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3 関係: モンストラス・ムーンシャイン、カーディ公式、(2+1)-次元位相重力理論。
モンストラス・ムーンシャイン
数学において、モンストラス・ムーンシャインもしくはムーンシャイン理論とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイ(John Conway)と(Simon Norton)により命名された。今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。.
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カーディ公式
物理学では、ブラックホールのエントロピーを計算するために、カーディ公式(Cardy formula)が重要である。近年、この公式はBTZブラックホールのエントロピーの計算に現れるのみならず、AdS/CFT対応やホログラフィック原理の検証にも表れるようになっている。 は、この公式を発見し、(1+1)-次元の共形場理論(CFT)のエントロピーを次のように与えた。 ここに c は中心電荷、L0 は全エネルギーと系の半径の積 ER で、c/24 のシフトはカシミール効果により引き起こされる。ここで、c と L0 は、この共形場理論のヴィラソロ代数を形成する。 は、この公式を任意次元である (n + 1) 次元に拡張したので、この公式をカーディ・ヴァーリンデ公式(Cardy-Verlinde formula)とも呼ぶ。次の計量を持つ反ド・ジッター空間を考える。 ここに R は n 次元球面の半径である。この双対共形場理論はAdS空間の境界となっている。双対共形場理論のエントロピーは、この公式により次のように与えることができる。 ここに、Ec はカシミール効果で、E は全エネルギーである。上の公式は、最大エントロピーを Ec.
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(2+1)-次元位相重力理論
間次元が 2 で時間次元が 1 のとき、一般相対性理論は伝播する重力的な自由度を持たない。実は、真空状態で時空は常に局所平坦（もしくは宇宙定数に応じてド・ジッター空間か、もしくは反ド・ジッター空間）となることを示すことができる。このことが、(2+1)-次元位相重力 を重力的な局所自由度を持たないトポロジカルな理論とする。 Chern-Simons理論と重力の関係は、1980年代に入ると注目されるようになった。この間に、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、(2+1)-次元重力は、負の宇宙定数に対してはゲージ群が SO(2,2) であるチャーン・サイモンズ理論に等価であり、正の宇宙定数に対してはゲージ群が SO(3,1) のチャーン・サイモンズ理論に等価であると論じている。この理論は完全可解であり、量子重力理論のとなっている。キリング形式はホッジ双対と関わっている。 ウィッテンは、後に、考え方を変更し、非摂動的な (2+1)-次元位相重力は、チャーン・サイモンズ理論とは異なっているとした。何故ならば、汎函数測度は、非特異な多脚場(vielbein)の上にのみ存在するからである。（この論文の中で）彼は、CFT-双対はモンスター共形場理論ではないかと示唆し、BTZブラックホールのエントロピーを計算した。.
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