数学の哲学と超準解析間の類似点
数学の哲学と超準解析は(ユニオンペディアに)共通で5ものを持っています: モデル理論、アレン・ハイティング、ゴットフリート・ライプニッツ、ジョージ・バークリー、無限小。
モデル理論
モデル理論(model theory)は、数理論理学による手法を用いて数学的構造(例えば、群、体、グラフ:集合論の宇宙)を研究(分類)する数学の分野である。 モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与える構造としてのモデルである。もし言語のモデルがある特定の文または理論(特定の条件を満足する文の集合)を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。 モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。 この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。有限構造を対象とする有限モデル理論は、扱っている問題および用いている技術の両方の面で、無限構造の研究とは大きく異なるものとなっている。完全性は高階述語論理または無限論理において一般的には成立しないため、これらの論理に対するモデル理論は困難なものとなっている。しかしながら、研究の多くの部分はそのような言語によってなされている。.
アレン・ハイティング
アレン・ハイティング(Arend Heyting、1898年5月9日 - 1980年7月9日)は、オランダの数学者、論理学者。1898年にオランダの首都アムステルダムで生まれる。 元々は形式主義者であるダフィット・ヒルベルトの弟子であったが、後にヒルベルトの論敵であるライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワーの弟子となり、直観論理を研究し、1930年にその論理の最初の形式化された「公理体系」を提唱した。ヒルベルトは生涯、ハイティングが自らの元を去った事を悔やんだと言われている。 1980年にスイスのルガノで亡くなる。.
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ゴットフリート・ライプニッツ
ットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ(Gottfried Wilhelm Leibniz、1646年7月1日(グレゴリオ暦)/6月21日(ユリウス暦) - 1716年11月14日)は、ドイツの哲学者、数学者。ライプツィヒ出身。なお Leibniz の発音は、(ライプニッツ)としているものと、(ライブニッツ)としているものとがある。ルネ・デカルトやバールーフ・デ・スピノザなどとともに近世の大陸合理主義を代表する哲学者である。主著は、『モナドロジー』、『形而上学叙説』、『人間知性新論』など。.
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ジョージ・バークリー
ョージ・バークリー(George Berkeley、1685年3月12日 - 1753年1月14日)は、アイルランドの哲学者、聖職者である。主著は『人知原理論』。バークレー、バークリとも。.
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無限小
数学における無限小(むげんしょう、infinitesimal)は、測ることができないほど極めて小さい「もの」である。無限小に関して実証的に観察されることは、それらが定量的にいくら小さかろうと、角度や傾きといったある種の性質はそのまま有効であることである。 術語 "infinitesimal" は、17世紀の造語 infinitesimus(もともとは列の「無限番目」の項を意味する言葉)に由来し、これを導入したのは恐らく1670年ごろ、メルカトルかライプニッツである。無限小はライプニッツがやなどをもとに展開した無限小解析における基本的な材料である。よくある言い方では、無限小対象とは「可能な如何なる測度よりも小さいが零でない対象である」とか「如何なる適当な意味においても零と区別することができないほど極めて小さい」などと説明される。故に形容(動)詞的に「無限小」を用いるときには、それは「極めて小さい」という意味である。このような量が意味を持たせるために、通常は同じ文脈における他の無限小対象と比較をすること(例えば微分商)が求められる。無限個の無限小を足し合わせることで積分が与えられる。 シラクサのアルキメデスは、自身の (機械的定理証明法)においてと呼ばれる手法を応分に用いて領域の面積や立体の体積を求めた。正式に出版された論文では、アルキメデスは同じ問題を取り尽くし法を用いて証明している。15世紀にはニコラウス・クザーヌスの業績として(17世紀にはケプラーがより詳しく調べているが)、特に円を無限個の辺を持つ多角形と見做して円の面積を計算する方法が見受けられる。16世紀における、任意の実数の十進表示に関するシモン・ステヴィンの業績によって、実連続体を考える下地はすでにでき上がっていた。カヴァリエリの不可分の方法は、過去の数学者たちの結果を拡張することに繋がった。この不可分の方法は幾何学的な図形を 1 の量に分解することと関係がある。ジョン・ウォリスの無限小は不可分とは異なり、図形をもとの図形と同じ次元の無限に細い構成要素に分解するものとして、積分法の一般手法の下地を作り上げた。面積の計算においてウォリスは無限小を 1/∞ と書いている。 ライプニッツによる無限小の利用は、「有限な数に対して成り立つものは無限な数に対しても成り立ち、逆もまた然り」有限/無限というのは個数に関して言うのではない(有限個/無限個ではない)ことに注意せよ。ここでいう「有限」とは無限大でも無限小でもないという意味である。や(割り当て不能な量を含む式に対して、それを割り当て可能な量のみからなる式で置き換える具体的な指針)というような、経験則的な原理に基づくものであった。18世紀にはレオンハルト・オイラーやジョゼフ=ルイ・ラグランジュらの数学者たちによって無限小は日常的に使用されていた。オーギュスタン=ルイ・コーシーは自身の著書 (解析学教程)で、無限小を「連続量」(continuity) ともディラックのデルタ函数の前身的なものとも定義した。カントールとデデキントがスティーヴンの連続体をより抽象的な対象として定義したのと同様に、は函数の増大率に基づく「無限小で豊饒化された連続体」(infinitesimal-enriched continuum) に関する一連の論文を著した。デュ・ボア=レーモンの業績は、エミール・ボレルとトアルフ・スコーレムの両者に示唆を与えた。ボレルは無限小の増大率に関するコーシーの仕事とデュ・ボア=レーモンの仕事を明示的に結び付けた。スコーレムは、1934年に最初の算術の超準モデルを発明した。連続の法則および無限小の数学的に厳密な定式化は、1961年にアブラハム・ロビンソンによって達成された(ロビンソンは1948年にが、および1955年にが成した先駆的研究に基づき超準解析を展開した)。ロビンソンの超実数 (hyperreals) は無限小で豊饒化された連続体の厳密な定式化であり、がライプニッツの連続の法則の厳密な定式化である。また、はフェルマーの (adequality, pseudo-equality) の定式化である。 ウラジーミル・アーノルドは1990年に以下のように書いている.
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数学の哲学と超準解析の間の比較
超準解析が42を有している数学の哲学は、197の関係を有しています。 彼らは一般的な5で持っているように、ジャカード指数は2.09%です = 5 / (197 + 42)。
参考文献
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