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バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

索引 バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想

数学において、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想 (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) は数論の分野における未解決問題である。略してBSD予想 (BSD conjecture) と呼ばれる。それは最もチャレンジングな数学の問題の 1 つであると広く認められている。予想はクレイ数学研究所によってリストされた 7 つのミレニアム懸賞問題の 1 つとして選ばれ、最初の正しい証明に対して100万ドルの懸賞金が約束されている。予想は機械計算の助けを借りて1960年代の前半に予想を立てた数学者ブライアン・バーチ (Bryan Birch) とピーター・スウィンナートン=ダイアー (Peter Swinnerton-Dyer) にちなんで名づけられている。、予想の特別な場合のみ正しいと証明されている。 予想は代数体 K 上の楕円曲線 E に伴う数論的データを E の ハッセ・ヴェイユの ''L''-関数 L(E, s) の s.

23 関係: 加藤和也 (数学者)合同数ミレニアム懸賞問題モーデルの定理テイト予想 (代数幾何学)アンドリュー・ワイルズアーベル多様体の数論アデール環ガロワコホモロジージョン・コーツBSD (曖昧さ回避)群論EDSACL-函数の特殊値楕円曲線標準的高さ浜村渚の計算ノート懸賞金問題数学数学上の未解決問題数論数論力学数論的ゼータ函数

加藤和也 (数学者)

加藤 和也(かとう かずや、1952年(昭和27年)1月17日 - )は日本の数学者。シカゴ大学教授。東京大学名誉教授。和歌山県生まれ、愛媛県育ち。.

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合同数

合同数(ごうどうすう)とは、辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積のことである。例えば、辺の長さが (3, 4, 5) の直角三角形の面積 6 や、(3/2, 20/3, 41/6) の面積 5 は合同数である。しかし、1, 2, 3, 4 は合同数ではない。.

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ミレニアム懸賞問題

ミレニアム懸賞問題(ミレニアムけんしょうもんだい、)とは、アメリカのクレイ数学研究所によって2000年に発表された100万ドルの懸賞金がかけられている7つの問題のことである。そのうち1つは解決済み、6つは2015年8月末の時点で未解決である。ミレニアム賞問題、ミレニアム問題とも呼ばれる。.

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モーデルの定理

数学におけるモーデルの定理(モーデルのていり、Mordell's theorem)とは、有理数体 Q 上の楕円曲線 E の有理点と無限遠点 O のなすアーベル群 E(Q) が有限生成になる、という定理である。有限生成アーベル群の基本定理から有限生成アーベル群は次に同型であることが知られている。 ここで \mathbb は有限アーベル群(ねじれ部分群)である。(r は E の階数(ランク)と呼ばれ、関連する予想にミレニアム懸賞問題のBSD予想がある。) 有限生成アーベル群 E(Q) の場合、ねじれ部分群 A は次のいずれかに同型となる。 モーデルの定理は後にアンドレ・ヴェイユによって代数体上のアーベル多様体の有理点のなす群に関するモーデル・ヴェイユの定理へと拡張された。.

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テイト予想 (代数幾何学)

数論および代数幾何学において、テイト予想(テイトよそう、Tate conjecture)は、ジョン・テイト (John Tate) による1963年の予想であり、代数多様体上の代数的サイクルをより計算可能な不変量であるエタールコホモロジー上のガロワ加群のことばで記述するものであった。テイト予想は代数的サイクルの理論において中心的な問題である。予想はホッジ予想の数論的類似物と考えることができる。.

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アンドリュー・ワイルズ

アンドリュー・ワイルズ(Andrew John Wiles, 1953年4月11日 - )は、イギリスの数学者。オックスフォード大学教授(整数論)。「フェルマーの最終定理」を証明したことで知られる。.

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アーベル多様体の数論

数学では、アーベル多様体の数論(arithmetic of abelian varieties)とは、アーベル多様体、あるいはそれらの族の数論を研究することである。これは、現在は楕円曲線として認識されているピエール・ド・フェルマー(Pierre de Fermat)の研究に遡り、結果と予想の両面で非常に実績に富んだ分野となっている。これらの楕円曲線上で得られたうちの大半は、数体 K(あるいは、より一般的には、大域体や有限生成の環や体)の上のアーベル多様体 A に対して成立している。.

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アデール環

アデール環(adele ring) (単にアデールと呼ぶ事もある)とは、有理数の体(あるいはより一般的な任意の代数体)の上に構成された自己双対な位相環であり、整数論における基本的な対象である。アデール環は有理数体の全ての完備化の情報をもっている。 アデール環は、はじめ類体論の簡素化と明確化のためにクロード・シュヴァレー(Claude Chevalley)により導入されたが、現代の整数論では欠かせない概念となっている。 アデール環の乗法群を代数体の乗法群わってできる群は類体論において中心的な対象である。また多項式の有理数解を研究する(Diophantine geometry)において、まず有理数体をふくむ完備なアデール環において解を発見し、それが実際に有理数体における解となるかを決定するという手法をとることもある。 「アデール」という用語は、「additive idèle」(加法的なイデール)を短くしたものでありNeukirch (1999) p. 357.

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ガロワコホモロジー

数学において、ガロワコホモロジー (Galois cohomology) はガロワ加群の群コホモロジーの研究、つまり、ホモロジー代数学のガロワ群に対する加群への応用である。体拡大 L/K と結びついたガロワ群 G はあるアーベル群、例えば L から直接に構成されたアーベル群、に自然に作用するが、より抽象的な手段によって導き出される他のガロワ表現を通して構成されたアーベル群もである。ガロワコホモロジーはガロワ不変元をとることが完全関手でなくなる理由を説明する。.

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ジョン・コーツ

ョン・コーツ (John Henry Coates, 1945年1月26日 -) はイギリスの数学者。ケンブリッジ大学エマニュエルカレッジ教授。専門は数論、数論幾何学、岩澤理論。 オーストラリア国立大学を卒業後はフランスのエコール・ノルマル・シュペリウールに留学。 フランス留学を終えた後にイギリスのケンブリッジ大学でアラン・ベイカーのもとで博士号を取得。 その後ハーバード大学、スタンフォード大学、オーストラリア国立大学等を経て現職。 業績として ベイカーとともに代数的K-理論における貢献。楕円曲線のヴェイユ予想の特別な場合を解決した。 アンドリュー・ワイルズとともに岩澤理論をバーチ・スウィナートン.

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BSD (曖昧さ回避)

BSD.

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群論

群論(ぐんろん、group theory)とは、群を研究する学問。 群の概念は抽象代数学における中心的な概念。 環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。 群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。 線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。 特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。 結晶や、水素原子などの構造の多くは、対称性の群(symmetry group)で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。 1960年代~80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀の数学の最も重要な業績の一つ。.

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EDSAC

EDSAC EDSAC(エドサック、Electronic Delay Storage Automatic Calculator)は、初期のイギリスのコンピュータのひとつ。このマシンはジョン・フォン・ノイマンがまとめたEDVACレポート(:en:First Draft of a Report on the EDVAC)に刺激され、モーリス・ウィルクスとケンブリッジ大学の数学研究所のチームが開発した。EDSACは、世界初の実用的なプログラム内蔵方式の電子計算機であるが、プログラム内蔵方式の世界初の稼働したマシンではない。 プロジェクトは J. Lyons & Co.

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L-函数の特殊値

数学において、L-函数の特殊値 の研究は、数論の一分野であり、ライプニッツ (Leibniz) の π の公式 のような公式を一般化することを研究している。この公式の左辺は、L(s) をガウスの有理数体 Q(i) のディリクレ級数としたときの L(1) であるという見方ができる。この公式は、(解析的)類数公式の特別な場合であり、上記の式はガウスの有理数体の類数が 1 であることを意味し、また、この体が 4 個の1の冪根を含むことから 1/4 倍が来ている。 予想には 2つのグループがあり、''L''-函数の一般的なクラス(非常に一般的な設定は代数体上の周モチーフに関連する L-函数 L(s) である)として定式化されている。2つのグループは次の(a)(b)である。、 そのような公式が成り立つことの期待できる整数値 n の L(n) について、さらに必要な説明を加える。 (a)についての予想は、により提出されたので、ベーリンソン予想(Beilinson's conjecture)と呼ばれる。 アイデアは、数体のレギュレータからある「高次のレギュレータ」()、代数的K-理論からくる実ベクトル空間上構成される行列式、に抽象化することである。 (b)の予想のほうは、特殊値についての(玉河数についての)ブロッホ・加藤予想(Bloch–Kato conjecture)と呼ばれている。(Spencer Bloch)と加藤和也により提出された。このブロッホ・加藤予想の一連のアイデアは、K-理論のブロッホ・加藤予想とは異なる。(K-理論のブロッホ・加藤予想のほうはミルナー予想を拡張したもので、2009年に証明が発表された。)さらにより詳しくいうと、玉河数予想(Tamagawa number conjecture)とも呼ばれる。バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想では、の玉河数問題の楕円曲線での類似物の定式化から来た命名である。 更なる拡張として、同変玉河数予想 (ETNC) が定式化されていて、岩澤理論とこれらのアイデアとの関連を統合するものである。同変玉河数予想と岩澤の主予想は同値ではないだろうか、と数学的に定式化できるのではないか。 これらの予想はすべて、特別なケースについてのみ成立することしか知られていない。.

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楕円曲線

数学における楕円曲線(だえんきょくせん、elliptic curve)とは種数 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 を持つ種数 の代数曲線を言う。 楕円曲線上の点に対し、積に関して、先述の点 を単位元とする(必ず可換な)群をなすように、積を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。 楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる。より正確には、射影平面上、楕円曲線はヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形 により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である(有理変換によってそのような曲線に変換される)。そしてこの形にあらわされているとき、 は実は射影平面の「無限遠点」である。 また、の標数が でも でもないとき、楕円曲線は、アフィン平面上次の形の式により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である。 非特異であるとは、グラフが尖点を持ったり、自分自身と交叉したりはしないということである。この形の方程式もヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形という。係数体の標数が や のとき、上の式は全ての非特異を表せるほど一般ではない(詳細な定義は以下を参照)。 が重根を持たない三次多項式として、 とすると、種数 の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。が次数 でとすると、これも種数 の平面曲線となるが、しかし、単位元を自然に選び出すことができない。さらに一般的には、単位元として働く有理点を少なくとも一つ持つような種数 の代数曲線を楕円曲線と呼ぶ。例えば、三次元射影空間へ埋め込まれた二つの二次曲面の交叉は楕円曲線である。 楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線はトーラスのへの埋め込みに対応することを示すことができる。トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。 楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。例えば、アンドリュー・ワイルズにより(リチャード・テイラーの支援を得て)証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている(モジュラー性定理とフェルマーの最終定理への応用を参照)。また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。 楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。「楕円」ということばの由来については楕円積分、楕円関数を参照。 このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。.

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標準的高さ

数論では、ネロン・テイトの高さ(Néron–Tate height)(もしくは、標準的高さ (canonical height) ともいう)は、大域体上に定義されたアーベル多様体の有理点の上の二次形式である。この命名は、(André Néron)とジョン・テイト(John Tate)にちなんでいる。.

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浜村渚の計算ノート

『浜村渚の計算ノート』(はまむらなぎさのけいさんノート)は、青柳碧人による日本の推理小説のシリーズ。イラストは桐野壱が担当している。2009年7月より講談社Birthおよび講談社文庫(共に講談社)から刊行されている。数学を題材にしたミステリー作品。シリーズ第1作は第3回「講談社Birth」小説部門受賞。作者のデビュー作となった。 執筆のきっかけについて作者は、中学生に「数学なんか勉強して、一体なんの意味がある?」と尋ねられて答えに困り、それなら自分なりの答えを見つけてみようと執筆したと述べている。 モトエ恵介作画の漫画版が、『月刊少年シリウス』(講談社)において、2013年7月号から2016年2月号まで連載され、その後は『水曜日のシリウス』に移籍して2016年2月3日から12月21日まで連載された。.

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懸賞金問題

懸賞金問題(けんしょうきんもんだい)とは、科学などの重要なテーマにおいて、解決者に対する懸賞金の支払いが、何らかの組織または個人から公式に発表された問題。.

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数学

数学(すうがく、μαθηματικά, mathematica, math)は、量(数)、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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数学上の未解決問題

数学上の未解決問題(すうがくじょうのみかいけつもんだい)とは未だ解決されていない数学上の問題のことである。 未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在する。ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学・技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけのシンプルさ故に数多くの数学者や数学愛好家達が証明を試みてきたような有名な命題を列挙する。.

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数論

数論(すうろん、number theory)とは数、特に整数およびそれから派生する数の体系(代数体、局所体など)の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。;初等整数論;代数的整数論;解析的整数論;数論幾何学 フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。 ガウスは次のような言葉を残している。.

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数論力学

数論力学(すうろんりきがく、Arithmetic dynamics)は、数学における力学系と数論という二つの領域を融合した分野である。 is a field that amalgamates two areas of mathematics, dynamical systems and number theory.--> 離散力学とは、古典的には複素平面や実直線の自己写像の反復合成の研究のことである。数論力学は、多項式や有理函数の繰り返しの適用の下で、整数点、有理点、-進点、あるいは、代数的点の数論的な性質を研究することである。数論力学の基本的な目標は、数論的な性質をその基礎にある幾何学的な構造のことばで記述することにある。 p-adic, and/or algebraic points under repeated application of a polynomial or rational function.

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数論的ゼータ函数

数学では、数論的ゼータ函数(arithmetic zeta function)とは、整数上の有限型スキームについてのゼータ函数のことを言う。数論的ゼータ函数はリーマンゼータ函数とデデキントゼータ函数を一般化したものである。数論的ゼータ函数は、数論の最も基本的な対象のひとつである。.

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