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18 関係: ABJM超共形場理論、AdS/CFT対応、位相的場の理論、位相的弦理論、体積予想、ミラー対称性 (弦理論)、チャーン・サイモンズ形式、チャーン類、ヤン＝ミルズ理論、フレアーホモロジー、キャッソン不変量、ゲージ理論、ジョーンズ多項式、特性類、解析的トーション、量子不変量、陳省身、(2+1)-次元位相重力理論。
ABJM超共形場理論
論物理学において、ABJM理論 (ABJM theory) は、オファー・アハロニー (Ofer Aharony)、オレン・バーグマン (Oren Bergman)、Daniel Jafferis, フアン・マルダセナ (Juan Maldacena) により研究されている場の量子論であり、AdS_4\times S^7 上のM理論へのホログラフィック双対をもたらす理論である。ABJM理論は、チャーン・サイモンズ理論とも密接に関係し、 凝縮系物理学で起きる問題を解明するための有用なトイモデルを提供する。.
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AdS/CFT対応
論物理学では、AdS/CFT対応（AdS/CFTたいおう、anti-de Sitter/conformal field theory correspondence）は、マルダセーナ双対(Maldacena duality)あるいはゲージ／重力双対(gauge/gravity duality)とも呼ばれ、2つの物理理論の種類の間の関係を予言するものである。対応の片側は、共形場理論 (CFT) で、場の量子論で基本粒子を記述するヤン＝ミルズ理論の類似物を意味し、対応する反対側は、反ド・ジッター空間(AdS)で、量子重力の理論で使われる空間である。この対応は弦理論やM-理論のことばで定式化された。 双対性は、弦理論と量子重力の理解の主要な発展の現れである。この理由は、双対性がある境界条件を持つ弦理論の(non-perturbative)な定式化であるからであり、注目を浴びている量子重力のアイデアのホログラフィック原理を最もうまく実現しているからである。ホログラフィック原理は、もともとジェラルド・トフーフトが提唱し、レオナルド・サスキンドにより改善されている。 加えて、の場の量子論の研究への強力なツールを提供している。 双対性の有益さの大半は、強弱双対性から来ている。つまり、場の量子論が強い相互作用である場合に、重力理論の側は弱い相互作用であるので、数学的に取り扱い易くなっている。この事実は、強結合の理論を強弱対称性により数学的に扱い易い弱結合の理論に変換することにより、原子核物理学や物性物理学での多くの研究に使われてきている。 AdS/CFT対応は、最初に1997年末、フアン・マルダセナにより提起された。この対応の重要な面は、、、アレクサンドル・ポリヤコフの論文や、エドワード・ウィッテンの論文により精査された。2014にはマルダセナの論文の引用は10000件を超え、高エネルギー物理学の分野の最も多く引用される論文となっている。.
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位相的場の理論
位相的場の理論（いそうてきばのりろん）もしくは位相場理論（いそうばりろん）あるいはは、を計算する場の量子論である。 TQFTは物理学者により開拓されたにもかかわらず、数学的にも興味を持たれていて、結び目理論や代数トポロジーの 4次元多様体の理論や代数幾何学のモジュライ空間の理論という他のものにも関係している。サイモン・ドナルドソン, ヴォーン・ジョーンズ, エドワード・ウィッテン, や マキシム・コンツェビッチ は皆、フィールズ賞 をとり、位相的場の理論に関連した仕事を行っている。 物性物理学では、位相的場の理論は、分数量子ホール効果や、凝縮状態や他の状態のような、の低エネルギー有効理論である。.
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位相的弦理論
論物理学では、位相的弦理論（いそうてきげんりろん、topological string theory）は弦理論の単純化されたバージョンである。位相的弦理論の作用素は、ある個数の超対称性を保存する（物理的に）完全な弦理論の作用素の代数を表わす。位相的弦理論は通常の弦理論のを位相的にツイストすることで得られる。ツイストされると、作用素は異なるスピンを与えられる．この操作は関連する概念である位相場理論の構成の類似物である．結局、位相的弦理論は局所的な自由度を持たない。 位相的弦理論には2つの主要なバージョンがあり、ひとつは位相的A-モデルであり、もうひとつは位相的B-モデルである。一般的に位相的弦理論の計算の結果は、完全な弦理論の時空の量の中の超対称性により保存される値、正則な量をエンコードしている．位相弦の様々な計算はチャーン・サイモンズ理論、グロモフ・ウィッテン不変量、ミラー対称性、ラングランズプログラムやその他、多くのトピックに密接に関連している。 位相的弦理論は、エドワード・ウィッテンやカムラン・ヴァッファなどの物理学者により確立され研究されている。.
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体積予想
結び目理論という数学の分野では、体積予想(volume conjecture)は、次のように結び目の量子不変量と結び目補空間の双曲幾何学とを関係付ける予想である。 O で自明な結び目を表すとする。任意の結び目 K に対し、\langle K\rangle_N で K のカシャエフ(Kashaev)不変量を表す。カシャエフの不変量は、K の N-色付きジョーンズ多項式 J_(q) の評価式 と一致する。体積予想は、 という予想である。ここに、vol(K) は 3次元球面の中の K の補空間の双曲体積である。 \langle K\rangle_N be Kashaev's invariant of K; this invariant coincides with the following evaluation of the N-colored Jones polynomial J_(q) of K: Then the volume conjecture states that where vol(K) denotes the hyperbolic volume of the complement of K in the 3-sphere.-->.
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ミラー対称性 (弦理論)
数学や理論物理学において、ミラー対称性(mirror symmetry)はカラビ・ヤウ多様体と呼ばれる幾何学的な対象の間の関係であり、2つの カラビ・ヤウ多様体が幾何学的には全く異なっているにもかかわらず、弦理論の余剰次元としてそれらを扱うと等価となる対称性のことを言う。この場合、多様体は互いに「ミラー多様体」であると呼ばれる。 ミラー対称性はもともとは、物理学者によって発見された。数学者がミラー対称性に興味を持ち始めたのは1990年頃で、特に、(Philip Candelas)、ゼニア・デ・ラ・オッサ(Xenia de la Ossa)、パウル・グリーン(Paul Green)、リンダ・パークス(Linda Parks)らによって、ミラー対称性を数々の方程式の解の数を数える数学の分野である数え上げ幾何学で使うことができることが示されていた。実際、キャンデラスたちは、ミラー対称性を使いカラビ・ヤウ多様体の上の有理曲線を数えることができ、長きにわたり未解決であった問題を解明できることを示した(参照項目:ミラー対称性の応用)。元来のミラー対称性へのアプローチは、理論物理学者からの必ずしも数学的には厳密(mathematical rigor)ではないアイデアに基づいているにもかかわらず、数学者はミラー対称性予想のいくつかを数学的に厳密な証明に成功しつつある。 今日では、ミラー対称性は純粋数学の主要な研究テーマであり、数学者は物理学者の直感に基づくミラー対称性を数学的に深く理解しつつある。ミラー対称性は弦理論の計算を実行する際の基本的なツールでもある。ミラー対称性への主要なアプローチは、マキシム・コンツェビッチ(Maxim Kontsevich)のホモロジカルミラー対称性予想のプログラムやアンドリュー・ストロミンジャー(Andrew Strominger)、シン＝トゥン・ヤウ(Shing-Tung Yau)、(Eric Zaslow)のSYZ予想を含んでいる。 Yau and Nadis 2010 Although the original approach to mirror symmetry was based on nonrigorous ideas from theoretical physics, mathematicians have gone on to rigorously prove some of the mathematical predictions of mirror symmetry.
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チャーン・サイモンズ形式
数学において、チャーン･サイモンズ形式(Chern–Simons form)とは、ある第二特性類のことを指す。それらは、ゲージ理論で興味をもたれ、（特に3-形式は）チャーン・サイモンズ理論の作用を定義する。理論はS.S.チャーンとの名前にちなんでいて、1974年の共著論文、題名：｢Characteristic Forms and Geometric Invariants｣の中で、この理論が生まれた。.
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チャーン類
数学では、特に代数トポロジーや微分位相幾何学や代数幾何学では、チャーン類(Chern classes)は複素ベクトルバンドルに付随する特性類である。 チャーン類は、 で導入された。.
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ヤン＝ミルズ理論
ヤン＝ミルズ理論（－りろん、Yang-Mills theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことであるYang and Mills (1954)。 なお、その少し前にヴォルフガング・パウリStraumann, N: "On Pauli's invention of non-abelian Kaluza-Klein Theory in 1953" eprint arXiv.gr.
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フレアーホモロジー
数学において、フレアーホモロジー(Floer homology)は、シンプレクティック幾何学や低次元トポロジーの研究に使用される有用なツールである。フレアーホモロジーは、有限次元のモース理論の無限次元の類似として発生した高級な不変量である。アンドレアス・フレアー(Andreas Floer)は、現在はハミルトニアンフレアーホモロジーと呼ばれているフレアーホモロジーの最初のバージョンを導入し、シンプレクティック幾何学のアーノルド予想の証明に使った。フレアーは、これと密接に関連するシンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体の理論を開発した。フレアーは、また、シンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体に密接に関連する理論も開発した。フレアーが第三番目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。 フレアーホモロジーは、無限次元多様体とその上の実数値函数をある興味深い対象へ結び付けることにより定義される。例えば、シンプレクティック幾何学のバージョンでは、フレアーホモロジーは、シンプレクティック作用汎函数をシンプレクティック多様体の自由ループ空間へ結び付ける。、3次元多様体の（(instanton)）バージョンでは、3次元多様体上のSU(2)-接続の空間へ結び付ける。おまかに言うと、フレアーホモロジーは、無限次元多様体の上の自然な函数から計算されるモースホモロジーである。この自然な函数は、シンプレクティックな場合は、シンプレクティック作用を持つシンプレクティック多様体の自由ループ空間であり、3次元多様体の場合は、チャーン-サイモンズ汎函数を持つ 3次元多様体上の SU(2)-接続の空間である。大まかには、フレアーホモロジーは、無限次元多様体上の函数のモースホモロジーである。フレアーチェーン複体は、函数の臨界点(critical point)（もしくは、臨界点のある集まりでもよい）で張られるアーベル群から構成される。チェーン複体の微分は、臨界点と臨界点と（従って、臨界点の集まり）を結ぶ函数の勾配の力線の数を数えることにより定義される。このベクトル空間の線型な自己準同型は、2つの臨界点を結ぶ函数の勾配の力線を数えることで定義される。フレアーホモロジーは、このチェーン複体のホモロジーである。 フレアーのアイデアをうまく適用できる状況では、勾配の力線の方程式が、幾何学的解析的に扱いやすい典型的な方程式である。シンプレクティックフレアーホモロジーに対し、ループ空間の中の経路の勾配の力線の方程式は、注目しているシンプレクティック多様体への円筒形(cylinder)（ループの経路の全空間）からの写像のコーシー・リーマンの方程式（の摂動バージョン）であり、解は(pseudoholomorphic curves)として知られている。従って、(Gromov compactness theorem)は、微分が well-defined で、二乗が 0 となるので、フレアーホモロジーを定義することができることを示した。インスタントンフレアーホモロジーに対し、勾配の力線の方程式はまさに、実直線と交差する 3次元多様体上のヤン・ミルズ方程式である。.
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キャッソン不変量
数学の一分野である幾何学的トポロジーの(3-dimensional topology)では、キャッソン不変量(Casson invariant)は、(Andrew Casson)により導入された向き付け可能な整数(homology 3-sphere)の整数値不変量である。 ケルビン・ウォーカー(Kevin Walker)は、1992年に、キャッソン・ウォーカー不変量(Casson-Walker invariant)と呼ばれる(rational homology 3-sphere)の拡張を発見し、クリスティーヌ・レスコップは、1995年にすべての閉じたな向きつけられた(3-manifold)へ拡張した。.
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ゲージ理論
ージ理論（ゲージりろん、gauge theory）とは、連続的な局所変換の下でラグランジアンが不変となるような系を扱う場の理論である。.
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ジョーンズ多項式
数学の結び目理論の分野において、ジョーンズ多項式 （Jones polynomial）は ヴォーン・ジョーンズが1983年に発見した多項式不変量である。明確に言うと、ジョーンズ多項式は向き付けられた結び目 または 絡み目の結び目不変量で、整数を係数とする t^ の ローラン多項式 で与えられる。 ジョーンズの発見以来、後述のように数学・物理学のさまざまな話題との関係が発見され議論されている。.
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特性類
特性類 (Characteristic class)とは、位相空間 X の上のベクトル束やより一般に主束に対してさだまる X のコホモロジー類である。特性類は、主束の切断がどの程度存在するによって定まるもので、局所的には自明である主束の構造が大域的にどれほど非自明であるかをはかる位相不変量である。特性類は、代数多様体上のベクトル束に対しても定義され、代数トポロジー、微分幾何学や代数幾何学における統一した幾何学的な考え方の一つである。 1935年の多様体上のベクトル場についてのエドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) と (Hassler Whitney) の仕事より、特性類の考え方が発生した。.
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解析的トーション
ライデマイスタートーション（Reidemeister torsion）またはRトーション、ライデマイスター・フランツトーションとは、がに対して導入した多様体のである 。さらに、とによってより高次元の場合へと一般化された。 ライデマイスタートーションに対し、その解析的類似としてとイサドール・シンガーが導入したのが解析的トーション（analytic torsion）またはレイ・シンガートーションであり、こちらはリーマン多様体の位相不変量である。レイとシンガーは「コンパクトなリーマン多様体において、ライデマイスタートーションと解析的トーションは一致する」と予想した。この予想はとにより証明された。 代数的位相幾何学において、ホモトピー同値であり位相同型でない空間を識別できる不変量として最初に与えられたのがライデマイスタートーションであり、これはレンズ空間の分類にも用いられる。それゆえ、これを以って幾何学的トポロジーという分野が誕生したと見ることができる。 このほかライデマイスタートーションはと密接な関係を持ち、また数論的位相幾何学においては大きな動機付けの一つとなっている 。トーションに関する近年の研究は書籍, を参照。.
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量子不変量
数学の一分野である結び目理論において、結び目、あるいは、絡み目の量子不変量（りょうしふへんりょう、quantum invariant）は、結び目補空間の(surgery)の表現である色つき(colored)ジョーンズ多項式の線型和である.
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陳省身
陳省身（ちん しょうしん、1911年10月28日 - 2004年12月3日）は中華民国、アメリカの数学者。エリ・カルタンを継ぐ20世紀を代表する幾何学者。.
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(2+1)-次元位相重力理論
間次元が 2 で時間次元が 1 のとき、一般相対性理論は伝播する重力的な自由度を持たない。実は、真空状態で時空は常に局所平坦（もしくは宇宙定数に応じてド・ジッター空間か、もしくは反ド・ジッター空間）となることを示すことができる。このことが、(2+1)-次元位相重力 を重力的な局所自由度を持たないトポロジカルな理論とする。 Chern-Simons理論と重力の関係は、1980年代に入ると注目されるようになった。この間に、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、(2+1)-次元重力は、負の宇宙定数に対してはゲージ群が SO(2,2) であるチャーン・サイモンズ理論に等価であり、正の宇宙定数に対してはゲージ群が SO(3,1) のチャーン・サイモンズ理論に等価であると論じている。この理論は完全可解であり、量子重力理論のとなっている。キリング形式はホッジ双対と関わっている。 ウィッテンは、後に、考え方を変更し、非摂動的な (2+1)-次元位相重力は、チャーン・サイモンズ理論とは異なっているとした。何故ならば、汎函数測度は、非特異な多脚場(vielbein)の上にのみ存在するからである。（この論文の中で）彼は、CFT-双対はモンスター共形場理論ではないかと示唆し、BTZブラックホールのエントロピーを計算した。.
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