数学的直観主義と直観間の類似点
数学的直観主義と直観は(ユニオンペディアに)共通で5ものを持っています: ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワー、アレン・ハイティング、直観論理、背理法、排中律。
ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワー
ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワー(Luitzen Egbertus Jan Brouwer、1881年2月27日 - 1966年12月2日)はオランダの数学者。ブラウエル、ブローウェルなどとも表記される。トポロジーにおいて不動点定理をはじめとする多大な業績を残し、また数学基礎論においては直観主義数学の創始者として知られる。.
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アレン・ハイティング
アレン・ハイティング(Arend Heyting、1898年5月9日 - 1980年7月9日)は、オランダの数学者、論理学者。1898年にオランダの首都アムステルダムで生まれる。 元々は形式主義者であるダフィット・ヒルベルトの弟子であったが、後にヒルベルトの論敵であるライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワーの弟子となり、直観論理を研究し、1930年にその論理の最初の形式化された「公理体系」を提唱した。ヒルベルトは生涯、ハイティングが自らの元を去った事を悔やんだと言われている。 1980年にスイスのルガノで亡くなる。.
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直観論理
観主義論理(intuitionistic logic)、直観論理あるいは構成的論理(constructive logic)とは、ある種の論理体系であり、伝統的な真理値の概念が構成的証明の概念に置き換わっている点で古典論理とは異なる。例えば古典論理では、全ての論理式に真か偽の真理値 (\) が割り当てられる。このときその真理値に対する直接的なエビデンスを持つか否かは問題にしない。これはどのような曖昧な命題においても「真か偽かが決定可能である」ということを意味する。対照的に直観主義論理では確定的に論理式に真理値を割り当てるのではなく、それが真であるとは「直接的なエビデンス」つまり「証明」があることと見做す。 Instead they remain of unknown truth value, until they are either proved or disproved.
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背理法
背理法(はいりほう、proof by contradiction, reduction to the absurd, indirect proof, apagogical argument など、reductio ad absurdum)とは、ある命題 P を証明したいときに、P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けることである。帰謬法(きびゅうほう)とも言う。 P を仮定すると、矛盾が導けることにより、P の否定 ¬P を結論付けることは否定の導入などと呼ばれる。これに対して ¬P を仮定すると矛盾が導けることにより P を結論付けることを狭義の背理法あるいは否定の除去ということがある。否定の導入と狭義の背理法をあわせて広義の背理法ということもある。 一般的には、背理法と言った場合広義の背理法を指す。否定の導入により、¬P から矛盾が導けた場合、¬¬P を結論できるが、いわゆる古典論理では推論規則として二重否定の除去が認められているため、結局 P が結論できることになる。排中律や二重否定の除去が成り立たない直観論理では、狭義の背理法による証明は成立しないが、否定の導入や、¬¬¬P から ¬P を結論することは、認められる。 背理法を使って証明される有名な定理には、\sqrt が無理数であること、素数が無限に存在すること、中間値の定理,ハイネ・カントールの定理などがあり、無限を相手にした証明には基本的に背理法のスタイルを取らざるを得ないものが多くある。 しかし例えば、\sqrt が無理数である(すなわち有理数でない)ことの証明は、狭義の背理法ではなく否定の導入によって証明することができる。 背理法の証明において仮定に矛盾する結論を導く場合は,容易に非背理法証明に直すことができる.たとえば,ハイネ・カントールの定理:「有界閉集合上の連続関数は一様連続である」は,有界閉集合上の連続関数 f は一様連続でないと仮定して議論を進め, f が連続でないことを導いて矛盾を出すが,これは連続性を仮定せず「有界閉集合上の関数 f が一様連続でない」と仮定し,連続でないことを示すことによって,対偶としてハイネ・カントールの定理が直接証明できる(((P かつ Q)⇒R) ⇔ ((P かつ ¬R)⇒¬Q) ということを用いる)..
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排中律
排中律(はいちゅうりつ、Law of excluded middle)とは、論理学において、任意の命題 P に対し"P ∨ ¬P"(P であるか、または P でない)が成り立つことを主張する法則である。これは、論理の古典的体系では基本的な属性であり、同一律、無矛盾律とともに、(古典的な)思考の三原則のひとつに数えられる。しかし、論理体系によっては若干異なる法則となっている場合もあり、場合によっては排中律が全く成り立たないこともある(例えば直観論理)。 (第三の命題が排除される原理)あるいは(第三の命題・可能性は存在しない)と称され、Law of excluded middle(中間の命題は排除されて存在しない法則)または (第三の命題が排除される法則)と呼ばれ、これらが日本語での排中という表記につながり、排中原理と呼ばれる。 排中律は論理から導かれる法則ではない。また principle of bivalence とは異なる主張である。 修辞学では排中律が誤解されて利用されることがあり、誤謬の原因となっている。.
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数学的直観主義と直観の間の比較
直観が48を有している数学的直観主義は、19の関係を有しています。 彼らは一般的な5で持っているように、ジャカード指数は7.46%です = 5 / (19 + 48)。
参考文献
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