線型代数学と行列式間の類似点
線型代数学と行列式は(ユニオンペディアに)共通で26ものを持っています: 単位行列、外積代数、対称群、三角行列、ヤコビ行列、ベクトル、ベクトル空間、和算、アーサー・ケイリー、カール・フリードリヒ・ガウス、ガウスの消去法、クラメルの公式、ケイリー・ハミルトンの定理、ゴットフリート・ライプニッツ、シルベスター行列、ジェームス・ジョセフ・シルベスター、固有多項式、固有値、線型写像、線型方程式系、特異値分解、行列、行列の階数、関孝和、正則行列、正方行列。
単位行列
数学、特に線型代数学において、単位行列(たんいぎょうれつ、identity matrix)とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。.
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外積代数
数学におけるベクトルの外積(がいせき、exterior product)あるいは楔積(くさびせき、ウェッジ積、wedge product)はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。 外積代数(がいせきだいすう、exterior algebra)は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数(グラスマンだいすう、Grassmann algebra)としても知られ、与えられた体 上のベクトル空間 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。 形式的には、外積代数は あるいは で表され、 を線型部分空間として含む、楔積あるいは外積と呼ばれる で表される乗法を持つ、体 上の単位的結合代数である。楔積は結合的で双線型な乗法 であり、本質的な性質として 上の交代性 を持つものである。これは以下の性質 をも特別の場合として含む。 圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の(ベクトル空間としての)双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。.
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対称群
対称群(たいしょうぐん、)とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換(ちかん、)という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群(ちかんぐん、)と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。.
三角行列
数学の一分野線型代数学における三角行列(さんかくぎょうれつ、triangular matrix)は特別な種類の正方行列である。正方行列が またはであるとは主対角線より「上」の成分がすべて零となるときに言い、同様にまたはとは主対角線より「下」の成分がすべて零となるときに言う。三角行列は上半または下半三角となる行列のことを言い、また上半かつ下半三角となる行列は対角行列と呼ぶ。 三角行列に関する行列方程式は解くことが容易であるから、それは数値解析において非常に重要である。LU分解アルゴリズムにより、正則行列が下半三角行列 と上半三角行列 との積 に書くことができるための必要十分条件は、その行列の首座小行列式 (leading principal minor) がすべて非零となることである。.
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ヤコビ行列
数学、特に多変数微分積分学およびベクトル解析におけるヤコビ行列(やこびぎょうれつ、Jacobian matrix)あるいは単にヤコビアンまたは関数行列(かんすうぎょうれつ、Funktionalmatrix)は、一変数スカラー値関数における接線の傾きおよび一変数ベクトル値函数の勾配の、多変数ベクトル値関数に対する拡張、高次元化である。名称はカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに因む。多変数ベクトル値関数 のヤコビ行列は、 の各成分の各軸方向への方向微分を並べてできる行列で \end\quad (f.
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ベクトル
ベクトル()またはベクター() ベクトルは Vektor に由来し、ベクターは vector に由来する。物理学などの自然科学の領域ではベクトル、プログラミングなどコンピュータ関係ではベクターと表記される、という傾向が見られることもある。また、技術文書などではしばしばJIS規格に準拠する形で、長音を除いたベクタという表記が用いられる。 は「運ぶ」を意味するvehere に由来し、18世紀の天文学者によってはじめて使われた。 ベクトルは通常の数(スカラー)と区別するために矢印を上に付けたり(例: \vec,\ \vec)、太字で書いたりする(例: \boldsymbol, \boldsymbol)が、分野によっては矢印も太字もせずに普通に書くこともある(主に解析学)。 ベクトル、あるいはベクターに関する記事と用法を以下に挙げる。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間(ベクトルくうかん、vector space)、または、線型空間(せんけいくうかん、linear space)は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積(「スケール変換」)を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件(後述)を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である(同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す)。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元(大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの)によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は(直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような)古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
和算
和算(わさん)は、日本独自に発達した数学である。狭義には大いに発展した江戸時代の関孝和以降のそれを指すが、西洋数学導入以前の数学全体を指すこともある。.
アーサー・ケイリー
アーサー・ケイリー(、、1821年8月16日 - 1895年1月26日)は、イギリスの数学者、弁護士。行列に関するケイリー・ハミルトンの定理で有名。.
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カール・フリードリヒ・ガウス
Disquisitiones Arithmeticae のタイトルページ ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス(; Johann Carl Friedrich Gauß, Carolus Fridericus Gauss, 1777年4月30日 - 1855年2月23日)は、ドイツの数学者、天文学者、物理学者である。彼の研究は広範囲に及んでおり、特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。数学の各分野、さらには電磁気など物理学にも、彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。19世紀最大の数学者の一人である。.
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ガウスの消去法
ウスの消去法(ガウスのしょうきょほう、Gaussian elimination)あるいは掃き出し法(はきだしほう、row reduction)とは、連立一次方程式を解くための多項式時間アルゴリズムであり、通常は問題となる連立一次方程式の係数からなる拡大係数行列に対して行われる一連の変形操作を意味する。 同様のアルゴリズムは歴史的には前漢に九章算術で初めて記述された。連立一次方程式の解法以外にも.
クラメルの公式
線型代数学におけるクラメルの法則あるいはクラメルの公式(クラメルのこうしき、Cramer's rule; クラメルの規則)は、未知数の数と方程式の本数が一致し、かつ一意的に解ける線型方程式系の解を明示的に書き表す行列式公式である。これは、方程式の解を正方係数行列とその各列ベクトルを一つずつ方程式の右辺のベクトルで置き換えて得られる行列の行列式で表すものになっている。名称はガブリエル・クラーメル (1704–1752) に因むもので、クラーメルは任意個の未知数に関する法則を1750年に記している。なお特別の場合に限れば、コリン・マクローリンが1748年に公表している(また、恐らくはそれを1729年ごろにはすでに知っていたと思われる)。.
ケイリー・ハミルトンの定理
イリー・ハミルトンの定理(ケイリー・ハミルトンのていり、Cayley–Hamilton theorem)、またはハミルトン・ケイリーの定理とは、線型代数学において、(実数体や複素数体を含む)可換環上の正方行列は固有方程式を満たすという定理である。アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンにちなむ。.
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ゴットフリート・ライプニッツ
ットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ(Gottfried Wilhelm Leibniz、1646年7月1日(グレゴリオ暦)/6月21日(ユリウス暦) - 1716年11月14日)は、ドイツの哲学者、数学者。ライプツィヒ出身。なお Leibniz の発音は、(ライプニッツ)としているものと、(ライブニッツ)としているものとがある。ルネ・デカルトやバールーフ・デ・スピノザなどとともに近世の大陸合理主義を代表する哲学者である。主著は、『モナドロジー』、『形而上学叙説』、『人間知性新論』など。.
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シルベスター行列
ルベスター行列(シルベスターぎょうれつ、Sylvester matrix)とは、2つの多項式が共通根を持つか否かを判定する行列である。.
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ジェームス・ジョセフ・シルベスター
ェームス・ジョセフ・シルベスター(James Joseph Sylvester, 1814年9月3日 - 1897年3月15日)は、イギリスの数学者。 1838年からユニヴァーシティ・カレッジ・ロンドン教授、1877年に渡米してジョンズ・ホプキンス大学教授、1883年からオックスフォード大学の幾何学の Savillian 教授を歴任した。1839年王立協会フェロー選出。 w:American Journal of Mathematicsを創刊。シルベスター行列などに名を残している。.
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固有多項式
線型代数学において、固有多項式(こゆうたこうしき、characteristic polynomial)あるいは特性多項式(とくせいたこうしき)とは、正方行列に付随して得られるある多項式を指し、その行列の固有値、行列式、トレース、最小多項式といった重要な量と関連している。相似な行列に対しては同じ固有多項式が定まる。 またグラフ理論において、グラフの固有多項式とは、グラフの隣接行列の固有多項式のことを指す。この多項式はグラフの不変量となっている。すなわち同型なグラフは同じ固有多項式を持つ。.
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固有値
線型代数学において、線型変換の特徴を表す指標として固有値 (eigenvalue) や固有ベクトル (eigenvector) がある。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (eigenvalue problem) という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。.
線型写像
数学の特に線型代数学における線型変換(せんけいへんかん、linear transformation、一次変換)あるいは線型写像(せんけいしゃぞう、linear mapping)は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の(零写像でない)線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは(体上の加群としての)ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像(自己準同型)の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、(特に無限次元空間上の)線型写像のことを「線型作用素」(せんけいさようそ、linear operator)と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」(いちじけいしき、linear form, one-form; 線型形式; 1-形式)とも呼ばれる一次の微分形式(一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form)を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。.
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線型方程式系
数学において、線型方程式系(せんけいほうていしきけい)とは、同時に成立する複数の線型方程式(一次方程式)の組のことである。線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。 複数の方程式の組み合わせを方程式系あるいは連立方程式と呼ぶことから、線型方程式系のことを一次方程式系、連立線型方程式、連立一次方程式等とも呼ぶこともある。.
特異値分解
特異値分解(とくいちぶんかい、singular value decomposition; SVD)とは、線形代数学における、複素数あるいは実数を成分とする行列に対する行列分解の一手法である。信号処理や統計学の分野で用いられる。特異値分解は、行列に対するスペクトル定理の一般化とも考えられ、正方行列に限らず任意の形の行列を分解できる。.
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行列
数学の線型代数学周辺分野における行列(ぎょうれつ、matrix)は、数や記号や式などを行と列に沿って矩形状に配列したものである。行の数と列の数が同じ行列はが成分ごとの計算によって与えられる。行列の積の計算はもっと複雑で、2 つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。 行列の応用として顕著なものは一次変換の表現である。一次変換は のような一次関数の一般化で、例えば三次元空間におけるベクトルの回転などは一次変換であり、 が回転行列で が空間の点の位置を表す列ベクトル(1 列しかない行列)のとき、積 は回転後の点の位置を表す列ベクトルになる。また 2 つの行列の積は、2 つの一次変換の合成を表現するものとなる。行列の別な応用としては、連立一次方程式の解法におけるものである。行列が正方行列であるならば、そのいくつかの性質は、行列式を計算することによって演繹することができる。例えば、正方行列が正則であるための必要十分条件は、その行列式の値が非零となることである。固有値や固有ベクトルは一次変換の幾何学に対する洞察を与える。行列の応用は科学的な分野の大半に及び、特に物理学において行列は、電気回路、光学、量子力学などの研究に利用される。コンピュータ・グラフィックスでは三次元画像の二次元スクリーンへの投影や realistic-seeming motion を作るのに行列が用いられる。は、古典的な解析学における微分や指数関数の概念を高次元へ一般化するものである。 主要な数値解析の分野は、行列計算の効果的なアルゴリズムの開発を扱っており、主題は何百年にもわたって今日では研究領域も広がっている。行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を単純化するもので、アルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計が効率的に処理される。惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。関数のテイラー級数に対して作用する微分の表現行列は、無限次行列の簡単な例である。.
行列の階数
線型代数学における行列の階数(かいすう、rank; ランク)は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。 例えば、行列 の階数 (あるいは または丸括弧を落として )は、 の列空間(列ベクトルの張るベクトル空間)の次元に等しく、また の行空間の次元とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。.
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関孝和
関 孝和 記念切手1992年 関 孝和(せき たかかず/こうわ、寛永19年(1642年)3月? - 宝永5年10月24日(1708年12月5日))は、日本の江戸時代の和算家(数学者)である。本姓は藤原氏。旧姓は内山氏、通称は新助。字は子豹、自由亭と号した。.
正則行列
正則行列(せいそくぎょうれつ、regular matrix)、非特異行列(ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix)あるいは可逆行列(かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix)とは行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のこと、言い換えると逆行列が存在する行列のことである。 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群はあるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。.
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正方行列
正方行列(せいほうぎょうれつ、square matrix)とは、行要素の数と列要素の数が一致する行列である。サイズが n × n つまり、n 行 n 列であるとき、n 次正方行列という。 \end.
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上記のリストは以下の質問に答えます
- 何線型代数学と行列式ことは共通しています
- 何が線型代数学と行列式間の類似点があります
線型代数学と行列式の間の比較
行列式が63を有している線型代数学は、121の関係を有しています。 彼らは一般的な26で持っているように、ジャカード指数は14.13%です = 26 / (121 + 63)。
参考文献
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