学において、テイラー級数 (Taylor series) は関数のある一点での導関数たちの値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開という。 テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。 関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はと呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間（あるいは複素平面の開円板）でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。.
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デデキントゼータ関数
デデキントゼータ関数（-かんすう、Dedekind's zeta function）とは、 代数体 K に対して で表される関数のことをいう。但し、和は K の整イデアル全てを動き、\scriptstyle N\mathfrak は整イデアル \mathfrak のノルムである。従って、デデキントゼータ関数は、ヘッケのL関数の特別な場合である。 特に、K が有理数体のとき、リーマンゼータ関数になる。 与えられた整数 n に対して、ノルムが n である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、 デデキントゼータ関数は、 と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。 デデキントゼータ関数は、\scriptstyle\operatorname\ s>1 に対して、絶対かつ一様収束する。従って、\scriptstyle\operatorname\ s>1 で、\zeta_K(s) は正則関数である。.
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ディリクレのL関数
ディリクレのL-関数（ディリクレのエルかんすう、Dirichlet L-function）は、リーマンゼータ関数を一般化したものである。算術級数中の素数の分布の研究に基本的な関数である。実際ディリクレは、初項と公差が互いに素であるような等差数列には無限に素数が含まれること（算術級数定理）を証明するために、この関数を導入した。最も古典的なL-関数であり、単にL-関数と呼ばれることもあるが、数論の発展に伴って類似の性質を持った数論的関数が多く考え出され、それらにもL-関数の名が付されている。 任意の整数 a に対し複素数を対応させる写像で、自然数 N に関して以下を満たす χ を法Nのディリクレ指標と呼ぶ。 このディリクレ指標について、 と L-関数を定義する。この L-関数はオイラー積 をもつ。 L-関数もゼータ関数と同様、全複素数平面上に解析接続され、関数等式をもつ。また、非自明な零点の実部はすべて 1/2 であるという、リーマン予想と同様な予想が考えられておりこれを一般化されたリーマン予想（Generalised Riemann Hypothesis；GRHと略される）と呼ぶ。 その他にも、L-関数にはジーゲルの零点の存在の問題がある。これは実軸上に正の零点が存在するかもしれないという問題で、存在しても高々一つであることが知られているがいまだに解決されていない。この例外的な実零点は、この問題に大きな結果を残したジーゲルにちなんでジーゲルの零点と呼ばれている。この問題のために、リーマンの素数公式の類似である算術級数中の素数分布の有効な公式を得ることができていない。.
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ディリクレ級数
ディリクレ級数（-きゅうすう、Dirichlet series）とは、 複素数列 \scriptstyle\_ および複素数 s に対して、 で表される級数のことをいう。一般ディリクレ級数と区別するため、通常ディリクレ級数 (ordinary Dirichlet series)ともいう。 1839年、ディリクレが算術級数定理を証明する際に考察されたことに因み、彼の名が付けられている。 リーマンゼータ関数やディリクレのL関数はディリクレ級数のなかで、よく知られているものの１つである。 s を変数とみなし、ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的ディリクレ級数 (formal Dirichlet series)という。 セルバーグクラスであるディリクレ級数は、リーマン予想に従うことが予想されている。.
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フルヴィッツのゼータ函数
フルヴィッツのゼータ函数 はゼータ函数の一種で、名前はアドルフ・フルヴィッツに因む。フルヴィッツのゼータ函数は、 なる と なる の 2 つの複素数に対して、形式的に以下のように定義される。 この級数は与えられた値 と に対し絶対収束し、また なるすべての に対して定義される有理型函数へ拡張することができる。フルヴィッツのゼータ函数はリーマンゼータ函数の拡張であり、リーマンゼータ函数はフルヴィッツのゼータ函数を用いて と表される。 1 and q with Re(q) > 0 by This series is absolutely convergent for the given values of s and q and can be extended to a meromorphic function defined for all s≠1.
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フェルマーの最終定理
算術』。 フェルマーの最終定理（フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem）とは、 以上の自然数 について、 となる自然数の組 は存在しない、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、360年後にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。.
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ベルンハルト・リーマン
ルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン（Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826年9月17日 - 1866年7月20日）は、ドイツの数学者。解析学、幾何学、数論の分野で業績を上げた。アーベル関数に関する研究によって当時の数学者から高く評価されたが、先駆的な彼の研究は十分に理解されず、20世紀になって彼のそれぞれの研究分野で再評価されるようになった。19世紀を代表する数学者の一人である。 彼の名前が残っている数学用語に、リーマン積分、コーシー＝リーマンの方程式、リーマンのゼータ関数、リーマン多様体、リーマン球面、リーマン面、リーマン＝ロッホの定理、リーマン予想などがある。.
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ベルヌーイ数
ベルヌーイ数 (ベルヌーイすう、Bernoulli number) は数論における基本的な係数を与える数列であり、もともと、連続する整数のべき乗和を定式化する際の展開係数として1713年にヤコブ・ベルヌーイが著書 Ars Conjectandi (推測術) にて導入したことからこの名称がついた。ベルヌーイ数は、べき乗和の展開係数にとどまらず、級数展開の係数や剰余項、リーマンゼータ関数においても登場する。また、ベルヌーイ数はすべてが有理数である。.
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分配法則
集合 S に対して、積 × と和 + が定義されている時に、.
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アペリーの定理
数学において、アペリーの定理 (Apéry's theorem) は、アペリーの定数 ζ(3) が無理数であるという、数論の結果である。つまり、数 は p と q を整数として分数 p/q の形に書くことはできない。 リーマンのゼータ関数の偶数 2n (n > 0) における特殊値はベルヌーイ数を用いて表すことができ、したがって無理数であることが分かるのだが、奇数 2n + 1 (n > 0) において一般に有理数であるのか無理数であるのかは、無理数であると予想されてはいるが、未解決のままである。 1978年にフランスの数学者ロジェ・アペリーが、周囲が全く予期しないうちに、この事実の証明を発表した。アペリーの証明は、一箇所手計算ではできないところが含まれているといわれており、またその方法が未だに他の ζ の奇数値に対して一般化できないこともあり、非常に謎めいたものとなっている。後にボイカーズのルジャンドル多項式を使った証明やネステレンコの証明などが発表されている。 アペリーはフランス人数学者で、当時隆盛を誇っていたブルバキとは独立にこの方法を開拓した。.
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アペリーの定数
アペリーの定数（―のていすう、Apéry's constant）は、数学定数の一種である。これは、ゼータ関数を ζ とすると、ζ(3) で定義される。 61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots.
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オイラーの定数
イラーの定数（オイラーのていすう、）は、数学定数の1つで、以下のように定義される。 オイラー・マスケローニ定数、オイラーの とも呼ぶ。ちなみに、オイラーはこの定数を表わすのに記号 を用いた。 を用いたのはである。 この値は、およそ0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...である。 オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない。.
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オイラーのφ関数
φ(''n'')の最初の1000個の値 オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、Euler's totient function）は各正の整数 に対して、 から までの自然数のうち と互いに素なものの個数を として与えることによって定まる数論的関数 である。慣例的に と表記されるため、オイラーの 関数（ファイかんすう、phi function）とも呼ばれる。また、簡略的にオイラーの関数と呼ぶこともある。 例えば、 のうち と互いに素なのは の 2 個であるから、定義によれば である。また例えば のうち 以外は全て と互いに素だから、 と定まる。なおトーシェント関数の値域に含まれない自然数をノントーシェントという。 から までの値は以下の通りである。 1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。.
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オイラー積
イラー積（-せき、Euler product）はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明したレオンハルト・オイラーの名前にちなむ。ディリクレ級数は以下の式の左辺で定義され、右辺がオイラー積表示である。 a(n) は n に関する乗法的関数、p は全ての素数にわたり、変数 s は複素数である。このような表示が成り立つためには a(n) が a(1).
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ガンマ関数
1.
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ギリシア文字
リシア文字（ギリシアもじ）とは、ギリシア語を書き表すために用いられる文字である。現代ギリシア語では24文字からなる。.
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シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
ュリニヴァーサ・アイヤンガー・ラマヌジャン（Srinivasa Aiyangar Ramanujan、1887年12月22日 - 1920年4月26日）はインドの数学者。極めて直感的、天才的な閃きにより「インドの魔術師」の異名を取った。.
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スティルチェス定数
数学におけるスティルチェス定数（スティルチェスていすう、）とは、リーマンゼータ関数 のローラン級数展開に現れる定数 \gamma_k のことを言う。第ゼロ番目の定数 \gamma_0.
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セルバーグゼータ函数
ルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグ により導入された。有名なリーマンゼータ函数 の類似で、ここに \mathbb は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。\Gamma を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。 あるいは、 ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。 \zeta(s).
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ゼータ函数正規化
数学や理論物理学において、 ゼータ函数正規化(Zeta function regularization) とは、物理学でのや、発散級数と言われる方法である。これによって、発散する和や積に対して有限の値を対応させ、特に、自己随伴作用素の行列式やトレースを定義することに使うことができる．現在は物理学の中の問題に適用することが行われているが、元来は、数論におけるうまく定義できない和について、実際の意味を与えようとすることに原点がある．なお、物理学では「正規化」ではなく「正則化」と呼ぶが、この記事中では物理学に関する記述でも「正規化」で統一する。また、「自己随伴作用素」という用語を使用した。通常は「自己共役作用素」と呼ぶが、問題の作用素は共役だけでなく転置共役を意味する「自己随伴作用素」という用語を使用した。.
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確率
率（かくりつ、）とは、偶然性を持つある現象について、その現象が起こることが期待される度合い、あるいは現れることが期待される割合のことをいう。確率そのものは偶然性を含まないひとつに定まった数値であり、発生の度合いを示す指標として使われる。.
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等比数列
等比数列（とうひすうれつ、または幾何数列（きかすうれつ）、geometric progression, geometric sequence）は、数列で、隣り合う二項の比が項番号によらず一定であるようなものである。その比のことを公比（こうひ、common ratio）という。例えば 4,12,36,108,… という数列 (an) は初項が 4 であり公比が 3 の等比数列である。公比 r は r.
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素数
素数（そすう、prime number）とは、 より大きい自然数で、正の約数が と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が である自然数と言い換えることもできる。 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。 一般には、素数は代数体の整数環の素元として定義される（そこでは反数などの同伴なものも素数に含まれる）。このため、有理整数環 \mathbb Z での素数は有理素数（ゆうりそすう、rational prime）と呼ばれることもある。 最小の素数は である。素数は無数に存在する。したがって、素数からなる無限数列が得られる。 素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のユークリッドの著書『原論』で既に証明されていた。 自然数あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想などの現代数学の重要な問題との興味深い結び付きが発見されている。 分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。2018年1月現在で知られている最大の素数は、2017年12月に発見された、それまでに分かっている中で50番目のメルセンヌ素数 であり、十進法で表記したときの桁数は2324万9425桁に及ぶ。.
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素数定理
素数定理（そすうていり、、）とは自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる定理である。整数論において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。しかし、分布を数学的に証明することは極めて難しく、解明されていない部分が多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。.
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約数関数
約数関数（やくすうかんすう、divisor function）は、自然数 n を変数とする関数で、n の全ての約数を整数乗した数の総和を値にとるものである。.
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総乗
総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。.
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複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
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解析的整数論
数学において、解析的整数論（かいせきてきせいすうろん、analytic number theory）あるいは解析的数論、解析数論とは、整数についての問題を解くために解析学の手法を用いる、数論の一分野である。解析数論の始まりはペーター・グスタフ・ディリクレ (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) がディリクレの算術級数定理の最初の証明を与えるためにディリクレの ''L''-関数を導入したときであるとしばしば言われている。（素数定理やリーマンのゼータ関数を含む）素数に関する結果や（ゴールドバッハの予想やウェアリングの問題のような）の結果が広く知られている。.
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解析接続
解析学において、解析接続 (かいせきせつぞく、analytic continuation, analytic prolongation) とはリーマン球面 C 上の領域で定義された有理型関数に対して定義域の拡張を行う手法の一つ、あるいは、その拡張によって得られた関数の事である。.
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調和級数
数学における調和級数（ちょうわきゅうすう、harmonic series）とは発散無限級数 のことをいう。名称の「調和」(harmonics) というのは音楽や和声学における倍音の概念に由来するもので、振動する弦の倍音の波長がその弦の基本波長の 1/2, 1/3, 1/4,...
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黒川信重
黒川 信重（くろかわ のぶしげ、1952年 - ）は日本の数学者。栃木県生まれ。栃木県立宇都宮高校出身。東京工業大学理学部数学科卒業。同大学院修士課程修了。理学博士（東京工業大学）。東京工業大学助手、東京工業大学助教授、東京大学助教授、東工大教授を経て、現在、東京工業大学名誉教授。専門は数論、特に解析的整数論、多重三角関数論、ゼータ関数論、保型形式。.
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関数 (数学)
数学における関数（かんすう、、、、、函数とも）とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。.
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零点
複素解析における正則函数 の零点（れいてん、ぜろてん、zero）は函数が非自明でない限り孤立する。零点が孤立することは、一致の定理あるいは解析接続の一意性の成立において重要である。 孤立零点には重複度 (order of multiplicity) が定まる。代数学における類似の概念として非零多項式の根の重複度（あるいは重根）が定義されるが、多項式函数はその不定元を複素変数と見れば整函数を定めるから、これはその一般化である。.
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逆数
逆数（ぎゃくすう、reciprocal）とは、ある数に掛け算した結果が となる数である。すなわち、数 の逆数 とは次のような関係を満たす。 通常、 の逆数は分数の記法を用いて のように表されるか、冪の記法を用いて のように表される。 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元（じょうほうぎゃくげん、multiplicative inverse）の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。 上述の式から明らかなように、 と の役割を入れ替えれば、 は の逆数であると言える。従って、 の逆数が であるとき の逆数は である。 が である場合、任意の数との積は になるため、（0 ≠ 1 であれば） に対する逆数は存在しない。 また、任意の について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は 以外には存在しない。 を除く任意の数 について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。 逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。 1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの（代数的構造）はと呼ばれる。.
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正則関数
複素解析において、正則関数（せいそくかんすう、regular analytic function）あるいは整型函数（せいけいかんすう、holomorphic function）とは、ガウス平面あるいはリーマン面上のある領域の全ての点で微分可能であるような複素変数のことである。.
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有理型関数
複素解析において、有理型関数（ゆうりけいかんすう、ゆうりがたかんすう、meromorphic function）あるいは、関数が有理型（ゆうりけい、）であるとは、複素数平面あるいは連結リーマン面のある領域で定義され、その中で極（仮性特異点）以外の特異点を持たない解析関数（特異点以外では正則な関数）のことを指す。 有理型関数は正則関数の商として表すことができ、その分母となる正則関数の零点が元の有理型関数の極となる（分母は定数関数 0 ではない）。.
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明示公式
数学では、L-函数の明示公式(explicit formulae for L-function)は、L-函数の複素数の零点を渡るの和と素数べきを渡る和との関係のことを言い、リーマンゼータ函数について により導入された。明示公式は、(discriminant of an algebraic number field)や導手の境界に関する問題への応用も持っている。.
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整関数
複素解析における整函数（せいかんすう、entire function）は、複素数平面の全域で定義される正則函数を言う。そのような函数の例として、特に複素指数函数や多項式函数およびそれらの和、積、合成を用いた組合せとしての三角函数および双曲線函数などを挙げることができる。 二つの整函数の商として有理型函数が与えられる。 解析函数論の特定の場合として考えれば「整函数の基本理論」は一般論からの単に帰結であり、それは本質的に複素素関数論の初歩（しばしばヴァイヤシュトラスの因数分解定理によって詳しく調べられる）である。しかしその研究は、19世紀半ばごろのコーシー,, ヴァイヤシュトラスらから始まり、ボレル, アダマール,, ピカール,, ら（そしてネヴァンリンナを忘れることはできない）によって著しく豊かに推し進められ、いまや堂々たる理論となった。 整函数の理論は、整函数をその増大度によって分類しようとするもので、整函数のテイラー係数と増大度の間の関係、取りうる零点と整函数の振る舞いの間の関係、整函数とその導函数の間の関係を特定する。 整函数の理論におけるこれらの側面は、有理型函数に対するものに拡張される。.
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Ζ関数、リーマンのゼータ関数、リーマンゼータ函数、ゼータ定数。
