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21 関係: 両側ラプラス変換、保型形式のL-函数、ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数、ネールント–ライス積分、ラマヌジャン・ピーターソン予想、ランキン・セルバーグの方法、ラプラス変換、リーマンの素数公式、リーマン予想、リーマンゼータ関数、リース平均、リース函数、ボース気体、フルヴィッツのゼータ函数、分数階微積分学、アイヒラー・志村の合同関係式、ゼータ函数正規化、積分変換、畳み込み、Mertens 関数、P-進量子力学。
両側ラプラス変換
数学の分野における両側ラプラス変換（りょうがわラプラスへんかん、）とは、フーリエ変換やメリン変換、通常の片側ラプラス変換などと関係している積分変換の一種である。すべての実数に対して定義される実あるいは複素数値関数を ƒ(t) としたとき、その両側ラプラス変換は積分 \int_^\infty e^ f(t) \,dt によって定義される。この積分は広義積分と解釈され、それが収束することと積分 の両方が存在することは必要十分である。両側ラプラス変換を表す一般的な記法は存在しないようである。この記事では bilateral（両側）を意識して \mathcal を用いている。しばしば s \int_^\infty e^ f(t) \, dt として、両側ラプラス変換が用いられることもある。純粋数学では、独立変数 t は任意で、微分作用素がどのように関数を変換するか、ということを研究するためにラプラス変換が用いられる。 自然科学あるいは工学などの応用の場面では、独立変数 t は時間（秒）を表し、関数 ƒ(t) は時間とともに変動する信号や波形を表すことが多い。そのような場合、数学的な作用素のように働くフィルタによって、ある制限のもとで信号は変換される。それらは因果的である必要がある。すなわち、与えられた時間 t における出力は、それより先の時間での入力の値には依存しない。 時間の関数として扱われるとき、ƒ(t) は信号の時間領域表現と呼ばれる。一方で、F(s) はs領域表現と呼ばれる。逆変換は、信号の周波数成分の和としての『合成』を意味する。一方で、通常の変換は周波数成分への信号の『分析』を意味する。.
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保型形式のL-函数
保型 ''L'' 関数 (automorphic L-function) とは、複素変数 s の関数 L(s,, r) であって、大域体上の簡約群 G の保型表現 と、G のランクランズ双対群 LG の有限次元複素表現に付随するものであり、ディリクレ指標のディリクレ級数やモジュラ形式のメリン変換を一般化する。 により導入された。 と は保型 L 関数のサーベイを与えた。.
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ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数
ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数（Minakshisundaram–Peijel zeta function）はコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの固有値をエンコードしたゼータ函数である．このゼータ函数はと により導入された．平面のコンパクトな領域の場合には、より早く により導入された．.
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ネールント–ライス積分
数学におけるネールント–ライス積分（ネールント・ライスせきぶん、Nörlund–Rice integral）またはときにライス法 (Rice's method) は、函数の -階前進差分を複素数平面上の線積分に関連付ける。そのようなものは、有限差分の理論に広く現れ、また二分木の長さを評価するものとして計算機科学およびグラフ理論においても応用される。名称はとに因む。ネールントの貢献はこの積分を定義したこと、ライスの貢献はその値の評価にを適用するのが有効であることを示したことである。.
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ラマヌジャン・ピーターソン予想
ラマヌジャン予想 (Ramanujan's conjecture) は が提出した数学の予想。、 を素数として、重さ12 のカスプ形式 のフーリエ係数 によって与えられるラマヌジャンのタウ函数が を満たすであろうと述べる。 本予想は20世紀の数論と代数幾何学を牽引した重要な予想の一つとなり、後にヴェイユ予想に帰着され、1974年にドリーニュがヴェイユ予想を解決したことにより解決された。 一般ラマヌジャン予想 (generalized Ramanujan conjecture) またはラマヌジャン・ピーターソン予想 (Ramanujan–Petersson conjecture) は、狭義にはにて提出されたもので、他のモジュラー形式や保型形式へのラマヌジャン予想の一般化である。広義には多くのバリエーションが存在し、中でもオリジナルのような1変数正則保型形式と異なり多変数や非正則の保型形式を扱う場合については反例も知られ、未解決である。.
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ランキン・セルバーグの方法
数学では、ランキン・セルバーグの方法(Rankin–Selberg method)は と により導入され、L-函数の積分表現の理論としても知られ、保型形式のL-函数のいくつかの重要な例を直接構成する解析接続のテクニックである。このアイゼンシュタイン級数を意味する積分表現の特別なタイプであり、この方面の研究者が何人かいる。この方法は、ラングランズ・プログラムの研究のための最も強力なテクニックの一つとなっている。.
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ラプラス変換
関数解析学において、ラプラス変換（ラプラスへんかん、Laplace transform）とは、積分で定義される関数空間の間の写像（線型作用素）の一種。関数変換。 ラプラス変換の名はピエール＝シモン・ラプラスにちなむ。 ラプラス変換によりある種の微分・積分は積などの代数的な演算に置き換わるため、制御工学などにおいて時間領域の（とくに超越的な）関数を別の領域の（おもに代数的な）関数に変換することにより、計算方法の見通しを良くするための数学的な道具として用いられる。 フーリエ変換を発展させて、より実用本位で作られた計算手法である。1899年に電気技師であったオリヴァー・ヘヴィサイドが回路方程式を解くための実用的な演算子を経験則として考案して発表し、後に数学者がその演算子に対し厳密に理論的な裏付けを行った経緯がある。理論的な根拠が曖昧なままで発表されたため、この計算手法に対する懐疑的な声も多かった。この「ヘヴィサイドの演算子」の発表の後に、多くの数学者達により数学的な基盤は1780年の数学者ピエール＝シモン・ラプラスの著作にある事が指摘された(この著作においてラプラス変換の公式が頻繁に現れていた)。 従って、数学の中ではかなり応用寄りの分野である。ラプラス変換の理論は微分積分、線形代数、ベクトル解析、フーリエ解析、複素解析を基盤としているため、理解するためにはそれらの分野を習得するべきである。 これと類似の解法として、より数学的な側面から作られた演算子法がある。こちらは演算子の記号を多項式に見立て、代数的に変形し、公式に基づいて特解を求める方法である。.
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リーマンの素数公式
リーマンの素数公式（Riemann's prime number formula、あるいは明示公式、explicit formula）とは、ドイツの数学者ベルンハルト・リーマンが1859年に自身の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」において発表した、素数の個数関数 π(x) をゼータ関数の非自明な零点を用いて表示する公式である。素数公式のリーマン自身の証明は同論文の他のいくつかの結果同様不完全だったが、フォン・マンゴルドによって1895年に厳密に証明された。.
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リーマン予想
1.
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リーマンゼータ関数
1.
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リース平均
数学におけるリース平均（リースへいきん、）とは、ある級数に関する項の平均のことを言う。1911年、リース・マルツェルによってチェザロ平均を改善するものとして導入された。や強リース平均（strong-Riesz mean）とは異なる。.
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リース函数
数学においてリース函数（リースかんすう、）とは、リーマン予想との関係でリース・マルツェルによって定義された、次の冪級数で与えられる整函数のことを言う： F(x).
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ボース気体
想ボース気体（Bose gas）とは、古典的な理想気体に類似した量子力学的な相のこと。整数値のスピンをもつボース粒子から構成され、ボース–アインシュタイン統計に従う。ボース粒子の統計力学は、サティエンドラ・ボースが光子において開拓した。アルベルト・アインシュタインは質量を持つ粒子に対してボース統計を拡張するとともに、ボース粒子の理想気体が十分に低温で凝縮し、古典的な理想気体とは挙動が異なることを示した。この凝縮はボース＝アインシュタイン凝縮と呼ばれる。.
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フルヴィッツのゼータ函数
フルヴィッツのゼータ函数 はゼータ函数の一種で、名前はアドルフ・フルヴィッツに因む。フルヴィッツのゼータ函数は、 なる と なる の 2 つの複素数に対して、形式的に以下のように定義される。 この級数は与えられた値 と に対し絶対収束し、また なるすべての に対して定義される有理型函数へ拡張することができる。フルヴィッツのゼータ函数はリーマンゼータ函数の拡張であり、リーマンゼータ函数はフルヴィッツのゼータ函数を用いて と表される。 1 and q with Re(q) > 0 by This series is absolutely convergent for the given values of s and q and can be extended to a meromorphic function defined for all s≠1.
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分数階微積分学
分数階微分積分学（ぶんすうかいびぶんせきぶんがく、fractional calculus）は解析学の一分野で、微分作用素 D および積分作用素 J が実数冪あるいは複素数冪をとる可能性について研究する。 この文脈における「冪」の語は作用素の合成を繰り返し行うという意味で用いており、それに従えばたとえば f2(x).
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アイヒラー・志村の合同関係式
数論において、アイヒラー・志村の合同関係式 (Eichler–Shimura congruence relation) は、素数 p でのモジュラー曲線の局所 ''L''-函数を、ヘッケ作用素の固有値の式で表現する。このことは、 で導入され、 で一般化された。大まかには、ヘッケ作用素 Tp を誘導するモジュラー曲線上の対応は、フロベニウス写像 Frob とその転置 Ver の和に mod p で合同である。言い換えると、有限体 Fp 上のモジュラー曲線 X0N のヤコビ多様体 J0(N)Fp の自己準同型として である。 アイヒラー・志村の合同関係式とその志村多様体への一般化は、モジュラー曲線あるいはより一般的なモジュラー多様体のハッセ・ヴェイユのゼータ函数の一部を、ウェイト 2 のモジュラー形式のメリン変換の積あるいは類似の保型 L-函数の積と同一視することを通して、ラングランズ・プログラムで重要な役割を果たす。 p is congruent mod p to the sum of the Frobenius map Frob and its transpose Ver.
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ゼータ函数正規化
数学や理論物理学において、 ゼータ函数正規化(Zeta function regularization) とは、物理学でのや、発散級数と言われる方法である。これによって、発散する和や積に対して有限の値を対応させ、特に、自己随伴作用素の行列式やトレースを定義することに使うことができる．現在は物理学の中の問題に適用することが行われているが、元来は、数論におけるうまく定義できない和について、実際の意味を与えようとすることに原点がある．なお、物理学では「正規化」ではなく「正則化」と呼ぶが、この記事中では物理学に関する記述でも「正規化」で統一する。また、「自己随伴作用素」という用語を使用した。通常は「自己共役作用素」と呼ぶが、問題の作用素は共役だけでなく転置共役を意味する「自己随伴作用素」という用語を使用した。.
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積分変換
数学の分野における積分変換（せきぶんへんかん、）とは、次の形をとるような変換 T のことである： この積分変換の入力は関数 f であり、出力は関数 Tf である。積分変換は作用素の一種である。 多くの便利な積分変換が存在する。個々の積分変換は、その変換の核関数 (kernel function) あるいは核 (kernel, nucleus) と呼ばれる二変数関数 K を定めれば決まる。 いくつかの核関数には逆 K−1(u, t) が存在し、それは（大まかに言えば）次のような逆変換を満たす: このような公式は反転公式と呼ばれる。二変数の順番が変わっても変化しないような核は対称核と呼ばれる。.
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畳み込み
畳み込み（たたみこみ、convolution）とは関数 を平行移動しながら関数 に重ね足し合わせる二項演算である。畳み込み積分、合成積、重畳積分、あるいは英語に倣いコンボリューションとも呼ばれる。.
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Mertens 関数
Mertens 関数 は任意の正の整数 n において で表される関数のことである。また、次のように定義して正の実数に拡張できます。 より形式的には、M（x）は、偶数の素因数 - 奇数を持つものの数を引いたxまでの平方因子をもたない整数です。 Mertens関数は、平均値とピーク値の両方で正負の方向にゆっくりと成長し、M(n).
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P-進量子力学
p-進量子力学(p-adic quantum mechanics)は、基礎物理学の性質を理解しようとする比較的新しいアプローチであり、p-進解析の量子力学への応用である。p-進数は、1899年頃、ドイツの数学者のクルト・ヘンゼル(Kurt Hensel)により発見された非直感的な数理系であり、1930年代に、クロード・シュヴァレー(Claude Chevalley)とアンドレ・ヴェイユ(André Weil)により、密接に関連するアデール(adele)とイデール(idele)が導入された。彼らの研究は、現在では、数学の主要な分野の中へ反映されている。p-進解析は物理学分野へ適用されることがあるが、ロシアの数学者、ヴォロヴィッチ(Volovich)が1987年に重要な主題として取り上げるまでは、そのようなことはなかった。 現在では、国際的な雑誌で多くの研究論文がこの主題を扱っている。V.
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